北京四中2020-2021学年度第一学期学测试九年级数学试题 学试卷 解析版

北京四中2020--2021学年度初三上学期期中数学试题及详细解析北京四中2020-2021学年度初三上学期期中数学试卷及参考答案一、选择题：本大题共10个小题,每小题2分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A ．6，7，8B ．2，3，4C ．3，4，6D ．6，8，10 2.下列各式中，运算正确的是（）A B ．3= C ．2+= D 2=-3.如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，30B ∠=?，点D 为AB 的中点，若2AC =，则CD 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．54.右图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（）A ．区域①处B ．区域②处C ．区域③处D ．区域④处 5.用配方法解方程2410x x --=，方程应变形为（）A ．()223x += B ．()225x += C ．()223x -= D ．()225x -= 6.下列条件中，不能．．判定一个四边形是菱形的是（）A ．一组邻边相等的平行四边形B ．一条对角线平分一组对角的四边形 C ．四条边都相等的四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形7.若a ，b ，c 满足0,0,a b c a b c ++=??-+=?则关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的解是（）A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无实数根8.五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数.得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如下信息：则下列选项正确的是（） A ．可能会有学生投中了8个B ．五个数据之和的最大值可能为30C ．五个数据之和的最小值可能为20D ．平均数m 一定满足4.2 5.8m ≤≤之间9.如图1，将矩形ABCD 和正方形EFGH 的分别沿对角线AC 和EG 剪开，拼成图2所示的平行四边形PQMN ，中间空白部分的四边形KRST 是正方形.如果正方形EFGH 与正方形KRST 的面积分别是16和1，则矩形ABCD 的面积为（）A ．15B ．16C ．17D ．2510.如图，正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D .设AE x =，矩形ECFG 的面积为y ，则y 与x 之间的关系描述正确的是（）A ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 先增大再减小B ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 先减小再增大C ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 一直保持不变D ．y 与x 之间不是函数关系二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）11.计算：已知x =y =xy = ．12.有意义的x 的取值范围是．13.如图，在平行四边形ABCD 中，2ED =，5BC =，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则CD 的长为．14.写出一个一元二次方程，两个根之中有一个为2，此方程可以是．15.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。

AE 期末综合测试十一学校班级 姓名 考号一、选择题(本题共 24 分，每小题 3 分，下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的） 1．抛物线 y = (x -1)2+ 2 的对称轴是A ． x = -1B ． x = 1C ． x = -2D ． x = 22．在△ABC 中，∠C = 90°．若 AB = 3，BC = 1，则sin A 的值为3．如图，线段 BD ，CE 相交于点 A ，DE ∥BC ．若 AB = 4，AD = 2，DE = 1.5， 则 BC 的长为 A ．1 B ．2C ．3D ．4CD4．如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 100°，得到△ADE ．若点 D 在线段ABC 的延长线上，则∠B 的大小为 EA ．30°B ．40°C ．50°D ．60°B C D5．如图，△OAB ∽△OCD ，OA :OC = 3:2，∠A = α，∠C = β，△OAB 与△OCD 的面积分别是 S 1 和 S 2 ，△OAB与△OCD 的周长分别是C 1 和C 2 ，则下列等式一定成立的是6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 从（3，4）出发，绕点 O 顺时针旋转一周，则点 A 不．经过 A ．点 M B ．点 N C ．点 P D ．点 Q7．如果在二次函数的表达式 y = ax 2 +bx + c 中，a > 0 ，b < 0 ，c < 0 ，那么这个二次函数的图象可能是3 COD（A ） （B ） （C ） （D ）8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点 A 出发沿线段 AB 运动到点 B ，小兰从点 C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点 C ，两人的运动路线如图 1 所示，其中 AC = DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点 C 的距离 y 与时间 x （单位：秒）的对应关系如图 2 所示．则下列说法正确的是AB图 1图 2A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在 1.09 秒和 7.49 秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点 D D ．在 4.84 秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分）9．方程 x 2- 2x = 0 的根为．10．已知∠A 为锐角，且tan A = 3 ，那么∠A 的大小是°．11．如图，在⊙O 中，弦 AB 垂直平分半径OC ．若⊙O 的半径为 4，则弦 AB 的长为 ． 12．如图，抛物线 y = ax 2+ bx + c 的对称轴为 x = 1，点 P ，点 Q 是抛物线与 x轴的两个交点，若点 P 的坐标为（4，0），则点 Q 的坐标为．13．若一个扇形的圆心角为 60°，面积为 6π，则这个扇形的半径为 ．14．如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点 A ，点 C ，若∠P = 60°，PA= ，则 AB 的长为 ．初三年级（数学） 第 2 页（共 6 页）yO xy O xy Ox y O xyO 1.097.49 9.6817.12xA CODB2 15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为 10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾 x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线 0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线 3.2m ，若小张能看到整个红灯，则 x 的最小值为 ．交通 信号灯16．下面是“作一个 30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是 ．三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每小题 7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算： 2sin 30 ° -2 cos 45 ° + 8 ．18．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB = 3的长．A，AC = 5， sin C = 3，求 BC5BC黄 3.2m绿0.8m20m10mx m已知：平面内一点 A ． 求作：∠A ，使得∠A = 30°． 作法：如图，D（1）作射线 AB ；AO C B（2）在射线 AB 上取一点 O ，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线 AB 相交于点 C ；（3）以 C 为圆心，OC 为半径作弧，与⊙O 交于点 D ，作射线 AD ．∠DAB 即为所求的角．19．已知：如图，ABCD 是一块边长为 2 米的正方形铁板， 在边 AB 上选取一点 M ，分别以 AM 和 MB 为边 截取两块相邻的正方形板料. 当 AM 的长为何值时， 截取两块相邻的正方形板料的总面积最小?20．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = -x 2 + mx + n 经过点 A (-1,0) 和 B (0,3) . （1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与 x 轴的正半轴交于点 C ，连接 BC ．设抛物线的顶点 P 关于直线 y = t的对称点为点 Q ，若点 Q 落在△OBC 的内部，求 t 的取值范围．A21．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径 BD 平分∠ABC ，过点 D 作 DE ∥AB 交弦BC 于点 E ，在 BC 的延长线上取一点 F ，使得 EF = DE ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接 AF 交 DE 于点 M ，若 AD = 4，DE = 5，求 DM 的长．