2020年高考数学 集合与简易逻辑试题

2020年高考数学 集合与简易逻辑试题

1．(全国Ⅰ) 设abR，，集合10bababa，，，，，则ba（ ）

A．1 B．1 C．2 D．2

解：设,abR，集合{1,,}{0,,}bababa，∵ a≠0，∴ 0,abab，

∴ 1ba，∴ 1,1ab，则ba2，选C。

2．(全国II)

3．（北京卷）已知集合|1Axxa≤，2540Bxxx≥．若AB，

则实数a的取值范围是 ．

解：集合|1Axxa≤={x| a－1≤x≤a+1}，2540Bxxx≥={x| x≥4或

x≤1 }．又AB，∴ 1411aa，解得2

已知集合12(2)kAaaak，，，≥，其中(12)iaikZ，，，，

由A中的元素构成两个相应的集合：

()SabaAbAabA，，，，()TabaAbAabA，，，．

其中()ab，是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．

若对于任意的aA，总有aA，则称集合A具有性质P．

（I）检验集合0123，，，与123，，是否具有性质P, 并对其中具有性质P的集合，

写出相应的集合S和T；

（II）对任何具有性质P的集合A，证明：(1)2kkn≤；

（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

（I）解：集合0123，，，不具有性质P．集合123，，具有性质P， 其相应的集合S和T是(13)(31)S，，，，(21)23T，，，．

（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对()ijaa，共有2k个．

因为0A，所以()(12)iiaaTik，，，，；

又因为当aA时，aA时，aA，所以当()ijaaT，时，

()(12)jiaaTijk，，，，，．

从而，集合T中元素的个数最多为21(1)()22kkkk，即(1)2kkn≤．

（III）解：mn，证明如下：

（1）对于()abS，，根据定义，aA，bA，且abA，从而()abbT，．

如果()ab，与()cd，是S的不同元素，那么ac与bd中至少有一个不成立，

从而abcd与bd中也至少有一个不成立．

故()abb，与()cdd，也是T的不同元素．

可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即mn≤，

（2）对于()abT，，根据定义，aA，bA，且abA，从而()abbS，．

如果()ab，与()cd，是T的不同元素，那么ac与bd中至少有一个不成立，

从而abcd与bd中也不至少有一个不成立，

故()abb，与()cdd，也是S的不同元素．

可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即nm≤，

由（1）（2）可知，mn．

4．（天津卷）

5．(上海卷)

6．（重庆卷）命题“若12x，则11x”的逆否命题是（ ）

A．若12x，则1x或1x B.若11x，则12x

C.若1x或1x，则12x D.若1x或1x，则12x

解：其逆否命题是：若1x或1x，则12x。选D.

7．（辽宁卷）设集合{12345}U，，，，，{13}A，，{234}B，，，则UUAB（ ）

A．{1} B．{5} C．{24}， D．{1234}，，，

解：选B

8．（江苏卷）已知全集UZ，2{1,0,1,2},{|}ABxxx，则UACB为（ ）

A．{1,2} B．{1,0} C．{0,1} D．{1,2}

解：B＝{0，1}，UB是不含0，1的整数，A∩UB＝12，，故选（A）.

9．(广东卷) 已知函数1()1fxx的定义域为M，g(x)=ln(1)x的定义域为N，则M∩N=

（A）{|1}xx （B）{|1}xx （C）{|11}xx （D）

解：由解不等式1-x>0求得M=(-，1)，由解不等式1+x>0求得N=(-1，+)，

因而MN=(-1，1)，故选C。

设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）。若对于任意的a,b∈S,有a*( b * a)=b，则对任意的a,b∈S,下列等式中不．能成立的是

（A）( a * b) * a =a (B) [ a*( b * a)] * ( a*b)=a

（B）b*( b * b)=b （C）( a*b) * [ b*( a * b)] =b

解：用b代替题目给定的运算式中的a同时用a代替题目给定的运算式中的b，我们不难

知道B是正确的，用b代替题目给定的运算式中的a我们又可以导出选项C的结论，

而用代替题目给定的运算式中的a我们也能得到D是正确的。选A。

10．(福建卷) 已知集合{}{12}AxxaBxx，，且()ABRR，

则实数a的取值范围是（ ）

A．1a≤ B．1a C．2a≥ D．2a

解：1|{xxBCR或}2x，因为=R，所以a2，选C.

