中考数学轨迹问题集锦

动点问题讲义1、如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．2、正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ 沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来位置，则点P运动的路径长为_______ cm．（结果保留π）3、如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C在⊙O上运动一周，点D运动的路径长为_______4、如图，一块边长为6cm的等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺时针方向旋转到△A′B′C′的位置，则边AB的中点D运动的路径长是_______5、如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．（1）求O点所运动的路径长；（2）O点走过路径与直线L围成图形的面积．6、如图，OA ⊥OB ，垂足为O ，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上两个动点，点C 是线段PQ 的中点，且PQ=4．则动点C 运动形成的路径长是______7、如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上有一运动的点P ．从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ．设△OPH 的内心为I ，当点P 在弧AB 上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为______ ．8．如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连结EG 、FG ．（1）设AE ＝x 时，△EGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）P是MG 的中点，请直接写出点P 运动路线的长．9、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．10、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t ≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=____ ,PD=____（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．11、在直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（0，-1），点C是x轴上一个动点。

运动轨迹1、如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．2、正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来位置，则点P运动的路径长为_______ cm．（结果保留π）3、如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C在⊙O上运动一周，点D运动的路径长为_______4、如图，一块边长为6cm的等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺时针方向旋转到△A′B′C′的位置，则边AB的中点D运动的路径长是_______5、如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．（1）求O点所运动的路径长；（2）O点走过路径与直线L围成图形的面积．6、如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C运动形成的路径长是______7、如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为______ ．8、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C →D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．9、如图，抛物线y=ax2+bx+3过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P为线段OC上的动点，连接BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，求点N运动路径的长．10、等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P.的值.（1）若AE=CF.①求证：AF=BE，并求∠APB的度数.②若AE=2，试求AP AF（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.11、如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作⊙O，点F为⊙O与射线BD 的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与⊙O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当⊙O与射线BD相切时，点E停止移动．在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．。

实用文档【中考数学综合711、如图1,线段AB= 6, C D是AB上两点,且AC= DB= 1, P是线段CD上一动点,在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF G为线段EF的中点,点P由点C移动到点D时,G点移动的路径长度为.xA 4#…尸…A MCPQ ND图1 图22、正△ ABC的边长为3cm,边长为1cm的正△ RPQ勺顶点沿着边AB, BC, CA逆时针连续翻转〔如下图〕,直至点______ cm .〔结果保存兀〕3、如图,AB为..的直径,AB=8,点C为圆上任意一点, 的路径长为______________ R与点A重合,点巳Q分别在AC, AB上,将^ RPQ P第一次回到原来位置,那么点P运动的路径长为/⑶0 BODL AC于D,当点C在O O上运动一周,点D运动4、如图,一块边长为6cm的等边三角形木板ABC在水平桌面上绕位置,那么边AB的中点D运动的路径长是_________j B.AAR c〔c〕⑷5、如下图,扇形OABR图①无滑动旋转到图②,再由图②到图③,, 〔1〕求O点所运动的路径长；C点按顺时针方向旋转到△ A' B' C的4 O=60° , OA=1.〔2〕 O点走过路径与直线L围成图形的面积.标准文案0 A3, 0点C 运动形成的路径长是 90°的扇形OABW 弧AB 上有一运动的点 P.