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复变函数积分复习题

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:
计算积分2Czdz，其中C是：

（1）原点到2i的直线段；
（2）原点到2再到2i的折线；
（3）原点到i再沿水平到2i的折线。
解：（1）C的参数方程为22201ztittit

2dzidt

于是2221222113Ciidzdtizt
（2）12CCC，1C参数方程为02ztt，
)
2
C
参数方程为


201zitt


12

2
21

2222

00122113CCC
zdzzdzzdztdtiditit


（3）12CCC，1C参数方程为01zitt，
2
C
参数方程为02ztit


12

2
12
2
222

0012113CCC
zdzzdzzdzitidtdttii


设C是,ize是从到的一周，计算：
（1）ReCzdz；（2）ImCzdz；（3）Czdz
解：cossinizei，sincosdzid
@
（1）RecossincosCzdzidi；

（2）ImsinsincosCzdzid；
（3）cossinsincos2Czdziidi
计算积分Czzdz，其中C是由直线段11,0xy及上半单位圆周组成的正向闭曲线。
解：12CCC，1C表示为zxiy，11,0xy；
2
C
表示为cossin0zxiyi，sincosdzid，


12
1

10cossinsincosCCCzzdzzzdzzzdzxxdxiidi







沿下列指定曲线的正向计算积分21Cdzzz的值：
>
（1）1:2Cz；（2）3:2Cz；（3）1:2Czi；（4）3:2Czi。

解：11122fzzzizi

（1）2111112002221CCCCdzdzdzdziizzizizz；
（2）21111120221CCCCdzdzdzdziiizzizizz；
（3）21111100221CCCCdzdzdzdziizzizizz；
（4）21111120221CCCCdzdzdzdziiizzizizz
设区域D为右半平面，z为D内的圆周1z上的任意一点，用在D内的任意一条曲线C连
接原点与z，证明：20Re14zd。
证明：函数211在右半平面解析，故从0到z沿任意曲线C的积分与路径无关，积分路径
换为先沿实轴从0到1，再沿圆周到z点。
、

1222000=111iz
i

ddxie

dxe




0
42cos
i
d

所以20Re14zd
设C为正向椭圆22149xy，定义22Cfzdz，z不在C上，求

1,,ffifi
。

解： z在C内部时，22z在=z处不解析，


2
2
222Cfzdizzz




，



2

11224zfizzi

；


22122zifiizi
；

？

4fii

计算下列积分：
（1）2siniizdz；（2）11izzedz；（3）212iizdz；（4）1ln11izdzz

解：（1）21sin1cos22iiiizdzzdz
sin2sin22424zizizzzz









sin22i
i
；

（2）11111111111iizziziziizedzzeedzieeie；
（3）23111112233iiiizdzizi；
"
（4）




22211ln111ln1ln1ln2122ii

zdzziz






2
2
11

ln2ln2224i







2
2
3ln2

ln23288i

设32efzdzz，求,fifi；当2z时，求fz。
解：z在2z内部时，3ez在=z处不解析，3322zefzdziez，


33
223zizifiieiei
；



33
223zizifiieiei
；

当2z时，3ez将处处解析，所以320efzdzz
】
沿下列指定曲线的正向计算各积分：

（1）5cos,:11CzdzCzrz；

（2）231,:111CdzCzrzz；
（3）2sin3,:22CzdzCzz；

（4）3,:1,zCedzCzaza为1a的任何数；
（5）2sin,:229CzdzCziz；
（6）123cosCCzdzz，其中1:2Cz取正向，2:3Cz取负向。
解：（1）cosz在由:1Czr围成的区域内解析，
、




5
4

15cos2cos4!121zCziidzzz



；

（2）函数23111fzzz在由:1Czr围成的区域内无奇点，处处解析，所
以231011Cdzzz；
（3）函数2sin2zfzz在由3:2Cz围成的区域内无奇点，处处解析，所以

