【精品】2016学年江西省宜春市高安中学高二上学期期中数学试卷和解析(理科)(重点班)

2015-2016学年江西省宜春市高安中学创新班高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，2）B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的倾斜角的余弦值为（）A．B．C．D．3．（5分）定积分dx的值为（）A．B．C．πD．2π4．（5分）已知曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1＝0垂直，则a 的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣25．（5分）函数f（x）＝a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）上，则+的最小值是（）A．12B．13C．24D．256．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2016）＝（）A．2016B．C．2017D．7．（5分）若f（x）＝e x+ae﹣x为偶函数，则f（x﹣1）＜的解集为（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）8．（5分）已知函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝（30.3）•f（30.3），b＝（logπ3）•f（logπ3），c＝（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 9．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足：对任意x∈R都有f（2﹣x）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x﹣1，若函数y＝f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围为（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）10．（5分）设函数f（x）＝e x（sin x﹣cos x）（0≤x≤2016π），则函数f（x）的各极小值之和为（）A．B．C．D．11．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝，若x∈[﹣4，2）时，f（x）≥﹣恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]12．（5分）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x＝0时，h＝13．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完．则函数h＝f（x）的图象为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）13．（5分）log2.56.25+lg+ln+＝．14．（5分）函数y＝log（x2﹣2mx+3）在区间（﹣∞，1）上是增函数，则实数m的取值范围是．15．（5分）f（x）＝x（x﹣c）2在x＝1处有极小值，则实数c＝．16．（5分）设f（x）＝x2lnx，由函数乘积的求导法则，（x2lnx）′＝2xlnx+x，等式两边同时求区间[1，e]上的定积分，有：．移项得：．这种求定积分的方法叫做分部积分法，请你仿照上面的方法计算下面的定积分：＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）＝|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1．（1）求f（x）的单调增区间；（2）是否存在a，使f（x）在（﹣2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．19．（12分）在直角坐标xOy系中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1＝0．（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．20．（12分）设函数f（x）＝lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m＝e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数．21．（12分）设函数f（x）＝a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）．（1）若f（1）＜0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立时实数t的取值范围；（2）若f（1）＝，且g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．22．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+x2（x∈R），g（x）满足g′（x）＝（a∈R，x＞0），且g（e）＝a，其中e为自然对数的底数．（1）已知h（x）＝e1﹣x•f（x），求h（x）在（1，h（1））处的切线方程；（2）设函数F（x）＝，O为坐标原点，若对于y＝F（x）在x≤﹣1时的图象上的任一点P，在曲线y＝F（x）（x∈R）上总存在一点Q，使得•＜0，且的中点在y轴上，求实数a的取值范围．2015-2016学年江西省宜春市高安中学创新班高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，2）B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：由题意可得，，解得，即x＞2．∴所求定义域为（2，+∞）．故选：C．2．（5分）若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的倾斜角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线l的倾斜角为α，由题意，tanα＝﹣，∴cosα＝﹣．故选：B．3．（5分）定积分dx的值为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：∵y＝，∴（x﹣1）2+y2＝1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，∴定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，∴定积分dx＝，故选：A．4．（5分）已知曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1＝0垂直，则a 的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣2【解答】解：∵y＝，∴y′＝＝，∴曲线y＝在点（3，2）处的切线的斜率k＝﹣，∵曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1＝0垂直，∴直线ax+y+1＝0的斜率k′＝﹣a×＝﹣1，即a＝﹣2．故选：D．5．（5分）函数f（x）＝a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）上，则+的最小值是（）A．12B．13C．24D．25【解答】解：函数f（x）＝a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P（1，4），∵点P在直线mx+ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）上，∴m+4n＝1．则+＝（m+4n）＝17+≥17+4×2＝25，当且仅当m＝n＝时取等号．故选：D．6．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2016）＝（）A．2016B．C．2017D．【解答】解：函数f（x）＝，则f（2016）＝f（2015）+1＝f（2014）+2＝…＝f（0）+2016＝f（﹣1）+2017＝．故选：D．7．