河北省保定市部分学校2023-2024学年高一下学期1+3期中考试数学试题（答案在最后）第I 卷（选择题）一、单选题1.设1232i,1iz z m =+=+（其中i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则实数m =（）A.23B.23-C.32-D.322.某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.53.已知向量a ，b 的夹角为π3，若()-⊥ a b a ，则向量a在向量b 上的投影向量为（）A.14bB.12b r C.2bD.b4.下列命题中，正确的是（）A.直线1l 、2l 与平面α所成的角相等，则12l l //B.α、β、γ为三个平面，若αβ⊥，γβ⊥，则//αγC.1l 、2l 、3l 为空间中的三条直线，若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //D.1l 、2l 为两条直线，α、β为两个平面，若1l β⊥，2l β⊥，1l α⊥，则2l α⊥5.已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A.直线l 的倾斜角是π6B.若直线:10m x +=，则l m ⊥C.点到直线l 的距离是1D.过2)与直线l 40y --=6.如图，在ABC 中，60,C BC AC ︒===点D 在边BC 上，且27sin 7BAD ∠=，则CD 等于（）A.34B.33C.233D.4337.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为（）A.15B.10C.D.8.已知圆22:4C x y +=与x 轴正半轴的交点为D ，从直线:4l x y +=上任一动点P 向圆作切线，切点分别为A ，B ，过点()0,1作直线AB 的垂线，垂足为H ，则DH 的最小值为（）A.B.12- C.1 D.2二、多选题9.今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（）A.《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数B.《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差C.《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差D.《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数10.设点M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A.若13BM BC =，则1233=+ AM AB ACB.若23AM AC AB =-，则点M B C 、、三点共线C.若点M 是ABC 的重心，则0MA MB MC ++=D.若AM xAB y AC =+ 且13x y +=，则MBC 的面积是ABC 面积的2311.在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱111ABC A B C -展开得到平面图如图所示，90ABC ∠=︒，1AA AB =，P 为1AB 的中点，Q 为1AC 的中点，则在原直三棱柱111ABC AB C -中，下列说法正确的是（）A.P ，Q ，C ，B 四点共面B.11A C AB ⊥C.几何体A PQCB -和直三棱柱111ABC A B C -的体积之比为38D.当BC =时，1AC 与平面1ABB 所成的角为45︒第II 卷（非选择题）三、填空题12.已知两点(34)A -，，(32)B ，，过点()10，P 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是___________.13.甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为12，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为______．14.已知四面体ABCD 中，AB =其余各棱长均为6，则四面体ABCD 外接球的表面积为__________.四、解答题15.从3个黑球1a ，2a ，3a 和3个白球1b ，2b ，3b 中任取3个：（1）写出基本事件空间Ω和基本事件总数n .（2）求颜色都相同的概率；（3）求恰有1个白球的概率.16.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的中位数和众数；（2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35～45岁所有人的年龄的方差．17.在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅ ；这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且___________.（1）求角B ；（2）在ABC 中，b =，求ABC 周长的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.矩形ABCD 所在平面与等腰梯形ACEF 所在平面互相垂直，//EF AC ，12EF AC =，直线AF 与平面ABCD 所成角为60︒，2EF AB ==.（1）求平面BDE 与平面ABCD 夹角的余弦值；（2）线段AF 上任意一点到平面BDE 的距离是否为定值?如果是，则求出定值，否则说明理由．19.已知圆22:4O x y +=，点P 为直线:4l x =上的动点．