讲解数列通项公式的求法-待定系数法-特征根法
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最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。
本文给出了求数列通项公式的常用方法。
小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适当的变形，一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。
做题时要不断总结经验，多加琢磨。
总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.1.直接法2.公式法3.归纳猜想法4.累加（乘）法5.取倒（对）数法6.迭代法7.待定系数法8.特征根法9.不动点法10.换元法11.双数列12.周期型13.分解因式法14.循环法15.开方法◆一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式： 1、1.3.7.15.31………2、1,2,5,8,12………3、21212,1,,,,3253………4、1,-1,1,-1………5、1、0、1、0……… ◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式.②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21nS n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。
③解析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321，故数列{}n b 是等比数列，)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b ， ∴ )1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n◆三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。
也可以猜想出规律，然后正面证明。
例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列*),0,(N n x A n n ∈，其中01=x ，)0(2>=a a x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点，…，n A 是线段12--n n A A 的中点，…（1） 写出n x 与21,--n n x x 之间的关系式（3≥n ）。
（2） 设n n n x x a -=+1，计算321,,a a a ，由此推测{}n a 的通项公式，并加以证明。
解析：（1）∵ n A 是线段32--n n A A 的中点， ∴)3(221≥+=--n x x x n n n（2）a a x x a =-=-=0121，2122322x x x x x a -+=-==a x x 21)(2112-=--，3233432x x x x x a -+=-==a x x 41)(2123=--，猜想*)()21(1N n a a n n ∈-=-，下面用数学归纳法证明01 当n=1时，a a =1显然成立；02 假设n=k 时命题成立，即*)()21(1N k a a k k ∈-=-则n=k+1时，k k k k k k x x x x x a -+=-=++++21121=k k k a x x 21)(211-=--+ =a a k k )21()21)(21(1-=---∴ 当n=k+1时命题也成立，∴ 命题对任意*N n ∈都成立。
变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，… （Ⅰ）求a 1，a 2；（Ⅱ）｛a n ｝的通项公式◆四、累加（乘）法对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。
例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。
解析：由n a a n n +=+1得n a a n n =-+1，所以11-=--n a a n n ，221-=---n a a n n ，…，112=-a a ，将以上各式相加得：1)2()1(1+⋅⋅⋅+-+-=-n n a a n ，又31=a 所以 n a =32)1(+-n n 例5.在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（*N n ∈），求通项n a 。
解析：由已知n n n a a 21=+，112--=n n n a a ，2212---=n n n a a ，…，212=a a，又11=a ， 所以n a =1-n n a a ⋅⋅--21n n a a …12a a 1a ⋅=⋅-12n ⋅-22n …12⋅⋅=2)1(2-n n ◆五、取倒（对）数法a 、rn n pa a =+1这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解b 、数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式两边同乘以,11-n n a a 先求出.,1n na a 再求得 c 、)()()(1n h a n g a n f a n nn +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。
例6.．设数列}{n a 满足,21=a ),N (31∈+=+n a a a n nn 求.n a 解：原条件变形为.311n n n n a a a a =⋅+⋅++两边同乘以,11+⋅n n a a 得11131+=⋅+n n a a . ∵113211,211)2113-+=+∴+=+n n n n a a a （ ∴.13221-⨯=-n n a 例7 、 设正项数列{}n a 满足11=a ，212-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n n a a ，设1log 2+=n an b ， 则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b .11221--=⨯=n n n b ，1221log -=+n a n，12log 12-=-n a n ， ∴1212--=n n a变式:1.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－ （1） 求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，不等式a 1∙a 2∙……a n <2∙n ！ 2、若数列的递推公式为11113,2()n na n a a +==-∈ ，则求这个数列的通项公式。
3、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式。
4、已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。
5、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ． ◆六、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算. 例8、（2003·高考·广东）设a 0为常数，且a n ＝3 n -1－2 a n -1（n 为正整数）证明对任意n≥1 ，a n ＝ [ 3 n ＋（－1）n -1· 2 n ]＋（－1）n · 2 na 0 证明：a n ＝3 n -1－2 a n -1＝3 n -1－2（3 n -2－2 a n -2）＝3 n -1－2· 3 n -2＋2 2（3 n -3－2 a n -3）＝3 n -1－2 ·3 n -2＋2 2 ·3 n -3－2 3（3 n -4－2 a n -4） ……… ………＝3 n -1－2·3 n -2＋2 2·3 n –3 －…＋（－1）n -1·2 n -1＋（－1）n ·2 na 0（－1）n ·2 n a 0 前面的n 项组成首项为3 n -1，公比为－的等比数列，这n 项的和为：＝ [ 3 n ＋（－1）n -1·2 n]∴ a n ＝ [ 3 n ＋（－1）n -1· 2 n ]＋（－1）n · 2 na 0◆七、待定系数法：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。
通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。
一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k=q ，即k=1-p q，从而得等比数列{a n +k}。
例9、数列{a n }满足a 1=1，a n =21a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。
解：由a n =21a 1-n +1（n ≥2）得a n －2=21（a 1-n －2），而a 1－2=1－2=－1，∴数列{ a n －2}是以21为公比，－1为首项的等比数列∴a n －2=－（21）1-n ∴a n =2－（21）1-n说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ a n －2}，从而达到解决问题的目的。
练习、1数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。
解：由0731=-++n n a a 得37311+-=+n n a a 设a )(311k a k n n +-=++，比较系数得373=--k k 解得47-=k∴{47-n a }是以31-为公比，以43471471-=-=-a 为首项的等比数列∴1)31(4347--⨯-=-n n a 1)31(4347--⨯-=⇒n n a2、已知数列{}n a 满足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．解：设)(31t a t a n n +=++，则1231=⇒+=+t t a a n n ，⇒+=++)1(311n n a a {}1+n a 是 以)1(1+a 为首项,以3为公比的等比数列⇒⇒⋅=⋅+=+--111323)1(1n n n a a 1321-⋅=-n n a点评：求递推式形如q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列)1(11pqa p p q a n n -+=-++来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型． 2、递推式为11+++=n n n q pa a （p 、q 为常数）时，可同除1+n q ，得111+⋅=++n n n n q a q p qa ，令nn n q a b =从而化归为q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）型．、例10．已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n nn a a )2(≥n ，求n a ．解：将123-+=n n n a a 两边同除n3，得n n n n a a 32131-+=⇒1133213--+=n n n n a a 设n n n a b 3=，则1321-+=n n b b ．令)(321t b t b n n -=--⇒t b b n n 31321+=-⇒3=t ．条件可化成)3(3231-=--n n b b ，数列{}3-n b 是以3833311-=-=-a b 为首项，32为公比的等比数列．1)32(383-⨯-=-n n b ．因n n n a b 3=, )3)32(38(331+⨯-==∴-n n n n n b a ⇒2123++-=n n n a ．3、形如b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。