（5分）若f（x）＝e x+ae﹣x为偶函数，则f（x﹣1）＜的解集为（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解答】解：∵f（x）＝e x+ae﹣x为偶函数，∴f（﹣x）＝e﹣x+a•e x＝f（x）＝e x+ae ﹣x，∴a＝1，∴f（x）＝e x+e﹣x，在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，则由f（x﹣1）＜＝e+，∴﹣1＜x﹣1＜1，求得0＜x＜2，故选：B．8．（5分）已知函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a ＝（30.3）•f（30.3），b＝（logπ3）•f（logπ3），c＝（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，即：（xf （x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y＝f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵30.3＞1＞log23＞0＞＝﹣2，2＝﹣，∴（﹣）f（﹣）＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3），即（）f（）＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3）即：c＞a＞b故选：B．9．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足：对任意x∈R都有f（2﹣x）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x﹣1，若函数y＝f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围为（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【解答】解：对任意x∈R都有f（2﹣x）＝f（x）∴f（x）的周期是2，且当x∈[0，1]时，f（x）＝x﹣1，∴x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x﹣1，若函数y＝f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，即f（x）和y＝log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，画出函数图象，如图示：由图象得：＞﹣1，解得；0＜a＜，故选：C．10．（5分）设函数f（x）＝e x（sin x﹣cos x）（0≤x≤2016π），则函数f（x）的各极小值之和为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）＝e x（sin x﹣cos x），∴f′（x）＝（e x）′（sin x﹣cos x）+e x（sin x﹣cos x）′＝2e x sin x，∵x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）时，f′（x）＞0，∴x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时原函数递减，x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）时，函数f（x）递增，故当x＝2kπ+2π时，f（x）取极小值，其极小值为f（2kπ+2π）＝e2kπ+2π[sin（2kπ+2π）﹣cos（2kπ+2π）]＝e2kπ+2π×（0﹣1）＝﹣e2kπ+2π，又0≤x≤2016π，∴函数f（x）的各极小值之和S＝﹣e2π﹣e4π﹣e6π﹣…﹣e2012π﹣e2014π＝＝﹣．故选：D．11．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝，若x∈[﹣4，2）时，f（x）≥﹣恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]【解答】解：令﹣4≤x＜﹣2，则0≤x+4＜2，∵f（x+2）＝2f（x），∴f（x+4）＝2f（x+2）＝4f（x），即f（x）＝f（x+4），画出y＝f（x）和y＝f（x+4）的图象，当x＝1.5时，f（x+4）取最小值﹣1，由x∈[﹣4，2），f（x）≥﹣恒成立，则﹣≥﹣，解得t≤﹣2或0＜t≤1．故选：D．12．（5分）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x＝0时，h＝13．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完．则函数h＝f（x）的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，每分钟滴下πcm3药液，当4≤h≤13时，xπ＝π•42•（13﹣h），即h＝13﹣，此时0≤x≤144；当1≤h＜4时，xπ＝π•42•9+π•22•（4﹣h），即，此时144＜x≤156．∴函数单调递减，且144＜x≤156时，递减速度变快．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）13．（5分）log2.56.25+lg+ln+＝．【解答】解：原式＝＝＝故答案为14．（5分）函数y＝log（x2﹣2mx+3）在区间（﹣∞，1）上是增函数，则实数m的取值范围是[1，2]．【解答】解：令f（x）＝x2﹣2mx+3，∵函数在区间（﹣∞，1）上是增函数，∴f（x）＝x2﹣2mx+3在（﹣∞，1）上是减函数，且f（x）＞0在（﹣∞，1）上恒成立．∴﹣≥1，且f（1）≥0，即4﹣2m≥0，解得1≤m≤2．故答案为[1，2]．15．（5分）f（x）＝x（x﹣c）2在x＝1处有极小值，则实数c＝1．【解答】解：展开可得f（x）＝x（x﹣c）2＝x3﹣2cx2+c2x，求导数可得f′（x）＝3x2﹣4cx+c2＝（x﹣c）（3x﹣c）令f′（x）＝（x﹣c）（3x﹣c）＝0可得x＝c，或x＝当c＝0时，函数无极值，不合题意，当c＞0时，可得函数在（﹣∞，）单调递增，在（，c）单调递减，在（c，+∞）单调递增，故函数在x＝c处取到极小值，故c＝1，符合题意当c＜0时，可得函数在（﹣∞，c）单调递增，在（c，）单调递减，在（，+∞）单调递增，故函数在x＝处取到极小值，故c＝3，矛盾故答案为：116．（5分）设f（x）＝x2lnx，由函数乘积的求导法则，（x2lnx）′＝2xlnx+x，等式两边同时求区间[1，e]上的定积分，有：．移项得：．这种求定积分的方法叫做分部积分法，请你仿照上面的方法计算下面的定积分：＝1．【解答】解：＝xlnx|﹣xd（lnx）＝xlnx|﹣dx＝e﹣x|＝e ﹣（e﹣1）＝1，故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）＝|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（5分）（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，所以{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，又f（x）＝|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|＝|a+3|，g（x）＝|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…（10分）18．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1．（1）求f（x）的单调增区间；（2）是否存在a，使f（x）在（﹣2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．【解答】解f′（x）＝e x﹣a，（1）若a≤0，则f′（x）＝e x﹣a≥0，即f（x）在R上递增，若a＞0，e x﹣a≥0，∴e x≥a，x≥ln a．因此f（x）的递增区间是[lna，+∞）．（2）由f′（x）＝e x﹣a≤0在（﹣2，3）上恒成立．∴a≥e x在x∈（﹣2，3）上恒成立．又∵﹣2＜x＜3，∴e﹣2＜e x＜e3，只需a≥e3．当a＝e3时f′（x）＝e x﹣e3在x∈（﹣2，3）上，f′（x）＜0，即f（x）在（﹣2，3）上为减函数，∴a≥e3．故存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．19．（12分）在直角坐标xOy系中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1＝0．