22．如图，在△ABC 中，∠ABC = 90︒ ，∠C = 40 °，点 D 是线段 BC 上的动点，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 50°至 AD ' ，连接 BD ' ．已知 AB = 2cm ，设 BD 为 x cm ，B D '为 y cm ．小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程， 请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）DOB EC F（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x / cm0.5 0.7 1.0 1.5 2.0 2.3 y / cm1.71.31.10.70.91.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段 BD ' 的长度的最小值约为 cm ； 若 BD ' ≥ BD ，则 BD 的长度 x 的取值范围是．23．已知二次函数 y = ax 2- 4ax + 3a ．（1）该二次函数图象的对称轴是 x = ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1 ≤ x ≤ 4 时， y 的最大值是 2，求当1 ≤ x ≤ 4 时， y 的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点 P (x 1，y 1 ) 合图象，直接写出t 的最大值．， Q (x 2，y 2 ) ，当t ≤ x 1 ≤ t +1， x 2 ≥ 5 时，均满足 y 1 ≥ y 2 ，请结24．对于⊙C 与⊙C 上的一点 A ，若平面内的点 P 满足：射．线．AP 与⊙C 交于点Q （点 Q 可以与点 P 重合），且 1 ≤PA≤ 2 ，则点 P 称为点 A 关于⊙C 的“生长点”．QA已知点 O 为坐标原点，⊙O 的半径为 1，点 A （-1，0）．（1）若点 P 是点 A 关于⊙O 的“生长点”，且点 P 在 x 轴上，请写出一个符合条件的点 P 的坐标；（2）若点 B 是点 A 关于⊙O 的“生长点”，且满足 tan ∠BAO = 1 ，求点 B 的纵坐标 t 的取值范围；2（3）直线 y = 3x + b 与 x 轴交于点 M ，与 y 轴交于点 N ，若线段 MN 上存在点 A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出 b 的取值范围是．yy5 5 4 4 3 3 2211AA–3 –2 –1 O–1–2 –3 –4 –5 –612345 x–3 –2 –1 O–1–2 –3 –4 –5 –612345 x25．在△ABC 中，∠A = 90°，AB = AC ．（1）如图 1，△ABC 的角平分线 BD ，CE 交于点 Q ，请判断“ QB =2QA ”是否正确：（填“是”或“否”）；（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接 PA ，PB ，且PB = ①如图 2，点 P 在△ABC 内，∠ABP = 30°，求∠PAB 的大小；PA ．②如图 3，点 P 在△ABC 外，连接 PC ，设∠APC = α，∠BPC = β，用等式表示 α，β 之间的数量关系， 并证明你的结论．A AABCB CB C图 1 图 2 图 3PPEQD2。

2020-2021北京第四中学九年级数学上期末模拟试题(含答案)一、选择题1．关于x 的方程（m ﹣3）x 2﹣4x ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值花围是（ ） A ．m≥1 B ．m ＞1 C ．m≥1且m≠3 D ．m ＞1且m≠3 2．把抛物线y ＝2(x ﹣3)2+k 向下平移1个单位长度后经过点(2，3)，则k 的值是( ) A ．2B ．1C ．0D ．﹣13．如图，AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，若35C ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．55︒B ．45︒C ．35︒D ．65︒4．一元二次方程的根是（ ）A ．3x =B ．1203x x ==-，C ．1203x x =，D ．1203x x ==，5．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x 1，x 2(0＜x 1＜x 2＜4)时，对应的函数值是y 1，y 2，且y 1＝y 2，设该函数图象的对称轴是x ＝m ，则m 的取值范围是( ) A ．0＜m ＜1B ．1＜m ≤2C ．2＜m ＜4D ．0＜m ＜46．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表： x … -1 0 2 4 5 … y 1 … 0 1 3 5 6 … y 2…-159…当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞47．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( ) A ．59B ．49C ．56D ．138．抛物线2y ax bx c =++经过点(1，0)，且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc ＜0； ②20a b +=；③9a-3b+c=0；④若0m n >>，则1x m =-时的函数值小于1x n =-时的函数值．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（ ）A ．3B ．3C ．3D ．810．以3942cx ±+=为根的一元二次方程可能是（ ） A ．230x x c --=B ．230x x c +-=C ．230-+=x x cD ．230++=x x c11．若20a ab -=（b ≠0），则aa b+=（ ） A ．0B ．12 C ．0或12D ．1或 212．已知点P （﹣b ，2）与点Q （3，2a ）关于原点对称点，则a 、b 的值分别是（ ） A ．﹣1、3B ．1、﹣3C ．﹣1、﹣3D ．1、3二、填空题13．一个不透明袋中装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是27，则袋中红球约为________个．14．设二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点为A，B，其顶点坐标为C，则△ABC的面积为_____．15．“明天的太阳从西方升起”这个事件属于________事件（用“必然”、“不可能”、“不确定”填空）．16．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴的交点坐标是_____．17．半径为2的圆被四等分切割成四条相等的弧，将四个弧首尾顺次相连拼成如图所示的恒星图型，那么这个恒星的面积等于______．18．三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x2﹣9x+4＝0的一个根，则三角形的周长是_____．19．两块大小相同，含有30°角的三角板如图水平放置，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点E′恰好落在AB上时，△CDE旋转的角度是______度．20．某地区2017年投入教育经费2 500万元，2019年计划投入教育经费3 025万元，则2017年至2019年，该地区投入教育经费的年平均增长率为_____．三、解答题21．某童装店购进一批20元/件的童装，由销售经验知，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在如图的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系；（2）当销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少？22．关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．23．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m ，200m ，400m(分别用1A 、2A 、3A 表示)；田赛项目：跳远，跳高(分别用1B 、2B 表示)．()1该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；()2该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率． 24．已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +2＝0． （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且x 12+x 22＝2，求m 的值．25．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x 元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出书 本（用含x 的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式列出关于m 的一元一次不等式组，然后方程组即可. 【详解】解：∵（m-3）x 2-4x-2=0是关于x 的方程有两个不相等的实数根， ∴230(4)4(3)(2)0m m -≠⎧⎨∆=---⨯->⎩ 解得：m>1且m ≠3. 故答案为D. 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，正确运用一元二次方程的定义和根的判别式解题是解答本题的关键.2．A解析：A 【解析】 【分析】把点坐标代入y=2（x-3）2+k-1解方程即可得到结论． 【详解】解：设抛物线y=2（x-3）2+k 向下平移1个单位长度后的解析式为y=2（x-3）2+k-1，把点（2，3）代入y=2（x-3）2+k-1得，3=2（2-3）2+k-1， ∴k=2， 故选A ． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题关键．