2
sin02Cz
dzz








；

（4）当1a时，3zefzza在由:1Cz围成的区域内无奇点，处处解析，所以

3
0zCedzza

；

当1a时，3zefzza在由:1Cz围成的区域内有奇点za，


3

22!zzazaCei

dzeeiza


；

}
（5）函数2sin9zfzz在由:22Czi围成的区域内有奇点3zi，

32sinsinsin32sin3sinh393333ziCCzzzizidzdziizzizi






；

（6）设2:3Cz取正向，

1212
333
coscoscosCCCCzzz
dzdzdzzzz



0022coscos2!2!zziizz




0

设fz在1z上解析且01f，试求：11122zfzzdzizz。

解：221112111222zzzfzfzfzzdzdzizzizz

2

0201zfzfz







2

0221zzfzzfz








20f

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复变函数积分变换复习题

复变函数积分变换复习题

复变函数及拉普拉斯变换复习题一、选择题 1.复数z=1625825-i 的辐角为（ ）02-4 A.arctan 12B.-arctan12 C.π-arctan 12D. π+arctan122.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（ ） A.圆 B.直线C.椭圆D.双曲线3.复数z=--355(cossin )ππi 的三角表示式为（ ） A.-+34545(cos sin )ππiB.34545(cos sin )ππ-iC. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi4.设z=cosi ，则（ ）A.Imz=0B.Rez=πC.|z|=0D.argz=π 5.复数e 3+i 所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限6.设w=Ln(1-i)，则Imw 等于（ ） A.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,, C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,, 7.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（ ） A.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<2 8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C ()()-+⎰1等于（ ）A.211πin f a n ()!()()++B.2πi n f a !()C.2πif a n ()()D.2πi n f a n !()()9.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（ ）A.1B.2πiC.0D.12πi10.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（ ） A.0 B.2πi C.2πD.-2π11.设函数f z e d z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（ ）A.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +112.设积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z z dz C +⎰12等于（ ）A.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi13.下列积分中，积分值不为零的是（ ） A.()z z dz C323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C ⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=2 14．复数方程z=2+θi e (θ为实参数，0≤θ<2π)所表示的曲线为（ ）04-4 A ．直线 B ．圆周 C ．椭圆D ．抛物线15．已知4z arg 2π=，则argz=（ ） A ．8πB ．4π C ．2πD ．π16．Re(cosi)= （ ） A ．2e e 1-+B ．2e e 1--C ．2e e 1+--D ．2e e 1--17．设f(z)=(1-z)e -z ，则)z (f '=（ ）A ．(1-z)e -zB ．(z -1)e -zC ．(2-z)e -zD ．(z -2)e -z18．设e z =i 31+，则Imz 为（ ）A ．ln2B ．32π C ．2k π,k=1,0±…D ．3π+2k π,k=0, 1±… 19．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=C dz z zcos （ ） A ．i πB ．2i πC ．0D ．120．设C 为正向圆周|z -1|=1，则积分dz )1z (2z 3z 5C32⎰-+-等于（ ）A ．5i πB ．7i πC ．10i πD ．20i π21．设C 为正向圆周|ξ|=1.则当|z|>1时，f(z)==-ξ-ξξπ⎰C3)z )(2(d i21（ ）A ．0B ．1C ．3)2z (2-D ．3)2z (2--22．设z=3+4i,，则Re z 2=( )05-4 A ．-7B ．9C ．16D ．2523．下列复数中，使等式z1=-z 成立的是( ) A ．z=e 2πiB ．z=e πiC ．z=i2e π-D ．z=i 43e π24．设0<t ≤2π,则下列方程中表示圆周的是( ) A ．z=(1+i)tB ．z=e it +2iC ．z=t+tiD ．z=2cost+i3sint25．下列区域为有界单连通区域的是( ) A ．0<|z-i|<1B ．0<Imz<πC ．|z-3|+|z+3|<12D ．0<argz<43π26．若f(z)=u+iv 是复平面上的解析函数，则f '(z)=( )A ．y u i x u ∂∂+∂∂B ．x v i y v ∂∂+∂∂C ．xv i x u ∂∂-∂∂ D ．xvi y v ∂∂-∂∂ 27．设f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≠=-0z ,ze 0z ,A 1z 在整个复平面上解析，则常数A=( )A ．0B ．e -1C ．1D ．e28．设f(z)=ax+y+i(bx+y)是解析函数，则实常数a,b 为( ) A ．a=-1,b=1 B ．a=1, b=1 C ．a=-1,b=-1D ．a=1,b=-129．设z 为复数，则e -iz =( ) A ．cosz+isinzB ．sinz+icoszC ．cosz-isinzD ．sinz-icosz 30．设f(z)和g(z)在有向光滑曲线C 上连续，则下列式子错误．．的是( ) A ．⎰⎰=zCdz )z (f )z (g dz )z (f )z (gB ．⎰⎰--=CC ,dz )z (f dz )z (f 其中C －为C 的反向曲线C ．⎰⎰⎰±=±CCCdz )z (g dz )z (f dz ))z (g )z (f (D ．⎰⎰=CCdz )z (f 3dz )z (f 331．设C 为从-I 到I 的左半单位圆周，则⎰=Cdz |z |( )A ．iB ．2iC ．-iD ．-2i 32． 设C 为正向圆周|z|=2, 则下列积分值不为．．0的是( ) A ．⎰-C dz 1z zB ．⎰C 3zdz cos zC ．⎰C dz zz sinD ．⎰-C zdz 3z e 33．设D 是单连通区域，C 是D 内的正向简单闭曲线，则对D 内的任意解析函数f(z)恒有( )A ．