实数基本定理

的数不是 S 的下界, > 0 , x S,使得x< α ,
则称α是数集S的下确界,记作 = infS.
2024/7/15
8
例2 考察下列数集的上确界与下确界
E1
{1,
1 2
, 1 ,, 3
1 n
,}
E2 {1,2,3,, n,}
E3 {x | 0 x 1}
1
{xn
1
} n
{x2k
即证明了 x n k →∞（k→∞）．
2024/7/15
30
五 柯西收敛原理
Cauchy列：如果数列 具有以下特性：
＞
＜
则称数列
是一个基本数列.
定理７（柯西收敛准则）
数列｛ xn｝收敛的充分必要条件是：对于任 意给定的正数(不论它多么小),总存在正数 N ,
使得对于 m,n N 时,都有不等式 xn xm 都
推论：若存在数列｛xn｝的两个子列
{
x(1 nk
)
}与{
x
(2 nk
)
},分别
收敛于不同的极限，则数列｛xn｝必定发散 .
2024/7/15
4
例1
证明数列
sin
n
4
发散.
证明：取
n(1) k
4k
,
n( 2 ) k
8k
2,
则 子列
x(1 nk
)收
敛
于
0，而子列
x
(2 nk
)收敛于
1.
由上述推论
证明．因为数列｛ xn｝无界，故对任意 M>0,存在
n0 M ,使得 | x n 0 | M . 取 M=1,存在 n1 1， | x n1 | 1 ， 取 M=２,存在 n2 max{2, n1} ， | x n2 | 2 ， 取 M=３,存在 n3 max{3, n2} ， | x n1 | 3 ， ……… 则存在子列 | x nk | k , （k=1,2,3,…）

1 确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。

2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。

3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。

4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间，H 为],[b a 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成],[b a 上的一个覆盖。

5 Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。

） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。

6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得N n m >∀,时，都有ε<-||n m a a 。

一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理 证明：１设 ［ａｎ，ｂｎ］ 是一个闭区间套，即满足： １）∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］；２）ｂｎ－ａｎ ＝我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ有上确界，设sup Ｓ ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）显然ａｎ ≤ξ，（ｎ ＝１，２，⋯）所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ． 事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ 的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有 ξ≤ｂｎ，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）唯一性: 假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ，则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。

第七章 实数基本定理 （ 1 8 时）§1 关于实数集完备性的基本定理（ 4 时 ）一． 确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界.二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛.三. Cantor 闭区间套定理:1. 区间套: 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ> 对n ∀, 有 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a , 即 n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中;ⅱ> ,0→-n n a b )(∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n . 注:这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增,} {n b 递减.例如 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套.但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nn n +-+、} ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +-都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a .简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件:1. 基本列:回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为Cauchy 列. Cauchy 列的否定:2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点0, 但E ∉0; 开区间 ) 1 , 0 (的全体聚点之集是闭区间 ] 1 , 0 [; 设Q 是] 1 , 0 [中全体有理数所成之集, 易见Q 的聚点集是闭区间] 1 , 0 [.1. 列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine –Borel 有限复盖定理:复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义 (复盖 )设E 是一个数集,G 是区间族.若对∍Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈,则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E 若每个λI 都是开区间,则称区间族G 是开区间族.开区间族常记为}, , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM . 定义 (开复盖 )数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖,简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例1 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间) 1 , 0 (, 但不能复盖] 1 , 0 [; } ) , ( , ) 2 , 2 ( {b a x x b x x b x H ∈-+--=复盖) , [b a , 但不能复盖] , [b a . 1. Heine –Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.七 实数基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 ⇒ 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 ⇒ 致密性定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理 ⇒ Heine –Borel 有限复盖定理 ⇒ 区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 ⇒ 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a . 证推论1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃当N n >时, 总有] , [n n b a ) , (εξ ⊂.推论 2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点,则有n a ↗ξ, n b ↘ξ, ) (∞→n .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P 217—218上的证明留作阅读.现采用[3]P 70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设E 为非空有上界数集 . 当E 为有 限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取1a 不是E 的上界, 1b 为E 的上界. 对 分区间] , [11b a , 取] , [22b a , 使2a 不是E 的上界, 2b 为E 的上界. 依此得闭区间列} ] , [ {n n b a . 验证} {n b 为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,} {n b 收敛; 同理} {n a 收敛. 易见n b ↘. 设n b ↘β.有 n a ↗β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （ 用对分法 ）2．用“致密性定理” 证明“Cauch y 收敛准则” ：Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.证 (只证充分性）证明思路 ：Cauchy 列有界→ 有收敛子列→验证收敛子列的极限即为} {n a 的极限.Ex [1]P 223—224 1—7，11.三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine –Borel 有限复盖定理”:证2. 用“Heine –Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:证 采用[3]P 72例4的证明.Ex [1]P 224 8—12 选做，其中 1 0 必做.§3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 )一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在] , [b a 上)(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈⇒)(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值. (只证取得最大值) 证( 用确界原理) 参阅[1]P 170.三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 (零点定理)证法一(用区间套定理).证法二(用确界原理).不妨设,0)(>a f 0)(<b f .令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ,有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ).取n x >ξ且n x ) ( ,∞→→n ξ.由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f ,⇒,0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ,⇒ξE ∉.于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f ,⇒0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ.因此只能有0)(=ξf . 证法三 (用有限复盖定理).Ex [1]P 232 1，2，5.四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法一 (用区间套定理).参阅[1]P 171[ 证法一 ]证法二 (用列紧性).参阅[1]P 171[ 证法二 ]Ex [1]P 232 3，4， 6*；P 236 1，2，4.。

