2020届北京市丰台区高三上学期期末练习数学试题

丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U A B ⋃=ð（）A.{3,2}-- B.{3,2,1,2}--C.{3,2,1,0,1}--- D.{3,2,1,0,2}---【答案】A【解析】【分析】由补集和并集的定义求解即可.【详解】因为{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，U ð(){}3,2A B ⋃=--.故选：A .2.若(1i)1i z -=+，则||z =（）A.iB.1C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可.【详解】因为(1i)1i z -=+，所以()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z +++====-+-，所以i 1z z =-=，，故选：B ．3.在6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（）A.120- B.120C.60- D.60【答案】D【解析】【分析】求出6(2)x y -的通项，令2r =即可得出答案.【详解】6(2)x y -的通项为：()()66166C 2C 2r rr r r r r r T x y x y --+=-=-，令2r =可得：42x y 的系数为()226C 215460-=⨯=.故选：D .4.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积129,,,a a a L （单位：L ）依次成等差数列，若1233a a a ++=，80.4a =，则129a a a +++= （）A.5.4B.6.3C.7.2D.13.5【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质及求和公式求解.【详解】∵129,,,a a a L 依次成等差数列，1233a a a ++=，∴233a =，即21a =，又80.4a =，则()()()81912299910.49 6.3222a a a a a a a +⨯+⨯+⨯+++==== .故选：B.5.已知直线y kx =与圆221x y +=相切，则k =（）A.1± B.C. D.2±【答案】B【解析】【分析】根据题意可得圆心(0,0)O 到0-=kx y 的距离等于半径1，即可解得k 的值．【详解】直线y kx =+即0-=kx y ，由已知直线y kx =+与圆221x y +=相切可得，圆221x y +=的圆心(0,0)O 到0kx y -=的距离等于半径1，1=，解得k =，故选：B ．6.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式π()tan 4f x x >的解集是（）A.{|20}x x -<< B.{|01}x x <<C.{|21}x x -<< D.{|12}x x -<<【答案】C【解析】【分析】利用正切型函数的图象与性质结合分段函数性质即可得到解集.【详解】设()πtan4h x x =，令π242k x k ππππ-<<+，且k ∈Z ，解得4242k x k -<<+，k ∈Z ，令0k =，则22x -<<，则()h x 在()2,2-上单调递增，()00h =1,1BC AC k k =-=，则2,02()2,20x x f x x x -+≤<⎧=⎨+-<<⎩，则当20x -<≤时，()0h x ≤，()0f x >，则满足()()f x h x >，即π()tan 4f x x >，当02x <<时，()11f =，且()f x 单调递减，()11h =，且()h x 单调递增，则()0,1x ∈时，()()f x h x >，即π()tan4f x x >；()1,2x ∈时，()()f x h x <，即()πtan 4f x x <；综上所述：π()tan4f x x >的解集为()2,1-，故选；C.7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D --为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，因为二面角A BC D --为直二面角，可得平面ABC ⊥平面BCD ，又因为平面ABC ⋂平面BCD BC =，DC BC ⊥，且DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABC ，所以①正确；对于②中，由DC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，可得AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以②正确；对于③中，由AB ⊥平面ACD ，且AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ，所以③正确；对于④，中，因为DC ⊥平面ABC ，且DC ⊂平面BCD ，可得平面ABC ⊥平面BCD ，若平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =，可得AB ⊥平面BCD ，又因为BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，因为AB 与BC 不垂直，所以矛盾，所以平面ABD 和平面BCD 不垂直，所以D 错误.8.已知,a b 是两个不共线的单位向量，向量c a b λμ=+r r r （,λμ∈R ）．“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+> ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.【详解】当0λ>，且0μ>时，()()()()()22cos ,c a b a b a b a a b b a b λμλλμμλμλμ⋅+=+⋅+=++⋅+=+++ ()0λμλμ>+-+=，充分性满足；当()0c a b ⋅+> 时，()()cos ,c a b a b λμλμ⋅+=+++ ，当0λ>，0μ=时，()cos ,c a b a b λλ⋅+=+ 是可以大于零的，即当()0c a b ⋅+> 时，可能有0λ>，0μ=，必要性不满足，故“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+>”的充分而不必要条件.故选：A .9.在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（）A.18B.19C.31D.37【答案】B【分析】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b ，将这八张纪念卡分为四组，共有3种分法，再分给四个人，分别求解即可.【详解】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b①每人得到一张a ，一张b ，共有1种分法；②将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a a a a b b b b 四组，再分给四个人，则有2242C C 6=种分法③将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a b a a a b b b 四组，再分给四个人，则有2142C C 12=种分法共有：161219++=种.故选：B .10.已知函数2()||2||f x x a x =++，当[2,2]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()M a ，则()M a 的最小值为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【答案】C【解析】【分析】先利用函数的奇偶性，转化为求()f x 在[]0,2上的最大值；再根据a 的取值范围的不同，讨论函数()f x 在[]0,2上的单调性，求函数()f x 的最大值.【详解】易判断函数()f x 为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数()22f x x a x =++，[]0,2x ∈上的最大值()M a .当0a ≥时，()22f x x x a =++，二次函数的对称轴为1x =-，函数在[]0,2上单调递增，所以()()288M a f a ==+≥；当10a -≤<时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，1≤，所以()f x在⎡⎣上递增，在2⎤⎦上也是递增，所以()()287M a f a ==+≥；当41a -<<-时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，因为12<<，所以()f x 在[]0,1上递增，在(上递减，在2⎤⎦上递增，所以()()11M a f a ==-或()()28M a f a ==+，若18a a -≥+⇒742a -≤≤-，则()()9112M a f a ==-≥；若18a a -<+⇒712a -<<-，则()()9282M a f a ==+>;当4a ≤-时，()22f x x x a =-+-，[]0,2x ∈2≥），所以函数()f x 在[]0,1上递增，在(]1,2上递减，所以()()115M a f a ==-≥.