人教A版数学必修2课件：2.3.3二面角

类似地，下面的这个二面角应该如何表示？

Q l
B P
二面角的表示
(1)二面角－AB－ (2)二面角P AB Q (3)二面角 l (4)二面角P l Q
A

三.新知的探索 思考4：我们常说“把门开得大一些”，是指哪个角
大一些？


三.新知的探索
在上述变化过程中，图形在变化，形成的二面角也在变化， 我们应该怎样刻画二面角的大小？
2.3.2平面与平面垂直的判定
一.复习与回顾
1.1如何作出两条异面直线的夹角？ 1.2如何作出斜线与平面的夹角？ “空间问题平面化” 1.3在研究上述两个问题时，我们采用了相同的方法，即将 空间角的问题转化为平面角进行处理.
P
a
a
O

a
b/
A

B
b

二.新知的引入
三.新知的探索
我们知道直线上的一点将直线分割成两部分， 每一部分分别叫射线. 那么平面上的一条直线将整个平面一分为二， 每一部分应该叫做什么呢？
（2）角的两边分别在两个面内
（3）角的两边都要垂直于二面角的棱

三.新知的探索 观察：
1.教室相邻的两个墙面分别与地面所成的二面角是多少度？ 相邻的两个墙面所成的二面角又是多少度？
2.教室相邻的两个墙面分别与地面有什么样的位置关系？ 相邻的两个墙面又有什么位置关系呢？
三.新知的探索 3.4定义：
线线垂直

线面垂直
面面垂直
3.转化与化归思想：空间问题平面化处理 习题2.3 必做题A组 第1题、第2题 选做题B组 第1题
P
PA BC PA AC A
BC AC

3
B
∠AOB
O
二面角－AB－
A
A
F
E
B
l
C
中学学科网
B
A
二面角－ l－
A
B
D
D
C
二面角C－AB－ D
l
5
图形
角
顶点 O
A 边
边B
二面角
A 棱a 面
B面
定义
从一点出发的中学学两科网 条射线 所组成的图形叫做角。
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
构成
边—点—边 （顶点）
D1
C1
A1
B1
D
CE
F
A
B
例2、已知锐二面角－l－，A为面内一点，A到 的
距离为2 ，3 到l 的距离为4，求二面角－ l－ 的大
小。 解：①过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD
则由三垂线定理得AD⊥ l ②∴∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角 A ③∵ AO为A到的距离 ， AD为A到 l 的距离
∴CD=PC 2a
∴∠COD=90º
一“作” 二“证”
因此，二面角的度数为90º
三“计算”
二面角
2.A为二面角－CD－ 的棱CD上一点，AB在平面
内且与棱CD成45º角，又AB与平面 成30º，求二面
角－CD－ 的大小。
C AO
B
D
C
解：作BC于C，连结AC 过C作COCD于O，连结OB 由三垂线定理可得： BOCD
则 ∠BOC是二面角 CD 的平面角
设AO =a 在RtAOB中，BO=a, AB= 2a 在RtACB中，BAC= 30º,AB= 2a, BC= 22a

又DE⊂平面ADE，则DE⊥SC，则∠AED为二面角A-SC-B的平面角．
设SA＝AB＝2a，则SB＝BC＝2 2，＝ 2，＝2 3a，SC＝4a.
由题意得AE＝ 3a，在Rt△ADE中，sin
∴二面角A-SC-B的平面角的正弦值为
6
.
3

2
6
∠AED＝ ＝
＝ ，

3
3
03
类型3
垂面法求二面角
方法：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱
a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角．
【例3】
如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE
垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求
二面角E-BD-C的大小．
[解]
∵SB＝BC且E是SC的中点，
∵AA′⊥α，又BC⊂α，∴AA′⊥BC，又AD⊥BC，
AD∩A′A＝A，AD，A′A⊂平面AA′D，
∴BC⊥平面AA′D，又A′D⊂平面AA′D，
∴A′D⊥BC.
∴∠ADA′为二面角α-BC-β的平面角．
设 △ABC 和 △A′BC 的 面 积 分 别 为 S 和 S′ ， ∠ADA′ ＝ θ ， 则 S ＝
[解]
∵∠SAB＝∠SAC＝90°，
∴SA⊥AB，SA⊥AC.
又AB∩AC＝A，AB、AC⊂平面ABC，∴SA⊥平面ABC.
又BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.
又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA、AB⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.
又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.
(2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值．
∵在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，

OB
C'C 平面ABCD,OC 平面ABCD, C'C OC
设正方体的棱长为1， 则AC 2,OC 2 ，
tan C'OC C'C 1 2
2
OC 2
2 二面角C'BD C的正切值为 2
2
当堂训练:
P73 4 P78 7
课堂小结
1. 二面角的定义、二面角的平面角； 2. 二面角平面角的求法；
① 二面角的两个面重合： 0o ② 二面角的两个面合成一个平面： 180o ③ 平面角是直角的二面角叫直二面角． 90o
二面角的范围： [ 0o, 180o ]
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；
（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.
D'
C'
A'
B'
D A
C B
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求二面角C'-BD-C
的正切值.
解：连接AC交BD于点O,连接OC ', 则O为BD的中点，且 AC BD,
D' A'
C' B'
正方体中 BC' DC ', OC' BD
又OC'OC O
D
C
C'OC为二面角C'BD C的平面角，A
2.3.2.1二面角及其平面角
学习目标
1.理解二面角及其平面角的概念. 2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简