在xε ∈ S 满足xε > β − ε = β − (β − α) = α, 与α也为S的上确界矛盾,从而上确界唯一.
同理可证下确界唯一.
例
{sin
π n
设E1 = (1, 1/2, · · · , 1/n, · · ·); E2 : n ∈ N+}. 则
=
(1, 2, · · · , n · · ·); E3
于进行严格的推理论证. 因此,有必要使用分析语言给出确切的定义.
定义1.2.1 设{xn}是一个数列，a是一个实数，如果对于任意给定的ε > 0，存在一个
自然数N ，使得凡是n > N 时，都有|xn − a| < ε, 就说数列{xn}当n趋向无穷大时以a为
极限，记成 lim
n→∞
xn
= a,
也可以简记为xn
→ a(n → ∞),
我们也说数列{xn}
收敛于a.
存
在极限的数列称为收敛数列,没有极限的数列称为发散的.
若 lim
n→∞
xn
=
0,
则称{xn}
为无
穷小量.
注
1、
lim
n→∞
xn
=
a
⇐⇒
xn
−
a为无穷小量.
2、 在定义中,正数ε必须是任意给定的，不能用一个很小的正数来代替.
3、 当正数ε给定之后，满足要求的N 通常是与ε有关的，此时N + 1, N + 2等也满足
n
2
xiyi ≤
i=1
n
x2i
i=1
n
yi2 .
i=1
其中等号成立当且仅当数组{xi}与{xi}对应成比例. 4、调合平均值-几何平均值-算术平均值不等式（简称平均值不等式）

第七章 实数基本定理［教学目标］通过教学使学生掌握反映实数连续性的六个基本定理，能准确加以表述，并深刻理解其实质意义；明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的方法，提高分析论证的能力。

［教学重难点］实数完备性基本定理的证明和应用。

［教学方法］讲授。

［教学时间］讲授8学时，习题课4学时，共计12学时。

　［教学内容］实数完备性基本定理及其等价性证明，闭区间上连续函数性质及证明，*上极限与下极限。

［考核目标］　1. 区间套、聚点、确界、覆盖、子列及一致连续等概念的理解；求点集的聚点、确界；　2. 对六个基本定理的理解和准确表述，明确其等价性；　3. 应用闭区间上连续函数的性质讨论函数的有界性、最值性、证明方程根的存在性；　4. 函数一致连续性的判别及有关问题的证明。

