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4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第一课时 等比数列的概念与通项公式
课标要求 素养要求
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.体会等比数列与指数函数的关系. 在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
新知探究
我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
问题1 你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
提示 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.
问题2 根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？
提示 上述数列中，从第2项起，每一项与前一项的比都是9，这种数列称为等比数列. 2 / 15
1.等比数列的定义及通项公式
等比数列定义中的关键词：从第2项起，同一个常数
(1)等比数列的定义和通项公式
(2)通项公式的拓展：an＝amqn－m(n，m∈N*，q≠0).
(3)等比数列的通项公式与指数型函数的关系
①当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝a1q·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n).
②任给指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，
则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.
2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝ab.
拓展深化
[微判断]
1.等比数列的公比可以为任意实数.(×)
提示 公比不可以为0.
2.若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.(×)
提示 应为同一个常数.
3.常数列既是等差数列又是等比数列.(×)
中职数学等比数列定义与其通项公式优秀教学课件 (一)
中职数学的学习对于学生的数学素养的培养至关重要。其中，等比数列的学习是数学教学中的重要内容之一。教师需要使用优秀的教学课件来深入浅出地讲解等比数列的定义和通项公式，提高学生的数学能力和应用能力。
一、等比数列的定义
等比数列是指一个数列中，任意两个相邻的项的比都相等的数列。具体而言，如果一个数列中，第一项为$a_{1}$，公比为$q$，那么这个数列可以写成$a_{1}$，$a_{1}q$，$a_{1}q^{2}$，$a_{1}q^{3}$…的形式（其中，q≠0）。
教学过程中，可以结合图片和简单的数列例子来演示等比数列的定义。引导学生逐个解读数列中的每个元素，了解数列中的规律，优化学生对于定义的理解。
二、等比数列的通项公式
等比数列的通项公式是数学教学中的重点内容。通项公式的式子为：$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$。其中，$a_{n}$表示一个等比数列中的第n项，$a_{1}$表示数列中的首项，$q$为公比。
教师可以先从通项公式的具体含义入手，即学生可以通过公比和首项来计算数列中任意一项的值。其次，通过具体例子和演算过程上课，以此来帮助学生掌握通项公式。
三、优秀教学课件
为了更好地教授等比数列的定义和通项公式，教师需要使用优秀的教学课件。一份好的教学课件应该拥有以下几个特点：
1.清晰明了：教学课件的内容通俗易懂，尽可能避免过于复杂的表示方法，保证学生能够轻松理解。
2.全面系统：教学课件应该将整个学习内容涵盖，从定义到通项公式的解释都要详细全面。
3.图文并茂：通过丰富的图文内容来描绘等比数列中的规律，协助学生更好地理解原理。
4.案例实践：在教学课件中增加丰富的练习题，使学生可以通过实例来理解等比数列的概念，掌握解题技巧。
总之，教师需要针对等比数列的定义和通项公式制作出清晰明了、全面系统、图文并茂、案例实践的优秀教学课件，以此来为学生提供较好的学习资源。通过优秀教学课件的辅助，学生可以快速掌握等比数列的概念和解题技巧，提高数学素养，为未来进行更深入的数学探索打下基础。
等比数列课件
一、等比数列定义
等比数列是一种特殊的数列，它的每一项（从第二项开始）都是前一项乘以一个常数。这个常数被称为公比。定义一个等比数列需要给出它的首项和公比，通常用符号表示为{an}，其中a1是首项，q是公比。
二、等比数列通项公式
等比数列的通项公式是：an = a1 * q^(n-1)，其中n是项数，a1是首项，q是公比。这个公式表明，等比数列的任意一项都是首项乘以公比的n-1次方。
三、等比数列的性质
1. 等比数列的任意两项之积等于这两项之和，即a(n+2)/a(n+1) = a(n+1)/a(n)。
2. 等比数列的各项之和等于首项乘以公比减去1，即Σan = a1 * q - 1。
3. 等比数列的各项之积等于首项乘以公比的n次方减去1，即Πan = a1 * q^n
- 1。
四、等比数列的图像表示
等比数列的图像是一条递减或递增的曲线，它的图像可以用来直观地了解等比数列的性质和特点。在图像中，公比q的大小决定了曲线的陡峭程度，而首项a1的大小决定了曲线在y轴上的位置。
五、等比数列的应用
等比数列在实际生活中有着广泛的应用，例如在金融、经济、工程等领域都可以找到它的踪迹。例如，在银行利率计算中，等比数列可以用来计算复利；在股票价格计算中，等比数列可以用来计算股息等等。
六、等比数列的例题讲解 例题1：一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前5项之和。
解：根据等比数列的性质，该数列的前5项之和为Σan = a1 * q - 1 = 2 * 3^5 -
1 = 242。
例题2：一个等比数列的各项之和为10，前三项之积为91，求该数列的公比。
解：根据等比数列的性质，该数列的公比q满足方程：Σan = a1 * q - 1 = 10 和
Πan = a1 * q^3 - 1 = 91。解得q = 3或-3/2。
七、课后练习与答案
1. 计算下列等比数列的前5项之和：
2．4 等比数列
第1课时 等比数列的概念及通项公式
1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用． 2.掌握等比中项的概念并会应用． 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
1．等比数列的定义
条 件 (1)从第2项起
(2)每一项与它的前一项的比等于同一个常数
结 论 这个数列就叫做等比数列
有关概念 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示
2.等比数列的通项公式
an＝a1qn－1．
3．等比中项
若a、G、b成等比数列，称G为a，b的等比中项且G＝±ab.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1，－1，1，－1，…是等比数列．( )
(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( )
(3)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( )
(4)常数列一定为等比数列．( )
(5)任何两个数都有等比中项．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
2．等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则an等于( )
A．6 B．3×2n－1
C．2×3n－1 D．6n
答案：C
3．4与9的等比中项为( ) A．6 B．－6
C．±6 D．36
答案：C
4．等比数列－110，－1100，－11 000，…的公比为________．
答案：110
5．在等比数列{an}中，已知an＝4n－3，则a1＝________，q＝________．
答案：116 4
探究点一 等比数列的通项公式
在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an.
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[解] (1)因为a4＝a1q3，a7＝a1q6，
所以a1q3＝2，①a1q6＝8，②
由②①，得q3＝4，从而q＝34，而a1q3＝2，
