2022
第五讲 椭圆
知识梳理·双基自测
错误!错误!错误!错误!
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数（大于|F1F2｜)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__,两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．
注:若集合P＝｛M｜｜MF1｜＋|MF2｜＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：
（1）若a＞c，则集合P为__椭圆__；
(2）若a＝c，则集合P为__线段F1F2__;
（3）若a＜c，则集合P为__空集__．
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 错误!＋错误!＝1(a＞b＞0) 错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)
图形
性
质 范围 －a≤x≤a
－b≤y≤b －b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 2022
顶点 A1（－a,0），A2（a，0)
B1（0,－b)，B2(0，b) A1(0，－a）,A2（0，a）
B1（－b，0)，B2（b,0）
轴 长轴A1A2的长为__2a__；
短轴B1B2的长为__2b__
焦距 ｜F1F2|＝__2c__
离心率 e＝__错误!__∈（0,1)
a、b、c
的关系 __c2＝a2－b2__
错误!错误!错误!错误!
1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．
2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦｜AB｜＝错误!，称为通径．
3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．
4．e＝错误!．
5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大,椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．
6．AB为椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的弦，A(x1，y1),B（x2,y2）,弦中点M(x0，y0),则
（1）弦长l＝错误!|x1－x2｜＝错误!|y1－y2｜；
（2）直线AB的斜率kAB＝－错误!． 2022
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第八章 平面解析几何
第八节抛物线
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程 y2＝2px
(p＞0) y2＝－2px
(p＞0) x2＝2py
(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2
离心率 e＝1
准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径
(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋p2 |PF|＝
－x0＋p2 |PF|＝y0＋p2 |PF|＝－y0＋p2
[小题体验]
1．(2018·杭州七校联考)抛物线C：y＝ax2的准线方程为y＝－14，则其焦点坐标为________，第 2 页 共 15 页
实数a的值为________．
解析：由题意得焦点坐标为0，14，抛物线C的方程可化为x2＝1ay，由题意得－14a＝－14，解得a＝1.
答案：0，14 1
2．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．
答案：y2＝－4x或x2＝－8y
3．(教材习题改编)抛物线y＝4x2的焦点坐标为__________；准线方程为____________．
解析：抛物线的标准方程为x2＝14y，所以焦点坐标为0，116，准线方程为y＝－116.
答案：0，116 y＝－116
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
1 【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第五节
空间向量及其运算和空间位置关系课后作业 理
[全盘巩固]
一、选择题
1．点M(－8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是( )
A．(－8，－6，－1) B．(8，－6，－1)
C．(8，－6,1) D．(－8，－6,1)
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断
3．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝12x－2a，则x＝ ( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
4．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝( )
A．9 B．－9 C．－3 D．3
5．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
二、填空题
6．在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________．
8．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若，则的值是________．
三、解答题 2 9.如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O xyz.
(1)写出点E、F的坐标；
(2)求证：A1F⊥C1E；
(3)若A1、E、F、C1四点共面，求证：
10.如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.
2020年精品试题
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1．已知方程x22－k＋y22k－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
[解析] 因为方程x22－k＋y22k－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则由2－k>0，2k－1>0，2k－1>2－k得k<2，k>12，k>1，
故k的取值范围为(1，2)．
[答案] (1，2)
2．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为________．
[解析] 依题意，2c＝4，c＝2，又e＝ca＝22，则a＝22，b＝2，所以椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.
[答案] x28＋y24＝1
3．已知点M(3，0)，椭圆x24＋y2＝1与直线y＝k(x＋3)交于点A，B，则△ABM的周长为________．
[解析] M(3，0)与F(－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆左焦点F(－3，0)，且AB＝AF＋BF，△ABM的周长等于AB＋AM＋BM＝(AF＋AM)＋(BF＋BM)＝4a＝8.
[答案] 8
4．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．
[解析] 把椭圆方程化成x21m＋y21n＝1.若m＞n＞0，则1n＞1m＞0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则1n＞1m＞0即有m＞n＞0.故为充要条件．
[答案] 充要
5．如图，椭圆x2a2＋y22＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若 PF1＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为________．
[解析] b2＝2，c＝a2－2，故F1F2＝2a2－2，又PF1＝4，PF1＋PF2＝2a，PF2＝2a－4，由余弦定理得cos 120°＝42＋（2a－4）2－（2a2－2）22×4×（2a－4）＝－12，化简得8a＝24，即a＝3.
[答案] 3
6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率为________．