§ 1 实数基本定理的陈述一． 确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界。

. 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor 闭区间套定理 : 1. 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件} ] , [ {n n b a ⅰ> 对n ∀, 有 , 即 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ;ⅱ> ,0→−n n a b . 即当)(∞→n ∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤L L L L ,0→−n n a b .)(∞→n 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增, } {n a } {n b } {n a } {n b 递减. 例如 } ] 1 , 1 [ {n n −和} ] 1 , 0 [ {n都是区间套. 但} ] 21 , ) 1 (1 [ {n n n +−+、 } ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +−都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点} ] , [ {n n b a ξ,使对有n ∀∈ξ] , [n n b a .简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 :1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列.例1 验证以下两数列为Cauchy 列 :⑴ n nn x 9.0sin 9.09.0sin 9.09.0sin 9.02+++=L . ⑵ 12) 1 (513111−−+−+−=+n a n n L . 解 ⑴ ≤++=−+++++ | 9.0sin9.09.0sin 9.0| ||11p n p n n n n p n x x L<++≤++ 9.09.01p n n L L L +++++ 9.09.01p n n 119.0109.019.0++×=−=n n ; 对0>∀ε，为使 ε ||<−+n p n x x ，易见只要 9.0lg 10lg 1ε>+n . 于是取 .L L =N ⑵ 1)(2)1(32)1(12)1(||132−+−+++−++−=−+++++p n n n a a p n n n n p n L 1)(2)1(3211211−+−+++−+=+p n n n p L . 当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 p =−+−++−+1)(21321121p n n n L 0 1)(213)(21721521321121≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+p n p n n n n n L , 又=−+−++−+1)(21321121p n n n L ≤−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−+=1)(213)(215)(21521321121p n p n p n n n n L 121+≤n . 当为奇数时 ,p =−+−++−+1)(21321121p n n n L 0 1)(213)(215)(21321121≥−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=p n p n p n n n L , =−+−++−+1)(21321121p n n n L121 1)(213)(21521321121+≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−+=n p n p n n n n L . 综上 , 对任何自然数p , 有 121 1)(2)1(32112101+≤−+−+++−+≤+n p n n n p L n1 <. …… Cauchy 列的否定:例2 ∑==n k n k x 11 . 验证数列不是Cauchy 列. }{n x 证 对, 取n ∀n p =, 有 212 12111||=>++++++=−+n n n n n n x x n p n L . 因此, 取210=ε ,…… 2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列收敛 } {n a ⇔ 是Cauchy 列.} {n a ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy 准则，并以Cauchy 收敛原理为依据，利 用Heine 归并原则给出证明 )五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点, 但; 开区间 的全体聚点之集是闭区间; 设Q 是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间.0E ∉0) 1 , 0 (] 1 , 0 [] 1 , 0 [Q ] 1 , 0 [1. 列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine–Borel 有限复盖定理:1. 复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义( 复盖 ) 设E 是一个数集 , G 是区间族 . 若对∋Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈,则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E U 若每个都是开区间, 则称区间族是开区间族 . 开区间族常记为λI G } , , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM .定义( 开复盖 ) 数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖, 简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例3 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间, 但不能复盖;) 1 , 0 (] 1 , 0 [} ) , ( , ) 2 , 2 ( {b a x x b x x b x H ∈−+−−=复盖, 但不能复盖. ) , [b a ] , [b a 2. Heine–Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.§ 2 实数基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ ⇒确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 ;⇒⇒Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 .⇒⇒ 一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).⇒1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点} ] , [ {n n b a ξ,使对有n ∀∈ξ] , [n n b a .证系1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套确定的公共点, 则对} ] , [ {n n b a 0>∀ε, ,N ∃当时, 总有N n >] , [n n b a ) , (εξU ⊂.系2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套确定的公共点, 则有} ] , [ {n n b a n a ↗ξ, ↘n b ξ, .) (∞→n 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列收敛 } {n a ⇔ 是Cauchy 列.} {n a 引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设E 为非空有上界数集 . 当E 为有 限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取不是1a E 的上界, 为1b E 的上界. 对分区间, 取, 使不是] , [11b a ] , [22b a 2a E 的上界, 为2b E 的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘} ] , [ {n n b a } {n b } {n b } {n a n b n b β.有↗ n a β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （ 用对分法 ）2．用“致密性定理” 证明“Cauchy 收敛准则” ：Th 4 数列收敛 } {n a ⇔ 是Cauchy 列.} {n a 证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy 列有界 有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.→→} {n a 三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:2. 用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:§ 3 闭区间上连续函数性质的证明一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在上] , [b a )(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在上取得最大值和最小值. )(x f ] , [b a ( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ).三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 ( 零点定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 ,0)(>a f 0)(<b f .令, 则} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=E 非空有界, ⇒E 有上确界. 设E sup =ξ,有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ). 取>n x ξ 且n x ) ( ,∞→→n ξ.由在点)(x f ξ连续和0)(≤n x f , ⇒0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ, ⇒ξE ∉. 于是) ( , ∞→→∋∈∃n t E t n n ξ. 由在点)(x f ξ连续和,0)(>n t f ⇒ 0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ. 因此只能有0)(=ξf . 证法 三 ( 用有限复盖定理 ).四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用列紧性 ).§4. 上极限和下极限一、上（下）极限的定义对于数列，我们最关心的是其收敛性；如果不收敛，我们希望它有收敛的子列，这个愿望往往可以实现。