综上可知：()M a 的最小值为92.故选：C【点睛】关键点点睛：问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，然后讨论函数在给定区间上的单调性，从而求最大值.认真分析函数的单调性是关键.第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.双曲线2214x y -=的渐近线方程________．【答案】12y x =±【解析】【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214x y -=的a=2，b=1，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y=±b x a ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±12x 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12.已知()44x x f x -=-，则11(()22f f -+=___．【答案】0【解析】【分析】由解析式直接代入求解即可.【详解】因为1122113()442222f -=-=-=，1122113()442222f --=-=-=-，所以11((022f f -+=.故答案为：0.13.矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，且,E F 分为,BC CD 的中点，则AE EF ⋅= ___．【答案】74-##-1.75【解析】【分析】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，求出,AE EF ，由数量积的坐标表示求解即可.【详解】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，()()()()()10,0,2,0,2,1,0,1,2,,1,12A B C D E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以112,,1,22AE EF ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11172122244AE EF ⋅=⨯-+⨯=-+=- .故答案为：74-.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角(0π)αα<<的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ．若记点M 到直线OP 的距离为()f α，则()f α的极大值点为___，最大值为___．【答案】①.π4或3π4②.12##0.5【解析】【分析】根据三角函数的概念得(cos ,sin )P αα及,,OP OM MP ，利用面积法求得()f α，根据α的范围及三角函数的性质讨论()f α的单调性，进而求得答案.【详解】由题意(cos ,sin )P αα，1,cos ,sin OP OM MP αα===，由()1122OP f OM MP α⋅=⋅，得()1πsin 2,0122cos sin sin cos sin 21π2sin 2,π22f αααααααααα⎧<<⎪⎪=⋅===⎨⎪-<<⎪⎩，∴当π04α<<时，()f α单调递增；当ππ42α<<时，()f α单调递减；当π3π24α<<时，()f α单调递增；当3ππ4α<<时，()f α单调递减，则()f α的极大值点为π4或3π4，∵0πα<<，022πα<<，∴当sin 21α=±，即π4α=或3π4α=时，()f α取最大值为12．故答案为：π4或3π4；12.15.在平面直角坐标系内，动点M 与定点(0,1)F 的距离和M 到定直线:3l y =的距离的和为4．记动点M 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：①曲线W 过原点；②曲线W 是轴对称图形，也是中心对称图形；③曲线W 恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；④曲线W 围成区域的面积大于则所有正确结论的序号是___．【答案】①③④【解析】【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案.【详解】设(),M x y ，则MF =，M 到直线l 的距离3d y =-，34y +-=，222(1)(43)x y y +-=--，22221168369x y y y y y +-+=--+-+，224483x y y =---，当3y ≥时，2214812412x y y x =-=-+，，则2214312,12x x x -+≥≤-≤≤，当3y <时，22144x y y x ==，，则2134x <，212x <，x -<<可作图如下：由图可知：曲线W 过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①正确，②错误；曲线W 经过()()()()0,02,10,42,1O A C E -，，，4个点，没有其它整点，故③正确；由()B ，()D -，()0,3F ，四边形AFEO 的面积113462S =⨯⨯=，122ABF EFD S S ==⨯= ，112BCD S =⨯⨯= ，多边形ABCDEO 的面积626S =+⨯=+曲线W 围成区域的面积大于，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在△ABC 中，a =，2π3A =．（1）求C 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出AC 边上的中线的长度．条件①：2a b =；条件②：△ABC 的周长为4+ABC 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得.【小问1详解】在ABC 中，因为sin sin a cA C=，又a =，所以sin A C =．因为2π3A =，所以1sin 2C =．因为π03C <<，所以π6C =．【小问2详解】选择条件②：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为a =，所以24a b c b ++=+=+．所以2b =．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．选择条件③：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为ABC 的面积为312πsin 323ABC S bc ∆==，所以2b c ==．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．由题可知3a b =，故①不合题意.17.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AD PA =，点E 为PA 中点．（1）求证：AD //平面BCE ；（2）点Q 为棱BC 上一点，直线PQ 与平面BCE 所成角的正弦值为515，求BQ BC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）12BQ BC =【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得Q 的坐标，即可得解.【小问1详解】因为正方形ABCD 中，//BC AD ．因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ，所以//AD 平面BCE ．【小问2详解】因为PA ⊥底面ABCD ，正方形ABCD 中AB AD ⊥，分别以,,AB AD AP的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图不妨设2PA =，因为AD PA =，点E 为PA 的中点，点Q 为棱BC 上一点，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,1)E ，(0,0,2)P ，(2,,0)Q m (02)m ≤≤．所以(0,2,0)BC = ，(2,0,1)BE =- ，(2,,2)PQ m =-．设(,,)n x y z =为平面BCE 的法向量，则BCn ⊥ ，BE n ⊥．所以2020BC n y BE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得102x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,0,2)n = ．设直线PQ 与平面BCE 所成角为θ，则sin cos ,15PQ n PQ n PQ n θ⋅==== ，解得21m =，因为02m ≤≤，所以1m =，所以12BQ BC =．