（1）若从P 到圆O 的切线长为P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（2）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ，求证：直线MN 经过定点()1,0．河北省保定市部分学校2023-2024学年高一下学期1+3期中考试数学试题第I 卷（选择题）一、单选题1.设1232i,1iz z m =+=+（其中i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则实数m =（）A.23B.23-C.32-D.32【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法的运算法则，结合纯虚数的定义进行求解即可.【详解】()()()1232i 1i 33i 2i 23232i z z m m m m m =++=++-=-++，因为12z z 为纯虚数，所以有32033202m m m -=⎧⇒=⎨+≠⎩，故选：D2.某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5【答案】B 【解析】【分析】利用古典概率的概率公式进行计算即可.【详解】随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数表示手术成功，故3例心脏手术全部成功的概率为：30.310=.故选：B3.已知向量a ，b 的夹角为π3，若()-⊥ a b a ，则向量a在向量b 上的投影向量为（）A.14bB.12b r C.2b D.b【答案】A 【解析】【分析】由()-⊥ a b a 得2b a =，根据投影向量的定义求解.【详解】由()-⊥ a b a 得()0a b a -⋅=，即22π3,cos a b a a b a ⋅=∴⋅=，所以2b a = ，所以向量a在向量b 上的投影向量为π1cos 432a b a b b b b ⋅==⋅.故选：A4.下列命题中，正确的是（）A.直线1l 、2l 与平面α所成的角相等，则12l l //B.α、β、γ为三个平面，若αβ⊥，γβ⊥，则//αγC.1l 、2l 、3l 为空间中的三条直线，若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //D.1l 、2l 为两条直线，α、β为两个平面，若1l β⊥，2l β⊥，1l α⊥，则2l α⊥【答案】D 【解析】【分析】利用正四面体可判断A 选项的正误；根据面面的位置关系可判断B 选项的正误；根据空间中线线的位置关系可判断C 选项的正误；根据线面垂直的性质可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，在正四面体ABCD 中，AB 、AC 与平面BCD 所成角相等，但AB 与AC 相交，A 选项错误；对于B 选项，若αβ⊥，γβ⊥，则α与γ平行或相交，B 选项错误；对于C 选项，若13l l ⊥，23l l ⊥，则1l 与2l 平行或相交，C 选项错误；对于D 选项，由1l β⊥，2l β⊥得12//l l ，由因为2l α⊥，所以1l α⊥，D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.5.已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A.直线l 的倾斜角是π6B.若直线:10m x +=，则l m ⊥C.点到直线l 的距离是1D.过2)与直线l 40y --=【答案】D 【解析】【分析】求解直线的倾斜角判断A ；利用直线的斜率乘积判断B ；点到直线的距离判断C ；求解直线方程判断D ．【详解】直线10l y -+=，所以直线的倾斜角为：π3，所以A 不正确；直线:10m x +=的斜率为：3，两条直线不垂直，所以B 不正确；点到直线l 的距离是：2=，所以C 不正确；过2)与直线l 40y --=，正确，所以D 正确；故选：D ．6.如图，在ABC 中，60,C BC AC ︒===点D 在边BC 上，且27sin 7BAD ∠=，则CD 等于（）A.34B.33C.233D.433【答案】C 【解析】【分析】在ABC 中，由余弦定理求得AB ，在ABD △中，利用正弦定理求得BD ，则可得CD .【详解】在ABC 中，由余弦定理可得3AB =.又222AB AC BC +=，故ABC 为直角三角形，故906030B ∠=︒-︒=︒.因为sin 7BAD ∠=，且BAD ∠为锐角，故7cos BAD ∠=.由()1sin 302214sin ADB BAD cos BAD sin BAD ∠=︒+∠=∠+⨯∠=利用正弦定理可得AB BD sin ADB sin BAD=∠∠，代值可得27437314BD ==，故3CD BD =-=.故选：C.【点睛】本题考查利用正弦定理以及余弦定理解三角形，属于综合基础题.7.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为（）A.515B.510C.D.【答案】B 【解析】【分析】以D 为原点建立空间直角坐标系，设()1,,M a b ，由1D M CP ⊥可得10D M CP ⋅=，由此得到,a b关系；从而利用a 表示BCM 的面积，利用二次函数最值求得面积的最值.【详解】以D 为坐标原点可建立如下图所示空间直角坐标系则()0,0,0D ，()0,1,0C ，()1,0,0A ，11,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,0,1D ，()1,1,0B 设()1,,M a b ，则()11,,1D M a b =- ，11,1,2CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 1D M CP⊥ ()1111110222D M CP a b b a ∴⋅=-+-=-+= 21b a ∴=-()()222121562MH a a a a ∴=-+-=-+21156222BCM S BC MB a a ∴=⋅=-+ 当35a =时，()2min 15625a a -+=()min 1152510BCM S ∆∴==故选：B【点睛】本题考查立体几何中三角形面积最值的求解问题，关键是能够将所求三角形面积利用一个变量表示出来，得到二次函数的形式，利用二次函数的最值求得面积的最值.8.