从点P 向半径OA 弓|垂线PH 交 当点P 在弧AB 上从点A 运动到点B 时,内心I 所经过的路径长为8.如图,正方形 ABCD 勺边长是2, M 是AD 的中点,点E 从点A 出发,沿AB 运动到点B 停止.连接EM 并延长交射线 CDT 点F,过M 作EF 的垂线交射线 BC 于点G 连结EG FG(1)设AE= x 时,△ EGF 勺面积为V ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围；(2) P 是MG 勺中点,请直接写出点 P 运动路线的长.6、如图, O4 OB,垂足为O, P 、Q 分别是射线OA OB 上两个动点,点 C 是线段PQ 的中点,且PQ=4那么动B7、如图,半径为2cm,圆心角为OA 于点H.设△ OPH 的内心为I ,9、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究, AB=8.问题思考：如图1,点P为线段AB上的一个动点,分别以AR BP为边在同侧作正方形APDC BPEF(1)当点P运动时,这两个正方形的面积之和是定值吗？假设是,请求出；假设不是,请求出这两个正方形面积之和的最小值.(2)分别连接AR DF、AF, AF交DP于点K,当点P运动时,在^ APK △ ADK 4DFK中,是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展:(3)如图2,以AB为边作正方形ABCD动点P、Q在正方形ABCD勺边上运动,且PQ=8假设点P从点A出发, 沿A- B-O D的线路,向点D运动,求点P从A到D的运动过程中,PQ的中点O所经过的路径的长.(4)如图3,在“问题思考〞中,假设点M N是线段AB上的两点,且AM=BN=1点G H分别是边CD EF的中点,请直接写出点P从M到N的运动过程中,GH的中点O所经过的路径的长及OM+O的最小值.Si肆图310、如图1,在Rt^ABC中,/ 0=90° , AC=6 BC=8动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD// BC交AB于点D,连接PQ分别从点A C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t >0).(1)直接用含t的代数式分别表示：QB=,PD=(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ^菱形？假设存在,求出t的值；假设不存在,说明理由.并探究如何改变Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQB某一时刻为菱形,求点Q的速度；(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ中点M所经过的路径长.11、在直角坐标系中, O是坐标原点,点A坐标为(0, -1 ),点C是x轴上一个动点.(1)如图1, 4AO*口△BCD^B是等边三角形,当点C在x轴上运动时,请探究点D的运动轨迹；(2)如图2, 4ABO和^ACD^B是等腰直角三角形,当点C在x轴上运动时,请探究点D的运动轨迹;(3)如图3,四边形OABE^正方形,请你画出正方形BCDF( BCDF根据逆时针顺序),并探究当点C 上运动时,点D的运动轨迹.12、如图,在直角坐标系中, A点坐标为(0, 6), B点坐标为(8, 0),点P沿射线BO以每秒2个单位的速度匀速运动,同时点Q从A到O以每秒1个单位的速度匀速运动,当点Q运动到点O时两点同时停止运动.(1)设P点运动时间为t秒,M为PQ的中点,请用t表示出M点的坐标为(2)设^ BPM勺面积为S,当t为何值时,S有最大值,最大值为多少？(3)请画出M点的运动路径,并说明理由;(4)假设以A为圆心,AQ为半径画圆,t为何值时.A与点M的运动路径只有一个交点?13、如图,抛物线y=ax2+bx+3过点A (1, 0), B (3, 0),与y轴相交于点C. (1)求抛物线的解析式；(2)假设点E为抛物线对称轴上的一点,请探索抛物线上是否存在点F,使以A, B, E, F为顶点的四边形为平行四边形？假设存在,请求出所有点F的坐标；假设不存在,请说明理由；J | ,(3)假设点P为线段OC上的动点,连接BP,过点C作CN垂直于直线BP,i : 1垂足为N,当点P从点O运动到点C时,求点N运动路径的长.14、如图,在直角坐标系中,点 A 的坐标是〔0.3〕,点C 是x 轴上的一个动点,点 C 在x 轴上移动时,始终 保持△ AC 幅等边三角形.当点 C 移动到点O 时,得到等边三角形 AOB 〔此时点P 与点B 重合〕.〔1〕点C 在移动的过程中,当等边三角形 ACP 的顶点P 在第三象限时〔如图〕,求证：△ AOC2△ ABFP 由此 你发现什么结论？〔2〕求点C 在x 轴上移动时,点 P 所在函数图象的解析式.15、如图,边长为4的等边三角形 AOB 勺顶点O 在坐标原点,点 A 在x 轴正半轴上,点 B 在第一象限.一动 点P 沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点 A 匀速运动,当点 P 到达点A 时停止运动,设点 P 运动的时间是t 秒.将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转 60.得点C,点C 随点P 的运动而运动,连接 CP CA 过点 P 作PDL O 时点D.,用含t 的代数式表示〕；〔2〕求点C 的坐标〔用含t 的代数式表示〕； 在点P 从O 向A 运动的过程中,△ PCAf 归否成为直角三角形？求 t 的值.假设不能,说理由; 填空：在点 P 从O 向A 运动的过程中,点 C 运动路线的长为 —. 16、等边三角形 ABC 勺边长为6,在AG BC 边上各取一点 E, F,连结AF, BE 相交于点P. (1)假设AE=CF ①求证：AF =BE 并求/ APB 勺度数.②假设AE=2,试求AP ,AF 的值.(1)(3)(4) 填空：PD 的长为(2)假设AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长.s F C17、如图,E, F是正方形ABCM边AD上两个动点,满足AE=DF连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.假设正方形的边长为2,那么线段DH长度的最小值是 .20、在平面直角坐标系中, O为原点,点A (- 2, 0),点B (0, 2),点E,点F分别为OA OB的中点.假设正方形OED嗓点O顺时针旋转,得正方形OE D' F',记旋转角为a .F(I)如图①,当“二90°时,求AE' , BF'的长；(II)如图②,当a =135°时,求证AE'=BF',且AE',BF';(出)假设直线AE'与直线BF'相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可)18、如图,矩形ABCD的边AB=3cn^ AD=4^ 点E从点A出发,沿射线AD移动,以CE为直径作.O,点F为.O与射线BD的公共点,连接EF、CF,过点E作EG!EF, EG与..相交于点G,连接CG(1) 试说明四边形EFC比矩形；(2) 当.O与射线BD相切时,点E停止移动.