18.2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值a ，将该指标小于a 的人判定为阳性，大于或等于a 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p a ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q a ．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．（1）当临界值20a =时，求漏诊率()p a 和误诊率()q a ；（2）从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人，记随机变量X 为未患病者的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记()f a 为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当[20,25]a ∈时，直接写出使得()f a 取最小值时的a 的值．【答案】（1）(20)0.1p =，(20)0.05q =（2）分布列见解析；期望为65（3）20a =【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算可得；（2）利用超几何分布求解；（3）写出()f a 的表达式判单调性求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(20)0.0250.1p =⨯=，(20)0.0150.05q =⨯=．【小问2详解】样本中患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0252⨯⨯=，未患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0353⨯⨯=，总人数为5人．X 可能的取值为0，1，2．202325C C 1(0)10C P X ===，112325C C 3(1)C 5P X ===，022325C C 3(2)10C P X ===．随机变量X 的分布列为X012P11035310随机变量X 的期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】由题，()()()95%5%f a q a p a =⨯+⨯，[20,25]a ∈时，令()20,0,1,2,3,4,5a t t =+=()()50.010.03,50.020.0255t t q a p a ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()50.010.0395%50.020.025%55t t f a g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，关于t 的一次函数系数为()50.0319%0.021%0⨯-⨯>，故()g t 单调递增，则0=t 即20a =时()f a 取最小值19.已知函数2()e ()x f x x ax a =--．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求函数()f x 的导函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，只需保证()01f '=，求实数a 的值即可；（2）求得()0f x '=有两个根“2x =-和x a =”，再分2a <-、2a =-和2a >-三种情况分析函数()f x 的单调性即可.【小问1详解】由题可得2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，因为()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，所以()01f '=，即e(33)0a -=，解得1a =，经检验1a =符合题意．【小问2详解】因为2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，令()0f x '=，得2x =-或x a =．当2a <-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,)a -∞a(,2)a -2-(2,)-+∞()f 'x +-+()f x 单调递增()f a 单调递减(2)f -单调递增所以()f x 在区间(,)a -∞上单调递增，在区间(,2)a -上单调递减，在区间(2,)-+∞上单调递增．当2a =-时，因为2()e (2)0x f x x '=+≥，当且仅当2x =-时，()0f x '=，所以()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增．当2a >-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,2)-∞-2-(2,)a -a(,)a +∞()f 'x +-+()f x 单调递增(2)f -单调递减()f a 单调递增所以()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，在区间(2,)a -上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．综上所述，当2a <-时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞和(2,)-+∞，单调递减区间为(,2)a -；当2a =-时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当2a >-时，()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(,)a +∞，单调递减区间为(2,)a -．20.已知椭圆22:143x y E +=．（1）求椭圆E 的离心率和焦点坐标；（2）设直线1:l y kx m =+与椭圆E 相切于第一象限内的点P ，不过原点O 且平行于1l 的直线2l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于原点O 的对称点为C ．记直线OP 的斜率为1k ，直线BC 的斜率为2k ，求12k k 的值．【答案】（1）离心率为12，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)（2）121k k =【解析】【分析】（1）根据椭圆方程直接求出离心率与焦点坐标；（2）根据直线1l 与椭圆E 相切求出P 坐标并得到134k k=-，法一：设直线2l 的方程为y kx n =+，由韦达定理求出234k k=-证得结论．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，由点差法求2k k ⋅可证得结论．【小问1详解】由题意得2222243a b c a b ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．所以椭圆E 的离心率为12c e a ==，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)．【小问2详解】由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222()4384120k x kmx m +++-=①其判别式Δ0=得222(8)4(43)(412)0km k m -+-=，化简为2243m k =+．此时方程①可化为2228160m x kmx k ++=，解得4kx m=-，(由条件知,k m 异号)．记00(,)P x y ，则04k x m=-，所以220443()k m k y k m m m m -=-+==，即点43(,)k P m m -．所以OP 的斜率13344m k k k m==--．法一：因为12//l l ，所以可设直线2l 的方程为(0,)y kx n n n m =+≠≠．由22,143y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222(43)84120k x knx n +++-=．当其判别式大于零时，有两个不相等的实根，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212228412,4343kn n x x x x k k -+=-=++．因为C 是A 关于原点O 的对称点，所以点C 的坐标为11(,)C x y --．所以直线BC 的斜率22121221212122243384443y y kx n kx n n n k k k k k kn x x x x x x k k k +++++===+=+=-=-+++-+．所以121k k =．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，因为点C 与点A 关于原点对称，所以11(,)C x y --．因为12//l l ，所以直线AB 的斜率为k ，所以22212121222212121y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-．因为点,A B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y+=．