f(z)=⎰ζ-ζζπC d z )(f i 21, z 在C 的外部 B ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 21，z 在C 的内部，n ≥2 C ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπC n d )z ()(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 D ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 34．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a zz+=_，则a 2+b 2的值（ ）08-4 A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1D ．大于135．设2,3z w i z =+=,则（ ） A ．3arg π=w B ．6arg π=wC ．6arg π-=wD ．3arg π-=w36．=i 2ln （ ） A ．2ln B ．i 22ln π+C ．i 22ln π-D ．i i 2Arg 2ln +37．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C⎰=（ ）A ．i π6B ．i π4C ．i π2D ．038．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e zC2-⎰=（ ） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2πD ．i e 22π-39．设C 为正向圆周|z |=2，则dz z e z zC4)1(++⎰=（ ） A ．i e3π B ．e6πC ．ei π2D ．i e 3π 40．设z =1-i ,则Im(21z)=（ ）09-4 A ．-1 B ．-21 C ．21 D ．141．复数z =ii-+23的幅角主值是（ ） A ．0 B ．4π C ．2π D ．43π 42．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（ ）A ．1-2πiB ．)22(πn π-iC ．1+)i π(n π22-D ．1+i π(n π)22+43．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（ ） A ．m =-3,n =-3 B ．m =-3,n =1 C ．m =1,n =-3 D ．m =1,n =144．积分⎰=2i iπz dz e （ ）A ．)1(1i +πB ．1+iC ．πi2D ．π245．设C 是正向圆周,11=-z 则⎰-C dz z z 1)3/sin(2π=（ ） A ．i π23- B ．i π3- C ．i π43 D ．i π2346．设C 是正向圆周3=z ，则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=（ ） A ．i π2- B ．i π- C ．i πD ．2i π47．拉普拉斯变换()[]()dt e t f t f L st ⎰=+∞-0中的f(t)的自变量的范围是 （ ）（A ）()+∞,0 （B ）[)+∞,0 （C ）()+∞∞-, （D ）()0,∞-48．拉普拉斯变换()()dt e t f s F st ⎰=+∞-0中的参数s 是 （ ）（A ） 实变数 （B ）虚变数 （C ）复变数 （D ）有理数49．若()[]()s F t f L =，那么()[]=-t f e L at （ ）（A ）()a s F - (B)()a s F + (C)()e s F as - (D)()a s F s+150．若t ≥0时函数f(t)有拉氏变换()[]1=t f L ，则 （ ）（A ）()()t u t f = （B ）()t t f = （C ）()()t t f δ= （D ）()1=t f 51．若()[]()s F t f L =，那么()[]=+a t f L （ ）（A ）()s F e as - （B ）()s F e as （C ）()a s F e as -- （D ）()a s F e as +52．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t f t L 1（ ）（A ）()s F '- （B ）()s F s 1（C ）()ds s F s ⎰+∞ （D ）()ds s F s ⎰053．若()[]()s F t f L =，那么()[]='t f L （ ）（A ）()s F ' （B ）()s sF （C ）()s F s ' （D ）()()0f s sF -54．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dt t f L t 0 （ ） （A ）()s F s 1（B ）()ds s F s ⎰+∞ （C ）()ds s F s ⎰0（D ）()s F s e -55．若()[]()s F t f L =，当0>a 时，那么()[]=at f L （ ）（A ）()s F a 1 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛a s F a 1 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛a s aF （D ）()a s F - 56．若()[]()s F t f L =，且()()000='=f f ，那么()[]=''t f L （ ）（A ）()s F s ' （B ）()s F '' （C ）()s F s 2 （D ）()s F s '2 二、填空题1.复数z=4+48i 的模|z|= .2.设z=(1+i)100，则Imz= .3.设z=e 2+i ，则argz= .4.f(z)=z 2的可导处为 . 5.方程lnz=π3i 的解为 . 6.设C 为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C +=⎰. 7.设C 为正向圆周|z -i|=12，则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2.8.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰zd C，其中|z|<2，则'=f ()1 . 9．设i z 101103+-=，则=_z ____________.10．方程i z 31ln π+=的解为____________.11．设C 为从i 到1+i 的直线段，则=⎰zdz CRe ____________.12．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰dz z z C 3_)(____________.13．设C 为正向圆周|z |=2，则⎰=-Cdz z z 32)2(cos π____________.14．复数1i --的指数形式为__________.15．设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i )，则z =__________. 16．区域0<arg z<4π在映射w =z 3下的像为__________.17．设C 为正向圆周,2=z 则⎰=-C zdz z e 12__________. 18.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.19.若cosz=0，则z=________.20.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 21．在复数域内，方程cosz=0的全部解为 。