（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1＝0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+1＝0，∵直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，∴直线l的参数方程为，（t为参数），将，代入x2﹣y2﹣6x﹣1＝0，整理，得t2﹣8t cosα+8＝0，∵直线l与曲线C有公共点，∴△＝64cos2α﹣32≥0，即cosα≥，或cosα≤﹣，∵α∈[0，π），∴α的取值范围是[0，]∪[，π）．（2）曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣6x+1＝0可化为（x﹣3）2+y2＝8，其参数方程为，（θ为参数），∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y＝3+2cosθ+2＝3+4sin（），∴x+y的取值范围是[﹣1，7]．20．（12分）设函数f（x）＝lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m＝e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数．【解答】解：（Ⅰ）当m＝e时，f（x）＝lnx+，其定义域为（0，+∞）．f′（x）＝﹣＝令f′（x）＝0，x＝e．f′（x）＞0，则0＜x＜e；f′（x）＜0，则x＞e．故当x＝e时，f（x）取得极小值f（e）＝lne+＝2．（Ⅱ）g（x）＝f′（x）﹣＝﹣﹣＝，其定义域为（0，+∞）．令g（x）＝0，得m＝﹣x3+x．设h（x）＝﹣x3+x，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点个数为h（x）与y＝m的交点个数．h′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x+1）（x﹣1）故当x＝1时，h（x）取得最大值h（1）＝．作出h（x）的图象，由图象可得，①当m＞时，g（x）无零点；②当m＝或m≤0时，g（x）有且仅有1个零点；③当0＜m＜时，g（x）有两个零点．21．（12分）设函数f（x）＝a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）．（1）若f（1）＜0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立时实数t的取值范围；（2）若f（1）＝，且g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．【解答】解：（1）∵f（﹣x）＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），∴f（x）是定义域为R的奇函数，∵f（x）＝a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），且f（1）＜0，∴，又∵a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1．∵a x单调递减，a﹣x单调递增，∴f（x）在R上单调递减．不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0化为：f（x2+tx）＜f（x﹣4），∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，∴△＝（t﹣1）2﹣16＜0，解得：﹣3＜t＜5．（2）∵f（1）＝，∴，即2a2﹣3a﹣2＝0．∴a＝﹣（舍去）或a＝2，∴a＝2，∴g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，由（1）可知t＝f（x）＝2x﹣2﹣x为增函数，∵x≥1，∴t≥f（1）＝，令h（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2（t≥），若m≥，当t＝m时，h（t）min＝2﹣m2＝﹣2，∴m＝2若m＜，当t＝时，h（t）min＝﹣3m＝﹣2，解得m＝＞，舍去综上可知m＝2．22．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+x2（x∈R），g（x）满足g′（x）＝（a∈R，x＞0），且g（e）＝a，其中e为自然对数的底数．（1）已知h（x）＝e1﹣x•f（x），求h（x）在（1，h（1））处的切线方程；（2）设函数F（x）＝，O为坐标原点，若对于y＝F（x）在x≤﹣1时的图象上的任一点P，在曲线y＝F（x）（x∈R）上总存在一点Q，使得•＜0，且的中点在y轴上，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵h（x）＝（﹣x3+x2）e1﹣x，h′（x）＝（x3﹣4x2+2x）e1﹣x，∴h（1）＝0，h′（1）＝﹣1，∴h（x）在（1，h（1））处的切线方程为：y＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x+1；（2）∵g′（x）＝（x＞0），∴g（x）＝alnx+c，∴g（e）＝alne+c＝a+c＝a，得：c＝0，从而g（x）＝alnx，设P（t，F（t））为y＝F（x）在x≤﹣1时的图象上的任意一点，则t≤﹣1，∵PQ的中点在y轴上，∴Q的坐标为（﹣t，F（﹣t）），∵t≤﹣1，∴﹣t≥1，所以P（t，﹣t3+t2），O（﹣t，aln（﹣t）），∴•＝﹣t2﹣at2（t﹣1）ln（﹣t），由于•＜0，所以a（1﹣t）ln（﹣t）＜1，当t＝﹣1时，a（1﹣t）ln（﹣t）＜1恒成立，∴a∈R；当t＜﹣1时，a＜，令ω（t）＝，（t＜﹣1），则ω′（t）＝，∵t＜﹣1，∴t﹣1＜0，tln（﹣t）＜0，∴ω′（t）＞0，从而ω（t）在（﹣∞，﹣1）上为增函数，由于t→﹣∞时，ω（t）→0，ω（t）＞0，∴a≤0．。

2015-2016学年江西省宜春市上高二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是（）A．B．C．D．2．“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a的值为（）A．﹣1，1 B．﹣2，2 C．1 D．﹣14．从1，2，3，5这四个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为奇数的概率是（）A．B．C．D．5．以下四个命题中，其中真命题的个数为（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0；③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充分不必要条件；④命题p：“x＞3”是“x＞5”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．46．根据如下样本数据得到的回归方程为=bx+a．若a=7.9，则x每增加1个单位，y就（）C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位．7．已知m，n为直线，α为平面，下列结论正确的是（）A．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αB．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n8．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．69．阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8？B．S＜12？C．S＜14？D．S＜16？10．已知双曲线﹣=1 （a＞0， b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=111．已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣12．已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3 B．C．2 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为．14．已知样本7，5，x，3，4的平均数是5，则此样本的方差为．15．