两式相减得：22222121043x x y y --+=．所以2221222134y yx x-=--，即234k k⋅=-，所以234kk=-．所以121kk=．【点睛】方法点睛：将P视为1l与椭圆相交弦中点，由中点弦定理得212bk ka⋅=-，设AB中点为M，由中点弦定理得22OMbk ka⋅=-，由2OMk k=得222bk ka⋅=-，故12k k=.21.对于数列{}n a，如果存在正整数T，使得对任意*()n n∈N，都有n T na a+=，那么数列{}na就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期．若周期数列{}n b，{}n c满足：存在正整数k，对每一个*(,)i i k i∈N≤，都有i ib c=，我们称数列{}n b和{}n c为“同根数列”．（1）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；①sinπna n=；②121,1,3,2,, 3.nn nnb nb b n--=⎧⎪==⎨⎪-≥⎩（2）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：6k≤；（3）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是2m+和4m+*()m∈N，求k的最大值．【答案】（1）{}n a、{}n b均是周期数列，数列{}n a周期为1（或任意正整数），数列{}n b周期为6（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由周期数列的定义求解即可；（2）由“同根数列”的定义求解即可；（3）m是奇数时，首先证明25k m+≥不存在数列满足条件，其次证明24k m=+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m+≥时不存在数列满足条件,其次证明23k m=+时存在数列满足条件．【小问1详解】{}n a 、{}n b 均是周期数列，理由如下：因为1sin (1)π0sin πn n a n n a +=+===，所以数列{}n a 是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．因为32111n n n n n n n b b b b b b b +++++=-=--=-，所以63n n n b b b ++=-=．所以数列{}n b 是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．【小问2详解】假设6k ≤不成立，则有7k ≥，即对于17i ≤≤，都有i i a b =．因为71a a =，722b b a ==，所以12a a =．又因为63a a =，611b b a ==，所以13a a =．所以123a a a ==，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是3矛盾．所以6k ≤．【小问3详解】当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件．假设25k m +≥，即对于125i m +≤≤，都有i i a b =．因为()54m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24454t t t a b a t m ---==≤≤+，即1352m a a a a +==== ，及2461m a a a a +==== ．又5t m =+时，12(2)12511m m m m a a b b a +++++====，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明24k m =+存在数列满足条件．取(2)31,=21(1)212,2(1)2m l im i k k a m i k k +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨+⎪=≤≤⎪⎩()l ∈N及()431,=21(1)212,2(1)21,32,4m l i m i k k m i k k b i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪+⎪=≤≤=⎨⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于124i m +≤≤，都有i i a b =．当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件．假设24k m +≥，即对于124i m +≤≤，都有i i a b =．因为()53m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24453t t t a b a t m ---==≤≤+，即1351m a a a a +==== ，及246m a a a a ==== ．又4t m =+时，2m m m a b a +==，所以2=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明23k m =+时存在数列满足条件．取()221,=21(1)22,2(1)23,2m l i m i k k a m i k k i m +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨=≤≤⎪⎪=+⎩()l ∈N 及()421,=21(1)22,2(1)23,21,32,4m l im i k k m i k k b i m i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪⎪=≤≤⎪=⎨⎪=+⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于123i m +≤≤，都有i i a b =．综上，当m 是奇数时，k 的最大值为24m +；当m 是偶数时，k 的最大值为23m +．【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件，其次证明24k m =+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件，其次证明23k m =+时存在数列满足条件．。

丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（文科）参考答案一、选择题二、填空题：9．20； 10.12； 11. 3； 12． （写给3分）； 13．2； 14．5,16 12n m+ (第一个空2分,第二个空3分)三．解答题15．（本题共13分）设关于x 的函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数(),(04)g x x a x =-≤≤，的值域为集合B.（Ⅰ）求集合A ，B ； （Ⅱ）若集合A ，B 满足AB B =,求实数a 的取值范围.解：（Ⅰ）A=2{|230}x x x -->,={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或， ….…………………..……4分 B {|4}y a y a =-≤≤-. ..……………………………………………….…...7分（Ⅱ）∵A B B =，∴B A ⊆．..….…………………………………………… 9分∴41a -<-或3a ->，∴实数a 的取值范围是{a |5a >或3a <-}．….………………..…………………..13分16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角α和角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值.解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，3c o s 5α=， 12s i n 13β=，……………………………………………………2分∵α的终边在第一象限，∴4sin 5α=． ……………………………………3分 ∵β的终边在第二象限，∴ 5c o s 13β=- ． ………………………………4分∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=1665．………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=|AB |=|OB OA -|32=，……………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅， …………11分 ∴9224OA OB -⋅=． ∴18OA OB ⋅=-． ……………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8OA OB AB AOB OA OB +-∠==-，………………10分 ∴OA OB ⋅=1||||cos 8OA OB AOB ∠=-．…………………………………13分17．