浙江省三门县珠岙中学九年级数学下册 专题十九 解直角三角形中的数学思想同步测试 (新版)新人教版
- 格式：doc
- 大小：1.61 MB
- 文档页数：8
解直角三角形中的数学思想
一 方程思想
(教材P85活动2利用测角仪测量塔高)
(1)在塔前的平地上选择一点A，用活动1中制作的测角仪测出你看塔顶的仰角α(图1)；
(2)在A点和塔之间选择一点B，测出你由B点看塔顶的仰角β；
(3)量出A，B两点间的距离；
(4)计算塔的高度．
图1
解：设AB＝m，测角仪的高度为h，则塔的高度为mtanαtanβtanβ－tanα＋h.
【思想方法】 运用锐角三角函数的概念，得到边角之间的关系，然后再利用锐角三角函数的知识构造方程求解，这是解直角三角形的应用中常见的方法．
图2
如图2，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C，从B点测得D点的仰角α为60°，从A点测得D点的仰角β为30°，已知甲建筑物的高度AB＝34米，求甲、乙两建筑物之间的距离BC和乙建筑物的高度DC.(结
果保留根号)
解：作AE⊥DC于E
∵AB⊥BC，DC⊥BC
∴四边形ABCE为矩形
∴CE＝AB＝34，BC＝AE
设DE＝x米，
在Rt△ADE中，DEAE＝tan 30°，
∴AE＝3x米
在Rt △BCD中，DCBC＝tan 60°
∴x＋343x＝tan 60°
解得，x＝17∴BC＝3x＝173米，DC＝(x＋34)米＝(17＋34)米＝51米．
“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷的著名景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D在同一水平线上，然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米，到达B处，测得“香顶”N的仰角为60°。根据以上条件求出“一炷香”的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．
图3
解：过点B分别作BC⊥AD，BE⊥ND，垂足分别为C，E。设BE＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴BC＝12AB＝55，
AC＝32AB＝553，∴AD＝553＋x。在Rt△NBE中，∠BEN＝90°，∠NBE＝60°，tan∠NBE＝NEBE，∴NE＝3BE，即NE＝3x，∴DN＝3x＋55。∵在Rt△AND中，∠ADN＝90°，∠NAD＝45°，∴AD＝DN，∴553＋x＝3x＋55，解得x＝55。∴DN＝553＋55≈150(米)。
答：“一炷香”的高度约为150米。
A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图4所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tan α＝1.627，tanβ＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．
图4
解：AB不穿过风景区．
如图，过C作CD⊥AB于D，
∴AD＝CD·tanα；BD＝CD·tanβ.
由AD＋BD＝AB，得CD·tanα＋CD·tanβ＝AB.
∴CD＝ABtanα＋tanβ＝1501.627＋1.373＝1503＝50(千米)．
∵CD＝50＞45，∴高速公路AB不穿过风景区．
二 转化思想
(教材P88例4)
如图5，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼有多高(结果保留小数点后一位)?
图5
解：如题图，α＝30°，β＝60°，AD＝120.
∵tanα＝BDAD，tanβ＝CDAD，
∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120×33＝403，
CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×3＝1203，
∴BC＝BD＋CD＝403＋1203＝1603≈277.1.
答：这栋楼高约为277.1 m.
【思想方法】 转化与化归的思想，就是研究和解决有关直角三角形的边角关系问题时，
借助直角三角形的性质，将已知条件或问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的目的，这种等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单，未知转化为已知，通过变换迅速而合理地寻找和选择解决问题的途径和方法．
[2012·广安]如图6，2012年4月11日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)
图6
解：过点A作AD⊥BC的延长线于点D，
∵∠CAD＝45°，AC＝10海里，
∴△ACD是等腰直角三角形，
AD＝CD＝ AC22＝ 1022＝52(海里)．
在Rt△ABD中，∵∠DAB＝60°，
∴BD＝AD·tan60°＝52 × 3 ＝56(海里)，
∴BC＝BD－CD＝(56－52)海里．
∵中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰以每小时13海里的速度航行，
∴海监船到达C地所用的时间t1＝AC30＝1030≈0.3(时)，
某国军舰到达C地所用的时间t2＝BC13＝5（6－2）13≈0.4(时)．
∵0.3＜0.4，∴中国海监船能及时赶到．
如图7，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，达到位于海岛P的西南方向上的B处，求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)．
图7
解：过点P作PC⊥AB于点C.
在Rt△APC中，∠A＝60°，AP＝100，
∴∠APC＝90°－∠A＝30°，
∴AC＝12AP＝50，PC＝AP2－AC2＝503.
在Rt△BPC中，∠BPC＝45°，
∴BC＝PC＝503，
∴AB＝AC＋BC＝50(1＋3)(海里)．
图8
如图8，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度比为i＝1∶3，AB＝10米，AE＝15米．
(i＝1︰3是指坡面的竖直高度BH与水平宽度AH的比)
(1)求点B距水平面AE的高度BH；
(2)求广告牌CD的高度．
(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
解：(1)在Rt△ABH中，∵tan ∠BAH＝BHAH＝i＝13＝33，
∴∠BAH＝30°.
∴BH＝AB·sin ∠BAH＝10·sin 30°＝10×12＝5.
答：点B距水平面AE的高度BH是5米．
(2)在Rt△ABH中，AH＝AB·cos∠BAH＝10·cos30°＝53.
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝DEAE，即tan60°＝DE15，
∴DE＝153.
如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，
∴BF＝AH＋AE＝53＋15，DF＝DE－EF＝DE－BH＝153－5.
在Rt△BCF中，∠C＝90°－∠CBA＝90°－45°＝45°.
∴∠C＝∠CBF＝45°.
∴CF＝BF＝53＋15.
∴CD＝CF－DF＝53＋15－(153－5)＝20－103≈20－10×1.732≈2.7(米)．
答：广告牌CD的高度约为2.7米．
