中考数学轨迹问题集锦

动点问题讲义
1、如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧
分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移
动的路径长度为_______．
2、正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ 沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来位置，则点P运动的路径长为_______ cm．（结果保留π）
3、如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C在⊙O上运动一周，点D运动的路径长为_______
4、如图，一块边长为6cm的等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺时针方向旋转到△A′B′C′的位置，则边AB的中点D运动的路径长是_______
5、如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．
（1）求O点所运动的路径长；
（2）O点走过路径与直线L围成图形的面积．
6、如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C运动形成的路径长是______
7、如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上有一运动的点P ．从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ．设△OPH 的心为I ，当点P 在弧AB 上从点A 运动到点B 时，心I 所经过的路径长为______ ．
8．如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连结EG 、FG ．
（1）设AE ＝x 时，△EGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值围； （2）P 是MG 的中点，请直接写出点P 运动路线的长．
9、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8． 问题思考：
如图1，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP 、BP 为边在同侧作正方形APDC 、BPEF ．
（1）当点P 运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．
（2）分别连接AD 、DF 、AF ，AF 交DP 于点K ，当点P 运动时，在△APK 、△ADK 、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由． 问题拓展：
（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ=8．若点P 从点A 出发，沿A →B →C →D 的线路，向点D 运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长． （4）如图3，在“问题思考”中，若点M 、N 是线段
AB 上的两点，且AM=BN=1，点G 、H 分别是边CD 、EF 的中点，请直接写出点P 从M 到
N 的运动过程中，GH 的中点O 所经过的路径的长及OM+OB 的最小值．
10、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t ≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=____ ,PD=____
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．
11、在直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（0，-1），点C是x轴上一个动点。

（1）如图1，△AOB和△BCD都是等边三角形，当点C在x轴上运动时，请探究点D的运动轨迹；
（2）如图2，△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，当点C在x轴上运动时，请探究点D的运动轨迹；（3）如图3，四边形OABE是正方形，请你画出正方形BCDF（BCDF按照逆时针顺序），并探究当点C在x轴上运动时，点D的运动轨迹。

12、如图，在直角坐标系中，A点坐标为（0，6），B点坐标为（8，0），点P沿射线BO以每秒2个单位的速度匀速运动，同时点Q从A到O以每秒1个单位的速度匀速运动，当点Q运动到点O时两点同时停止运动．（1）设P点运动时间为t秒，M为PQ的中点，请用t表示出M点的坐标为________
（2）设△BPM的面积为S，当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）请画出M点的运动路径，并说明理由；
（4）若以A为圆心，AQ为半径画圆，t为何值时⊙A与点M的运动路径只有一个交点？
13、如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0.3），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形A OB（此时点P与点B重合）．
（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？
（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．
14、如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA，过点P作PD⊥OB于点D．
（1）填空：PD的长为用含t的代数式表示）；（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（3）在点P 从O 向A 运动的过程中，△PCA 能否成为直角三角形？求t 的值．若不能，说理由； （4）填空：在点P 从O 向A 运动的过程中，点C 运动路线的长为
.
15、等边三角形ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，连结AF ，BE 相交于点P . （1）若AE =CF .①求证：AF =BE ，并求∠APB 的度数.②若AE =2，试求AP AF 的值. （2）若AF =BE ，当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长.
16、如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 _________ ． 20、在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣2，0），点B （0，2），点E ，点F 分别为OA ，OB 的中点．若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形OE ′D ′F ′，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE ′，BF ′的长；
x y O
A B D C P x y O A B
（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；
（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．
17、如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作⊙O，点F 为⊙O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与⊙O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当⊙O与射线BD相切时，点E停止移动．在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，
OC＝2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止
运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点
P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值；若不能，请说
明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长.
19.如图，直角坐标系中，已知点A （2，4），B （5，0），动点P 从B 点出发沿BO 向终点O 运动，动点Q 从A 点出发沿AB 向终点B 运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x 秒．
（1）Q 点的坐标为( , )
（用含x 的代数式表示）； （2）当x 为何值时，△APQ 是一个以AP 为腰的等腰三角形？
（3）记PQ 的中点为G ．请你直接写出点G 随点P ，Q 运动所经过的路线的长度．
20、问题探究：
（1）请在图①的正方形ABCD ，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．
（2）请在图②的正方形ABCD （含边），画出使∠APB=60°的所有的点P ，并说明理由． 问题解决：
（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD ，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP ′D 钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△APB 的面积（结果保留根号）．
A
D
C
B
O
P
x y。