n
0 ， x S ，使得 x ，
记为 xn a ( n ) 。如果不存在实数 a，使 xn 收敛于 a，则称数列 xn 发散。
lim xn a 0 ， N N ， n N ，有 xn a 。

二、一些基本概念
1.有界集： 设 S 是一个非空数集，如果 M R ，使得 x S ，有 x M ，则称 M 是 S 的
一个上界；如果 m R ，使得 x S ，有 x m ，则称 m 是 S 的一个下界。当数集 S 既有上界，又有下界时，称 S 为有界集。
a1 b1 a b a b , b1 S ，则记 a2 , b2 = 1 1 , b1 否则记 a2 , b2 = a1 , 1 1 ；...；对 2 2 2 an 1 bn 1 an 1 bn 1 a b an1 , bn1 二等分为 , bn 1 ，若 n 1 n 1 , bn 1 S ， an 1 , 、 2 2 2
则记 a2 , b2 =
a1 b1 a b , b1 否则记 a2 , b2 = a1 , 1 1 ；...；对 an 1 , bn 1 二等分为 2 2
an 1 bn 1 an 1 bn 1 a b , bn 1 ，若 n 1 n 1 非 s 的上界，则记 、 an 1 , 2 2 2 an 1 bn 1 a b an , bn = , bn 1 否则记 an , bn = an 1 , n 1 n 1 ；...，得到一列闭区间 2 2
上界，则记 a2 , b2 =

15
例4 设有两个正数满足0 a1 b1,
作 an1
anbn
,
bn1
an
2
bn
.
证明:
lim
n
an
,
lim
n
bn
存在且相等.
分析:只要证明 an ,bn
满足闭区间套定理的条件即可.
16
上面的定理只适合于特殊的数列,
对于一般的数列,我们先介绍子列的概念.
在数列 xn中依次任意抽出无穷多项:
1
1 x
x
1
1 n
n1
结合夹逼准则,可证 lim (1 1 )x e
x
x
7
(3) 考虑 lim (1 1 )x
x
x
令 y x
可证明 lim (1 1 )x e
x
x
故 lim(1 1)x e
x
x
令t 1 x
1
得到 lim(1 x) x e x0
8
例1 判断下列数列的收敛性
(1)
an
1 31
lim
n
xn
0
lim
xn1
1 lim
1 xn 1
x n n
n
xn
2
10
例3 证明数列 xn a a 极限存在.
a ,a 0(n重根式)的
证 (1) 显然 xn1 xn ,
所以{xn} 是单调增加的;
(2) 因为 x1
a 1
1 4a 2
数列的极限值
假定 xk 1
1 4a , 2
用归纳法可证明
1 xn
,
x1
2
Q.
可以证明: xn

