高中数学最全数列通项公式求法详解

数列求通项公式归纳总结数列是数学中常见的概念，在各个领域都有着广泛的应用。

通过观察数列的规律并找出通项公式，可以使我们更好地理解数列的性质，进而解决更复杂的问题。

本文将对数列求通项公式的方法进行归纳总结。

一、等差数列求通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。

设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d其中，n为正整数。

二、等比数列求通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。

设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)其中，n为正整数。

三、斐波那契数列求通项公式斐波那契数列是指数列中第一项为1，第二项为1，之后每一项都等于前两项之和的数列。

设斐波那契数列的第n项为Fn，则斐波那契数列的通项公式可以表示为：Fn = ( (1 + sqrt(5))^n - (1 - sqrt(5))^n ) / (2^n * sqrt(5))其中，sqrt(5)表示5的开平方。

四、完全平方数列求通项公式完全平方数列是指数列中每一项都是一个完全平方数的数列。

设完全平方数列的第n项为an，则完全平方数列的通项公式可以表示为：an = n^2其中，n为正整数。

五、特殊数列求通项公式除了常见的等差数列、等比数列、斐波那契数列和完全平方数列，还有许多特殊的数列。

对于这些特殊的数列，求通项公式的方法也不尽相同，需要根据具体的规律进行归纳总结。

总结：数列求通项公式是数学中的一个重要内容，有着广泛的应用价值。

通过观察数列的规律并应用相应的方法，可以找到数列的通项公式，从而解决更加复杂的问题。

本文对等差数列、等比数列、斐波那契数列、完全平方数列以及特殊数列的求通项公式进行了归纳总结。

希望读者能够通过本文的介绍，掌握数列求通项公式的方法，并能够运用于实际问题的解决中。

数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案求数列通项公式的方法有很多种。

这个问题通常是高考试卷的第一问，如果无法解决或没有思路，那么即使后面的问题可以解决，也是无济于事的。

下面我们逐个讲解这些重要的方法。

递推公式法是指利用an=Sn−Sn−1的形式，其中Sn表示数列的前n项和。

这种方法有两种类型。

第一种类型是题目中给出的是Sn=f(n)的形式，要将n改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。

但是需要注意的是，求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下a1和S1是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式。

第二种类型是a(n-1),an和a(n+1)与S(n-1),Sn和S(n+1)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。

累加法（迭、叠加法）是在教材上推导等差数列通项公式和前n项和公式的时候使用的一种方法。

其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的。

只要适合an=an-1+f(n)的形式，都可以使用累加法。

基本的书写步骤是将an-an-1=f(n)展开，然后累加，得到an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+。

+f(n)。

因此重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列的前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。

累乘法的使用条件是，凡是适合an=an-1*f(n)形式的求通项公式问题，都可以使用累乘法。

它的基本书写步骤格式是：an=a1*f(2)*f(3)*。

*f(n)。

以上是数列通项公式的三种求法。

2.改写每段话：首先，我们来看等式左右两边的乘积。

左边相乘得到的总是1，右边相乘得到的是f(2)乘以f(3)乘以f(4)一直到f(n)。

求数列通项公式的十种方法求解数列的通项公式是高中数学中的一个重要问题，通常需要运用数学分析方法、递推关系、差分方法等多种技巧。

下面将列举十种常见的方法来求解数列的通项公式。

方法一：等差数列的通项公式对于等差数列 an = a1 + (n - 1) * d，其中 a1 为首项，n 为项数，d 为公差。

通项公式可以直接通过公式计算得出。

方法二：等差数列的求和公式对于等差数列 S = (n / 2) * (a1 + an)，其中 S 为前 n 项和，a1 为首项，an 为末项，n 为项数。

可以通过求和公式推导出等差数列的通项公式。

方法三：等比数列的通项公式对于等比数列 an = a1 * r^(n - 1)，其中 a1 为首项，r 为公比，n 为项数。

通项公式可以直接通过公式计算得出。

方法四：等比数列的求和公式对于等比数列S=(a1*(r^n-1))/(r-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

