史上最全的数列通项公式的求法13种

最全的数列通项公式的求法

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。

一、直接法

根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。

二、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

②若已知数列的前n项和nS与na的关系，求数列na的通项na可用公式2111nSSnSannn求解.

(注意：求完后一定要考虑合并通项)

例2．①已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn．求数列na的通项公式.

②已知数列na的前n项和nS满足21nSnn，求数列na的通项公式.

③ 已知等比数列na的首项11a，公比10q，设数列nb的通项为21nnnaab，求数列nb的通项公式。

③解析：由题意，321nnnaab，又na是等比数列，公比为q

∴qaaaabbnnnnnn21321，故数列nb是等比数列，)1(211321qqqaqaaab，

∴ )1()1(1qqqqqbnnn

三、归纳猜想法

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。

四、累加（乘）法

对于形如)(1nfaann型或形如nnanfa)(1型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4. 若在数列na中，31a，naann1，求通项na。

例5. 在数列na中，11a，nnnaa21（*Nn），求通项na。

五、取倒（对）数法

a、rnnpaa1这种类型一般是等式两边取对数后转化为qpaann1，再利用待定系数法求解

b、数列有形如0),,(11nnnnaaaaf的关系，可在等式两边同乘以,11nnaa先求出.,1nnaa再求得

c、)()()(1nhanganfannn解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为qpaann1。

例6.．设数列}{na满足,21a),N(31naaannn求.na

例7 设正项数列na满足11a，212nnaa（n≥2）.求数列na的通项公式.

解：两边取对数得：122log21lognnaa，)1(log21log122nnaa，设1log2nanb，

则12nnbb nb是以2为公比的等比数列，11log121b.

11221nnnb，1221lognan，12log12nan， ∴1212nna

变式:

1.已知数列｛an｝满足：a1＝32，且an＝n1n13nan2nN2an1－－（，）＋－

求数列｛an｝的通项公式；

2、若数列的递推公式为11113,2()nnanaa，则求这个数列的通项公式。

3、已知数列{na}满足2,11na时，nnnnaaaa112，求通项公式。

4、已知数列｛an｝满足：1,13111aaaannn，求数列｛an｝的通项公式。

5、若数列｛an｝中，a1=1，a1n=22nnaa n∈N，求通项an．

六、迭代法

迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.

七、待定系数法：

1、通过分解常数，可转化为特殊数列{an+k}的形式求解。一般地，形如a1n=p an+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a1n+k=p（an+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=1pq，从而得等比数列{an+k}。

例9、数列{an}满足a1=1，an=21a1n+1（n≥2），求数列{an}的通项公式。

说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ an－2}，从而达到解决问题的目的。

练习、1数列{an}满足a1=1，0731nnaa,求数列{an}的通项公式。

2、已知数列na满足11a，且132nnaa，求na．

2、递推式为11nnnqpaa（p、q为常数）时，可同除1nq，得111nnnnqaqpqa，令nnnqab从而化归为qpaann1（p、q为常数）型．

、例10．已知数列na满足11a，123nnnaa )2(n，求na．

解：将123nnnaa两边同除n3，得nnnnaa321311133213nnnnaa

设nnnab3，则1321nnbb．令)(321tbtbnntbbnn31321

3t．条件可化成)3(3231nnbb，数列3nb是以3833311ab为首项，

32为公比的等比数列．1)32(383nnb．因nnnab3,

)3)32(38(331nnnnnba2123nnna．

3、形如banpaann1)001(，a、p

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1yxnapynxann，与已知递推式比较，解出yx,,从而转化为yxnan是公比为p的等比数列。

例11:设数列na：)2(,123,411nnaaann，求na.

解：令1(1)3()nnaxnyaxny

化简得：1322nnaaxnyx

所以2221xyx解得10xy ，所以1(1)3()nnanan

又因为115a，所以数列nan是以5为首项，3为公比的等比数列。

从而可得1153,53-nnnnanan所以

4、形如21nnapaanbnc)001(，a、p

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()nnaxnyncpaxnync，与已知递推式比较，解出yx,,z.从而转化为2naxnync是公比为p的等比数列。

例12:设数列na：2114,321,(2)nnaaann，求na.

八：不动点法，形如 hraqpaannn1

解法：如果数列}{na满足下列条件：已知1a的值且对于Nn，都有hraqpaannn1（其中p、q、r、h均为常数，且rharqrph1,0,），那么，可作特征方程hrxqpxx,当特征方程有且仅有一根0x时,则01nax是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x、2x时，则12nnaxax是等比数列。

例15：已知数列}{na满足性质：对于,324,N1nnnaaan且,31a求}{na的通项公式.

九：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。

例16 已知数列{}na满足111(14124)116nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。

解：令124nnba，则21(1)24nnab

故2111(1)24nnab，代入11(14124)16nnnaaa得

221111(1)[14(1)]241624nnnbbb

即2214(3)nnbb

因为1240nnba，故111240nnba

则123nnbb，即11322nnbb，

可化为113(3)2nnbb，

所以{3}nb是以1131243124132ba为首项，以21为公比的等比数列，因此121132()()22nnnb，则21()32nnb，即21124()32nna，得

2111()()3423nnna。

评注：本题解题的关键是通过将124na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列{3}nb为等比数列，进而求出数列{3}nb的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。

例18. 已知数列na满足211a，211nnaa，求na 。

解析：设3cos211a，∵ 211nnaa，

∴ 6cos2a，32cos23a，…，32cos1nna

总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差（或等比）数列，从而利用等差（或等比）数列的通项公式求其通项。

十、双数列

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例19. 已知数列na中，11a；数列nb中，01b。当2n时，

)2(3111nnnbaa,)2(3111nnnbab，求na,nb.

解：因nnba)2(3111nnba)2(3111nnba11nnba

所以nnba11nnba1112222•••bababann

即1nnba…………………………………………（1）

又因为nnba)2(3111nnba)2(3111nnba)(3111nnba

所以nnba)(3111nnba))31(222nnba……)()31(111ban

1)31(n.即nnba1)31(n………………………（2）

由（1）、（2）得：])31(1[211nna， ])31(1[211nnb

十一、周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例20：若数列na满足)121(,12)210(,21nnnnnaaaaa，若761a，则20a的值为___________。

变式:（2005，湖南,文，5）