1 确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。

2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。

3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。

4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间，H 为],[b a 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成],[b a 上的一个覆盖。

5 Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。

） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。

6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得N n m >∀,时，都有ε<-||n m a a 。

一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理 证明：１设 ［ａｎ，ｂｎ］ 是一个闭区间套，即满足： １）∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］；２）ｂｎ－ａｎ ＝我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ有上确界，设sup Ｓ ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）显然ａｎ ≤ξ，（ｎ ＝１，２，⋯）所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ． 事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ 的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有 ξ≤ｂｎ，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）唯一性: 假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ，则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。

从开始学习数学分析至今，我们共学习了七个实数基本定理，他们分别是： ○1127页中间值定理 ○256页单调有界有极限定理 ○3确界定理 ○459页区间套定理 ○5附录4Borel 有限覆盖定理 ○662页有界必有限 ○764页Cauchy 收敛原理 书上证明各定理的思路是：从○1出发证明○2及○3，并证明○1、○2、○3相互等价，此过程中得到：“单调上升有上界数列的极限即为数列上确界”这一加强结论。

由○2及此加强结论可证出○4，再由○4分别证出○5及○6，由○6证出○7。

下面给出这七个实数基本定理之间相互等价的证明，大概思路如下：⇔⇔⇒⇔⇒⇒⇒①④⑦②⑥②③⑤④详细证明如下： ⇒①④已知有区间套[]{},n n a b 满足()lim 0n n n b a →∞-=，[][]()11,,n n n n a b a b n ++⊂∀。

要证存在唯一的[]1,n n n r a b ∞=∈ ，且lim lim n n n n b a r →∞→∞==记{}n a 全体上界组成的集合为B ，\A =B R 。

由[][]()11,,n n n n a b a b n ++⊂∀，知121n n a a a b b ≤≤⋅⋅⋅≤≤≤⋅⋅⋅。

显然11a -∈A ，11b +∈B ，且{}n b ⊂B ，故知A B、不空；由A =B R \知A B 、不漏；,a b ∀∈A ∀∈B ，由于a 不是{}n a 的上界，因此存在{}0n n a a ∈，使0n a a <。

而b 是{}n a 上界之一，所以0n a b ≤，故0n a a b <≤，即a b <，故不乱，因此|A B 构成实数的一个分划。

由①知，存在唯一的r ，,a b ∀∈A ∀∈B ，有a b ≤。

下证[]1,n n n r a b ∞=∈ ，即,n n n a r b ∀≤≤若∃N ，使n a r >，则2n n a r a +<，因此2n a r +∈A ，而2n a r r +>，与,a a r ∀∈A ≤矛盾。

[ a2 , b2 ] ，照这样分下去得到一个区间列 {[ an , bn ]} ，这些区间适合下面 3 个条件：
n →∞
n→ ∞
an
= r， lim
n→ ∞
bn = r ′
，由
∴ ∀ n，有 an
≤ r ≤ bn .
最 后 证 明 唯 一 性 . 若 有 r , r ′ 满 足 r ∈ ∩ [ an , bn ] ， r ' ∈ ∩ [ an , bn ] ， 则
n =1 n =1
∞
∞
| r − r ′ |≤ bn − a n → 0(n → ∞)
∞
∞
最 后 证 明 唯 一 性 . 若 有 r , r ′ 满 足 r ∈ ∩ [a n , bn ] ， r ′ ∈ ∩ [ a n , b n ] ， 则
n =1
n =1
| r − r ′ |≤ bn − a n → 0(n → ∞)
故 r = r ′ .即这样的 r 是唯一的.
3、用单调有界定理证明致密性定理 证明：首先证明有界数列 {an } 有单调子数列. 称其中的项 a n 有性质 M，若对每个 i > n ，都有 a n ≥ a i ，也就是说， an 是 集合{ ai | i ≥ n }的最大数. 分两种情形讨论： ①数列 {an } 有无穷多项具有性质 M，将它们按下标的顺序排列，记为 an ，
∴∀n > N , 有r − ε ≤ xN ≤ xn ≤ r ，即 | xn − r |< ε
2、确界定理证明区间套定理 证明：由 [ an +1 , bn +1 ] ⊂ [ an , bn ] ，知 {an } 是单调上升有上界的实数列，{bn } 是单调下 降有下界的数列.且 b1 是 a n 的上界， a 1 是 bn 的下界.设 lim 确界定理对单调有界定理的证明知 r=sup {an } ， r ′ =inf {bn } .由 lim(bn − an ) = 0 得 r − r ' =0 即 r − r ' = sup {an } =inf {bn }