3．A解析：A 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得35BAD C =∠=︒∠，再根据圆直径所对的圆周角是直角，可得90ADB ∠=︒，再根据三角形内角和定理即可求出ABD ∠的度数． 【详解】 ∵35C ∠=︒∴35BAD C =∠=︒∠ ∵AB 是圆O 的直径 ∴90ADB ∠=︒∴18055ABD ADB BAD =︒--=︒∠∠∠ 故答案为：A ． 【点睛】本题考查了圆内接三角形的角度问题，掌握同弧所对的圆周角相等、圆直径所对的圆周角是直角、三角形内角和定理是解题的关键．4．D解析：D【解析】x2−3x=0，x(x−3)=0，∴x1=0，x2=3.故选：D.5．C解析：C【解析】【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．【详解】解：当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），∴x0＞4，∴对称轴为x=m中2＜m＜4，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．6．D解析：D【解析】【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．【详解】∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），而-1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．7．B解析：B 【解析】 【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得． 【详解】解：由题意可画树状图如下：根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：49． 【点睛】本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．8．D解析：D 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y 轴的交点即可判断； ②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（1，0），且对称轴为直线x ＝﹣1可得抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断；④根据m ＞n ＞0，得出m ﹣1和n ﹣1的大小及其与﹣1的关系，利用二次函数的性质即可判断． 【详解】解：①观察图象可知： a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＞0， 所以①错误；②∵对称轴为直线x ＝﹣1， 即﹣2ba＝﹣1，解得b ＝2a ，即2a ﹣b ＝0，所以②错误；③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），当a＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，所以③正确；∵m＞n＞0，∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特征．9．A解析：A【解析】【分析】【详解】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=12∠AOC，∴∠COD=∠B=60°；在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，∴33，∴3．故选A．【点睛】本题考查三角形的外接圆；勾股定理；圆周角定理；垂径定理．10．A解析：A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．设x 1，x 2是一元二次方程的两个根，∵32x ±=∴x 1+x 2=3，x 1∙x 2=-c ，∴该一元二次方程为：21212()0x x x x x x -++=，即230x x c --=故选A. 【点睛】此题主要考查了根据一元二次方程的根与系数的关系列一元二次方程．11．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵20a ab -= ()0b ≠， ∴a(a-b)=0， ∴a=0，b=a ． 当a=0时，原式=0； 当b=a 时，原式=12， 故选C12．A解析：A 【解析】 【分析】让两个横坐标相加得0，纵坐标相加得0即可求得a ，b 的值． 【详解】解：∵P （-b ，2）与点Q （3，2a ）关于原点对称点， ∴-b+3=0，2+2a=0， 解得a=-1，b=3， 故选A ． 【点睛】用到的知识点为：两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数；互为相反数的两个数和为0．二、填空题13．25【解析】【分析】【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷=35个所以袋中红球约为35-10=25个考点：简单事件的频率【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷27=35个，所以袋中红球约为35-10=25个.考点：简单事件的频率.14．8【解析】【分析】首先求出AB 的坐标然后根据坐标求出ABCD 的长再根据三角形面积公式计算即可【详解】解：∵y ＝x2﹣2x ﹣3设y ＝0∴0＝x2﹣2x ﹣3解得：x1＝3x2＝﹣1即A 点的坐标是（﹣10解析：8 【解析】 【分析】首先求出A 、B 的坐标，然后根据坐标求出AB 、CD 的长，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，设y ＝0， ∴0＝x 2﹣2x ﹣3， 解得：x 1＝3，x 2＝﹣1，即A 点的坐标是（﹣1，0），B 点的坐标是（3，0）， ∵y ＝x 2﹣2x ﹣3， ＝（x ﹣1）2﹣4，∴顶点C 的坐标是（1，﹣4）， ∴△ABC 的面积＝12×4×4＝8， 故答案为8． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．15．不可能【解析】根据所学知识可知太阳应该从东方升起所以明天的太阳从西方升起这个事件属于不可能事件故答案为:不可能解析：不可能 【解析】根据所学知识可知太阳应该从东方升起,所以”明天的太阳从西方升起”这个事件属于不可能事件,故答案为:不可能.16．（0﹣1）【解析】【分析】将x ＝0代入y ＝（x ﹣1）2﹣2计算即可求得抛物线与y 轴的交点坐标【详解】解：将x ＝0代入y ＝（x ﹣1）2﹣2得y ＝﹣1所以抛物线与y 轴的交点坐标是（0﹣1）故答案为：（0解析：（0，﹣1）【解析】【分析】将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，计算即可求得抛物线与y轴的交点坐标．【详解】解：将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．17．16﹣4π【解析】【分析】恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积依此列式计算即可【详解】解：如图2+2=4恒星的面积=4×4-4π=16-4π故答案为16-4π【点睛】本题考查了扇形面解析：16﹣4π【解析】【分析】恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积，依此列式计算即可．【详解】解：如图．2+2=4，恒星的面积=4×4-4π=16-4π．故答案为16-4π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积．18．【解析】【分析】先利用因式分解法求出方程的解再由三角形的三边关系确定出第三边最后求周长即可【详解】解：方程2x2﹣9x+4＝0分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0解得：x＝或x＝4当x＝时+2＜4解析：【解析】【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再由三角形的三边关系确定出第三边，最后求周长即可．【详解】解：方程2x2﹣9x+4＝0，分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x＝12或x＝4，当x＝12时，12+2＜4，不能构成三角形，舍去；则三角形周长为4+4+2＝10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确使用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键. 19．30【解析】【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质可知CE′是△ACB 的中线可得△E′CB是等边三角形从而得出∠ACE′的度数和CE′的长从而得出△CDE旋转的度数【详解】解：∵三角板是两块大小解析：30【解析】【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质可知CE′是△ACB的中线，可得△E′CB是等边三角形，从而得出∠ACE′的度数和CE′的长，从而得出△CDE旋转的度数．【详解】解：∵三角板是两块大小一样且含有30°的角，∴CE′是△ACB的中线，∴CE′＝BC＝BE′，∴△E′CB是等边三角形，∴∠BCE′＝60°，∴∠ACE′＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30．【点睛】本题考查了含有30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，本题关键是得到CE´是△ABC的中线．20．10【解析】【分析】设年平均增长率为x则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2；2019年投入教育经费3025万元建立方程2500(1+x)2=3025求解即可【详解】解：设年平均增长解析：10%【解析】【分析】设年平均增长率为x，则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2；2019年投入教育经费3025万元，建立方程2500(1+x)2=3025，求解即可.