（本题共13分）如图三棱柱111C B A ABC —中，⊥1AA 平面ABC ，AB ⊥BC , 点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点. (Ⅰ)求证：MN //平面 BCC 1B 1;(Ⅱ)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1. 解：(Ⅰ)连结BC 1∵点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点，∴MN ∥BC 1．........................................................4分∵11111,?MN BCC B BC BCC B ⊄⊂平面平面， ∴MN ∥平面BCC 1B 1．.................................... ....6分 (Ⅱ)∵1AA ABC ⊥平面， BC ⊂平面ABC ，∴1AA BC ⊥．...................................................................................................... 9分又∵AB ⊥BC ，1AA AB A =，∴11BC A ABB ⊥平面．....................................................................................... 12分 ∵1BC A BC ⊂平面，∴平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1．............................................................................... 13分18．（本题共14分）已知函数2()()(0)xf x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的极小值为-1，求()f x 的极大值.解：（Ⅰ）22()(2)()[(2)]xxxf x ax b e ax bx c e ax a b x b c e '=++++=++++．…2分令2()(2)g x ax a b x b c =++++， ∵0xe >，∴'()y f x =的零点就是2()(2)g x ax a b x b c =++++的零点，且()f x '与()g x 符号相同． 又∵0a >，∴当3,0x x <->或时，()g x >0,即()0f x '>，当30x -<<时，()g x <0,即()0f x '<， ………………………………………6分 ∴()f x 的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =0是()f x 的极小值点，所以有1,0,93(2)0,c b c a a b b c =-⎧⎪+=⎨⎪-+++=⎩解得1,1,1a b c ===-． ………………………………………………………11分 所以函数的解析式为2()(1)xf x x x e =+-．又由（Ⅰ）知，()f x 的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）. 所以，函数()f x 的极大值为335(3)(931)f ee--=--=． ……………….…14分 19．（本题共13分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是（0,1）,线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴 . 直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m=54AC =时，求椭圆12,C C 的方程； （Ⅱ）若OC AN ⊥，求m 的值．解：设C 1的方程为2221x y a+=,C 2的方程为2221x y b +=（1,01a b ><<）． …..2分∵C 1 ,C 2的离心率相同，∴22211a b a-=-,∴1ab =，………………………………..……………………3分 ∴C 2的方程为2221a x y +=．当m=2时，A (2a -,C 1(2a ．………………………………….……5分 又∵54AC =, ∴15224a a +=，解得a=2或a=12(舍)， ……………………………...………..6分∴C 1 ,C 2的方程分别为2214x y +=，2241x y +=． …………………………..7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知A(-．……………….……………9分 ∵OC ⊥AN ，0OC AN ⋅=（*）． ……………………………............................................…10分∵OC =），AN =（,-1-m)， 代入（*）并整理得2m 2+m-1=0， ………………………………………………12分∴m=12或m=-1(舍负) ， ∴m=12． ……………………………………………………………………13分20．（本题共14分）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形. （Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令4,iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，若存在，求出N 的最小值;若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）∵∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， ∴直线B 0A 1的方程为y=x ．由220y xy x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩得，112x y ==，得A 1（2，2），1(4,0)B ． ….…….…….…......3分（Ⅱ）根据1n n n B A B -∆和11n n n B A B ++∆分别是以n A 和1n A +为直角顶点的等腰直角三角形可 得，11n n nn n n a x y a x y ++=+⎧⎨=-⎩ ，即11n n n n x y x y +++=- ．（*）…….………………………..5分∵n A 和1n A +均在曲线2:2(0)C y x y =≥上，∴22112,2n n n n y x y x ++==，∴2211,22n n n n y y x x ++==，代入（*）式得22112()n n n n y y y y ++-=+，∴12n n y y +-=(*n N ∈)．………………… …………………………..…..….…..7分 ∴数列{}n y 是以12y =为首项，2为公差的等差数列，故其通项公式为2n y n =(*n N ∈) ． …………....…………………………...……..8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，2222nn y x n ==， ….……………………………………………9分 ∴2(1)n n n a x y n n =+=+，……………………..……………………………….…10分 ∴422(1)(1)i b i i i i ==++，12iy i i c -==， ∴12221223(1)ni i b n n ==+++⨯⨯+∑=111112(1)2231n n -+-++-+ =12(1)1n -+，…………….……..11分2111(1)11112211222212nn in ni c=-=+++==--∑． …………………….……12分 欲使11nni i i i b c ==<∑∑，只需12(1)1n -+<112n -， 只需1112n n n -<-+， ………………………………………………….…………13分*110(),012n n n N n -≥∈-<+ ， ∴不存在正整数N ，使n≥N 时，11n niii i b c ==<∑∑成立．…………………….14分。