六个实数基本定理引言：实数作为数学中的一种基本概念，具有广泛的应用和重要的地位。

在实数的研究中，有六个基本定理，它们是实数理论的基石，为我们理解和应用实数提供了坚实的基础。

本文将从基本定理的角度出发，详细介绍这六个定理的内涵和应用。

一、实数有序性：实数集中的任意两个数a和b，必满足以下三种关系之一：a<b，a=b，a>b。

这个定理表明实数集中的数可以通过大小进行比较，具有明确的次序。

在实际应用中，有序性的概念常常用于描述事物的优劣、大小、先后等关系。

二、实数的稠密性：对于实数集中的任意两个数a和b(a<b)，必存在一个实数c，使得a<c<b。

也就是说，实数集中的任意两个数之间必然存在其他实数。

这个定理揭示了实数集中的数的稠密分布特征，保证了实数的连续性和无间断性，在实际应用中具有重要的价值。

三、实数的有界性：实数集中的数存在上界和下界。

上界是指实数集中的数中的最大值，下界是指实数集中的数中的最小值。

这个定理说明了实数集合中数的范围是有限的，为我们研究实数集合的性质提供了重要的线索。

四、实数的确界性：对于一个有上界的实数集合，必存在一个最小的上界，称为上确界；对于一个有下界的实数集合，必存在一个最大的下界，称为下确界。

这个定理强调了实数集中数的范围的确定性，为我们研究实数集合的性质提供了坚实的基础。

五、实数的连续性：实数集中的数是连续的，即便在一个有限的区间内，也可以找到无数多个实数。

这个定理揭示了实数集合中数的无穷性和连续性的特点，为我们研究实数的性质和应用提供了理论依据。

六、实数的代数性：实数集中的数具有四则运算的封闭性和对称性。

也就是说，实数集中的任意两个数做加、减、乘、除运算所得的结果仍然是实数。

这个定理说明了实数集中数的运算规律和性质，为我们进行实数运算提供了便利。

结语：六个实数基本定理是实数理论的核心内容，它们从不同的角度揭示了实数集合中数的性质和规律。

在实际应用中，我们可以根据这些定理，灵活运用实数的特点，解决各种实际问题。

§2 实数完备性的基本定理实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性。

实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。

因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。

本节主要介绍7个较直观并且容易理解的基本定理，同时给出它们的等价证明。

我们将在附录中建立严格的实数理论和这些基本定理两两之间的等价性证明。

2.1 实数基本定理的陈述简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列。

区间套还可表达为, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n 。

我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增, } {n b 递减。

例2.1 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套. 但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nn n +-+、 } ] 1 , 0 ( {和 } ] 11 , 1 [ {+-都不是。

推论 1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃ 当N n >时, 总有] , [n n b a ( , ) U x e Ì。

推论2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则有n a 单增且收敛于ξ，同时n b 单减且收敛于ξ，) (∞→n 。

根据假设，对任给的0ε>，总存在自然数N ，对一切n N ≥，都有n N a a ε-≤，即在区间[],N N a a εε-+内含有{}n a 中除掉有限项外几乎所有的项。