在点E移动的过程中,①矩形EFCG勺面积是否存在最大值或最小值？假设存在,求出这个最大值或最小值；假设不存在,说明理由；②求点G移动路线的长.19 .如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC勺两边OA OC分别在x轴、y轴的正半轴上,O44,OG= 2 .点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90.得点D,点D随点P的运动而运动,连接DR DA 标准文案实用文档(1)请用含t的代数式表示出点D的坐标；(2)求t为何值时,△ DPA勺面积最大,最大为多少？(3)在点P从O向A运动的过程中,△ DP厢归否成为直角三角形？假设能,求t的值；假设不能,请说明理由；(4)请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长20 .如图,直角坐标系中,点A (2, 4) , B (5, 0),动点P从B点出发沿BO向终点O运动, 动点Q从A点出发沿AB向终点B运动.两点同时出发,速度均为每秒1个单位,设从出发起运动了x秒.(1) Q点的坐标为( ) (用含x的代数式表示)；(2)当x为何值时,△ APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？(3)记PQ的中点为G请你直接写出点G随点P, Q运动所经过的路线的长度.21、问题探究：(1)请在图①的正方形ABCXJ,画出使/ APB=90的一个点,并说明理由.(2)请在图②的正方形ABCXJ (含边),画出使/ APB=60°的所有的点P,并说明理由.问题解决：(3)如图③,现在一块矩形钢板ABCD AB=4, BC=3工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的4APB和^CP D钢板,且/ APB=Z CP'D=60度.请你在图③中画出符合要求的点和, 并求出△ APB 22.：矩形纸片2BCD中,2B=26厘米,BC=18.5厘米,点E在2D上,且2E=6厘米,点P是2B 边上一动点.按如下操作：的面积(结果保存根号)步骤一,折叠纸片,使点P与点E重合,展开纸片得折痕MN〔如了1所示〕；步骤二,过点P作PT± AB,交MN^在的直线于点Q,连接QE 〔手图9所示〕〔1〕无论点P在AB边上任何位置,都有PQ QE 〔填“>〞、"="、“<〞号〕；〔2〕如图3所示,将纸片ABCD^在直角坐标系中,按上述步骤一、二进行操作：①当点P在A点时,P3与MN交于点55, Q点的坐标是〔 , 〕;②当PA=6厘米日PT与MN^于点r2, Q点的坐标是〔 , 〕;③当PA=d2厘米时,在图3中画出MN PT 〔不要求写画法〕,并求出MN与PT的交点Q的坐标；〔3〕点P在运动过程,PT与MN^成一系列着交点Q, Q, Q,…观察、猜测：众的的交点形成的图象是什么并直接写出该图象的函数表达式.C图1 图2 图3。

【中考数学综合7】1、如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．2、正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来位置，则点P运动的路径长为_______ cm．（结果保留π）3、如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C在⊙O上运动一周，点D运动的路径长为_______4、如图，一块边长为6cm的等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺时针方向旋转到△A′B′C′的位置，则边AB的中点D运动的路径长是_______5、如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．（1）求O点所运动的路径长；（2）O点走过路径与直线L围成图形的面积．6、如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C运动形成的路径长是______7、如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上有一运动的点P ．从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ．设△OPH 的内心为I ，当点P 在弧AB 上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为______ ．8．如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连结EG 、FG ．（1）设AE ＝x 时，△EGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）P 是MG 的中点，请直接写出点P 运动路线的长．F D A M P E F D A M P E9、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．10、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB 于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=____ ,PD=____（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．11、在直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（0，-1），点C是x轴上一个动点。

动点问题讲义1 、如图 1 ，已知线段AB ＝ 6 ， C、 D 是 AB 上两点，且AC ＝ DB ＝ 1 ， P 是线段 CD 上一动点，在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF， G 为线段 EF 的中点，点P 由点 C 移动到点 D 时， G 点移动的路径长度为_______．2 、正△ABC 的边长为3cm ，边长为1cm 的正△RPQ 的顶点 R 与点 A 重合，点 P， Q 分别在 AC ，AB 上，将△RPQ 沿着边 AB ，BC，CA 逆时针连续翻转（如图所示），直至点P 第一次回到原来位置，则点P 运动的路径长为_______ cm．（结果保留π）3 、如图， AB 为⊙ O 的直径， AB=8 ，点 C 为圆上任意一点，OD ⊥ AC 于 D ，当点 C 在⊙ O 上运动一周，点D 运动的路径长为 _______4 、如图，一块边长为6cm 的等边三角形木板ABC ，在水平桌面上绕 C 点按顺时针方向旋转到△ A ′B′C′的位置，则边AB 的中点 D 运动的路径长是_______5 、如图所示，扇形OAB 从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60 °，OA=1 ．（1 ）求 O 点所运动的路径长；（2 ）O 点走过路径与直线 L 围成图形的面积．