可以通过求和公式推导出等比数列的通项公式。

方法五：递推关系法对于一些递推关系的数列，可以通过寻找规律，构建递推关系来求解数列的通项公式。

例如斐波那契数列就可以通过递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1，来求解通项公式。

方法六：二项式展开法对于一些满足二项式展开的数列，可以通过展开得到二项式系数，然后通过系数的通项公式来求解数列的通项公式。

例如二项式数列(x+1)^n的展开系数就是通过n阶二项展开推导出来的。

方法七：差分法通过对数列进行差分操作，找到规律来求解数列的通项公式。

例如，如果差分的结果是一个等差数列，那么原数列就是一个二次或高次多项式。

方法八：线性递推法对于一些线性递推关系的数列，可以通过构建矩阵形式或特征方程的方法来求解数列的通项公式。

例如，对于一阶线性递推数列a(n)=p*a(n-1)+q，可以通过特征方程x-p*x-q=0来求解通项公式。

方法九：插值法通过给定数列中的若干项，利用 Lagrange 插值公式来推导数列的通项公式。

数列通项公式的求法10种求数列的通项公式方法非常众多，而且这个问题基本上都是高考试卷中第一问，也就是说这一问题做不出来或没有思路，那么即使后面的问题比如求前N 项和的问题，会做也是无济于事的。

我们逐个讲解一下这些重要的方法。

递推公式法：递推公式法是指利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，这样的问题有两种类型，（1）题目中给出的是()n S f n =的形式，也就是n S 的表达式是一个关于n 的函数，要将n 改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。

这种情况是比较简单的，但是也有值得我们注意的地方，那就是求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下1a 和1S 是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式，只要题中涉及到角标n 不能从n=1开始取值的，都需要检验。

（2）第二种情况是非常常见的，即11(,)n n n a a a -+与n S (1n S -,1n S +)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n 改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。

累加法（迭、叠加法）：累加法是在教材上推导等差数列通项公式和前n 项和公式的时候使用的一种方法，其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的，我们可以总结为，只要适合：1()n n a a f n -=+的形式，都是可以使用累加法的，基本的书写步骤是：21324312,(2)3,(3)4,(4)......,()n n n a a f n a a f n a a f n n a a f n -=-==-==-==-=将上述展开后的式子左边累加后总是得到1(2)(3)(4)......()n a a f f f f n -=++++所以重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。