丰台区第一学期期末练习高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么A B U 等于（A ）{2101}，，，-- （B ）{210}，，-- （C ）{21}，-- （D ）{1}-2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（A ）a b <（B ）11a b> （C ）11()()22ab>（D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是（A ）=a b （B ）⋅=a b （C ）()-⊥a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或726． 如果函数()s i n 3c o s f x x x ωω=+的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f ++++L 的值为（A ）1 （B ）1（C （D ）7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．的惊蛰的晷影长应为（A ）72.4寸（B ）81.4寸（C ）82.0寸（D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S |表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|=2017，且()()()n A n B n A B +=U ，则|A B |I 等于（A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．11．在261()x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为 ．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系Oy 中，AC 在轴上，顶点B 与y轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB OP ⋅uu u r uu u r的最大值为 ．DCBA14．已知()f x为偶函数，且0≥x时，][)(xxxf-=（][x表示不超过的最大整数）．设()()()g x f x kx k k=--∈R，若1k=，则函数()g x有____个零点；若函数()g x三个不同的零点，则k的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC中，D是BC上的点，3AC=，2CD=，AD sin B=（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求边AB的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD是边长为2的正方形，平面PDCQ⊥平面ABCD，PD DC^，E F G，，分别为棱，，BC AD PA的中点.（Ⅰ）求证：EG‖平面PDCQ；（Ⅱ）已知二面角P BF C--求四棱锥P ABCD-的体积．PGQ17.（本小题共14分）数独游戏越越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生自同一所中学的概率； （Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用表示抽得甲中学的学生人数，求的分布列．18.（本小题共13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项； （Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 15 12．4 13．83π； 14．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CDAC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分 因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分 （Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =. 因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =. 又因为EC ‖AD 且12EC AD =， 所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分所以EG ‖HC .又因为EG Ë平面PDCQ ，HC Ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分（Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ I 平面ABCD CD =， P D D C^，PD Ì平面PDCQ ， 所以PD ^平面ABCD ． ……………….6分如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为,y ,轴正方向，建立空间直角坐标系． 设PD a =，则 ()()()00002201 P ,,a F ,,B ,,，，． (7)分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10PF ,,a uu u r =- ()120 FB ,,uu r =, 则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu u r uu r n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令=1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ．……………….10分由已知，二面角P BF C --所以得cos <,>||||⋅===m nm n m n……………….11分解得a =2,所以2PD =．……………….13分因为PD 是四棱锥P ABCD -的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=．……………….14分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分 （Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==． 答：从30名学生中随机抽取两名学生自同一所中学的概率为829． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分所以X 的分布列为：……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e xxf x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ...................4分 因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. . (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈， 则()e e (1)(1)(e )xxxh x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分 (1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,l n )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>，所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数， 故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分 综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……………….13分 19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分 （Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=． 所以，FS FT ⋅uu r uu u r 的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分（Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1.解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明.（1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ， 当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤,即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤,故01121k c ≤--≤.又因为+1=112k k c c --,所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >.显然1,21,01≠-k c ，则 1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾； 所以01(2)n c n ≤≤≥所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1. ……………………10分（Ⅲ）2 ………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