已知圆22:4C x y +=与x 轴正半轴的交点为D ，从直线:4l x y +=上任一动点P 向圆作切线，切点分别为A ，B ，过点()0,1作直线AB 的垂线，垂足为H ，则DH 的最小值为（）A.2B.1312- C.1 D.132【答案】B 【解析】【分析】将直线AB 转化为两个圆的公共弦方程，利用垂足确定H 的轨迹为一个圆,然后结合点D 到圆心的距离求DH 最小值即可.【详解】易得()2,0D ，设(),4P a a -，因为,PA PB 是圆C 的两条切线，所以,,PA CA PB CB ⊥⊥所以,A B 在以PC 为直径的圆上,又因为PC =,且PC 的中点为4,22a a -⎛⎫⎪⎝⎭，所以以PC 为直径的圆的方程为：()222244224a a a a x y +--⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以AB 为以PC 为直径的圆和圆C 的的公共弦，两个圆的方程相减得：()()()22224444444a a a a ax a y -+-+---=-所以直线():44AB ax a y +-=,直线AB 恒过定点()1,1M ，过点()0,1N 作直线AB 的垂线，垂足为H ,则H 在以MN 为直径的圆上，设圆的圆心为1,12T ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为11=22MN ，所以132DT =，所以DH 的最小值为:1122DT -=．故选：B二、多选题9.今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（）A.《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数B.《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差C.《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差D.《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数【答案】ABD 【解析】【分析】根据图表信息逐一判断即可.【详解】由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球2》日票房，所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数，A 正确;由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，所以B 正确.《满江红》日票房极差大于《流浪地球2》日票房极差，故C 错误；因为70.25 1.75⨯=，《满江红》日票房的第25百分位数是从小到大排序第2个数，因为70.75 5.25⨯=，《流浪地球2》日票房的第75百分位数是从小到大排序第6个数，《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数，所以D 正确.故选：ABD.10.设点M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A.若13BM BC =，则1233=+ AM AB ACB .若23AM AC AB =-，则点M B C 、、三点共线C.若点M 是ABC 的重心，则0MA MB MC ++=D.若AM xAB y AC =+ 且13x y +=，则MBC 的面积是ABC 面积的23【答案】CD 【解析】【分析】A 选项，由平面向量基本定理，变形得到12123333AM AC AB AB AC =+≠+，A 错误；假设点M 、B 、C 三点共线，推导出2AM AC AB =-，故B 错误；C 选项，画出图形，结合向量加法法则及重心的概念及性质得到答案；D 选项，可以先得到MBC 的面积与ABC 面积底相同，高线之比为2:3，从而得到答案.【详解】A 选项，()111233323133AM AB BM AB BC AB AC AB AC A AB AC B =+=+=+-=≠++，A 错误；B 选项，假设点M 、B 、C 三点共线，则MB BC λ=，即()AB AM AC AB λ-=- ，整理得：()1AM AC AB λλ=-++，故当2λ=-时，即2AM AC AB =- ，与条件中的23AM AC AB =-不一致，所以点M 、B 、C 三点不共线，B 错误；如图，取BC 中点H ，连接AH ，若点M 是ABC 的重心，则点M 在AH 上，且MA =2MH ，则2MA MB MH +=，则0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r，C 正确；D 选项，由于AM xAB y AC =+ ，而13x y +=，所以333AM xAB y AC =+ ，其中331x y +=，不妨设3AQ AM =，则Q 点在直线BC 上，由于MBC 与ABC 同底，而高线之比等于MQ 与AQ 的比，即比值为2:3，所以MBC 的面积是ABC 面积的23，D 正确.故选：CD11.