关于实数连续性的基本定理

关于实数连续性的基本定理

摘要：这七个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，还可以有不同的细节。作为工具，它们又各具特点。而这些都是值得我们去注意与发现。

关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理

柯西收敛定理 等价证明

(一)实数基本定理的出现

历史车轮的转离不开数学的发展。十七世纪，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼茨各自独立发现，推动了科学技术的前进。然而，贝克莱对牛顿理论的攻击，将无穷小量嘲笑为“消失的量的灵魂”，却真正抓住了牛顿理论的缺陷。一方面，微积分在应用中大获成功；一方面其自身却存在着逻辑矛盾。至十九世纪，由十七、十八世纪积累下来的矛盾到了非解决不可的程度。

使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。1823年，柯西给出了“柯西收敛定理”。而早在1817年，波尔察诺就确切地陈述了有界实数集的最小上界（即上确界）的定义。利用他的思想，魏尔斯特拉斯在19世纪60年代证明了“波尔察诺—魏尔斯特拉斯紧致性定理”。海涅于1872年提出，波莱尔于1895年完善并证明了“有限覆盖定理”。1872年，实数的三大派理论：戴德金 “分划”理论，康托的“基本序列”理论及魏尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了！ 1892年，巴赫曼提出了建立实数理论的一个重要原理——区间套原理。由此，沿柯西开辟的道路建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作，从而使微积分学这座数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。

以上的定理表述如下：

实数基本定理：对R的每一个分划A|B，都唯一的实数r，使它大于或等于下类A中的每一个实数，小于或等于上类B中的每一个实数。

确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。

单调有界原理:若数列}{nx单调上升有上界，则}{nx必有极限。

区间套定理:设｛,[na]nb｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r包含在所有的区间里,即1],[nnnbar。

有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。

紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。

柯西收敛定理：在实数系中，数列}{nx有极限存在的充分必要条件是：

||,,,0mnxx，NmNnN有时当。

这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。

（二）实数基本定理的等价证明

一．用实数基本定理证明其它定理

1．实数基本定理→单调有界定理

证明：设数列}{nx单调上升有上界。令B是数列}{nx全体上界组成的集合，即B={b|nbxn,},

而A=R﹨B，则A|B是实数的一个分划。事实上，由单调上升}{nx，故1x-1A，即A不空，由A=R﹨B，知A、B不漏。又对任给aA，bB，则存在0n，使a0nxb，即A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理，A，aRr使得对,braB，b有。

下证nlimnx=r。事实上，对nNnnxxr，Nn，x，xrN，A，r有时当单调上升又使知由于}{,0。

2,2rxbrn便有，2rxr，Nnn有时当

于是，|nx-r|，nlimnx=r。

若数列}{nx单调下降有下界，令ny=-nx，则{ny}单调上升有上界，从而有极限，设极限为r，则

nlimnx=nlim（-ny）=-r。定理证完。

2.实数基本定理确界定理

证明：设X是有上界的非空实数集，记B为X的全体上界组成的集合。A= R﹨B，则A|B构成实数的一个分划。事实上，不空，不漏显然。而A，a对B，b由a不是X的上界，知有0xX，使得0xa，而由B，b知0xb，故a b。

由实数基本定理，A|B是实数的一个分划，A，aRr使得对,braB，b有。

下证r=supX。首先证明r是X的上界。用反证法。如果不然，则有0xX，使得0xr，这时有a=20rx a=20rxA，且有ar，这是不可能的。因此r是X的上界，而由于brB，b有，

r是X的最小上界。

同理可证下确界的情形。定理证完。

3．实数基本定理区间套定理

证明：设｛,[na]nb｝是一个区间套，令},|{naxnxA，ARB\，则BA|是R的一个分划。事实上Aa1，Bb11，即BA,非空；由B的定义，BA,不漏；Aa，Bb，则，nabn,，故ba，即BA,不乱。故BA|确是R的一个分划。由实数连续性定理，存在唯一的实数r，使得Aa，Bb，有bra。

