2019年全国高中数学联赛浙江省预赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题的线段分为x 、y 两段，再将长度为x 的线段弯成半圆周ACB ，将长度为y 的线段折成矩形ABDE 的三条边(BD 、DE 、EA )，构成闭“曲边形”ACBDEA ，则该曲边形面积的最大值为____________.2.已知集合A ={k +1，k +2，…，k +n }，k 、n 为正整数，若集合A 中所有元素之和为2019，则当n 取最大值时，集合A =________.3.设(0,)2πθ∈，则2sin cos (sin 1)(cos 1)θθθθ++的最大值为_____4.设三条不同的直线：1:23(1)0l ax by a b ++++=，2:2(1)30l bx a b y a ++++=，3:(1)230l a b x ay b ++++=，则它们相交于一点的充分必要条件为____________.5.如图，在△ABC 中，∠ABC =120°，AB =BC =2.在AC 边上取一点D (不含A 、C )，将△ABD 沿线段BD 折起，得到△PBD .当平面PBD 垂直平面ABC 时，则P 到平面ABC 距离的最大值为____________.6.如图，在ABC ∆中，,,D E F 分别为,,BC CA AB 上的点，且35CD BC =，12EC AC =，13AF AB =.设P 为四边形AEDF 内一点（P 点不在边界上），若13DP DC DE λ=-+，则实数λ的取值范围为______7.设10101009()10091010x f x x +=+，定义(1)()()f x f x =，()()()()()1,2,3,i i f x f f x i -==，则()()n fx =____________.8.设12,z z 为复数，且满足1125,2z z i z ==+(其中i 为虚数单位)，则12z z -取值为____________.9.设120x x ，数列{x n }满足21,1n n n x x x n ++=+.若1≤x 7≤2，则x 8的取值范围为____________.10.在复平面上，任取方程10010z -=的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为____________.二、解答题11.如图，椭圆21:14x C y +=，抛物线22:2(0)C x py p =>，设12,C C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）若△ABO 的外心在椭圆上，求实数p 的值； （2）若△ABO 的外接圆经过点130,2N ⎛⎫⎪⎝⎭，求实数p 的值. 12.设,0(11)i i a b i n >+，10i i b b δ+->(δ为常数).若11nii a==∑，证明：212111ni ii i ia b b b δ=+<.13.设X 是有限集，t 为正整数，F 是包含t 个子集的子集族：F ={}12,,,t A A A .如果F 中的部分子集构成的集族S 满足：对S 中任意两个不相等的集合A 、B ，,A B B A ⊂⊂均不成立，则称S 为反链.设S 1为包含集合最多的反链，S 2是任意反链.证明：存在S 2到S 1的单射f ，满足2,()A S f A A ∀∈⊂或()A f A ⊂成立.参考答案1.12(4)π+【解析】1.记圆的半径为r ，矩形的宽为h ，则有122x r x r hπ=⎧⎨-=+⎩12,12x x r h x ππ⎛⎫⇒==-- ⎪⎝⎭，所以曲边形的面积为221122122x x x S x ππππ⎛⎫=⋅+⋅--⎪⎝⎭22(4)2xx πππ+=-2224244x ππππππ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 因此，当4x ππ=+时，max 12(4)S π=+.故答案为：12(4)π+ ．2.{334，335，336，337，338，339}【解析】2. 由已知2136732k n n ++⨯=⨯. 当n =2m 时，得到(221)36733,6,333k m m m n k ++=⨯⇒===； 当n =2m +1时，得到(1)(21)36731,3k m m m n +++=⨯⇒==. 所以n 的最大值为6，此时集合{334,335,336,337,338,339}A =. 故答案为：{334,335,336,337,338,339} ．3.6-【解析】3.令sin cos t θθ+=，2(1)4=2+11t y t t -=-+ 则21sin cos 2t θθ-=，则原式可化为sin cos ),(0,)42ππθθθθ+=+∈，根据函数单调性即可求出最大值. 令sin cos t θθ+=，则21sin cos 2t θθ-=因为max26y==-，所以2(1)4=2+11tyt t-=-+原式可化为sin cos),(0,)42ππθθθθ+=+∈，2(1)4=2+11tyt t-=-+因为函数在2(1)4=2+11tyt t-=-+上是增函数，所以当t=时，13DP DC DE DM DEλλ=-+=+.4.12a b+=-【解析】4.设c=a+b+1，设三条直线相交于点(x，y)，则有230230230ax by cbx cy acx ay b++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，三式相加可得：()()()230a b c x a b c y a b c++++++++=，即：()()230a b c x y++++=，据此有：1a b cc a b++=⎧⎨=++⎩，则：11,22a b c+=-=.