【详解】解：设年平均增长率为x，得2500(1+x)2=3025，解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）.所以2017年到2019年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.【点睛】本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法,能够列出式子是解答本题的关键.三、解答题21．（1）y ＝﹣10x+700；（2）销售单价为45元时，每天可获得最大利润，最大利润为6250元【解析】【分析】（1）由一次函数的图象可知过(30，400)和(40，300)，利用待定系数法可求得y 与x 的关系式；（2）利用x 可表示出p ，再利用二次函数的性质可求得p 的最大值．【详解】（1）设一次函数解析式为y =kx +b (k ≠0)，由图象可知一次函数的过(30，400)和(40，300)，代入解析式可得3040040300k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：10700k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为y =﹣10x +700；（2）设利润为p 元，由（1）可知每天的销售量为y 千克，∴p =y (x ﹣20)=(﹣10x +700)(x ﹣20)=﹣10x 2+900x ﹣14000=﹣10(x ﹣45)2+6250．∵﹣10＜0，∴p =﹣10(x ﹣45)2+6250是开口向下的抛物线，∴当x =45时，p 有最大值，最大值为6250元，即销售单价为45元时，每天可获得最大利润，最大利润为6250元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，求得每天的销售量y 与x 的函数关系式是解答本题的关键，注意二次函数最值的求法．22．（1）94k ≤；（2）m 的值为32． 【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到()2340k ∆=--≥，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程2320x x -+=解得121,2x x ==，把1x =和2x =分别代入一元二次方程()2130m x x m -++-=求出对应的m ，同时满足10m -≠．【详解】解：（1）根据题意得()2340k ∆=--≥， 解得94k ≤； （2）k 的最大整数为2，方程230x x k -+=变形为2320x x -+=，解得121,2x x ==，∵一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根， ∴当1x =时，1130m m -++-=，解得32m =； 当2x =时，()41230m m -++-=，解得1m =，而10m -≠，∴m 的值为32． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．23．(1)25;(2)35. 【解析】【分析】 （1）由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：25． 故答案为25； （2）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的有12种情况，∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：123 205．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（1）详见解析；（2）m＝﹣3或m＝﹣1【解析】【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）利用跟与系数的关系可以得到如果把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可解答.【详解】解：（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4（m+2）＝（m+1）2，∵无论m取何值，（m+1）2≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m+2，∵x12+x22＝2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，∴代入化简可得：m2+4m+3＝0，解得：m＝﹣3或m＝﹣1【点睛】此题考查根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．25．（1）（300﹣10x）．（2）每本书应涨价5元．【解析】试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元，则每天就会少售出10x本，所以每天可售出书（300﹣10x）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解.试题解析：（1）∵每本书上涨了x元，∴每天可售出书（300﹣10x）本．故答案为300﹣10x．（2）设每本书上涨了x元（x≤10），根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，整理，得：x2﹣20x+75=0，解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．。

yxO北京四中2020—2021学年度初三上期中考试数学试卷含答案（时刻：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)1．剪纸是国家级非物质文化遗产，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则sin A 的值为（ ） A ．55B ．255C ．12D ．23．将抛物线24x y =向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()3142++=x y B ．()3142+-=x yC ．()3142-+=x y D ．()3142--=x y4．如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°， 为了改善楼梯的安全性能，预备重新建筑楼梯， 使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯 AC 的长为（ ） A ．2m B ．2m C ．（2﹣2）m D ．（2﹣2）m5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线221x y =通过平移得到抛物线x x y 2212-=，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是( )A ．2 B. 4 C. 8 D. 166．如图，在网格中，小正方形的边长均为1， 点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ） A ．2B ．255C ．55D ．127．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90° 得到线段A′B′，则A （﹣2，5）的对应点 A′的坐标是（ ）A ．（2，5）B ．（5，2）C ．（2，﹣5）D ．（5，﹣2） 8．某抛物线的顶点为（2，﹣1），与x 轴相交于P 、Q 两点，若此抛物线通过（1，a ）、（3，b ）、（﹣1，c ）、（﹣3，d ）四点，则a 、 b 、c 、d 中最大值是（ ） A ．a B ．b C ．c D ．d9.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 3 y﹣1353下列结论：（1）ac ＜0；（2）抛物线顶点坐标为（1，5）； （3）3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x+c ＞0．其中正确的个数为（ ） A ．4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个10.二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为（ ） A ．8 B ．10- C ．42- D ．24- 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若︒<α<︒900,21tan =α,则=αsin . 12．已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点为（—1，0），则它FEDCBA与x 轴的另一个交点为．13．长方体底面周长为50cm ，高为10cm ．则长方体体积y ）（3cm 关于底面的一条边长x ）（cm 的函数解析式是.其中x 的取值范畴是. 14．将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，若OA=2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点A 的对应点A′的坐标为______.第14题 第15题15．两个全等的三角尺重叠放在△ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点C 按逆时针方向旋转至△DCE 的位置，使点A 恰好落在边DE 上，AB 与CE 相交于点F ． 已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm ，则CF=_______ cm ． 16．定义：直线y=ax+b(a≠0)称作抛物线y=ax 2+bx(a≠0)的关联直线. 依照定义回答以下问题：(1)已知抛物线y=ax 2+bx(a≠0)的关联直线为y=x+2, 则该抛物线的顶点坐标 为_________；(2)当a=1时, 请写出抛物线y=ax 2+bx 与其关联直线所共有的特点（写出一条即可）：___________________________________.三、解答题（本题共72分，第23题6分，第26题4分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，其余每小题5分）17．