6 、如图， OA ⊥OB ，垂足为O ， P、 Q 分别是射线OA 、 OB 上两个动点，点 C 是线段 PQ 的中点，且PQ=4 ．则动点 C 运动形成的路径长是______7 、如图，半径为2cm ，圆心角为90 °的扇形 OAB 的弧 AB 上有一运动的点P．从点 P 向半径 OA 引垂线PH 交 OA 于点 H ．设△OPH 的内心为I，当点 P 在弧 AB 上从点 A 运动到点 B 时，内心 I 所经过的路径长为______ ．8 ．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点 B 停止．连接EM 并延长交射线CD于点，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结、．F EG FG（ 1 ）设AE＝x时，△EGF的面积为y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（ 2 ）P是MG的中点，请直接写出点P 运动路线的长．FFAM DA M DEEP PB C GB C G9 、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8 ．问题思考：如图 1，点 P 为线段 AB 上的一个动点，分别以AP 、BP 为边在同侧作正方形APDC 、 BPEF．（1）当点 P 运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接 AD 、 DF、 AF ，AF 交 DP 于点 K，当点 P 运动时，在△ APK 、△ADK 、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3 ）如图 2，以 AB 为边作正方形ABCD ，动点 P、 Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ=8 ．若点 P 从点A 出发，沿 A → B→ C→D 的线路，向点 D 运动，求点 P 从 A 到 D 的运动过程中， PQ 的中点 O 所经过的路径的长．（4）如图 3，在“问题思考”中，若点M 、 N 是线段 AB 上的两点，且 AM=BN=1 ，点 G、H 分别是边CD 、EF 的中点，请直接写出点P 从 M 到 N 的运动过程中， GH 的中点 O 所经过的路径的长及OM+OB的最小值．10 、如图 1 ，在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，AC=6 ， BC=8 ，动点 P 从点 A 开始沿边AC 向点 C 以 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边CB 向点 B 以每秒 2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB 于点 D，连接 PQ 分别从点 A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒（ t ≥0）．（1 ）直接用含 t 的代数式分别表示： QB=____ ,PD=____（2 ）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变 Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；（ 3 ）如图 2 ，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点 M 所经过的路径长．11 、在直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 坐标为（ 0 ， -1 ），点 C 是 x 轴上一个动点。

动点问题讲义1、如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．2、正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ 沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来位置，则点P运动的路径长为_______ cm．（结果保留π）3、如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C在⊙O上运动一周，点D运动的路径长为_______4、如图，一块边长为6cm的等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺时针方向旋转到△A′B′C′的位置，则边AB的中点D运动的路径长是_______5、如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．（1）求O点所运动的路径长；（2）O点走过路径与直线L围成图形的面积．6、如图，OA ⊥OB ，垂足为O ，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上两个动点，点C 是线段PQ 的中点，且PQ=4．则动点C 运动形成的路径长是______7、如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上有一运动的点P ．从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ．设△OPH 的内心为I ，当点P 在弧AB 上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为______ ．8．如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连结EG 、FG ．（1）设AE ＝x 时，△EGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）P 是MG 的中点，请直接写出点P 运动路线的长．FDC A B M P G EFD C A B M PGE9、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．10、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t ≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=____ ,PD=____（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．11、在直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（0，-1），点C是x轴上一个动点。

