2010-2012学年北京四中九年级(上)期末数学试卷
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徐杰老师名言：相信自己！创造奇迹！
徐大帅哥名言：脸大走遍天下！ 2010-2012学年北京四中九年级(上)期末数学试卷
一、选择题(本题共32分，每小题4分)
1．(4分)(2008•兰州)正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为(
)
A． B． C． D． 2
2．(4分)如图，在平面直角坐标系中，以P(4，6)为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为( )
A． (4，2) B． (4，4) C． (4，5) D． (5，4)
3．(4分)抛物线y=(x+1)(x﹣3)的顶点坐标是( )
A． (﹣1，0) B． (1，﹣4) C． (﹣1，2) D． (1，2)
4．(4分)(2009•衡阳)两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两个根，则两圆的位置关系是( )
A． 相交 B． 外离 C． 内含 D． 外切
5．(4分)在半径为3cm的圆中，长为2πcm的弧所对的圆心角的度数为( )
A． 30°
B． 60° C． 90° D． 120°
6．(4分)如图，AB是圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB=60°，D是的中点，则的值是( )
A． B． 2 C． D．
7．(4分)(2008•大兴区二模)如图，在正方形网格上有6个三角形①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是( ) 徐杰老师名言：相信自己！创造奇迹！
徐大帅哥名言：脸大走遍天下！
A． ②③④ B． ③④⑤ C． ④⑤⑥ D． ②③⑥
8．(4分)(2013•菏泽)已知b＜0时，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于( )
A． ﹣2 B． ﹣1 C． 1 D． 2
二、填空题(本题共24分，每题4分)
9．(4分)(2010•西城区二模)在▱ABCD中，E为BC延长线上一点，AE交CD于点F，若AB=7，CF=3，则=
_________ ．
10．(4分)(2007•朝阳区二模)正多边形的边长为2，中心到边的距离为，则这个正多边形的边数为 _________ ．
11．(4分)如图，锐角△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则BC的长为 _________ ．
12．(4分)已知：如图，AB=m(m＞0)，∠BAC=α(α为锐角)，在射线AC上取一点D．使构成的△ABD恰好有两种，则线段BD的取值范围是 _________ ．
13．(4分)(2009•临夏州)如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，cosB=．如果⊙O的半径为cm，且经过点B，C，那么线段AO= _________ cm． 徐杰老师名言：相信自己！创造奇迹！
徐大帅哥名言：脸大走遍天下！
14．(4分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则m的值为 _________ ．
三、解答题(本题共64分；第15-21题各6分，第22题8分，第23题6分，第24题8分)
15．(6分)计算：2sin45°+sin60°﹣cos30°+tan260°．
16．(6分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=70°，点E，F分别在线段AD，DC上，且∠BEF=110°，若AE=3，求DF长．
17．(6分)已知：如图，△OBC内接于圆，圆与直角坐标系的x、y轴交于B、A两点，若∠BOC=45°，∠OBC=75°，A点坐标为(0，2)．
求：(1)B点的坐标；
(2)BC的长．
18．(6分)已知：AD为△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB=BD．
(1)判断△ABE与△CBA是否相似并说明理由；
(2)求证：AC=2AE．
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19．(6分)如图，AB是⊙O的直径，BC=8，E为的中点，OE交BC于D，连接AD，DE=2．
(1)求⊙O的半径；
(2)求线段AD的长．
20．(6分)已知：如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在一条直线上的三点A(A为楼底)、D、E，她在D处测得广告牌顶端C的仰角为60°，在E两处测得商场大楼楼顶B 的仰角为45°，DE=5米．已知，广告牌的高度BC=2.35米，求这座商场大楼的高度AB(取1.73，取1.41，小红的身高不计，结果保留整数)．
21．(6分)(2009•西城区一模)已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若⊙O的半径等于4，tan∠ACB=，求CD的长．
22．(8分)(2009•云南)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A(0，4)和B(﹣2，0)，连接AB．
(1)现将△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AO1B1，请画出△AO1B1，并直接写出点B1、O1的坐标(注：不要求证明)；
(2)求经过B、A、O1三点的抛物线对应的函数关系式，并画出抛物线的略图． 徐杰老师名言：相信自己！创造奇迹！
徐大帅哥名言：脸大走遍天下！
23．(6分)已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC、AE．
(1)求证：△ADE≌△DFC；
(2)过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数；
(3)若BG=，CH=2，求BC的长．
24．(8分)(2007•绵阳)如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．
(1)求m的值及抛物线的解析式；
(2)设∠DBC=α，∠CBE=β，求sin(α﹣β)的值；
(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
四、附加题(本题6分)．
25．(2009•海淀区二模)如图，已知抛物线y=(3﹣m)x2+2(m﹣3)x+4m﹣m2的顶点A在双曲线y=上，直线y=mx+b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．
(1)确定直线AB的解析式； 徐杰老师名言：相信自己！创造奇迹！
徐大帅哥名言：脸大走遍天下！ (2)将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值；
(3)过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N在直线BG上，请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标．
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参考答案与试题解析
一、选择题(本题共32分，每小题4分)
1．(4分)(2008•兰州)正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为(
)
A． B． C． D． 2
【解析】如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．
∴cos∠AOB=55OFOE．
故选A．
2．(4分)如图，在平面直角坐标系中，以P(4，6)为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为( )
A． (4，2) B． (4，4)
C． (4，5) D． (5，4)
【解析】∵△DEF∽△ABC，且F点在CP的连线上，
∴可得F点位置如图所示：
故P点坐标为(4，4)．
故选B．
徐杰老师名言：相信自己！创造奇迹！
徐大帅哥名言：脸大走遍天下！ 3．(4分)抛物线y=(x+1)(x﹣3)的顶点坐标是( )
A． (﹣1，0) B． (1，﹣4) C． (﹣1，2) D． (1，2)
【解析】抛物线y=(x+1)(x﹣3)=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=(x﹣1)2﹣4，
则抛物线的顶点坐标为(1，﹣4)．
故选B．
4．(4分)(2009•衡阳)两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两个根，则两圆的位置关系是( )
A． 相交 B． 外离 C． 内含 D． 外切
【解析】解方程x2﹣4x+3=0，得x1=3，x2=1．
根据题意，得R=3，r=1，d=3，
∴R+r=4，R﹣r=2，
得2＜3＜4，即R﹣r＜d＜R+r．
∴两圆相交．
故选A．
5．(4分)在半径为3cm的圆中，长为2πcm的弧所对的圆心角的度数为( )
A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°
【解析】2π=3180n，
解得n=120°．
故选D．
6．(4分)如图，AB是圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB=60°，D是的中点，则的值是( )
A． B． 2 C． D．
【解析】∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
而∠DPB=60°，
∴∠APC=60°．
∴∠CAD=30°．
又∵D是的中点，
∴∠CAD=∠BAD=30°．
∴∠ABC=180°﹣30°﹣30°﹣90°=30°．
∴=．