在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱111ABC A B C -展开得到平面图如图所示，90ABC ∠=︒，1AA AB =，P 为1AB 的中点，Q 为1AC 的中点，则在原直三棱柱111ABC AB C -中，下列说法正确的是（）A.P ，Q ，C ，B 四点共面B.11A C AB ⊥C.几何体A PQCB -和直三棱柱111ABC A B C -的体积之比为38D.当2BC =时，1AC 与平面1ABB 所成的角为45︒【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面位置关系可判断A ，B 选项，根据几何体的体积计算方法即可判断C 选项，利用定义法可判断线面角，即可判断D 选项【详解】如图，将展开的平面图还原成立体图形，对A 选项，连接1A B ，P 为1AB 的中点，P ∴也为1A B 的中点，又Q 为1AC 的中点，//PQ BC ∴，P ∴，Q ，C ，B 四点共面，故A 选项正确；对B 选项，90ABC ∠=︒ ，棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴易得BC ⊥平面11ABB A ，又1AB ⊂平面11ABB A ，∴1AB BC ⊥，又1AA AB =，∴四边形11ABB A 为正方形，11AB A B ∴⊥，又1BC A B B ⋂=，1AB ∴⊥平面1A BC ，又1AC ⊂平面1A BC ，11A C AB ∴⊥，∴B 选项正确；对C 选项，P ，Q 分别为1A B ，1AC 的中点，134A BC PQCB S S ∴= 四边形，111111113331144434A PQCB A A BC A ABC ABC A B C ABC A B C V V V -----∴===⨯=∴几何体A PQCB -和直三棱柱111ABC A B C -的体积之比为14，故C 选项错误；对D 选项，当2BC =时，又1AA AB =，且1AA AB ⊥，12A B ∴=，1BC A B ∴=，1A B BC⊥145BAC ∴∠=︒，又由B 选项的分析知BC ⊥平面11ABB A ，1BAC ∴∠即为1AC 与平面1ABB 所成的角，又145BAC ∠=︒，1A C ∴与平面1ABB 所成的角为45︒，故D 选项正确．故选：ABD ．第II 卷（非选择题）三、填空题12.已知两点(34)A -，，(32)B ，，过点()10，P 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是___________.【答案】(][),11,-∞-+∞ 【解析】【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．【详解】解： 点(3,4)A -，(3,2)B ，过点(1,0)P 的直线L 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率PB k k 或PA k k ，PA 的斜率为40131-=---，PB 的斜率为20131-=-，∴直线l 的斜率1k 或1k - ，即(][),11,k ∈-∞-+∞ ，故答案为：(][),11,-∞-+∞ ．13.甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为12，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为______．【答案】1116##0.6875【解析】【分析】考虑先赢四场比赛的队伍获胜，甲队已经赢了两场，故只需再先赢两场则获胜，分析得到甲在随后进行的场次可以有两场连胜，也可输一场赢两场（含两种情况），还可以输两场赢两场（含三种情况），分别计算概率，再利用互斥事件的概率加法公式即得.【详解】由题意得甲、乙两队获胜的概率均为12，且最多再进行四场比赛，最少再进行两场比赛.则①再进行两场比赛甲队获胜的概率为111 224⨯=；②再进行三场比赛甲队获胜的概率为1111111 2222224⨯⨯+⨯⨯=；③再进行四场比赛甲队获胜的概率为111111111322222222216 111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯，由互斥事件的概率加法公式，可得最终甲队获胜的概率为11311 441616 ++=．故答案为11 16.14.已知四面体ABCD中，33AB=其余各棱长均为6，则四面体ABCD外接球的表面积为__________.【答案】52π【解析】【分析】作图，由余弦定理计算cos ABC ∠，再得sin ABC ∠，利用正弦定理可求得底面外接圆的半径r ，再计算得1O D 的值，列方程()2221111+=-O A O O O D O O ，代入求解出1513=O O ，从而可求解出R ，代入表面积公式计算.【详解】如图，设外接球的球心为O ，半径为R ，底面ABC 的外心为1O ，底面外接圆的半径为r ，因为33AB =，其余各棱长均为6，所以可得()22263363cos 42633+-∠==⨯⨯ABC ，所以22313sin 144⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭ABC ，由正弦定理得6241221313134==⇒=r r ，即11213=O A ，所以222211121861313⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭O D AD AO ，因为()2221111+=-O A O O O D O O ，可得2221112181313⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭O O O O ，求解得1513=O O ，所以185131313=-=R ，所以外接球的表面积为()22441352πππ==⨯=S R .