【中考数学综合7】1、如图 1，已知线段AB＝ 6，C、 D是 AB上两点，且 AC＝ DB＝ 1，P 是线段 CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF， G为线段 EF 的中点，点P 由点 C 搬动到点 D 时， G点移动的路径长度为_______．2、正△ ABC的边长为3cm，边长为 1cm 的正△ RPQ的极点 R与点 A 重合，点 P，Q分别在 AC，AB上，将△RPQ沿着边 AB， BC， CA逆时针连续翻转（以下列图），直至点P 第一次回到原来地址，则点P 运动的路径长为_______ cm ．（结果保留π ）3、如图， AB 为⊙ O的直径， AB=8，点 C 为圆上任意一点， OD⊥ AC于 D，当点 C 在⊙ O上运动一周，点 D 运动的路径长为 _______4、如图，一块边长为 6cm 的等边三角形木板 ABC，在水平桌面上绕 C点按顺时针方向旋转到△ A′B′ C′的地址，则边 AB的中点 D 运动的路径长是 _______5、以下列图，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°， OA=1．（1）求 O点所运动的路径长；（2） O点走过路径与直线 L 围成图形的面积．6、如图， OA⊥ OB，垂足为 O， P、 Q分别是射线 OA、 OB上两个动点，点 C 是线段 PQ的中点，且 PQ=4．则动点 C 运动形成的路径长是 ______7、如图，半径为 2cm，圆心角为 90°的扇形 OAB的弧 AB上有一运动的点 P．从点 P 向半径 OA引垂线 PH交OA于点H．设△ OPH的内心为 I ，当点 P 在弧 AB上从点 A 运动到点 B 时，内心 I 所经过的路径长为 ______ ．8．如图，正方形ABCD的边长是2，M是 AD的中点，点E从点 A 出发，沿 AB运动到点 B停止．连接EM并延长交射线CD于点 F，过 M 作（1）设AE＝x时，△EGF的面积为（2）P是MG的中点，请直接写出点EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量P运动路线的长．Fx的取值范围；FA M DA M DEE PPB C GB C G9、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行研究，已知AB=8．问题思虑：如图 1，点 P 为线段 AB上的一个动点，分别以AP、 BP为边在同侧作正方形APDC、 BPEF．（1）当点 P 运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，央求出；若不是，央求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接 AD、DF、 AF， AF交 DP于点 K，当点 P 运动时，在△ APK、△ ADK、△ DFK中，可否存在两个面积向来相等的三角形？请说明原由．问题拓展：（3）如图 2，以 AB 为边作正方形 ABCD，动点 P、Q在正方形 ABCD的边上运动，且 PQ=8．若点 P 从点 A 出发，沿 A→ B→ C→ D的线路，向点 D运动，求点 P 从 A 到 D 的运动过程中， PQ的中点 O所经过的路径的长．（4）如图 3，在“问题思虑”中，若点 M、 N 是线段 AB上的两点，且 AM=BN=1，点 G、 H分别是边 CD、 EF 的中点，请直接写出点 P 从 M到 N 的运动过程中， GH的中点 O所经过的路径的长及 OM+OB的最小值．10、如图 1，在 Rt △ ABC中，∠ C=90°， AC=6， BC=8，动点 P从点 A 开始沿边 AC向点 C以 1个单位长度的速度运动，动点Q从点 C开始沿边CB向点 B 以每秒 2个单位长度的速度运动，过点P 作 PD∥ BC，交 AB于点 D，连接 PQ分别从点A、 C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（ t≥ 0）．（1）直接用含 t 的代数式分别表示： QB=____ ,PD=____（2）可否存在 t 的值，使四边形 PDBQ为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明原由．并研究如何改变 Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时辰为菱形，求点Q的速度；（ 3）如图 2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点 M所经过的路径长．11、在直角坐标系中，O是坐标原点，点 A 坐标为（ 0， -1 ），点 C 是 x 轴上一个动点。

与路径有关的问题姓名1．如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，⊥x轴于点M，交直线﹣x于点N．若点P是线段上的一个动点，∠30°，⊥，则点P在线段上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径是．2.如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是．3．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y 轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF AE⊥于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．32πB．33π C．34πD．36πyxGFOEDCBA5．如图，正方形的边长是2，M 是的中点，点E 从点A 出发，沿运动到点B 停止．连接并延长交射线于点F ，过M 作的垂线交射线于点G ，连结、．（1）设＝x 时，△的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）P 是的中点，请直接写出点P 运动路线的长．6x上，＝4，＝2．点P 从点O A 匀速运动，当点P到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段的中点绕点P 按顺时针方向旋转90°得点D ，点D 随点P 的运动而运动，连接、．（1）请用含t 的代数式表示出点D 的坐标； （2）求t 为何值时，△的面积最大，最大为多少？（3）在点P 从O 向A 运动的过程中，△能否成为直角三角形？若能，求t 的值；若不能，请说明理由； （4）请直接写出随着点P 的运动，点D 运动路线的长.7.如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿向终点O运动，动点Q从A点出发沿向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x秒．（1）Q点的坐标为( , )（用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时，△是一个以为腰的等腰三角形？（3）记的中点为G．请你直接写出点G随点P，Q运动所经过的路线的长度．G G9.如图1，已知正方形的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是的中点．P(0，m)是线段上一个动点(点C除外)，直线交的延长线于点D．(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；(2)当△是等腰三角形时，求m的值；(3)设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点O作直线图1图2备用图1备用图2的垂线，垂足为H (如图2)．当点P 从原点O 向点C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路径长(不写解答过程)．10、问题探究：（1）请在图①的正方形内，画出使∠90°的一个点，并说明理由．（2）请在图②的正方形内（含边），画出使∠60°的所有的点P，并说明理由．问题解决：（3）如图③，现在一块矩形钢板，4，3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△和△′D钢板，且∠∠'60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△的面积（结果保留根号）．。