运算: 20210+121-⎪⎭⎫⎝⎛−2sin 45°+tan 60°．18．如图，在△ABC 中，AB =12，BC =15，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD =30°． 求tan C 的值．19．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）20．已知：二次函数23y x bx=+-的图象通过点(25)A，．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k=-+的形式．21．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2 O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直截了当写出P点的坐标．22．已知：如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠D ＝60°，35=AD ， AB ＝3，求BC 的长．23. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发觉：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x 元时（x 为正整数），月销售利润为y 元.（1）求y 与x 的函数关系式并直截了当写出自变量x 的取值范畴； （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？24. 设二次函数2143y x x =-+的图象为C 1．二次函数22(0)y ax bx c a =++≠的图象与C 1关于y 轴对称．（1）求二次函数22y ax bx c =++的解析式； （2）当3x -<≤0时，直截了当写出2y 的取值范畴；（3）设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点为点A ，与y 轴的交点为点B ，一次函数3y kx m =+( k ，m 为常数，k ≠0)的图象通过A ，B 两点，当23y y <时，直截了当写出x 的取值范畴．EDCBA25．如图，设△ABC 和△CDE 差不多上正三角形，且∠EBD ＝70o ， 求∠AEB 的度数。

2020-2021学年北京四中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中，化简后能与合并的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，方程应变形为（）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5
3．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．科克曲线B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图D．斐波那契螺旋线
4．（3分）方程x（x﹣1）＝x的解是（）
A．x＝0B．x＝2C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝2
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为（）
A．16B．8C．D．4
6．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分D．对角线平分对角
7．（3分）一组数据中，改动一个数据，下列统计量一定变化的是（）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
8．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：。

北京四中2020—2021学年度第一学期初三期中测试数学学科班级__________ 学号__________ 姓名__________ 成绩__________一、选择题（每题2分，共16分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数y =(1x +)22-的最小值是 （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，40OCB ∠=︒，则A ∠的大小为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒3．若将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则得到的新抛物线的表达式为（ ）A ．2521y x =-+（） B ．25+21y x =+（） C ．2521y x =--（） D ．25+21y x =-（） 4. 如图， AB 为⊙O 的弦， 点C 为AB 的中点，AB =8，OC =3， 则⊙O 的半径长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知A （12-，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）三点都在二次函数y=-(x-2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A. y 1＜y 2＜y 3B. y 1＜y 3＜y 2C. y 3＜y 1＜y 2D. y 3＜y 2＜y 1 6．如图，⊙O 中直径AB ⊥DG 于点C ，点D 是弧EB 的中点，CD 与BE 交于点F ．下列结论①∠A =∠E ，②∠ADB =90°，③FB=FD 中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．37．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：考生须知1．本试卷共8页，共26道题，满分100分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。

3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效。

4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回。

2020-2021学年北京四中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°3．若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝5（x﹣2）2+1B．y＝5（x+2）2+1C．y＝5（x﹣2）2﹣1D．y＝5（x+2）2﹣14．如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（）A．4B．5C．6D．75．已知A（，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y16．如图，⊙O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：①∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．37．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣10123…y…﹣40220﹣4…下列结论：①抛物线开口向下；②当﹣1＜x＜2时，y＞0；③抛物线的对称轴是直线；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2．其中所有正确的结论为（）A．①②③B．①③C．①③④D．①②③④8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以（3，0）为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，2），Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为．10．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为．11．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）上的两个点，则b＝．12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为m．13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是．14．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx＝0的根为．15．元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙A经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C 两点，点B的坐标为（2，0），点D在⊙A上，且∠ODB＝30°，求⊙A的半径．元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程．解：如图2，连接BC．∵∠BOC＝90°，∴BC是⊙A的直径（依据是）．∵∠ODB＝30°，∴∠OCB＝∠ODB＝30°（依据是）．∴．∵OB＝2，∴BC＝4．即⊙A的半径为2．16．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17题每小题10分共10分，第18、19、21、22、24题每题6分，第20、23、25、26题每题7分）17．解关于x的方程．（1）x2+3x+2＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．18．已知抛物线的顶点为（﹣2，2），且过坐标原点，求抛物线的解析式．19．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD ＝1，求⊙O半径的长．20．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，回答下列问题：（1）画出该函数图象（要求列表、2B铅笔画图）；x……y……（2）当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是．