球与各种几何体切、接问题专题[一]

7.2.2与球有关的切接问题
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考纲要求
了解球的表面积和体积的计算公式
1．球的概念
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 球 围成的几何体叫做________, 球心 半圆的圆心叫做球的______ ， 半圆的半径叫做球的_______ 。 半径
2、 球的性质
圆面 性质1：用一个平面去截球，截面是_______ ； 圆 用一个平面去截球面， 截线是____ 球心 ，半径等于球半径； 大圆--截面过_______ 小圆--截面不过_________ 球心 垂直 性质2: 球心和截面圆心的连线____ 于截面．
【解析】 根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于 2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边 1 长等于2 3，所以这个三棱柱的表面积等于3×2 3×2＋2× ×2 3 2 ×3＝18 3. 【答案】 18 3
课 外 阅 读
关于几何体面积与体积的最值问题 (2016· 课标全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC－ A1B1 C1内 有一个体积为V的球．若AB⊥BC， AB＝6，BC＝8，AA1＝3， 则V的最大值是( A．4π C．6π ) 9π B. 2 32π D. 3
则内切球的半径为
3V R S
题型一
几何体的外接球(微专题)
微专题 1：锥体的外接球 (1)求棱长为 1 的正四面体外接球的体积为________．
【解析】 设SO1是正四面体S－ABC的高，外接球的球心 O在SO1上，设外接球半径为R，AO1＝r，
3 则在△ABC中，用解直角三角形知识得r＝ 3 .
途径2：
同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、 相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体。

如何确定外接（内切）球的球心球与其他几何体的切接问题，是近几年高考的热点，这种题目几乎在各省高考试题中都有涉及，主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养．“切”“接”问题的处理规律：(1)“切”的处理解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．1．由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；①正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；①直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；①正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到．[例1]若正三棱柱ABC­A′B′C′的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点都在同一个球面上，则球的表面积为________．[解析]如图，H′，H分别为上、下底面的中心，HH′的中心O 为外接球的球心．由题意得，在Rt①OAH中，AH＝233，OH＝12，则外接球的半径R＝OA＝AH2＋OH2＝19 12，表面积S＝4πR2＝19π3.[答案]19π32．构造长方体或正方体确定球心①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；①同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；①若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体；①若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．[例2]若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的体积是________．[解析]三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则可将三棱锥补形成正方体．从而其外接球的直径为3，半径为32，故所求外接球的体积V＝4π3×⎝⎛⎭⎪⎫323＝9π2.[答案]9π2[点评]一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径，即2R＝a2＋b2＋c2.3．由球的性质确定球心[典例3]正三棱锥A­BCD内接于球O，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O的表面积为________．[解析]如图，设三棱锥A­BCD的外接球的半径为r，M为正①BCD的中心，因为BC＝CD＝BD＝3，AB＝AC＝AD＝2，AM①平面BCD，所以DM＝1，AM＝3，又OA＝OD＝r，所以(3－r)2＋1＝r2，解得r＝233，所以球O的表面积S＝4πr2＝16π3.[答案]16π3[点评]本题运用公式R2＝r2＋d2(r为三棱锥底面外接圆的半径，R为三棱锥外接球的半径，d为球心到三棱锥底面中心的距离)求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式．本题的思路是探求正棱锥外接球半径的通法，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．。

空间几何体与球的切、接问题1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）π12.A B.332π C.8π D.π4 类型一：三条棱两两垂直可转化为长方体（正方体）2.在三棱锥 ABC P - 中，31,,===⊥⊥PA BC AC BC AC ABC PA ，平面 则三棱锥外接球的体积为3.已知球O 上四点A 、B 、C 、D ，ABC DA 平面⊥,a BC AB DA BC AB ===⊥,,则球O 的体积等于圆柱的外接球4.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为类型二：有一条侧棱垂直于底面可转化为直棱柱5.已知三棱锥P -ABC 中，三角形ABC 为等边三角形，且PA=8，PB=PC=13,AB=3，则其外接球的体积为6.在三棱锥ABC P -中, 120621,=∠===⊥ACB PA BC AC ABC PA ，，，平面， 求三棱锥的外接球的表面积。

圆锥的外接球7.正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为４，底面边长为２，则该球的表面积为（ ）A.481πB.16πC.9πD.427π8.在三棱锥A -BCD 中ACD ∆与∆BCD 都是边长为2的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD,求三棱锥外接球的体积练习1、在四面体中，平面，AB=AC=1，BC=2，PC=3.则该四面体外接球的表面积为 .练习2、正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为2，此时四面体ABCD 外接球表面积为____________练习3．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。

若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。

P ABC -⊥PC ABC。

高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。

具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。

例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。

第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。

在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。

例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为36π。

除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。

同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。

需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。

设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2根据墙角模型，我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。

例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。

2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。

3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为。