2020北京丰台高三（上）期末数 学 2020.01第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若集合{|13}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则AB =（A ）{|13}x x -<<（B ）{|11}x x -<<（C ）{|12}x x <<（D ）{|23}x x <<2． 命题“000(0+)ln 1x x x ∃∈∞=-,，”的否定是（A ）000(0+)ln 1x x x ∃∈∞≠-,， （B ）000(0+)ln 1x x x ∃∉∞=-,， （C ）(0+)ln 1x x x ∀∈∞≠-,，（D ）(0+)ln 1x x x ∀∉∞=-,，3． 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）y x =- （B ）21y x =- （C ）cos y x =（D ）12y x =4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(000),,，(001),,，(110),,，(101),,，则此四面体在xOy 坐标平面上的正投影图形的面积为（A ）14（B ）12（C ）34（D ）15．已知菱形ABCD 边长为1，=60BAD ∠︒，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CD⃗⃗⃗⃗⃗ =（A ）12（B ）12-（C ）2（D ）2-6．双曲线2241x y -=的离心率为（A （B ）2（C （D ）27．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足3110S S -=，且124a a a ,,成等比数列，则3a =（A ）2（B ）6（C ）56或（D ）128. 在261()x x-的展开式中，常数项是（A ）20-（B ） 15-（C ）15（D ）309. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为v （单位：m /s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q . 科学研究发现v 与3log 100Q成正比. 当1m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900. 当2m /s v=时，其耗氧量的单位数为 （A ）1800（B ） 2700（C ）7290（D ）810010. 在边长为2的等边三角形ABC 中，点D E ，分别是边AC AB ，上的点，满足DE ‖BC 且AD ACλ=((01))λ∈,，将△ADE 沿直线DE 折到△A DE '的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是 （A ）在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足BF ‖平面A CD '（B ）存在1(0)2λ∈,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE（C ）若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，104A B '=（D ）在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为239第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 复数11i+的实部为 ． 12. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成种重卦．（用数字作答）13. 已知a b c ,,分别为△ABC 内角A B C ,,的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A = ．14. 我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：①所有的奇数项满足2121n n a a -+<，所有的偶数项满足222n n a a +<； ②任意相邻的两项21n a -，2n a 满足21n a -<2n a . 根据上面的信息完成下面的问题：（i ）数列123456，，，，， “有趣数列”（填“是”或者“不是”）； （ⅱ）若2(1)nn a n n=+-，则数列{}n a “有趣数列”（填“是”或者“不是”）.15．已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，则F 的坐标为 ；过点F 的直线交抛物线C 于A B ,两点，若4AF =，则△AOB 的面积为 ．16．定义域为R 的函数()f x 同时满足以下两条性质：①存在0x ∈R ,使得0()0f x ≠； ②对于任意x ∈R ，有(1)2()f x f x +=.根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数. （i ）若()f x 是增函数，则()f x = ； （ⅱ）若()f x 不是单调函数，则()f x = .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.（本小题共13分）已知函数2()sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0]2,上的最大值.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，π2BAC ∠=，11AA AB AC ===，1CC 的中点为H .（Ⅰ）求证：1AB A C ⊥； （Ⅱ）求二面角1A BC A --的余弦值；（Ⅲ）在棱11A B 上是否存在点N ，使得HN ‖平面1A BC ？若存在，求出111A N AB 的值；若不存在，请说明理由．19.（本小题共13分）目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失. 2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％.现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：A 小区B 小区C 小区D 小区E 小区 废纸投放量（吨） 5 5.1 5.2 4.8 4.9 塑料品投放量（吨）3.53.63.73.43.3（Ⅰ）从A 5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；（Ⅱ）从A ，B ，C ，D ，E 这5个小区中任取2个小区，记X 为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X 的分布列及期望．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点. 求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值.21.（本小题共14分）已知函数321(1)()32a f x x x ax +=-+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0(0))f ,处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）对于任意1x ，2[02]x ∈,，都有122()()3f x f x -≤，求实数a 的取值范围.22.（本小题共13分）已知*2n n ∈≥N ，，给定n n ⨯个整点()x y ,,其中1x y n x y ≤≤∈*N ,,,.（Ⅰ）当2n =时,从上面的22⨯个整点中任取两个不同的整点1122()()x y x y ,,,，求12x x +的所有可能值； （Ⅱ）从上面n n ⨯个整点中任取m 个不同的整点，512n m ≥-.（i ）证明：存在互不相同的四个整点),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''''，满足11y y '=, 2212y y y y '=≠,； （ii ）证明：存在互不相同的四个整点),(),,(),,(),,(22221111y x y x y x y x ''，满足 2211x x x x '+='+,.21y y ≠ （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2020北京丰台高三（上）期末数学参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．11．12 12．15 13．7814．是；是 15．(10),；16．2x；2sin 2x x π(答案不唯一) 注：第14、15、16题第一空3分，第二空2分.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.（本小题共13分）解：（Ⅰ）2ππππ()sincos 3333f =⋅211()222=+2=. ……………….4分（Ⅱ）2()sin cos f x x x x =⋅+1cos 21sin 222x x +=πsin(2)32x =+.因为π[0]2x ∈,，所以ππ4π2[]333x +∈,. 当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值312+. ……………….13分18.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为平面，AB ⊂平面，所以1AA AB ⊥.