21．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．证明：（1）BD＝DC；（2）DE是⊙O切线．22．某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？23．在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数y＝x2﹣2|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是．（2）化简：当x＞0时函数y＝，当x＜0时函数y＝．（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：．（4）若直线y＝k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．（1）求抛物线的对称轴；（2）①过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．25．（1）已知等边三角形ABC，请作出△ABC的外接圆⊙O．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连结P A、PB、PC．①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；②请判断P A、PB、PC的关系，并给出证明．（2）已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连结P A、PB、PC．①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；②请判断P A、PB、PC的关系，并给出证明．26．在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P （0，4），Q（a，0）．（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（，）、D（5，5）中，△POQ关于边PQ的“Math点”为．（2）如图2，，①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．2020-2021学年北京四中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点的纵坐标﹣2即为函数的最小值．【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．故选：D．2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】根据圆周角定理即可求出答案【解答】解：∵OB＝OC∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°故选：B．3．若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝5（x﹣2）2+1B．y＝5（x+2）2+1C．y＝5（x﹣2）2﹣1D．y＝5（x+2）2﹣1【分析】根据平移规律，可得答案．【解答】解：y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为y＝5（x﹣2）2+1，故选：A．4．如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（）A．4B．5C．6D．7【分析】已知AB和OC的长，根据垂径定理可得，AC＝CB＝4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可以求出OA．【解答】解：∵OC⊥AB于C，∴AC＝CB，∵AB＝8，∴AC＝CB＝4，在Rt△AOC中，OC＝3，根据勾股定理，OA＝＝5．故选：B．5．已知A（，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1【分析】根据抛物线的对称性，增减性，即可得出y1、y2、y3的大小关系．【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象开口向下，对称轴为x＝2，∴C（4，y3）关于对称轴的对称点为（0，y3），∵﹣＜0＜1＜2，∴y1＜y3＜y2，故选：B．6．如图，⊙O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：①∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据圆周角定理对①②进行判断；根据垂径定理，由AB⊥DG得到＝，而＝，所以＝，根据圆周角定理得到∠DBE＝∠BDG，从而可对③进行判断．【解答】解：∵∠A与∠E都对，∴∠A＝∠E，所以①正确；∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，所以②正确；∵AB⊥DG，∴＝，∵点D是弧EB的中点，即＝，∴＝，∴∠DBE＝∠BDG，∴FB＝FD，所以③正确．故选：D．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣10123…y…﹣40220﹣4…下列结论：①抛物线开口向下；②当﹣1＜x＜2时，y＞0；③抛物线的对称轴是直线；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2．其中所有正确的结论为（）A．①②③B．①③C．①③④D．①②③④【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x＝＝，故③正确，由抛物线的对称轴可知，当x＞时，y随x的增大而减小，当x＜时，y随x的增大而增大，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，故①正确，由表格数据可知，当﹣1＜x＜2时，y＞0，故②正确；根据表格数据可知当x＝时，y＞2，故抛物线的最大值大于2，故④错误，故选：A．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以（3，0）为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，2），Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（）A．B．C．D．【分析】连接PC．根据勾股定理求得PC2＝13，即圆的半径的平方＝13；根据三个角是直角的四边形是矩形，得矩形PEQF，则PE＝QF，根据垂径定理，得QF＝BF，则PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝y，从而判断函数的图象．【解答】解：连接PC．∵P（3，0），C（0，2），∴PC2＝13．∵AC是直径，∴∠Q＝90°．又PE⊥QA于E，PF⊥QB于F，∴四边形PEQF是矩形．∴PE＝QF．∵PF⊥QB于F，∴QF＝BF．∴PE＝BF．∴y＝PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝13．故选：A．二．填空题（共8小题）9．抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为9．【分析】利用△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△＝62﹣4m＝0，然后解关于m的一次方程即可．【解答】解：根据题意得△＝62﹣4m＝0，解得m＝9．故答案为9．10．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为110°．【分析】在优弧AB上取点D，连接AD、BD，根据圆周角定理求出∠ADB的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠ACB的度数即可．【解答】解：如图，在优弧AB上取点D，连接AD、BD，由圆周角定理得：∠ADB＝∠AOB＝70°，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝110°，故答案为：110°．11．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）上的两个点，则b＝﹣6．【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴，根据对称轴方程即可求得b的值．【解答】解：∵点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，它们的纵坐标相等．∴抛物线对称轴是直线x＝＝3，∴﹣＝3，∴b＝﹣6，故答案为：﹣6．12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长．【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是（2，1）．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．14．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx＝0的根为0或﹣3．【分析】由图可知y＝ax2+bx可以看作是函数y＝ax2+bx+4的图象向下平移4个单位而得到，再根据函数图象与x轴的交点个数进行解答【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（1，0），∴关于x的方程ax2+bx+4＝0的根是x1＝﹣4，x2＝1，对称轴是直线x＝﹣又∵将抛物线y＝ax2+bx+4的图象向下平移4个单位而得到抛物线y＝ax2+bx，∴抛物线y＝ax2+bx与x轴的交点坐标是（0，0）、（﹣3，0）．∴关于x的方程ax2+bx＝0的根为0或﹣3．故答案是：0或﹣3．15．元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙A经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C 两点，点B的坐标为（2，0），点D在⊙A上，且∠ODB＝30°，求⊙A的半径．元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程．解：如图2，连接BC．