反之，当12a b+=-时，方程组有解，即三条直线相交于一点.故答案为：12a b+=-．5.2【解析】5.在△ABC中，因为AB=BC=2，∠ABC=120°，所以30BAD BCA︒∠=∠=.由余弦定理可得AC=设AD=x，则0x DC x<<=.在△ABD中，由余弦定理可得BD=在△PBD中，PD=AD=x，PB=BA=2，∠BPD=30°.设P 到平面ABC 的距离为d ，则11sin 22PBDSBD d PD PB BPD =⨯=⋅∠，解得d ==，由0x <<max 2d =. 故答案为：2． 6.14(,)23【解析】6.取BD 中点M,过M 作MH//DE 交DF,AC 分别为G,H,则由,,P C E 可知,P 点在线段GH 上运动（不包括端点）,求出端点G,H 对应的λ即可求解. 取BD 中点M,过M 作MH//DE 交DF,AC 分别为G,H,如图：则由13DP DC DE DE DM λλ=+=-+可知,P 点在线段GH 上运动（不包括端点） 当P 与G 重合时，根据413389DP tDF DC tDE DE t DC λ==-=++-,可知12λ=，当P 与H 重合时,由,,P C E 共线可知113λ-+=，即43λ=，结合图形可知14(,)23λ∈. 7.()()20191201912019120191n n nnx x ++--++【解析】7. 由已知(1)()(1)1010()1009()1009()1010n n n f x fx f x --+=+()(1)()(1)()11()1()12019()1n n n n f x f x f x f x ----⇒=⋅++，以此类推，()()()111()1(2019)1n n n f x x f x x --=⋅++()()()2019120191()2019120191n nn n nx f x x ++-⇒=-++. 故答案为：()()20191201912019120191n n nnx x ++--++ ．【解析】8.由15z =，设15(cos isin )z αα=+，由122i z z =+得2(2i)(cos isin )z αα=-+，于是，12|(3)(cos isin )|z z i αα-=++=9.2113,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】9.根据已知条件，用12x x 表示出8x ，结合12,x x 的范围，利用线性规划即可求得目标式的范围.由已知得312412512,2,23x x x x x x x x x =+=+=+，61271281235,58,813x x x x x x x x x =+=+=+，因为712x ，所以121582x x +，结合120x x ，在12O x x -坐标下所围成的线性规划区域为四边形，它的四个顶点坐标分别为10,8A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11221,,,,0,131313134B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以目标函数在点11,1313B ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值2113，在点10,4D ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值134，8122113813,134x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：2113,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦．10.39200【解析】10.易知10010z -=的根在单位圆上，且相邻两根之间弧长相等，都为2100π，即将单位圆均匀分成100段小弧.首先选取任意一点A 为三角形的顶点，共有100种取法.按顺时针方向依次取顶点B 和顶点C ，设AB 弧有x 段小弧，CB 弧有y 段小弧，AC 弧有z 段小弧，则△ABC 为锐角三角形的等价条件为：1001,,49x y z x y z ++=⎧⎨⎩970,,48x y z x y z ++=⎧⇒⎨⎩① 计算方程组①的整数解个数，记1{|97,49}P x x y z x =++=，2{|97,49}P y x y z y =++=，3{|97,49}P z x y z z =++=，{(,,)|97,,,0}S x y z x y z x y z =++=，则123123||P P P S P P P ⋂⋂=-⋃⋃2991231C |i j i j P P P P P P <⎛=-++-∑⋂+ ⎝)23|P P ⋂⋂229950C 3C 1176=-=. 由于重复计算3次，所以所求锐角三角形个数为1001176392003⨯=. 故答案为：39200． 11.（12）3【解析】11.(1)由抛物线、椭圆和圆的对称性可知，△AB 的外心为椭圆的上顶点M (0，1).则有MA =MB =MO =1.设()()000,0B x y x >，则有()2002200220021411x py x y x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪+-=⎩，解得2005)976x y p ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩. (2)因为O 、A 、N 、B 四点共圆，设AB 与y 轴相交于()00,C y ，由相交弦定理得AC •CB =CN •CO ，即000001322y y x x py ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 解得01322y p =- ① 代入2002x y =，解得2013222x p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭. ② 将①、②代入椭圆方程得22134132142p p p -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得p =3. 