球O内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球O的体积是．16．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1、A2、…、A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且MN=，求m的值．18．已知p：函数f（x）=x2﹣2mx+1在（﹣∞，2）上为减函数；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求m的取值范围．19．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．20．已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点．（1）求点Q的轨迹方程；（2）若倾斜角为60°且过点F的直线交Q的轨迹于A，B两点，求弦长|AB|．21．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，E为BD的中点．（1）求证：BM⊥平面ADM；（2）求直线AE与平面ADM所成角的正弦值．22．已知椭圆的离心率与双曲线3x2﹣y2=3的离心率互为倒数，且过点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．2015-2016学年江西省宜春市上高二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是（）A．B．C．D．【考点】简单随机抽样；等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】根据在简单随机抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，被抽到的概率都等于要抽取的样本容量除以总体的个数．【解答】解：用简单随机抽样法从中抽取，∴每个个体被抽到的概率都相同，为，故选C．【点评】简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，．随机数表法的优点与抽签法相同，缺点是当总体容量较大时，仍然不是很方便．2．“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据椭圆的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得1＜m＜2，即“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆方程的性质是解决本题的关键．3．若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a的值为（）A．﹣1，1 B．﹣2，2 C．1 D．﹣1【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线（1+a）x+y+1=0的距离等于半径，求得a的值．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0 即（x﹣1）2+y2 =1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆，再根据圆心到直线（1+a）x+y+1=0的距离d==1，求得a=﹣1，故选：D．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．4．从1，2，3，5这四个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为奇数的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，再求出这3个数的和为奇数包含的基本事件个数，由此能求出这3个数的和为奇数的概率．【解答】解：从1，2，3，5这四个数中，随机抽取3个不同的数，基本事件总数n==4，这3个数的和为奇数包含的基本事件个数m==1，∴这3个数的和为奇数的概率p==．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5．以下四个命题中，其中真命题的个数为（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0；③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充分不必要条件；④命题p：“x＞3”是“x＞5”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；探究型；数学模型法；简易逻辑．【分析】直接由抽样方法判断①；写出特称命题否定判断②；求解对数不等式，然后利用充分必要条件的判定方法判断③；直接利用充分必要条件的判定方法判断④．【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误；②对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故②正确；③由ln（x+1）＜0，得0＜x+1＜1，即﹣1＜x＜0，∴“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件，故③错误；④命题p：“x＞3”是“x＞5”的必要不充分条件，故④错误．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了特称命题的否定，是基础题．6．根据如下样本数据得到的回归方程为=bx+a．若a=7.9，则x每增加1个单位，y就（）C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位．【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】由题意可得和，由回归直线过点（，）可得b值，可得答案．【解答】解：由题意可得=（3+4+5+6+7）=5，=（4+2.5﹣0.5+0.5﹣2）=0.9，∵回归方程为=bx+a．若a=7.9，且回归直线过点（5，0.9），∴0.9=5b+7.9，解得b=﹣1.4，∴x每增加1个单位，y就减少1.4个单位，故选：B．【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题．7．已知m，n为直线，α为平面，下列结论正确的是（）A．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αB．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】在A中：m与α相交、平行或m⊂α；在B中：n与α相交、平行或n⊂α；在C 中：m与n相交、平行或异面；由直线与平面垂直的性质得D正确．【解答】解：由m， n为直线，α为平面，知：若m⊥n，n⊂α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故B错误；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间位置关系的合理运用．8．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．6【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面正三角形的高为，故先解三角形求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．【解答】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，设底面边长为a，则，∴a=6，故三棱柱体积．故选B【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．9．阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8？B．S＜12？C．S＜14？D．S＜16？【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=S+2*i，是偶数执行S=S+i，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=i+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=8+4=12；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是12，故判断框中的条件应S＜12．