因为，所以AC AB ⊥. 又因为1ACAA A =，所以AB ⊥平面1A AC .因为1A C ⊂平面1A AC ，所以. ……………….4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系A xyz -． 因为11AA AB AC ===，所以(000)A ，，，(100)B ，，，(010)C ，，，1(001)A ，，. 因为平面，所以1(001)AA =,,即为平面的一个法向量. 设平面1A BC 的一个法向量为()x y z =,,n ，1(101)A B =-,,，1(011)AC =-,,， 则1100.A B A C ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩,n n 即00.x z y z -=-=⎧⎨⎩,令1z =，则11x y ==,. 于是(111)=,,n .所以1113cos 3AA AA AA ⋅==⋅,n n n.由题知二面角1A BC A --为锐角，所以其余弦值为33. ……………….10分（Ⅲ）假设棱11A B 上存在点()N x y z ,,，使得‖平面.由111(01)A N A B λλ=≤≤，又11(100)A B =,,，故1(0)0A N λ=,,.1AA ⊥ABC ABC π2BAC ∠=1AB A C ⊥1AA ⊥ABC ABC HN 1A BC因为1(011)C ，，，H 为1CC 的中点，所以1(01)2H ，，.所以111(1)2HN HA A N λ=+=,-,.若‖平面1A BC ，则1102HN λ⋅==-+n ，解得1[01]2λ=∈,.又因为HN ⊄平面1A BC .所以在棱11A B 上存在点N ，使得HN ‖平面1A BC ，且11112A N AB =. ……………….14分19．（本小题共13分）解：（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A . 由题意，有B ，C 两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，所以2()5P A =. ……………….4分（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B ，C ，共2个小区. X 的所有可能取值为0，1，2.23253(0)10C P X C ===；11322563(1)105C C P X C ⋅====；22251(2)10C P X C ===.所以X 的分布列为:()012105105E X =⨯+⨯+⨯=． ……………….13分 HN20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切，所以半径b 等于原点到直线的距离d，b d ==，即3=b .由离心率12e =，可知12c a =，且222a b c =+，得2a =.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………….4分（Ⅱ）由椭圆C 的方程可知(20)S ,.若直线l 的斜率不存在，则直线l 方程为1x =，所以33(1)(1)22P Q -,, ,.则直线PS 的方程为3260x y +-=，直线QS 的方程为3260x y +-=.令4=x ，得(43)A ,-，(43)B ,. 所以A B ，两点的纵坐标之积为9-.若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=，依题意0≥∆恒成立.设112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,， 则2212122284123434k k x x x x k k-+==++,. 设(4)A A y ,(4)B B y ,， 由题意P S A ，，三点共线可知11422A y yx =--， 所以点A 的纵坐标为1122A y y x =-. 同理得点B 的纵坐标为2222B y y x =-. 所以12122222A B y y y y x x =⋅--.212121212222222222()142()44128434412284(43)9449x x x x k x x x x k k k kk k k k k-++=-++--++=--⨯++-=⨯=-综上，A B ，两点的纵坐标之积为定值. ……………….13分21．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当1a =时，因为321()3f x x x x =-+所以2()21f x x x '=-+，(0)1f '=.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0(0))f ,处的切线方程为y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为321(1)()32a f x x x ax +=-+，所以2()(1)0f x x a x a '=-++=.令()0f x '=，解得x a =或1x =.若1a >，当()0f x '>即1x <或x a >时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<即1x a <<时，函数()f x 单调递减.若1a =，则22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，当且仅当1x =时取等号，函数()f x 是增函数.若1a <，当()0f x '>即x a <或1x >时，函数()f x 单调递增.当()0f x '<即1a x <<时，函数()f x 单调递减.综上，1a >时，函数()f x 单调递增区间为(1)()a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1)a ,；1a =时，函数()f x 单调递增区间为()-∞+∞,；1a <时，函数()f x 单调递增区间为()(1)a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1)a ,.……………….9分（Ⅲ） 令2()(1)0f x x a x a '=-++=，解得x a =或1x =.当0a ≤时，随x 变化，()()f x f x ', 变化情况如下表：由表可知(0)(1)f f >，此时2(2)(1)3f f ->，不符合题意.当01a <<时，随x 变化，()()f x f x ', 变化情况如下表：由表可得3211112(0)0()(1)(2)62263f f a a a f a f ==-+=-=,,, ，且(0)()f f a <，(1)(2)f f <，所以只需()(2)(1)(0)f a f f f ≤≥⎧⎨⎩，， 即32112623110.26a a a -+≤-≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得113a ≤<.当1a =时，2()21(1)0f x x x x '=-+=->在(02),恒成立，符合题意.当12a <<时，只需(1)(2)()(0)f f f a f ≤≥⎧⎨⎩，， 即32112263110.62a a a -≤-+≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得513a <≤. 当2a ≥时，(1)(2)f f >，不符合题意.综上，实数a 的取值范围是15[]33,. ……………….14分22．（本小题共13分）解:（Ⅰ）当2n =时，4个整点分别为(11)(12)(21)(22),,,,,,,.所以12x x +的所有可能值234,,. ……………….3分（Ⅱ）（i ）假设不存在互不相同的四个整点11112222()()()()x y x y x y x y '''',,,,,,,， 满足112212y y y y y y ''==≠,,. 即在直线*(1,)N y i i n i =≤≤∈中至多有一条直线上取多于1个整点，其余每条直线上至多取一个整点， 此时符合条件的整点个数最多为121n n n -+=-.而52112n n -<-， 与已知512m n ≥-矛盾.故存在互不相同的四个整点11112222()()()()x y x y x y x y '''',,,,,,,，满足112212y y y y y y ''==≠,,. （ii ）设直线*(1,)N y i i n i =≤≤∈上有i a 个选定的点.若2i a ≥，设y i =上的这i a 个选定的点的横坐标为12i a x x x ⋅⋅⋅，，，，且满足12i a x x x <<⋅⋅⋅<. 由12132324341i i a a x x x x x x x x x x x x -+<+<+<+<+<⋅⋅⋅<+，知12i a x x x ⋅⋅⋅，，，中任意不同两项之和至少有23i a -个不同的值，这对于2i a <也成立. 由于1,2,3,,n ⋅⋅⋅中任意不同两项之和的不同的值恰有23n -个， 而()1232352323ni i a m n n n n =-=-≥--≥-∑,可知存在四个不同的点11112222()()()()x y x y x y x y '',,,,,,,， 满足112212x x x x y y ''+=+≠,,.21y y ≠ ……………….13分。