12.证明见解析【解析】12. 记01,0kk i i i s a b s ===∑，则有1k k k ks s a b --=. 由已知1111nni i i i i i s s a b -==-==∑∑111111n n i i n ii i i i n i i s s s s b b b bb δ+==+++⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑∑ 121211ni i i i i i i a a b b b δ=+∑(因为12iiis a a a )，即212111ni ii i ia b b b δ=+<.13.证明见解析【解析】13.记|S 1|=r ，称包含r 个元素的反链为最大反链，最大反链可能不唯一 称F 的子集P 为链，如果,,,A B P A B B A ∀∈⊂⊂之一成立. 我们证明结论：F 可以拆分为r 个链(1)i P i r 的并(即Dilworth 定理).对t 进行归纳证明.t =1时显然成立.设命题对t －1成立，先假设存在一个最大反链S ，使得F 中既有集合真包含S 中的某个集合，也有集合是S 中的某个集合的真子集.记前者的全体为F 1，后者的全体为F 2，即{1|i i F A F A =∈包含S 中的某个集合}，{2|i i F A F A =∈是S 中的某个集合的子集}，则12,F S F S ⋃⋃均是F 的真子集，从而由归纳假设可将12,F S F S ⋃⋃都可以拆成r 个链的并.1F S ⋃中的链以S 中的元素开始，2F S ⋃中的链以S 中的元素结束.将这些链“接”起来就将F 分成了r 条链.现在假设不存在这样的反链，从而每个最大反链要么满足1F =∅，要么满足2F =∅.前者意味着S 中的子集都是“极大”子集(不是另一个A i 的真子集)，后者意味着S 中的子集都是“极小”子集(不真包含另一个A i )，从而至多有两个最大反链.如果极大子集构成的反链和极小子集构成的反链均为最大反链，则任取极大子集A ，以及极小子集B A ⊂，将A 、B 都去掉用归纳假设将剩下的集合拆分成r －1条链，再加上链B A ⊂即可如果其中之一不是最大反链，不妨设极大子集构成的反链是唯一的极大反链，任意去掉一个极大子集归纳即可.结论证毕.现在将F 拆分成r 条链，则每条链中恰有一个S 1中的子集，且至多有一个S 2中的子集.将每个S 2中的子集对应到所在链中S 1的元素，就得到了从S 2到S 1满足要求的映射.。
2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
题号12345678答案B C A D C A B B二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。
每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。
题号91011答案BC ACD ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
1213．9或7-=，解得18b-=，故9b=或者7-.14．251π25【解析】以D为坐标原点，DAuuu r，DCuuu r，1DDuuuu r为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz-，设四面体1AB EF的外接球的球心为(,,)O x y z，半径为R.因为(2,0,0)A，(1,2,0)E，(0,1,2)F，1(2,2,2)B，所以2222222222222222(2),(1)(2),(2)(2)(2),(1)(2),x y z Rx y z Rx y z Rx y z Rì-++=ïï-+-+=ïíï-+-+-=ïï+-+-=î解得13911(,,)101010O，2251100R=，故四面体1AB EF的外接球的表面积为251π25.四、解答题：本题共5小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（1）由题意可知，2223cos22ac bBac+-==，…………………………2分故π6B=，…………………………3分故cos C B==…………………………4分所以π4C =，7π12A =.…………………………6分（2）法一：如图，2AD =，由（1）可知π6B =，π4C =，则4c =，b =，…………………………8分故1()2AE AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，…………………………10分所以，22215π126(2cos (168841244AE b c bc -=++=++=-uuu r ，所以328-=AE .…………………………13分法二：如图，2AD =，由（1）可知π6B =，π4C =，则BD =，2CD =，…………………………8分故2a BD CD =+=，1212BCDE DC =-=+-=，………………10分所以，AE ===.