已知集合{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，
，，， 由A 中的元素构成两个相应的集合：
{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，． 其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．
若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．
（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P , 并对其中具有性质P 的集合，
写出相应的集合S 和T ；
（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2
k k n -≤； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．
（I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ．集合{}123-，，具有性质P ，
其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，，{}(21)23T =-()，，，．
（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．
因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉=，，，，；
又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，
()(12)j i a a T i j k ∉=，，，，，．
从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)
()22k k k k --=，即(1)
2k k n -≤．
（III ）解：m n =，证明如下：
（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，． 如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立， 从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．
故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．
可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，
（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，． 如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立， 从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，
故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．
可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤，
由（1）（2）可知，m n =．
4．（天津卷）
5．(上海卷)
6．（重庆卷）命题“若12A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B.若11<<-x ，则12C.若1>x 或1-x
D.若1≥x 或1-≤x ，则12≥x
解：其逆否命题是：若1≥x 或1-≤x ，则12≥x 。选D.
7．（辽宁卷）设集合{12345}U =，，，，，{13}A =，，{234}B =，，，则()()U U A B =（
）
A ．{1}
B ．{5}
C ．{24}，
D ．{1234}，，，
解：选B
8．（江苏卷）已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A C B 为（ ）
A ．{1,2}-
B ．{1,0}-
C ．{0,1}
D ．{1,2}
解：B ＝{0，1}，
U B 是不含0，1的整数，A ∩U B ＝{}12-，，故选（A ）.
9．(广东卷) 已知函数1()1f x x =-的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=
（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅
解：由解不等式1-x>0求得M=(-∞，1)，由解不等式1+x>0求得N=(-1，+∞)，
因而M ⋂N=(-1，1)，故选C 。
设S 是至少含有两个元素的集合.在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S,对于有序元素对(a,b)，在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应）。若对于任意的a,b ∈S,有a*( b * a)=b ，则对任意的a,b ∈S,下列等式中不．
能成立的是 （A ）( a * b) * a =a (B) [ a*( b * a)] * ( a*b)=a
（B ）b*( b * b)=b （C ）( a*b) * [ b*( a * b)] =b
解：用b 代替题目给定的运算式中的a 同时用a 代替题目给定的运算式中的b ，我们不难
知道B 是正确的，用b 代替题目给定的运算式中的a 我们又可以导出选项C 的结论， 而用代替题目给定的运算式中的a 我们也能得到D 是正确的。选A 。
10．(福建卷) 已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()A
B =R R ， 则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1a ≤
B ．1a <
C ．2a ≥
D ．2a >
解：1|{≤=x x B C R 或}2≥x ，因为
=R ，所以a 2，选C.
中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．
如果集合A 中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意a A ∈，都有a
a ； （2）对称性：对于a
b A ∈，，若a b ，则有b a ；
（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b ，b c ，则有a c ．
则称“~”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不