据此，令12ε=，则存在1N ，在区间1211,22N N a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上含有{}n a 中除有限项外的几乎所有的项，并记这个区间为[]11,αβ。

a1
an1 an bn bn1
b1 。
显然 an 单调增加而有上界 b1 ， bn 单调减少而有下界 a1 ，由定理 2.4.1， an 与 bn 都收敛。 设 lim an ，则
n
lim bn lim bn an an lim bn an lim an 。
实数系的基本定理
确界存在定理
Cauchy收敛原理
单调有界数列收敛 定理
Bolzano—Weierstrass 定理 闭区间套定理
定理 2.1.1 （确界存在定理——实数系连续性定理） 非空有上界的 数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。 证：
x R ，都可以表示成 x x x 1。
n, m N ：
xn a
于是

2
， xm a

2
，
xm xn xm a xn a 。
再证明充分性。 先证明基本数列必定有界， 取 0 1， 因为 xn 是基本数列， 所以 N 0 ，
n N0 ：
令 M max x1 , x2 ,
由此得到一个闭区间套 an , bn ，满足
an T , bn T ， n 1, 2,3,
。
由闭区间套定理，存在唯一的实数 属于所有的闭区间 an , bn ，且
lim bn lim an 。现在说明 是集合 T 的最小数，也就是集合 S 的
n n
an bn ， n 1,2,3,
令 n ，由极限的夹逼性得到
，
lim bn lim an ，
n n

现将 [a1, b1] 等分为两个子区间 [a1, c1], [c1,b1],
其中 c1

a1
2
b1
. 那么 [a1,
c1], [c1,
b1 ]
中至少有一
个区间含有 S 的无限多个点. 记该区间为[a2, b2].
显然有[a1,b1] [a2 ,b2 ],
b2

a2

1 2
(b1

a1 )
下面来证明唯一性. 设 1 也满足
an 1 bn ,
返回
那么 1 bn an 0. 即 1 , 惟一性得证. 推论 设 {[an ,bn]} 是一个区间套, [an , bn ], n 1, 2, . 则任给 > 0, 存在 N, 当 n N 时,
M (ii) bn an 2n2 0 ; (iii) 每个闭区间[an, bn] 均含S 的无限多个点.
由区间套定理, 存在惟一的 [an , bn ], n 1, 2, .
由定理 1的推论 : 对于任意的正数 ,存在 N ,
当n N使
[an , bn ] U ( ; ),
个区间的端点上的值异号. 将这个过程无限进行
下去, 得到一列闭子区间
{ [an , bn] }, 满足:
(i) [an1, bn1] [an , b n ], n 1, 2, ;
(ii)
bn
an

ba 2n
0 , n ;
(iii) F (an )F (bn ) 0.
开区间所覆盖. 由区间套定理,存在惟一的 , 使 [an , bn ], n 1, 2, .
因 [a1, b1], H 覆盖了[a, b], 故存在 ( , ) H , 使 （ , ）. 由定理 7.1推论，当n充分大时有

实数基本定理及闭区间上连续函数性质证明实数基本定理及闭区间上连续函数性质证明§1. 关于实数的基本定理一子列定义1 在数列 EMBED Equation.DSMT4 中，保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列，就称为EMBED Equation.DSMT4 的子列，记为 EMBED Equation.DSMT4 。

子列的极限和原数列的'极限的关系定理1 EMBED Equation.DSMT4 若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的任何子列 EMBED Equation.DSMT4 都收敛，并且它的极限也等于 EMBED Equation.DSMT4 。

注：该定理可用来判别 EMBED Equation.DSMT4 不收敛。

例：证明 EMBED Equation.DSMT4 不收敛。

推论：若对任何EMBED Equation.DSMT4 ：EMBED Equation.DSMT4 都有 EMBED Equation.DSMT4 收敛，则 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 的极限存在。