故答案为：52π【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.四、解答题15.从3个黑球1a ，2a ，3a 和3个白球1b ，2b ，3b 中任取3个：（1）写出基本事件空间Ω和基本事件总数n .（2）求颜色都相同的概率；（3）求恰有1个白球的概率.【答案】（1）见解析，28（2）110（3）920【解析】【分析】（1）根据列举法按找一定的次序不重不漏的列出基本事件即可.（2）由（1）即可找出同色的基本事件，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）()()()(){123121122123,,,,,,,,,,,,a a a a ab a a b a a b Ω=()()()()()()()231232131132133112233,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a ab a a a a b a a b b a a b a b a a b b ()()()113123212,,,,,,,,,a b b a b b a b b ()()()()213223312313,,,,,,,,,,,,a b b a b b a b b a b b ()()}323123,,,,,a b b b b b ，即20n =（2）A =“颜色都相同”，则()(){}123123,,,,,A a a a b b b =，12m=，则()1110m P A n ==（3）同理，B =“恰有1个白球”，则()()()()(){121122123131132,,,,,,,,,,,,,,,B a a b a a b a a b a a b a a b =()()()()}133231232233,,,,,,,,,,,a a b a a b a a b a a b ，共9个基本事件，求得()920P B =.【点睛】本题考查了基本事件的列举以及古典概型的概率计算公式，属于基础题.16.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的中位数和众数；（2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35～45岁所有人的年龄的方差．【答案】（1）中位数为953，众数为27.5（2）10【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求中位数及众数即可；（2）先根据分层抽样求出第四组和第五组抽取的人数，再求出第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数和方差，进而可得出答案.【小问1详解】由于50.0150.070.5;50.0150.0750.060.5⨯+⨯<⨯+⨯+⨯>，所以这20人的年龄的中位数为：0.19530550.063+⨯=⨯，众数为：253027.52+=；【小问2详解】由频率分布直方图得各组人数之比为1:7:6:4:2，故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取4人和2人，设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为45,x x ，方差分别为2245,s s ，则224545537,43,,12x s x s ====，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s ，则()(){}2222245445542139,421066x x s s z z x s z x +⎡⎤⎡⎤===⨯+-+⨯+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m 人中年龄在35～45岁的所有人的年龄方差约为10．17.在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅ ；这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且___________.（1）求角B ；（2）在ABC 中，b =，求ABC 周长的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）选择①：由正弦定理化边为角即可求出；选择②：利用面积公式和数量积关系化简可得出；（2）利用余弦定理结合基本不等式即可求出.【小问1详解】选择①：条件即sin cos b C B =，由正弦定理可知，sin sin cos B C C B =，在ABC 中，(),0,B C π∈，所以sin 0,sin 0B C ≠≠，所以sin B B =，且cos 0B ≠，即tan B =，所以3B π=；选择②：条件即12sin cos 2ac B B ⨯=，即sin B B =，.在ABC 中，()0,B π∈，所以sin 0B ≠，则cos 0B ≠，所以tan B =，所以3B π=.【小问2详解】由（1）知，,3B b π==由余弦定理知：2222cos3b ac ac π=+-所以22212()3a c ac a c ac =+-=+-得22()12332a c a c ac +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭所以()a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立所以求ABC 周长的最大值为.18.矩形ABCD 所在平面与等腰梯形ACEF 所在平面互相垂直，//EF AC ，12EF AC =，直线AF 与平面ABCD 所成角为60︒，2EF AB ==.（1）求平面BDE 与平面ABCD 夹角的余弦值；（2）线段AF 上任意一点到平面BDE 的距离是否为定值?