复变函数题与积分变换复习题

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一、单项选择题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)1．设z 为非零复数，a,b 为实数，若ib a z z +=_，则a 2+b 2的值（ B ）A ．等于0B ．等于1C ．小于1D ．大于12．下列函数中，不解析．．．的函数是（A ） A.w=zB.w=z 2C.w=e zD.w=z+cosz3.沿正向圆周的积分dz z z z ⎰=-221sin =（ B ） Ａ.21sin i π Ｂ.0 Ｃ.1sin i π Ｄ.以上都不对4．对于复数项级数∑∞=+0n n n 6)i 43(，以下命题正确的是（B ）A.级数是条件收敛的 B .级数是绝对收敛的C.级数的和∞D.级数的和不存在，也不为∞5．函数z z tan 在z =0点的留数为（ D ）A ．2B ．iC ．1D ．0二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）1. 方程i z 31ln π+=的解为____________. 2.设C 为正向圆周|z-i 4π|=1,则积分⎰=C dz z cos 1____________. 3. 幂级数∑∞=+0)1(1n nn z i 的收敛半径为__________。

4.()t e t f t 6cos 4-=,则 F(s)= .5. 函数f(t)=t 的傅氏变换为 .三、计算题（本大题共6小题，共60分）1.（10分）设C 为正向圆周|z-1|=3,计算积分I=⎰-Cz dz z z e .)2(2 2. （10分）已知22(,)u x y x y xy =-+,为调和函数,求(,)v x y 及解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+.3. （10分）利用留数计算积分220sin x xdx I x a +∞=+⎰，其中a>0。