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．【点评】本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．10．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意， =，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】分别求出该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的对应事件的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵三角形的三边长分别是5，5，6，∴三角形的高AD=4，则三角形ABC的面积S=×6×4=12，则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为2，则阴影部分的面积为S1=12﹣×π×22=12﹣2π，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为=1﹣，故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键，考查转化思想以及计算能力．12．已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3 B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为 2 ．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】根据抛物线的标准方程可知准线方程为x=﹣，根据抛物线的准线与圆相切可知3+=4求得p．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，所以3+=4，p=2；故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．属于基础题．14．已知样本7，5，x，3，4的平均数是5，则此样本的方差为 2 ．【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】运用平均数的公式：解出x的值，再代入方差的公式中计算得出方差．【解答】解：∵样本7，5，x，3，4的平均数是5，∴7+5+x+3+4=5×5=25；解得x=6，方差s2= [（7﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2]=（4+1+4+1）=．故答案为：2．【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．要求熟练掌握平均数和方差的计算公式，比较基础．15．球O内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球O的体积是．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由球的正方体的表面积求出球的半径，然后求体积．【解答】解：因为球O内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则正方体的棱长为4，正方体的体对角线为4，所以球O的半径是2，体积是=32．故答案为：32π；【点评】本题考查了球的内接正方体的与球的几何关系；关键是求出球的半径，利用公式求体积．16．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1、A2、…、A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是10 ．【考点】程序框图．【专题】对应思想；综合法；算法和程序框图．【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是数学成绩大于等于90的人数，由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，从而得解．【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10．故选：B．【点评】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且MN=，求m的值．【考点】直线与圆相交的性质；二元二次方程表示圆的条件．【专题】计算题．【分析】（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，应有5﹣m＞0．（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m的值．【解答】解：（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，显然，当5﹣m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．（2）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心C（1，2），半径，则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0 的距离为，∵，有，∴，解得 m=4．【点评】本题考查圆的标准方程的特征，点到直线的距离公式、弦长公式的应用．18．已知p：函数f（x）=x2﹣2mx+1在（﹣∞，2）上为减函数；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，根据“p∨q”为真，“p∧q”为假，得到p，q 一真一假，解关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：若p真，则：m≥2，若q真，则△=16（m2﹣4m+4）﹣16＜0，解得：1＜m＜3，∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假，若p真，q假，则，故m≥3，若p假，q真，则，故1＜m＜2，所以m的取值范围是{m|1＜m＜2或m≥3}．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题．19．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有3人，分数在[90，100]内的学生有2人，抽取的2名学生的所有情况有10种，其中2名同学的分数至少有一名得分在[90，100]内的情况有7种，即可求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==25，y==0.008，x=0.100﹣0.008﹣0.012﹣0.016﹣0.040=0.024．…（4分）（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有3人，分数在[90，100]内的学生有2人，抽取的2名学生的所有情况有10种，其中2名同学的分数至少有一名得分在[90，100]内的情况有7种，∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率为．…（12分）【点评】本题考查求古典概型的概率，涉及频率分布直方图，属基础题．20．已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点．（1）求点Q的轨迹方程；（2）若倾斜角为60°且过点F的直线交Q的轨迹于A，B两点，求弦长|AB|．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．【专题】综合题．【分析】（1）设Q（x，y），根据Q是OP中点，可得P（2x，2y），利用点P在抛物线y2=4x 上，即可得到点Q的轨迹方程；（2）设出直线AB的方程代入y2=2x，消去y得：3x2﹣8x+3=0，利用韦达定理，可计算弦长|AB|．【解答】解：（1）设Q（x，y），∵Q是OP中点，∴P（2x，2y）又∵点P在抛物线y2=4x上∴（2y）2=4×2x，即y2=2x为点Q的轨迹方程（2）∵F（1，0），，∴直线AB的方程为：设点A（x1，y1），B（x2，y2）直线AB的方程代入y2=2x，消去y得：3x2﹣8x+3=0∴∴【点评】本题考查求轨迹方程，考查弦长的计算，解题的关键是掌握代入法求轨迹方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解．21．