二上确界和下确界上确界的定义，下确界的定义定理2 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界。

定理3 单调有界数列必收敛.三区间套定理区间套: 设 EMBED Equation.DSMT4 是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ> 对 EMBED Equation.DSMT4 , 有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ;ⅱ> EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .则称该闭区间序列为为区间套 .注：区间套是指一个“闭、缩、套” 区间列.( 都不是).例： EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 都是区间套.但 EMBED Equation.DSMT4定理4设 EMBED Equation.DSMT4 是一闭区间套. 则存在唯一的点 EMBED Equation.DSMT4 属于所有的区间。

开区间所复盖，在此基础上再加σ β ，便知[ a ,c]也被∑中有限个开区所复盖，所
以 c∈E
(3) c＝ b ，事实上，若 c＜ b ，取 x ∈ (c,b) ∩ (c,bβ ) ，易知[ a, x ]被∑中有
递减的实数列 {an }发散于-∞的充分必要条件是 {an }无下界。
证明：仅证的推论的前半部分，后半部分可完全类似地得到。 必要性由极限的定义可得。
充分性：由条件，对任意 M＞0，M 不是 {an }的上界， 因此存在 n0 ∈ N ，使
an0 ＞M，从而 n ≥ n0 时，有 an ≥ an0 ＞M, 此即
无限开复盖，若∑中开区间的个数是有限的，则称∑是 E 的有限开复盖。
例 如 开 区 间 集 {(n −1, n + 1) : n ∈ Z} 是 整 个 实 数 的 一 个 开 复 盖 ，
5
{(2n −1,2n + 3) : n ∈ Z} 也 是 整 个 实 数 的 一 个 开 复 盖 。 又 如 开 区 间 集
第一章 实数系与不等式
§1.1 实数系连续性的基本定理
实数系连续性的八大基本定理： (1) Cauchy 准则
(2) Weierstrass 单调有界定理
(3) Cauchy－Cantor 闭区间套定理 (4) Dedekind 分割定理 (5) 确界存在定理 (6) Heine－Borel 有限复盖定理 (7) Weierstrass 聚点定理 (8) Bolzano－Weierstrass 致密性定理 是数学分析的基础，本节我们证明这八大基本定理的等价性，其顺序是:
n, m > N 时，恒有 an − am ＜ε.
若不然，即存在 ε 0 ＞0，对任意自然数 N ，存在 n > m > N ，使

实数6个基本定理
实数是数学当中最重要的概念之一，它们是研究几何图形、求解方程与不等式等内容时尤其用得多的数值。

实数的性质决定它们之间的性质也就确定了其中的特点与定理。

首先，关于实数的基本定理有以下六个：
1.正实数集合中，所有数字加减乘除后仍然是正实数。

这是最基本的定理，也就是说，只要数字本身为正实数，那么无论是加、减、乘还是除，它们运算后的答案均为正实数，不可能出现负实数的结果。

2.实数的乘法也有自身的性质，即0乘任何实数均为0，而1乘任何实数，结果均为实数本身。

3.实数的加法运算也有其规律，即两个实数相加、相减后的结果仍然是实数，而且，加一个实数可以把另一个实数变换成另一个实数，从而称其为可加实数。

4.实数的比较有其特定规律，即实数之间可以相等，也可以大小不等：两个实数可以相等，当它们的值完全一样时，也可以大小不等，它们大小的不等依据是它们的值，大者大，小者小。

5.实数可以被分成正负两类，正数比负数大，而负数比正数小。

因此，实数可以分成三类：正数、负数、零。

正实数的值大于零，负实数的值小于零，而零则既不大于，也不小于任何实数。

6.最后，实数的除法也有特定的法则，即除以0的操作永远都是无效的，也就是说，不能将一个实数除以0，否则结果就是无穷大。

以上就是实数的六大基本定理。

它们构成了实数运算发展过程中
的不可缺少的重要组成部分，只有掌握了实数的基本定理，才能更好地掌握实数的运算，进而在数学学习中取得良好的成果。