∵∠BOC＝90°，∴BC是⊙A的直径（依据是90°的圆周角所对的弦是直径）．∵∠ODB＝30°，∴∠OCB＝∠ODB＝30°（依据是同弧所对的圆周角相等）．∴．∵OB＝2，∴BC＝4．即⊙A的半径为2．【分析】先利用圆周角定理判断BC是⊙A的直径，∠OCB＝∠ODB＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出BC即可．【解答】解：如图2，连接BC，∵∠BOC＝90°，∴BC是⊙A的直径．（90°的圆周角所对的弦是直径），∵∠ODB＝30°，∴∠OCB＝∠ODB＝30°（同弧或等弧所对的圆周角相等），∴OB＝BC．∵OB＝2，∴BC＝4．即⊙A的半径为2．故答案为90°的圆周角所对的弦是直径；同弧或等弧所对的圆周角相等．16．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中正确结论的序号是③④．【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断；④根据m＞n＞0，得出m﹣1和n﹣1的大小及其与﹣1的关系，利用二次函数的性质即可判断．【解答】解：①观察图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，所以①错误；②∵对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，解得b＝2a，即2a﹣b＝0，所以②错误；③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），∴当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，所以③正确；∵m＞n＞0，∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，故④正确；故答案为③④．三．解答题17．解关于x的方程．（1）x2+3x+2＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解可得答案；（2）利用公式法求解即可．【解答】解：（1）∵x2+3x+2＝0，∴（x+1）（x+2）＝0，则x+1＝0或x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣2；（2）∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，∴△＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，则x＝＝＝，即．18．已知抛物线的顶点为（﹣2，2），且过坐标原点，求抛物线的解析式．【分析】设顶点式y＝a（x+2）2+2，然后把（0，0）代入求出a即可．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+2，把（0，0）代入得a（0+2）2+2＝0，解得a＝﹣，所以抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）2+2．19．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD ＝1，求⊙O半径的长．【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1，∵OD⊥AB，AB＝4，∴AC＝AB＝2，在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2，∴r2＝22+（r﹣1）2，r＝，答：⊙O半径的长为．20．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，回答下列问题：（1）画出该函数图象（要求列表、2B铅笔画图）；x…﹣10123…y…03430…（2）当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是﹣12＜y≤4．【分析】（1）采用列表、描点法画出图象即可；（2）求得x＝﹣3时所对应的函数值，根据图象即可求得．【解答】（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4列表：x…﹣10123…y…03430…描点、连线作图如下：（2）把x＝﹣3代入y＝﹣x2+2x+3得y＝﹣12，由图象可知当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是﹣12＜y≤4，故答案为﹣12＜y≤4．21．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．证明：（1）BD＝DC；（2）DE是⊙O切线．【分析】（1）连接AD，由于AB是直径，那么∠ADB＝90°，而AB＝AC，根据等腰三角形三线合一定理可知BD＝CD；（2）连接OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB＝90°，从而可证DE是⊙O切线．【解答】证明：如右图所示，（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD；（2）连接OD，∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODB＝∠AED＝90°，∴DE是⊙O的切线．22．某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行6场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？【分析】（1）根据参加比赛球队的数量及赛制，即可求出结论；（2）设有x支球队参加比赛，根据全校一共进行36场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）×4×3＝6（场）．故答案为：6．（2）设有x支球队参加比赛，依题意，得：x（x﹣1）＝36，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．23．在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数y＝x2﹣2|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是全体实数．（2）化简：当x＞0时函数y＝y＝x2﹣2x，当x＜0时函数y＝y＝x2+2x．（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：函数的最小值为﹣1．（4）若直线y＝k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为k＝﹣1或k＞0．【分析】（1）根据函数解析式可知自变量x的取值范围是全体实数；（2）根据绝对值的意义化简即可；（3）列表，描点即可画出函数图象；任意指出函数的一条性质即可，如函数的最小值为﹣1；x＞1时，y随x的增大而增大，答案不唯一；（4）根据图象即可求解．【解答】解：（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是全体实数，故答案为全体实数；（2）当x＞0时函数y＝x2﹣2x，当x＜0时函数y＝x2+2x，故答案为y＝x2﹣2x，y＝x2+2x；（3）列表：x…﹣3﹣2.5﹣2﹣1012 2.53…y…3 1.250﹣10﹣10 1.253…描点画出如下函数图象：由图象可知：函数的最小值为﹣1，故答案为函数的最小值为﹣1；（4）直线y＝k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为k＝﹣1或k＞0．故答案为：k＝﹣1或k＞0．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．（1）求抛物线的对称轴；（2）①过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．【分析】（1）利用对称轴方程求得即可；（2）①根据题意M、N的纵坐标相同都是2，把y＝2代入解析式，解方程即可求得；②分两种情况讨论，把临界得代入解析式求得m的值，从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1；（2）①把y＝2代入y＝mx2+2mx﹣3m+2得mx2+2mx﹣3m+2＝2，解得x＝1或﹣3，∴M（﹣3，2）；N（1，2）；②当抛物线开口向上时，如图1，抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，1），（﹣1，1），（0，1），将（﹣2，1）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝，将（﹣1，0）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝，结合图象可得＜m≤．当抛物线开口向下时，如图2，则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，3），（﹣1，3），（0，3），将（0，3）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝﹣，将（﹣1，4）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝﹣，结合图象可得﹣≤m＜﹣．综上，m的取值范围为．25．（1）已知等边三角形ABC，请作出△ABC的外接圆⊙O．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连结P A、PB、PC．①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；②请判断P A、PB、PC的关系，并给出证明．（2）已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连结P A、PB、PC．①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；②请判断P A、PB、PC的关系，并给出证明．【分析】（1）①根据题意可得点P分别在优弧和劣弧上时的图形；②在PB上截取PE＝P A，由∠APB＝∠ACB＝60°，可得等边三角形△APE，可证明△APC≌△AEB，则BE＝PC，从而得出PB＝P A+PC或AP＝BP+PC；（2）①根据题意可得点P分别在优弧和劣弧上时的图形；②在P A上截取AK＝PB，由∠APC＝∠ABC＝45°，可证明△AKC≌△BPC，则CK＝CP，可得等腰直角三角形△CPK，从而得出AP﹣BP＝PC．