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，E为BD的中点．（1）求证：BM⊥平面ADM；（2）求直线AE与平面ADM所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】数形结合；综合法；空间角．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）求出平面ADM的一个法向量，求出，的余弦值，从而求出直线AE与平面ADM所成角的正弦值．【解答】解：（1）△ABM中，AB=2，，∴AM⊥BM，又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，且BM⊆平面ABCM，∴BM⊥平面ADM…（6分）（2）如图，以M点为坐标原点，MA所在直线为x轴，MB所在直线为y轴建立空间直角坐标系，则M（0，0，0），，，，∵E为BD中点，∴，，由（1）知，为平面ADM的一个法向量，，，∴直线AE与平面ADM所成角的正弦值为…（12分）【点评】本题考查了线面垂直的判定，考查平面的法向量问题，考查线面角问题，是一道中档题．22．已知椭圆的离心率与双曲线3x2﹣y2=3的离心率互为倒数，且过点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）双曲线3x2﹣y2=3即=1的离心率e=2．由题意可得：椭圆的离心率=，b2=a2﹣c2，把点代入椭圆方程解出即可得出．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，可得△＞0，利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得：MN中点P的坐标为，设MN的垂直平分线l′方程：，由于P在l′上可得：4k2+5km+3=0，与△＞0联立解出即可得出．【解答】解：（1）双曲线3x2﹣y2=3即=1的离心率e==2．由题意可得：椭圆的离心率．∴，∴a=2c，∴b2=a2﹣c2=3c2，∴椭圆方程为…（2分）又点在椭圆上，∴，∴c2=1，∴椭圆的方程为…（4分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点，△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即m2＜4k2+3，…（6分）又，∴MN中点P的坐标为，设MN的垂直平分线l′方程：，∴P在l′上，即4k2+5km+3=0，，…（10分）将上式代入得，，或，∴k的取值范围为…（12分）【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、线段的垂直平分线的性质、一元二次方程的根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

8． （5 分）曲线 y=x2﹣1 在点（1，0）处的切线方程为（ A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 ） C．x=﹣1 =1 表示椭圆，则 t 的取值范围是（ B．t＜1 或 t＞4
9． （5 分）抛物线 y=4x2 的准线方程为（ A．y=﹣1 10． （5 分）方程 A．1＜t＜4 C．t＞4 11． （5 分）已知双曲线 双曲线的离心率为（ A． B． ） + B．
【解答】解：∵复数 z= 故该复数的虚部为﹣1， 故选：C．
2． （5 分）当 m∈N*，命题“若 m＞0，则方程 x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是 （ ）
A．若方程 x2+x﹣m=0 有实根，则 m＞0 B．若方程 x2+x﹣m=0 有实根，则 m≤0 C．若方程 x2+x﹣m=0 没有实根，则 m＞0 D．若方程 x2+x﹣m=0 没有实根，则 m≤0 【解答】解：由逆否命题的定义可知：当 m∈N*，命题“若 m＞0，则方程 x2+x ﹣m=0 有实根”的逆否命题是：若方程 x2+x﹣m=0 没有实根，则 m≤0． 故选：D． 3． （5 分）“a=2”是“a≥1”的（ A．充分而不必要条件 C．充分不要条件 ） B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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6． （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 k 的值是（
）
A．120
B．105
C．15
D．5
7． （5 分）已知回归直线方程 =bx+a，其中 a=3 且样本点中心为（1，2） ，则回 归直线方程为（ A． =x+3 ） B． =﹣2x+3 C． =﹣x+3 D． =x﹣3 ） D．y=﹣2x+2

江西省宜春市高安市高安中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题1.若复数z 满足()12z i i +=，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A. 1i - B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法，求出复数z 即可. 【详解】复数z 满足()12z i i +=，211iz i i∴==++， 故本题选B.【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础.2.用反证法证明命题“已知,*∈a b N ，如果ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ） A. ,a b 都能被5整除 B. ,a b 都不能被5整除 C. ,a b 不都能被5整除 D. a 不能被5整除【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的概念，利用命题的否定，即可求解，得到答案．【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证，“,a b 中至少有一个能被5整除”的否定是“,a b 都不能被5整除”．故选B. 【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，合理利用命题的否定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 3.若函数()2123ln 2f x x x x =--，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A. (,1)(3,)-∞-+∞B. ()1,3-C. (0，3)D. ()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先求函数()f x 的定义域，再求导数()f x '，最后令()0f x '<，解之即可得到结果. 【详解】函数()2123ln 2f x x x x =--的定义域为：{|0}x x >， 因为2323(3)(1)()2x x x x f x x x x x '---+=--==， 令(3)(1)0x x x-+<并且0x >，得：03x <<，所以函数()2123ln 2f x x x x =--的单调递减区间为(0，3).故本题正确答案为C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属基础题.4.函数2()ln 8x f x x =- 图象大致为( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域，极限，单调性判断． 【详解】f （x ）的定义域为{x |x ＞0}，排除A ． 当x →0+时，f （x ）→+∞，排除D ．当x ＞1时，f （x ）＝lnx 28x -，f ′（x ）14x x =-，令f ′（x ）＝0解得x ＝2， 当x ＞2时，f ′（x ）＜0，∴f （x ）在（2，+∞）上是减函数，排除B ． 故选：C ．【点睛】本题考查了函数图象的判断，通常从函数的单调性，特殊点等方面采用排除法判断． 5.下列命题中，真命题是（ ） A. 0x R ∃∈使得020x ≤ B. 22sin 3(,)sin x x k k z xπ+≥≠∈ C. 3,2xx R x ∀∈> D. 2,2a b >>是4ab >的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的值域为（0，+∞），可判断A ；举出反例，sin x ＝﹣1可判断B ；举出反例x ＝3，可判断C ；根据充要条件的定义，可判断D ．