下证1],[nnnbar。因为n，由A的定义，Aan，故ran。又mn,，有nmba，则Bbn，从而nbr。即1],[nnnbar。

最后证明唯一性。若有rr,满足1],[nnnbar，1],[nnnbar，则)(0||nabrrnn

故rr。即这样的r是唯一的。定理证完。

二．用单调有界定理证明其它定理

1． 单调有界定理→实数基本定理

证明：给定实数的一个分划，任取Aa1，Bb1。用1a，1b的中点211ba二等分[1a，1b]，如果

211baB，则取2a=1a， 2b=211ba；如果211baA，则取2a=211ba，2b=1b；……如此继续下去，便得两串序列}{na}{nb。其中Aan单调上升有上界（例如1b），Bbn单调下降有下界（例如1a）并且nnab=211ab)(n。由单调有界定理，知r，使nlimna= r

nlim（nnab）=0 nlimna+（nnab）= r

 aA，有anb（n=1，2，……），令n，知ar

Bb，有nab（n=1，2，……）， 令n，知 rb bra

下面证明唯一性。 用反证法。如果不然。则 21rr，同时对任意 Aa，1ra，2ra

对任意b 有1rb 2rb，不妨设21rr，

令

221'rrr显然 2'1rrr  Ar'，Br'，

这与BA|是R的一个分划矛盾。 唯一性得证。定理证完。

2．单调有界定理→确界定理

证明：已知实数集A非空。Aa，不妨设a不是A的上界，另外，知b是A的上界，记1a=a，

1b=b，用1a，1b的中点211ba二等分[1a，1b]，如果211baB，则取2a=1a，

2b=211ba；如果211baA，则取2a=211ba，2b=1b；……如此继续下去，便得两串序列}{na}{nb。其中Aan单调上升有上界（例如1b），Bbn单调下降有下界（例如1a）并且nnab=211ab)(n。由单调有界定理，知r，使nlimna= r。由nlim（nnab）=0 有nlimna+（nnab）= r

}{nb是A的上界，Ax，有xnb（n=1，2，……），

令n，xnlimnb= r  r是A的上界。

而,0 由nlimna= r知，arN，nN，n有当知,0

从而X，arA，Xn使 r=supA。

同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完。

3．单调有界定理区间套定理

证明：已知na 1na（n）， nanb1b，由单调有界定理知{na}存在极限，设nlimna= r，

同理可知{nb}存在极限，设nlimnb=r ，由nlim（nnab）=0得rr=0即rr

n，有nanb，令n，有narrnb，n，有narnb。

唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。定理证完。

三．用确界定理证明其它定理

1． 确界定理→实数基本定理

证明：对给定R的一个分划A|B，由于Bb，b是集合A的上界，由确界定理可得，集合A有上确界r，即raAa有。r是集合A的上确界，r是集合A的全体上界的最小数。

Bb，有rb。

唯一性同用单调有界定理对实数基本定理的证明（即二。1）。定理证完。

2． 确界定理→单调有界定理

证明：设}{nx是单调上升有上界的实数列。由确界定理可得，r ，使r=sup}{nx。

rxnn有,，并且rx，x，NN有0

rxxrNnnN有,，即||rxn

nlimnx= r。

单调下降有下界情况的证明同用实数基本定理对此定理的证明（即一.1）。定理证完。

3． 确界定理→区间套定理

证明：由[1na，1nb] [na，nb]，知}{na是单调上升有上界的实数列，}{nb是单调下降有下界的数列。且1b是na的上界，1a是nb的下界。设nlimna= r，nlimnb=r，由确界定理对的证明知

r=sup}{na，r=inf}{nb。由nlim（nnab）=0得rr=0即rr= sup}{na=inf}{nb

n，有narnb。

唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。定理证完。

4． 确界定理→有限覆盖定理

证明：设E是闭区间[ba，]的一个覆盖。

定义数集A={ax|区间[xa，]在E中存在有限子覆盖}

从区间的左端点ax开始.由于在E中有一个开区间覆盖a,因此a及其右侧充分邻近的点均在A中.这就保证了数集A是非空的.从数集A的定义可见,若xA,则整个区间[xa，]A.

若A无上界,则bA,那么[ba，]在E中存在有限子覆盖.

若A有上界, 由确界定理可得r,使r=supA。

rx，都有xA。事实上，,0)(xr,y使得xxrry)(。

[ya，]在E中存在有限子覆盖，[xa，][ya，]在E中存在有限子覆盖

下证br。用反证法。如果不然，rb，则r[ba，]。因此，在E中存在有一开区间覆盖E

覆盖r。0a，0bE，使0a0br。

由上面论证知0aA，也即区间[0aa，]在E中存在有限子覆盖，向这个有限子覆盖再加上开区间E，