4.（10分）将函数f(z)=)i z (z i2+在圆环0<|z|<1内展开成罗朗级数.5（10分）若 f (t )=cos w 0t ⋅ u (t ), 求其Fourier 变换。

复变函数与积分变换复习题

复变函数与积分变换复习题

复变函数与积分变换复习题复习题第一套一、选择题1、满足不等式Im z >1且z <2的所有点z 构成的集合是（）A 有界单连通域B 无界单连通域C 有界复连通域D 无界复连通域2、函数23)(z z f =在点0=z 处是( )A 解析的B 可导的C 不可导的D 既不解析也不可导3、下列命题中，正确的是( )A 设,x y 为实数，则1)cos(≤+iy xB 若0z 是函数)(z f 的奇点，则()f z 在点0z 不可导C 若,u v 在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则()f z u iv =+在D 内解析D 若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析4、设01q <<，则幂级数20n n n q z ∞=∑的收敛半径R =( ) A q B 1qC 0D +∞ 5、函数1()1F s s =-的拉氏逆变换为（） A 1t - B t e -C jt eD te 6、z =∞是函数3232z z z ++的( ) A 可去奇点 B 一级极点C 二级极点D 本性奇点7、映射3w z =在0z i =处的旋转角为( )A 0 B2π C π .D 2π- 8、级数1!nn i n ∞=∑ ( )A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 无法判断9、将单位圆内部变成单位圆内部的分式线性映射为（）A 00i z z w e z z φ--=- B 001i z z w e z z φ--=+ C 001i z z w e z z φ--=- D 001i z z w e z z φ-+=-10、将点1,,1z i =-分别映射为点,1,0w =∞-的分式线性变换为（）A 11z w z +=- B 11z w z+=-C 211i z w e zπ+=- D 211i z w e z π+=-二、填空题1、13i --的幅角的主值为。

2、(1)Ln i -= 。

复变函数积分复习题精编版

复变函数积分复习题精编版

3.1计算积分2Cz dz ⎰，其中C 是：（1）原点到()2i +的直线段； （2）原点到2再到()2i +的折线； （3）原点到i 再沿水平到()2i +的折线。

解：（1）C 的参数方程为()()22201z t i t tit =+=+≤≤()2dz i dt =+于是()()()2221222113Ci i d z d t i z t +++==⎰（2）12C C C =+，1C 参数方程为()02z tt =≤≤，2C 参数方程为()201z itt =+≤≤()()122212222122113CC C z dz z dz z dz t dt id it i t +=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰ （3）12C C C =+，1C 参数方程为()01z itt =≤≤，2C 参数方程为()02z t it =+≤≤()()()12212222212113CC C z dz z dz z dz it idt dt t i i +=+++==⎰⎰⎰⎰⎰ 3.2设C 是,i z e θθ=是从π-到π的一周，计算：（1）()Re Cz dz ⎰；（2）()Im Cz dz ⎰；（3）Czdz ⎰ 解：cos sin i z e i θθθ==+，()sin cos dz i d θθθ=-+ （1）()()Re cos sin cos Cz dz i d i ππθθθθπ-=-+=⎰⎰；（2）()()Im sin sin cos Cz dz i d ππθθθθπ-=-+=-⎰⎰；（3）()()cos sin sin cos 2Czdz i i d i ππθθθθθπ-=--+=⎰⎰3.3计算积分Cz zdz ⎰，其中C 是由直线段11,0x y -≤≤=及上半单位圆周组成的正向闭曲线。

解：12C C C =+，1C 表示为z x iy =+，()11,0x y -≤≤=；2C 表示为()cos sin 0z x iy i θθθπ=+=+≤≤，()sin cos dz i d θθθ=-+，()()1211cos sin sin cos CC C z zdz z zdz z zdzx xdx i i d iπθθθθθπ-=+=+--+=⎰⎰⎰⎰⎰3.5沿下列指定曲线的正向计算积分()21C dzz z +⎰的值：（1）1:2C z =；（2）3:2C z =；（3）1:2C z i +=；（4）3:2C z i -=。