【详解】∵2x ＞0恒成立，故A ∃x 0∈R ，使得2x 0≤0错误； 当sin x ＝﹣1时，sin 2x 2sinx+=-1，故B 错误； 当x ＝3时，23＜33，故C 错误； 当a ＞2，b ＞2时，ab ＞4成立，反之，当ab ＞4时，a ＞2，b ＞2不一定成立，如a =1，b =100，此时ab =100>4，但不满足a ＞2，b ＞2；故a ＞2，b ＞2是ab ＞4的充分不必要条件，故D 正确； 故选：D ．【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了全称命题，特称命题，充要条件等知识点，难度不大，属于基础题．6.用S 表示图中阴影部分的面积，若有6个对面积S 的表示，如图所示，()caS f x dx =⎰①；()c aS f x dx =⎰②；()c a S f x dx =⎰③；()()b ca bS f x dx f x dx =-⎰⎰④；()()c b baS f x dx f x dx =-⎰⎰⑤；()()b cabS f x dx f x dx =-⎰⎰⑥.则其中对面积S 的表示正确序号的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】先将阴影部分的面积用定积分()+()cbbaf x dx f x dx ⎰⎰表示，然后根据定积分的意义和函数的符号进行选择化简即可.【详解】由定积分的几何意义知，区域内的面积为：()+()cbbaf x dx f x dx ⎰⎰，又当[],x a b ∈时，()0f x ≤，当[],x b c ∈时，()0f x ≥， 所以()+()=()()()()cb c bbbabaacbf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，或者()()()()|()||()|=|()|cb c b c b cbababaaf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以③，⑤，⑥是正确的. 所以本题答案为B.【点睛】本题考查定积分在求面积中的应用，解题时要注意分割，关键是要注意在x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题. 7.设ABC∆三边长分别为,,,a b c ABC ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，则2=++Sr a b c，类比这个结论可知：四面体A BCD -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球半径为R ，四面体A BCD -的体积为V ，则R =（ ）A. 1234+++VS S S SB. 12342+++VS S S SC.12343+++VS S S SD.12344+++VS S S S【答案】C 【解析】 【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【详解】设四面体的内切球的球心为O ， 则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点， 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， 则四面体的体积为 ()123413A BCD V S S S S R -=+++， ∴12343VR S S S S =+++故本题正确答案为C ．【点睛】本题主要考查类比推理，将三棱锥分成四个以内切球球心为顶点的小三棱锥是关键，属基础题.8.在三棱锥P ABC -中，1,,2AB BC AB BC PA ⊥==点,O D 分别是,AC PC 中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）A.6【答案】D 【解析】 【分析】首先利用三垂线定理作出直线OD 与平面PBC 所成角，就是取BC 中点E ，连接PE ，则BC ⊥平面POE 作OF ⊥PE 于F ，连接DF ，得到OF ⊥平面PBC ，然后解三角形求出角即可．【详解】∵AB ⊥BC ，OA ＝OC ，∴OA ＝OB ＝OC ， 又∵OP ⊥平面ABC∴PA ＝PB ＝PC ．取BC 中点E ，连接PE ，则BC ⊥平面POE ，BC ⊂面PBC ，∴面PBC ⊥平面POE ，又面PBC 平面POE=PE ，∴在面POE 中作OF ⊥PE 于F ，连接DF ，则OF ⊥平面PBC ∴∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角． 设AB ＝BC ＝1，PA ＝2， 在Rt △POC 中，PO 142=，在Rt △POC 中，D 是PC 的中点，PC ＝2， ∴OD ＝1，在Rt △POE 中，OE 12=，PE 15=，OF 210PO OE PE ⋅==， 在Rt △ODF 中，sin∠ODF 210OF OD ==故选：D ．【点睛】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题． 9.己知函数()()2f x x x c =-，在2x =处取得极大值，则实数c 的值是（ ） A.23B. 2C. 2或6D. 6【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得(2)0f '=，解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件.【详解】函数2()()f x x x c =-的导数为2()()2()f x x c x x c '=-+-()(3)x c x c =--，由()f x 在2x =处有极大值，即有(2)0f '=，即(2)(6)0c c --=，解得2c =或6，若2c =时，()0f x '=，可得2x =或23， 由()f x 在2x =处导数左负右正，取得极小值， 若6c =，()0f x '=，可得6x =或2 ， 由()f x 在2x =处导数左正右负，取得极大值. 综上可得6c =. 所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，根据函数的极值求参数需注意验证函数的单调性，属基础题.10.圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( )A.6B.5C.2D.4【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程，得到P 的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【详解】建立空间直角坐标系．设A （0，﹣1，0），B （0，1，0），S （0，0，M （0，0，，P （x ，y ，0）．于是有AM =（0，1，MP =（x ，y ，-．由于AM ⊥MP ，所以（0，1，2）•（x ，y ，2-）＝0，即y 34=，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为=．故选：C ．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题11.函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是（ ） A. y x =B. 32y x =-C. 23y x =-+D.21y x =-【答案】D 【解析】 【分析】先根据2()2(2)88f x f x x x =--+-求出函数()f x 的解析式，然后对函数()f x 进行求导，进而可得到()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程. 【详解】2()2(2)88f x f x x x =--+-，2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x ∴-=--+--. 2(2)2()441688f x f x x x x ∴-=-+-+--.将(2)f x -代入2()2(2)88f x f x x x =--+-，得22()4()28888f x f x x x x x =--+-+-，2()f x x ∴=，()2f x x '=，()y f x ∴=在(1,(1))f 处的切线斜率为2y '=，∴函数()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-. 所以本题答案为D.