…………………………13分解：（1）设点(0,4)M 关于直线l 的对称点为(,)N a b ，则41,024032222b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=⋅+⎪⎩解得2,3.a b =⎧⎨=⎩…………………………3分故圆222:(2)(3)(6)N x y r -+-=-，因为圆M 与圆N 交于A ,B 两点，所以max{62,26}6r r MN r r --<=<+-，…………………………5分解得656522r +<<．…………………………7分（2）法一：由圆的对称性可知，点A ，B 在以点M ，N 为焦点的椭圆上，其中椭圆的长轴长为6，焦距为MN =…………………………9分当3r =时，点A ，B 恰好为椭圆的短轴端点，…………………………11分故点A 到直线MN的距离为椭圆的短半轴长2.…………………………13分所以，MNA △的面积为1224=．…………………………15分法二：当3r =时，圆22:(4)9M x y +-=，22:(2)(3)9N x y -+-=，解得1035()1010A +或1035(1010A -，…………………………11分故有MA =uuu r ，(2,1)MN =-uuur ，…………………………13分所以5(1)2104MNA S -+=--=△，…………………………15分法三：当3r =时，圆22:(4)9M x y +-=，22:(2)(3)9N xy -+-=，故MNA △是以A 为顶点的等腰三角形，由（1）可知MN ，3AM AN ==，…………………………11分所以MN=，…………………………13分所以，MNA △的面积为12=．…………………………15分17．（15分）（1）因为PA ⊥面ABCD ，所以AD P A ⊥，AC P A ⊥，由32,3==PD AD ,得3=P A ；…………………………2分在Rt PAC △中，3AC =，所以△ACD 为正三角形,…………………………3分过C 作AD 的垂线，垂足为H ，有AB CH AB CH ==323,//，所以四边形ABCH 为矩形.…………………………5分故AD BC //，所以//BC 面PAD .…………………………7分（2）以A 为原点，AB ,AD ,AP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则),0,3,0(),0,23,233(),0,0,233(),3,0,0(),0,0,0(D C B P A …………………………9分设平面PBC ,PDC 的法向量分别为),,(),,,(c b a n z y x m ==.),0,23,233(),0,23,0(),3,23,233(-==-=DC BC PC ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BC m PC m 得：)3,0,2(=m ；…………………………11分⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DC n PC n 得：)3,3,1(=n ；…………………………13分设平面PBC 与平面PDC 的夹角大小为θ，则1311131392||||cos =⋅+==n m n m θ.…………………………14分故平面PBC 与平面PDC 的夹角的余弦值为1311.…………………………15分18．（1）由线段的垂直平分线的性质可知，QP QB =，故8QA QB QA QP AP AB +=+==>，…………………………2分所以点Q 在以点A ，B 为焦点的椭圆上，其中椭圆的长轴长为8，焦距为4AB =，短轴长，…………………………4分故点Q 的轨迹方程为22:11612x y C +=.…………………………5分(2)设(28cos ,8sin )P θθ-+，则有:(2cos 1)2sin 4cos 80MN l x y θθθ-++-=，…………………………6分将MN l 代入椭圆22:11612x y C +=消去y 整理得.222(cos 2)8(2cos 1)(cos 2)16(2cos 1)0x x θθθθ-+--+-=，…………………………8分故222264(2cos 1)(cos 2)416(cos 2)(2cos 1)0θθθθ∆=---⨯--=，【或者2[(cos 2)4(2cos 1)]0x θθ-+-=，】…………………………9分所以，直线MN 是点Q 轨迹的切线；…………………………10分（3）由（2）可知，点P 到直线MN 的距离为d =，………………………12分点A 到直线MN 的距离为1d =，故线段MN ===，…………………………15分所以PMN △的面积为1122S d MN =⨯=⨯=≤=当(10,0)P -时，PMN △的面积的最大值为…………………………17分19．解：（1）如图，过N 点作MA 的平行线2NA ，过点P 作MN 的平行线交2NA 于点2P ，则有2P PQ ∠是异面直线MN 与PQ 所成的角.…………………………2分因为MN MA ⊥，MN NB ⊥，所以22PP NA ⊥，2PP NB ⊥，所以MN ⊥面2NBA ，所以22PP P Q ⊥，因为22PP MN ==，4PQ =，所以21cos 2P PQ ∠=，所以，2π3P PQ ∠=，所以，异面直线MN 与PQ 所成的角为π3.…………………………5分（2）如图，过MN 的中点O 分别作MA ，NB 的平行线1OA ，1OB ，以O 为坐标原点，11A OB ∠的外角平分线、内角平分线分别为x 轴，y 轴，过点O 并且垂直于平面11OA B 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.…………………………6分由题意可知，11π3A OB ∠=，设13(,1)22P a -，13(,1)22Q b -，从而3()(,0)44b a b a R -+，且22()3()4444b a b a PQ +-=++=.