不等式知识点汇总-修改后

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1 不等式

一、不等式的性质

1、对称性：如果ba，那么ab；如果ab，那么ba。

2、传递性：如果ba，cb 那么ca。

3、加法单调性：如果ba，那么cbca。

推论1：如果ba且dc，那么dbca。（相加法则）

推论：如果ba且dc，那么dbca。（相减法则）

4、乘法单调性：如果ba且0c, 那么bcac；如果ba且0c那么bcac。

推论1：如果0ba且0dc，那么bdac。（相乘法则）

如果0ba且dc0，那么dbca。（相除法则）

推论2：如果0ba, 那么nnba)1(nNn且。

5、性质5：如果0ba，那么nnba)1(nNn且。

二、算术平均数、几何平均数、基本不等式

1、如果123,,,,naaaaRL，2,nnN，则：

12naaanL叫做这n个正数的算术平均数；

123nnaaaaL叫做这n个正数的几何平均数。

2、基本不等式：

不等式1 如果Rba,，那么222abab（当且仅当ba时取“=”）；

注：22222()0202ababababab，然后a=b时2()0ab，所以等号成立。

不等式2 如果ba,是正数，那么baabbaba1122222

（其中211ab称作调和平均值）

（当且仅当ba时取“=”）；

不等式3 如果Rcba,,，那么abccba3333（当且仅当cba时取“=”）；

也可以推出1n (a1+a2+„„+an)≥12nnaaa(ai  R+,i=1,2,„，n)，当且仅当a1=a2=„=an取等号。

不等式4 如果Rcba,,，那么33abccba（当且仅当cba时取“=”）。

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2 不等式5 2224()2(),,ababababR（当且仅当ab时等号成立）。

注：22222222()020224()4abababababababababab；

222222222()2()ababababab 这里有用到不等式1。

不等式6 222abcabbcca（当且仅当abc时等号成立）

注：222222222222abbcacabbcacabc 也是用到了性质1。

三、极值定理

已知yx,都是正数，则：

1、如果积xy是定值p，那么当yx时和yx有最小值p2；

2、如果和yx是定值s，那么当yx时积xy有最大值241s。

四、不等式的证明方法

1、比较法：（做差、做商）

这是最常用的证明不等式的方法，一定要记住！

【例1】：已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：bambma。

证明：)()()()()(mbbabmmbbmbamabbambma

∵,,abm都是正数，并且a 0，ba> 0

∴0)()(mbbabm 即：bambma。

【例2】：设a, b  R+，求证：2)(babaabba。

证明：作商得，2222)()(baabbababababaabba

当a = b时，1)(2baba，

当a > b > 0时，1)(,02,12babababa，

当b > a > 0时， 1)(,02,102babababa，

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3 ∴2)(babaabba。

2、综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式。

【例3】：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc。

证明：∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc

同理：b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc

∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc

当且仅当b=c，c=a，a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数

∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc

3、分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。

【例4】：设x > 0，y > 0，证明不等式：31332122)()(yxyx。

证明：所证不等式即：233322)()(yxyx

即：33662222662)(3yxyxyxyxyx

即：3322222)(3yxyxyx

只需证：xyyx3222

∵xyxyyx32222成立，∴ 31332122)()(yxyx

4、换元法

【例5】：求证：211212xx。

证明：∵11x ∴令 cosx，0,

∵212)1()1(1|||1|2222222xxxxxxxx，

即：21|1|2xx ∴211212xx

5、放缩法

这一类型比较灵活，记住一些放缩规则很重要。

比如分子不变，分母变大（小），分数变小（大）；相反分母不变，分子变小（大），分数变小（大）。

常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1nnnnnnnnn

11111121kkkkkkkkk

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4 【例6】：2,nnN，求证222111123nL

证明：21111(1)1nnnnnQ

222111111111111232231nnnnLL

6、反证法

【例7】：设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b, (1  b)c, (1  c)a,不可能同时大于41。

证明：设(1  a)b >41, (1  b)c >41, (1  c)a >41，

则三式相乘：ab < (1  a)b•(1  b)c•(1  c)a <641 ①

又∵0 < a, b, c < 1 ∴412)1()1(02aaaa，

同理：41)1(bb, 41)1(cc，

以上三式相乘： (1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤641 与①矛盾，

∴原式成立。

7、构造法（构造函数、构造方程、构造图形）

【例8】：求证：31091022xxy

证明：设)3(92txt 则ttytf1)(2，

用定义法可证：f (t)在),3[上单调递增，

令：3≤t1

∴310313)3(910322fxxy。

【例9】：已知实数a, b, c，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a, b, c中至少有一个不小于2。

证明：由题设：显然a, b, c中必有一个正数，不妨设a > 0，

则abcacb2 即b, c是二次方程022aaxx的两个实根。

∴082aa 即：a≥2。

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5 【例10】：已知平面坐标系内有112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy三点，且该三点不在同一直线上。

求证：222212121313()()()()xxyyxxyy＞222323()()xxyy

证明：由题可知，221212()()ABxxyy，222323()()BCxxyy，

221313()()ACxxyy，又因为这三点不在同一直线上，所以这三点可以构成三角形，

ABAC＞BC（两边和大于第三边）

即222212121313()()()()xxyyxxyy＞222323()()xxyy。

五、不等式的解法：

（1）一元二次型不等式的恒成立问题常用结论：

ax2+bx+c>0对于任意的x恒成立20040aabac或检验；

ax2+bx+c<0对于任意的x恒成立20040aabac或检验

（2）解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。

一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系

① 求一般的一元二次不等式20axbxc或20axbxc(0)a的解集，要结合20axbxc的根及二次函数2yaxbxc图象确定解集．

② 对于一元二次方程20(0)axbxca，设24bac，它的解按照000，，可分为三种情况．相应地，二次函数2(0)yaxbxca的图象与x轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式20axbxc(0)a的解集，列表如下：

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含参数的不等式应适当分类讨论。

(3)一元二次不等式

【例11】：解不等式652xx。

解：256(3)(2)xxxx＜0，解得2＜x＜3。

【例12】：解关于x的不等式0)1(2aaxx。

解：原不等式可以化为：0))(1(axax，

若)1(aa即21a则ax或ax1，

若)1(aa即21a则0)21(2x Rxx,21，

若)1(aa即21a则ax或ax1。

(4) 高次不等式与分数不等式

分数不等式

()()0()()0()()0;0()0()()fxgxfxfxfxgxgxgxgx

高数不等式也可以用穿针引线法——奇过偶不过

【例13】：解不等式 0)2)(54(22xxxx。