如果是，则求出定值，否则说明理由．【答案】（1）5（2）是定值，5【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合题意可求得相关点坐标，进而求得平面BDE 与平面ABCD 的法向量，根据空间角的向量求法可得答案；（2）根据线面平行的判定定理可证明AF ∥平面BDE ，从而可判断段AF 上任意一点到平面BDE 的距离为定值，利用空间距离的向量求法可求得定值.【小问1详解】过点F 作FG AC ^,垂足为G ，因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，FG ⊂平面ACEF ,故FG ⊥平面ABCD ，则FAG ∠为直线AF 与平面ABCD 所成角，即60FAG ∠=︒，过点C 作平面ABCD 的垂线作为z 轴，以,CD CB 为,x y 轴，建立空间直角坐标系，因为1,2,4,2EF AC EF AB AC BC ===∴====在等腰梯形ACEF 中，1(42)22cos 60AF -==，则()()0,,,,,,1(000)002,20,2,C B E D ⎛ ⎝，2)33(2,02,,BD DE ⎛=-=- ⎝ ，设平面BDE 的法向量为1(,,)n x y z = ，则11203022n BD x n DE x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =1,1y z ==，故1n = ，平面ABCD 的一个法向量可取为2(0,0,1)n = ，故1212125cos ,5n n n n n n ⋅〈〉== ，故平面BDE 与平面ABCD夹角的余弦值为5.【小问2详解】设,AC BD 交于点H ，连接EH ，因为AH EF ∥,且12AH AC EF ==，故四边形AHEF 为平行四边形，则AF EH ∥，AF ⊄平面BDE ，EH ⊂平面BDE ，故AF ∥平面BDE ，所以线段AF 上任意一点到平面BDE 的距离是否为定值，又()0),,(2,0,A AD =- ，故A 点到平面BDE的距离为11||5||AD n d n ⋅=== ，即定值为2155.19.已知圆22:4O x y +=，点P 为直线:4l x =上的动点．（1）若从P 到圆O的切线长为P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（2）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ，求证：直线MN 经过定点()1,0．【答案】（1）()4,0，4π3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设出P 点的坐标，根据切线长与几何关系即可求出P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长.（2）根据题意求出,M N 坐标，证明直线,M N 与点()1,0三点共线即可.【小问1详解】根据题意，设()4,P t ，设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，PC PD ==由题意可知222PO OC PC =+，即(222242t +=+，解得0=t ，所以点P 坐标为()4,0．在Rt POC △中，易得π3POC ∠=，所以2π3DOC ∠=，所以两条切线所夹劣弧 DOC 长为2π4π233⨯=.【小问2详解】设()()()1122,,,,1,0M x y N x y Q ，依题意，直线PA 经过点()2,0,(4,)A P t -，可以设():26t AP y x =+，和圆224x y +=联立，得到()22264t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，代入消元得到，()222236441440t x t x t +++-=，因为直线AP 经过点()112,0,(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有22112241447222,3636t t x x t t ---==++，代入直线方程():26t AP y x =+得，212272224263636t t t y t t ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭．同理，设():22t BP y x =-，联立方程有()22224t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，代入消元得到()2222444160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点()222,0,(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，222222416282,44t t x x t t --==++，代入():22t BP y x =-得到22222882244t t t y t t ⎛⎫--=-= ⎪++⎝⎭．若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+，显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点(1,0)Q ，若11x ≠则221,1t x ≠≠，所以有212212240836722112136MQ t y t t k t x t t -+===----+，22222280842811214NQ t y t t k t x t t ---+===----+所以MQ NQ k k ，所以,,M Q N 三点共线，即直线MN 经过定点(1,0)Q ．综上所述，直线MN 经过定点(1,0)Q ．。