中考数学轨迹问题1、如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．2、正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来位置，则点P运动的路径长为_______ cm．（结果保留π）3、如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C在⊙O上运动一周，点D运动的路径长为_______4、如图，一块边长为6cm的等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺时针方向旋转到△A′B′C′的位置，则边AB的中点D运动的路径长是_______5、如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．（1）求O点所运动的路径长；（2）O点走过路径与直线L围成图形的面积．6、如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C运动形成的路径长是______7、如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH 交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为______ ．8．如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P 是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是 ．9、如图，已知点A 是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y=﹣x 于点N ．若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB=30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是 ．10.如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连结EG 、FG ．（1）设AE ＝x 时，△EGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）P 是MG 的中点，请直接写出点P 运动路线的长．11.如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A 、B 两点，点P 为线段OA 上的动点，连接BP ，过点A作AM 垂直于直线BP ，垂足为M ，当点P 从点O 运动到点A 时，则点M 运动路径的长为 ．12．如图，抛物线y=x 2﹣x ﹣与直线y=x ﹣2交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），动点P 从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．若使点P 运动的总路径最短，则点P 运动的总路径的长为（）．．点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）．．如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．15、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=____ ,PD=____（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．16、在直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（0，-1），点C是x轴上一个动点。

【中考数学综合7】1、如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．2、正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ 沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来位置，则点P运动的路径长为_______ cm．（结果保留π）3、如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C在⊙O上运动一周，点D运动的路径长为_______4、如图，一块边长为6cm的等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺时针方向旋转到△A′B′C′的位置，则边AB的中点D运动的路径长是_______5、如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．（1）求O点所运动的路径长；（2）O点走过路径与直线L围成图形的面积．6、如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C运动形成的路径长是______7、如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为______ ．8．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG．（1）设AE＝x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．FDA MPEFDCA MPGE9、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．10、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t ≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=____ ,PD=____（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．11、在直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（0，-1），点C是x轴上一个动点。