高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习（含答案）1、定义法：直接求首项和公差或公比。

2、公式法：1 (1) (2)n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子．例、数列{}n a 的各项都为正数，且满足()()2*14nna S n N +=∈，求数列的通项公式．解一：由()()2*14nna S n N +=∈得()()()221114411n n n n n aS S a a +++=-=---化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为10,2n n n a a a +>∴-=，又()2111441S a a ==-得11a =，故{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =-．解二：由()()2*14nn a S n N +=∈，可得()11,12n n n a S S n -=-∴=--≥化简可得)211n S -=，即1=，又11S =，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴n =，从而2n S n =，所以121n n n a S S n -=-=-，又11a =也适合，故21n a n =-．练习：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足120n n n a S S -+=（2n ≥），a 1=21，求n a ． 答案：a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n ．扩展一：作差法例、在数列}{n a 中，11a =，212323(1)n a a a na n n ++++=-+，求n a ．解：由212323(1)n a a a na n n ++++=-+，得2123123(1)(2)1n a a a n a n n -++++-=-+-，两式相减，得66n na n =-+，∴ 1 (=1)66 (2)n n a n n n⎧⎪=-⎨≥⎪⎩．练习（理）：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求n a ．解：由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，得1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+，两式相减，得1n n n a a na +-=，即11(2)n na n n a +=+≥，所以13222122![(1)43]2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=又由已知，得2122a a a =+，则211a a ==，代入上式，得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以，{}n a 的通项公式为 1 (1)! (2)2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩．扩展二、作商法例、在数列}{n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ••••=，求n a ．解：∵2123n a a a a n ••••=，∴21232(1)n a a a a n -••••=-，故当2n ≥时，两式相除，得22(1)n n a n =-， ∴221 (=1) (2)(1)n n a n n n ⎧⎪=⎨≥⎪-⎩．3、 叠加法：对于型如)(1n f a a n n =-+类的通项公式．例、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .答案：na n 14-=. 例、已知数列{}n a 满足112231n n n n a a ++=++-（*n N ∈），352a =，求通项n a .解：由112231n nn n aa ++=++-，两边同除以12n +，得()111131112222n n n n n n n a a n ++++-=-+≥，列出相加得121212121332323212212121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=---n a a n n n n又由已知求得16a =，∴()*231n n n n N a n ∈=•++．练习：已知数列}a {n 满足3a 132a a 1nn 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．答案：1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=．4、叠乘法：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 的类型例（理）、已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式．解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅121[2(11)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-++⨯⨯(1)1(1)(2)21122[(1)32]53325!n n n n n n n n n ---+-+++-=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!n n n n a n --=⨯⨯⨯．练习：在数列{a n }中，112a =，11(1n n n a a a n --=⋅+≥2），求n a ． 答案：）1(1+=n n a n ． 5、构造法：型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a +1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-． 练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ． 答案：12-=n na ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nn n n qa p q a q ，令nn n a b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解．例、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 n a n )+1，令b n =2 n a n ，则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3） 易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =n n 2332+-． 练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ．答案：31()222nn a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--，∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件， 得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B +-=，解得A=－4，B=6，所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+， ∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462n n a n -=+-． 点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解． 练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ． 答案：a n nn -+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A=－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n-+=69912·()． (4) f(n)为非等差数列，非等比数列法一、构造等差数列法例、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+． 练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。

最全的数列通项公式的求法数列是高考取的要点内容之一，每年的高考题都会观察到，小题一般较易，大题一般较难。

而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中特别重要。

本文给出了求数列通项公式的常用方法。

一、直接法依据数列的特点，使用作差法等直接写出通项公式。

二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项② 若 已 知 数 列 的 前 n项 和 S n 与 a n 的 关 系 ， 求 数 列 a n的 通 项 a n 可 用 公 式a n S 1 n 1S nSn 1n 求解 .2(注意：求完后必定要考虑归并通项)( 1) n , n 1 ．求数列 a n 的通项公式 .例 2．①已知数列 a n 的前 n 项和 S n 知足 S n 2a n②已知数列 a n 的前 n 项和 S n 知足 S nn2n 1，求数列 a n 的通项公式 .③ 已知等比数列 a n 的首项 a 1 1，公比 0 q 1，设数列 b n 的通项为 b na n 1 a n2，求数列b n 的通项公式。

③ 分析：由题意， b n 1 a n 2 a n 3 ，又 a n 是等比数列，公比为 q∴bn 1an 2an 3q ，故数列 b n 是等比数列， b 1 a 2 a 3a 1q a 1q 2 q(q 1) ，b na n 1 a n 2∴ b nq(q 1) q n 1 q n (q 1)三、概括猜想法假如给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们能够依据前几项的规律，概括猜想出数列的通项公式，而后再用数学概括法证明之。

也能够猜想出规律，而后正面证明。

四、累加（乘）法关于形如 a n 1an f ( n) 型或形如 a n 1 f (n)a n 型的数列，我们能够依据递推公式，写出n取 1 到 n 时的全部的递推关系式，而后将它们分别相加（或相乘）即可获得通项公式。