所以22()3()48b a b a ++-=.…………………………8分思路一：因为4R b a x -=，3()4R b a y +=，0R z =，所以4R b a x -=，43R b a +=，所以221648483y x +=，即2219y x +=.…………………………9分所以点C 的轨迹是椭圆（长轴长为6，短轴长为2），其轨迹方程为2219y x +=.点(0,0,1)M ，所以[2,10]MR ∈.…………………………10分思路二：由111122MR MO OP OQ =++uuu r uuu r uuu r uuur，可得222221111()1[()3()]10()4162MR a b ab a b a b b a +++=+-++=--，………………9分因为20()16b a ≤-≤，所以[2,10]MR ∈.…………………………10分（3）由题意可知，11π3sin 23236MNPQ V a b ab =⨯⨯⨯⨯⨯=四面体，…………………………12分思路一：不妨设43b a θ+=，4cos b a θ-=，则2cos b θθ=+，2cos a θθ=-，故22212sin 4cos 16sin 416412ab θθθ=-=-≤-=，…………………………15分从而，3126MNPQ V ≤⨯=四面体a b ==.…………………………17分思路二：因为2221[()()]12()124ab b a b a b a =+--=--≤，…………………………15分从而，126MNPQ V ≤⨯=四面体a b ==.…………………………17分。
2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题（说明：本试卷满分200分，共10道填空题，5道解答题.题目的答案请写在答题纸上.）一、填空题（每题8分，共80分）1.设r 为方程330x x -+=的解，则以2r 为其解的首项系数为1的整系数-元三次方程为 .2.已知2[,1]()min {21}x a a f a x x ∈+=--，则()f a 在[1,1]-上的最大值为 .3.某竹竿长为24米，一端靠在墙上，另一端落在地面上.若竹竿上某-节点到墙的垂直距离和到地面的垂直距离都是7米，则此时竹竿靠在墙上的端点到地面的垂直距离为 米，或 米.4.设x ∈R ，则sin 2cos xy x=-的最大值为 .5.在四面体P ABC -中，棱,,PA AB AC 两两垂直，且PA AB AC ==，,E F 分别为线段,AB PC 的中点，则直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为 .6.设平面上不共线的三个单位向量,,a b c ，满足++0a b c =.若01t ≤≤，则|2(1)|t t -++-a b c 的取值范围为 .7.设z 为复数，且||1z =.当234|13|z z z z ++++取得最小值时，则此时复数z = ，或 . 8.已知由6个正整数组成的六位十进制数中，其个位上的数字是4的倍数，十位和百位上的数字都是3的倍数，且六位数的数码和为21，则满足上述条件的六位数的个数为 .9.一个正整数若能写成20827a b c ++（,,a b c 为非负整数）形式，则称它为“好数”.则集合{1,2,,200}中好数的个数为 . 10.设12,,,n i i i 是集合{1,2,,}n 的-个排列.如果存在k l <且k l i i >，则称数对(,)k l i i 为一个逆序，排列中所有逆序数对的数目称为此排列的逆序数.比如，排列1432的逆序为43，42，32，此排列的逆序数就是3.则当6n =时，且34i =的所有排列的逆序数的和为 . 二、解答题（共五题，11～13各20分，14、15各30分，合计120分） 11.已知数列{}n a ，且11a =2,3,)n ==，令1n n b a =，记数列{}n b 的前n项和为n S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的n *∈N(1)101n S n λ≤+≤+恒成立，求实数λ的取值范围. 12.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在xC 的任意三个顶点构成的三角形面积为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过(,0)P λ的直线l 与椭圆交于相异两点,A B ，且2AP PB =，求实数λ的范围.13.已知函数1()|1|exf x x a -=+-.（1）若()0f x =恰有三个根，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的情形下，设()0f x =的三根为123,,x x x ，且123x x x <<，证明21x x a -<.14.设正整数3n ≥， 已知n 个数12,,,n a a a ，记两两之和为()ij i j b a a i j =+>，得到如下表格：21b 31b 32b ……………………… 1n b 2n b …………………,1n n b - 若在上述表格中任意取定k 个数，可以唯一确定出n 个数12,,,n a a a ，求k 的最小值.15.设{},{}i j a b为实数列，证明112020202020202222,112()()m n m n m n a b ===≤∑∑∑.2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案一、填空题（每题8分，共80分） 1.32290x x x -+-= 2.1-3.16±4分，满分8分）4.35.136.5[27.错误!未找到引用源。