由图4，同理可得AP+BP ＝PC．【解答】解：（1）①如下图1、图2．②如图1，在PB上截取PE＝P A，∵∠APB＝∠ACB＝60°，∴△APE是等边三角形，∵∠BAE＝∠CAP，AB＝AC，∴△APC≌△AEB（SAS），∴BE＝PC，∴BP＝AP+PC．由图2，同理可得AP＝BP+PC．（2）①如下图3、图4；②如图3，在P A上截取AK＝PB，∵∠CAP＝∠CBP，AB＝AC，∴△CAK≌△CBP（SAS），∴CK＝CP，∵∠APC＝∠ABC＝45°，∴△CPK是等腰直角三角形，∴PK＝PC，∴PK＝AP﹣AK＝AP﹣BP＝PC．由图4，同理可得AP+BP＝PC．26．在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P （0，4），Q（a，0）．（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（，）、D（5，5）中，△POQ关于边PQ的“Math点”为B，C．（2）如图2，，①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．【分析】（1）根据“Math点”的定义，结合图象判断即可．（2）①首先证明∠PQO＝30°，当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2，2），当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（4，8），推出DE′＝4，观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ 的“Math点”，求出点D到直线E′K的最小值，即可解决问题．②如图3中，分别以O为圆心，2和4为半径画圆，当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求出直线MN与大圆或小圆相切时b 的值，即可判断．【解答】解：（1）根据“Math点”的定义，观察图象可知，△POQ关于边PQ的“Math 点”为B、C．故答案为：B，C．（2）如图2中，∵P（0，4），Q（4，0），∴OP＝4，OQ＝4，∴tan∠PQO＝，∴∠PQO＝30°，①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2，2），∵D（0，8），∴DE＝＝4，当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（4，8），∴DE′＝4，观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，∵E′Q⊥OQ，∴∠E′QO＝90°，∴∠E′QK＝60°，∴∠E′KQ＝90°，∴∠EE′Q＝30°，∵DE′∥OQ，∴∠DE′K＝60°，∵DE′＝DK，∴△DE′K是等边三角形，∵点D到E′K的距离的最小值为4•sin60°＝6，∴．②如图3中，分别以O为圆心，2和4为半径画圆，当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，当直线MN与小圆相切时，b＝±4，当直线MN与大圆相切时，b＝±8，观察图象可知，满足条件的b的值为：或．。

北京四中2020—2021学年初三上开学测试数学试题及答案（考试时刻为100分钟，试卷满分为120分）班级 学号_________ 姓名 分数________A 卷（共100分）一、选择题（本题共24分，每小题3分）1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）.A ．2,3,2B ．6,8,10C ．4,5,6D ．5,10,12 B2. 在□ABCD 中，假如∠A +∠C ＝140°，那么∠C 等于（ ）. A. 20° B. 40° C. 60° D. 70° D3．用配方法解方程0242=+-x x ，下列变形正确的是（ ）. A ．2)2(2=-x B ．2)4(2=-x C ．0)2(2=-x D ．1)4(2=-x A4. 由下面条件不能．．判定四边形ABCD 是平行四边形的是( ). A ．AB ∥CD ，AD =BC B ．AB =CD ，AB ∥CD C ．AB ∥CD ，AD ∥BC D ．AB =CD ，AD =BC A5. 如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，BD =AB ，BM ⊥AD 于点M ，N 是AC 的中点，连接MN ，若AB =5，BC =8，则MN 的长为( ). A ．6 B ．3 C ．1.5 D ．1 C6. 某排球队12名队员的年龄情形如下：则这12名队员年龄的众数和中位数是( ).NMDCBAA.19，20B.20，20C.20，20.5D.23，20.5 B7．如图，△ABC为等腰三角形，假如把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为( ).A．一样平行四边形B．正方形C．矩形D．菱形D8. 已知，一次函数bkxy+=A. 0>k，0>b B. 0>k，0<bC. 0<k，0>b D. 0<k，0<bB二、填空题（本题共25分，第9～15题每小题3分，第16题4分）9．一元二次方程022=-xx的根是.0,210.已知菱形的两条对角线长分别是10和12，则菱形的面积是.6011．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，假如四边形ABCD的面积为8，那么BE的长为.12.如图，矩形ABCD的对角线AC的长为6，∠AOD=120°，则AB的长为.313.受冷空气阻碍，今年我市入春时刻晚于常年，据气象部门观测，4月1日到4月5日这五天，北京每天的平均气温（单位：℃）依次为：10，9，10，8，8，ABCDABCDEbODCBA则这组数据的方差为. 0.814.如图，在矩形ABCD 中，E 是DC 上一点，AE =AB ，AB =2AD ， 则∠EBC 的度数是 ．15°15．已知整数x 满足y 1=x+1，y 2= -2x+4,对任意一个x ，m 都取y 1 、y 2中的最大值，则m 的最小值是 ． 216. 在平面直角坐标系xOy 中, 正方形A 1B 1C 1O 、 A 2B 2C 2B 1、A 3B 3C 3B 2, …,按右图所示的方式放置. 点A 1、A 2、A 3, …和 B 1、B 2、B 3, …分别在直线y =kx +b 和x 轴上. 已知C 1(1, -1), C 2(23,27-), 则点A 3的坐标是 ;点A n 的坐标是 . ()1129933(,);5()4,()4422n n --⨯-17. 解方程 0262=--x x . 解： 262=-x x ………………………1分2223236+=+-x x()1132=-x ………………………3分113±=-x …………………4分 113±=x∴1131+=x ，1132-=x ． …………5分18. 已知：如图，点E ，F 分别为□ABCD 的边，E FA DB C21y=kx+bC 1C 2C B 1B 2B 3A 3A 2A 1y x O-----------------------------------6分-----------------------------------5分 -----------------------------------2分 AD 上的点，且12∠=∠.求证：AE=CF . 证明：∵□ABCD∴AB=CD ，∠B=∠D 在△ABE 和△DCF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AB 21D B∴△ABE ≅△DCF ∴AE=CF19. 已知25140m m --=，求()()()212111m m m ---++的值． 解：()()()212111m m m ---++=22221(21)1m m m m m --+-+++ ………………………2分 =22221211m m m m m --+---+ ………………… 3分 =251m m -+． ………………………………… 4分 当2514m m -=时，原式=2(5)114115m m -+=+=. …………… 6分20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处.(1)求AB 的长和点C 的坐标； (2)求直线CD 的解析式．解：(1)依照题意得(6,0)A ，(0,8)B .在Rt △OAB 中，∠AOB =90︒，OA =6，OB =8， ∴10AB =.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1分∵ △DAB 沿直线AD 折叠后的对应三角形为△DAC ， ∴ AC=AB=10.∴ 16OC OA AC OA AB =+=+=. ∵ 点C 在x 轴的正半轴上，∴ 点C 的坐标为(16,0)C .﹍﹍﹍﹍﹍ 2分 (2)设点D 的坐标为(0,)D y .（y <0） 由题意可知CD=BD ，22CD BD =. 由勾股定理得22216(8)y y +=-. 解得12y =-.∴ 点D 的坐标为(0,12)D -.﹍﹍﹍﹍﹍4分 可设直线CD 的解析式为 12y kx =-.（k ≠ 0）∵ 点(16,0)C 在直线12y kx =-上，∴ 16120k -=. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分解得34k =.∴ 直线CD 的解析式为3124y x =-.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分 21.已知ABC △的两边AB 、AC 的长分别是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长为5. （1）当k 为何值时，ABC △是直角三角形；（2）当k 为何值时，ABC △是等腰三角形，并求出ABC △的周长. 解：（1）解方程22(23)320x k x k k -++++=， ∵1∆=，∴不管k 取何值，方程均有实数根11x k =+，22x k =+.………2分 不妨设12AB k AC k =+=+， ∵第三边5BC =，∴当ABC △为直角三角形时，分两种情形： ①当5BC =是斜边时，有222AB AC BC +=，即22(1)(2)25k k +++=。