例 4.若在数列 a n 中， a 1 3 ， a n 1 a n n ，求通项 a n 。

高中数学求解数列通项公式常用方法总结(共15种类型类型1(迭加法1112212212(212(log 1(n 1n nn n n n n n n a a f n n-++-⎧⎪⎪⎪-+⎪⎪--==⎨⎪⎪⎪⎪⎪+⎩,n a a求,11=以上6种情况都要试着做一遍例1:已知数列{}n a满足11211,2n n a a a n n+=-=+,求n a。

解:由条件知:121111(11n n a a n n n n n n+-===-+++分别令1,2,3,,(1n n=-,代入上式得(1n-个等式累加之,即21 32431((((n n a a a a a a a a--+-+-++-1111111(1(((223341n n=-+-+-++--所以111n a a n-=-111131, 1222n a a n n=∴=+-=-类型2(迭乘法11(=2n n n n a f n n a++⎧⎪=⎨⎪⎩,n a a求,11=例2:已知数列{}n a满足112,31n n n a a a n+==+,求n a。

解:由条件知11n n a n a n+=+,分别令1,2,3,,(1n n=-,代入上式得(1n-个等式累乘之,即3241231112311234n n n a a a a a n a a a a n a n--=⨯⨯⨯⨯⇒=又122,33n a a n=∴=∵类型3(退一相减法递推公式为S n与a n的关系式。

(或(n n S f a=解法:这种类型一般利用11(1(2n n n S n a S S n-=⎧=⎨-≥⎩与11((n n n n n a S S f a f a--=-=-消去n S(2n≥或与1 ((2n n n S f S S n-=-≥消去n a进行求解。

常见题型:1、12++=n n S n,n a求(关系与n S n2、n n n a a S求,23+=(关系与n n a S3、n n a a a a n 22223133221+⋅⋅⋅+++=+,求n a(n a n与例:已知数列{}n a前n项和214 2n n n S a-=--.(1求1n a+与n a的关系;(2求通项公式n a.解:(12142n n n S a-=--得:111142n n n S a++-=--于是112111((22n n n n n n S S a a++---=-+-所以1111111222n n n n n n n a a a a a+++-=-+⇒=+.类型3(构造法1 n 1n a pa q+=+(其中,p q均为常数,((10pq p-≠。

高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n na 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。

二、累加法 )(1n f a a n n =--例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例3已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+ 三、累乘法 )(1n f a a n n =- 例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

高中求数列通项公式九法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解，特别是在综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

本文总结了九种求解数列通项的方法，供大家参考。

一、已知Sn求an例1、已知：数列{an}的各项均为正数，它的前n项和Sn满足Sn= ，且a2、a4、a9成等比数列，求数列{an}的通项公式。

解：当n=1时，a1=S1= ，得a1=1或2；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=∴6an=an2-an-12+3an-3an-1，∴0=an2-an-12-3an-3an-1∴0=（an+an-1）（an-an-1-3）。

∵an>0，∴an-an-1-3=0；所以数列{an}为等差数列。

当a1=1、d=2时，an=1+3（n-1）=3n-2，满足a2·a9=a42；当a1=2、d=3时，an=2+3（n-1）=3n-1，不满足a2·a9=a42，舍去。

所以an=3n-2。

二、题型：an+1-an=f（n）；方法：利用叠加法求an例2、已知：数列{an}，a1=0，an+1=an+ ，求数列{an}的通项公式。

解：∵an+1=an+ ∴an+1-an=∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+……+（a2-a1）+a1=++……+ + +0=1-故数列{an}的通项公式为an=1-。

三、题型：=f（n）；方法：叠乘法求an例3、已知数列{an}满足：a1=1，an>0，（n+1）an+12-nan2+an+1an=0，求an。

解：∵（n+1）an+12-nan2+an+1an=0，∴[（n+1）an+1-nan]（an+1+an）=0∵an>0，∴an+an+1>0，∴（n+1）an+1=nan，即∴an=a1· · ·……·=1× × × ×……××= 。