【点睛】本题主要考查求函数解析式的方法，函数的求导法则以及导数的几何意义，函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率.12.（10）设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F,则该双曲线的渐近线方程为 A.x±y=0 C.="0"±y=0【答案】D 【解析】不妨设12(,0),(,0)F c F c -，则11221222OF F P OF F P F P F POP ++++==因为1260F PF ∠=，所以121212cos602F P F PF P F P F P F P ⋅⋅=⋅=，22212121212||||1cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅ 所以2221212||4PF PF PF PF c +=⋅+ 因为P 在双曲线上，所以122PF PF a -=则2222212121212()||244PF PF PF PF PF PF c PF PF a -=+-⋅=-⋅= 所以221244PF PF c a ⋅=-，故122212222F P F PF P F P c a ⋅⋅==-222221212||484PF PF PF PF c c a +=⋅+=-因为OP =，所以1272F P F POP +==故22121212||274F P F P F P F Pa ++⋅=，即222327c a a -=故22237b a a +=，解得b =所以双曲线的渐近线方程为0xa ±=0y ±=，故选D二、填空题13.设1()cos 0x f x x x ≤≤=<⎪⎩，，则12()f x dxπ-=⎰________.【答案】14π+ 【解析】 【分析】由题意得，122()cos f x dx xdx ππ--=+⎰⎰，根据定积分的几何意义可知，可得1表示的是四分之一的圆的面积，再根据微积分基本定理，可求2cos xdx π-⎰，最后相加即可得到结果.【详解】由题意得，122()cos f x dx xdx ππ--=+⎰⎰，根据定积分的几何意义可知，1表示的是在x 轴上方的半径为1的四分之一圆的面积，如图（阴影部分）：故1214x dx π-=，又022cos sin |sin 0sin()12xdx x πππ--==--=⎰， 所以102022()cos 114f x dx xdx x dx πππ--=+-=+⎰⎰.所以本题答案为14π+. 【点睛】本题考查微积分基本定理和定积分的几何意义，利用定积分准确表示封闭图形的面积并正确计算是解答的关键，属基础题.14.从2位医生，4位护士中选3人为参加救护工作，且至少有1位医生入选，则不同的选法共有________种.（用数字填写答案） 【答案】16 【解析】 【分析】分析题意可知，需要分两种情况讨论求解：①当有一位医生时，有1224C C ⋅种；②当有两位医生时，有2124C C ⋅种，最后相加即可得到答案.【详解】因为选择3人，且至少有1位医生，所以当有一位医生时，有122412C C ⋅=种， 当有两位医生时，有21244C C ⋅=种，故共有12416+=种. 故本题正确答案为16.【点睛】本题考查排列组合，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题.15.已知椭圆22124x y m +=+ 的离心率13e = ，则m 的值等于__________．【答案】52或149 【解析】当焦点在x轴上时，2,a b c ===13c e a ===，52m =，当焦点在y 轴上，2,a b c ===1,3ce a===解得145,92m m =∴=或149m =,故答案为52或149. 16.若函数()ln f x x =与函数()()2g 2ln 0x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是________.【答案】1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，再设出两条切线方程，变形为斜截式，从而根据切线相同则系数相等，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的范围． 【详解】1(),()22f x g x x x''==+，设切点分别是()()211222,ln ,,2ln x x x x x a ++， 所以切线方程分别为：()()()()211222211ln ,2ln 22y x x x y x x a x x x x -=--++=+-， 化简为()()212211ln 1,22ln y x x y x x x a x =+-=+-+， 所以21212122ln 1ln x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩消1x ，得()222ln ln 221a x x =-+-， 令2()ln(22)1,(10)f x x x x =-+--<<，1()201f x x x '=-<+，所以f (x )在(1,0)-单调递减，(0)ln 21,(1)f f =---→+∞，ln 21y >--， 故ln ln 21a >--，解得12a e>. 所以本题答案为1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】可导函数y =f (x )在0x x =处的导数就是曲线y =f (x )在0x x =处的切线斜率，这就是导数的几何意义，在利用导数的几何意义求曲线切线方程时，要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，已知y =f (x )在0x x =处的切线是()()()000y f x f x x x '-=-，若求曲线y =f (x )过点(m ，n )的切线，应先设出切点()()00,x f x ，把(m ，n )代入()()()000y f x f x x x '-=-，求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可. 三、解答题17.如图，一个正方形花圃被分成5份.（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，己知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法?（2）若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法? 【答案】（1）96；（2） 16800 【解析】 【分析】（1）根据题意，依次分析5个部分的种植方法数目， 对C 部分种植进行分类，再由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：①将7个盆栽分成5组，有2种分法：即分成22111----的5组或分成31111----的5组；②将分好的5组全排列，对应5个部分，由分步计数原理计算可得答案.【详解】（1）先对A 部分种植，有4种不同的种植方法；再对B 部分种植，有3种不同的种植方法；对C 部分种植进行分类：①C 若与B 相同，D 有2种不同的种植方法，E 有2种不同的种植方法，共有4312248⨯⨯⨯⨯=种；②C 若与B 不同，C 有2种不同的种植方法，D 有1种不同的种植方法，E 有2种不同的种植方法，共有4321248⨯⨯⨯⨯=种. 综上，共有96种种植方法.（2）将7个盆栽分成5组，有2种分法：①若分成2-2-1-1-1的5组，有221522C C A 种分法； ②若分成3-1-1-1-1的5组，有37c 种分法； 将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有223513752216800C C C A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭种放法. 【点睛】该题考查的是有关排列与组合的综合题，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题.18.命题p: 函数y=21x mx ++在(-1, +∞)上单调递增, 命题:q 函数y=lg[244(2)1x m x +-+]的定义域为R.(1)若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围;(2)若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围. 【答案】(1) m>1; (2) 1<m<2或m 3. 【解析】试题分析：命题P 真则根据对称轴和定义域的关系得到a 的范围。