中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．

如果集合A中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意aA，都有aa；

（2）对称性：对于abA，，若ab，则有ba；

（3）传递性：对于abcA，，，若ab，bc，则有ac．

则称“~”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．

解：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、

“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.

11．(安徽卷) 若8222xxA，R|log1xBxx，

则)(CRBA的元素个数为

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

解： 2228xAx={0,1}，2R|log|1}Bxx=1{|20}2xxx或，

∴ )(CRBA={0,1}，其中的元素个数为2，选C。

12．(湖南卷) 设MN，是两个集合，则“MN”是“MN”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

解：由韦恩图知MNMN;反之，MN.MN选B。

设集合{123456}M，，，，，， 12kSSS，，，都是M的含两个元素的子集，且满足：

对任意的{}iiiSab，，{}jjjSab，（ij，{123}ijk、，，，，），都有

minminjjiiiijjababbaba，，（min{}xy，表示两个数xy，中的较小者），

则k的最大值是（ ）

A．10 B．11 C．12 D．13

解：含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；

{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，

故满足条件的两个元素的集合有11个。选B。

13．（湖北卷）设P和Q是两个集合，定义集合|PQxxPxQ，且，

如果2|log1Pxx，|21Qxx，那么PQ等于（ ） Ａ．|01xx Ｂ．|01xx≤

Ｃ．|12xx≤ Ｄ．|23xx≤

解：先解两个不等式得02Pxx，13Qxx。由PQ定义，故选Ｂ

14．（江西卷）若集合012M，，，

()210210NxyxyxyxyM，≥且≤，，，

则N中元素的个数为（ ）

Ａ．9 Ｂ．6 Ｃ．4 Ｄ．2

解：画出集合N所表示的可行域，知满足条件的N中的点只有

（0，0）、（1，0）、（1，1）和（2，1）四点，选C

设2:()eln21xpfxxxmx在(0)，内单调递增，:5qm≥，

则p是q的（ ）

Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

解：P中f（x）单调递增，只需04m，即m≥0，故P是q的必要不充分条件，选B。

15．（山东卷）已知集合11M，，11242xNxxZ，，则MN（ ）

A．11， B．1 C．0 D．10，

解：求1124,1,02xNxxZ，选B。

命题“对任意的xR，3210xx≤”的否定是（ ）

A．不存在xR，3210xx≤

B．存在xR，3210xx≤ C．存在xR，3210xx

D．对任意的xR，3210xx

解：注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定。选C。

下列各小题中，p是q的充要条件的是（ ）

①p：2m或6m；q：23yxmxm

有两个不同的零点．

②():1()fxpfx；:()qyfx是偶函数．

③:coscosp；:tantanq．

④:pABA； :UUqCBCA。

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

解：（2）由()1()fxfx可得()()fxfx，但()yfx的定义域不一定关于原点对称；

（3）是tantan的既不充分也不必要条件。选D.

16．(陕西卷) 已知全集U＝{1，2，3， 4，5}，集合A＝23Zxx,

则集合CuA等于

（A）4,3,2,1 （B）4,3,2 (C) 5,1 (D) 5

解：A={2，3，4}，CuA={1，5}，选C。

设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：ijkAAA,其中k为i+j

被4除的余数，i,j=0,1,2,3. 则满足关系式（xx）A2=A0的x(x∈S)的个数为

A.4 B.3 C.2 D.1

解： 由定义A1 A1= A2，A2 A2= A0，x =A1能满足关系式，

同理x=A3满足关系式，选C

17．（四川卷）