2016届高考数学复习 第二章 第八节 函数的模型及其综合应用 理(全国通用)

1 第八节 函数的模型及其综合应用

考点一 函数的实际应用

1．(2015·北京，8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升

汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同

速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油

量最多

C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更

省油

解析 汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此理解A显然不对；B应是甲车耗油最少；C甲车以80千米/小时的速度行驶10 km，消耗1升汽油．故D正确．

答案 D

2．(2014·湖南，8)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )

A.p＋q2 B.（p＋1）（q＋1）－12

C.pq D.（p＋1）（q＋1）－1

解析 设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝（1＋p）（1＋q）－1，故选D.

答案 D

3.(2013·陕西，9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积

不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：

m)的取值范围是( )

A．[15，20] B．[12，25]

C．[10，30] D．[20，30]

解析 设矩形另一边长为y，x40＝40－y40，则x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x(40－ 2 x)≥300，解得10≤x≤30，故选C.

答案 C

4．(2011·湖北，10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－t30，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10 ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝( )

A．5太贝克 B．75 ln 2太贝克

C．150 ln 2太贝克 D．150太贝克

解析 由题意M′(t)＝M02－30t－130ln 2，M′(30)＝M02－1×－130ln 2＝－10 ln 2，∴M0＝600，∴M(60)＝600×2－2＝150，故选D.

答案 D

5．(2015·四川，13)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718„为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保 鲜时间是________小时．

解析 由题意eb＝192，e22k＋b＝48，∴e22k＝48192＝14，∴e11k＝12，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝123·eb＝18×192＝24.

答案 24

6.(2012·江苏，17)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在

地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某

炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx

－120(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹

落地点的横坐标．

(1)求炮的最大射程；

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 3 解 (1)令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，

故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号．∴炮的最大射程为10千米．

(2)∵a>0，

∴炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－120(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.

∴当a不超过6千米时，可击中目标．

7．(2015·江苏，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，R以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型．

(1)求a，b的值；

(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．

解 (1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．

将其分别代入

y＝ax2＋b，得

a25＋b＝40，a400＋b＝2.5，

解得a＝1 000，b＝0.

(2)①由(1)知，y＝1 000x2(5≤x≤20)，

则点P的坐标为t，1 000t2， 4 设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，

y′＝－2 000x3，

则l的方程为y－1 000t2＝－2 000t3(x－t)，

由此得A3t2，0，B0，3 000t2.

故f(t)＝3t22＋3 000t22

＝32t2＋4×106t4，t∈[5，20]．

②设g(t)＝t2＋4×106t4，

则g′(t)＝2t－16×106t5.

令g′(t)＝0，解得t＝102.

当t∈(5，102)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；

当t∈(102，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．

从而，当t＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，

所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝153.

答：当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米．

考点二 函数的综合应用

1．(2014·辽宁，12)已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足：

①f(0)＝f(1)＝0；

②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<12|x－y|.

若对所有x，y∈[0，1]，|f(x)－f(y)|

A.12 B.14 C.12π D.18

解析 不妨令0≤y

12|y－0|＝12(1－x)＋12y＝12＋12(y－x)<14.综上，|f(x)－f(y)|<14，所以k≥14.

答案 B 5 2．(2013·天津，8)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)

A.1－52，0 B.1－32，0

C.1－52，0∪0，1＋32 D.－∞，1－52

解析 a＝0时，A＝∅，不满足条件．a>0时，易知f(0)＝0，x>0时，f(x)＝x(1＋a|x|)>0，于是f(0＋a)>0＝f(0)，而由已知－12，12⊆A可得0∈A，即f(0＋a)0也不满足条件，故a<0.

易知f(x)＝axx＋1a （x≥0），－axx－1a （x<0），

在坐标系中画出y＝f(x)与y＝f(x＋a)的图象如图所示，

由图可知满足不等式f(x＋a)

由x(1－ax)＝(x＋a)[1－a(x＋a)]可得xA＝1－a22a；由x(1＋ax)＝(x＋a)[1＋a(x＋a)]，可得xB＝－1＋a22a.

∴A＝1－a22a，－1＋a22a(a<0)．

由－12，12⊆A得1－a22a<－12，－1＋a22a>12，a<0，

解得1－52

答案 A

3．(2012·新课标全国，12)设点P在曲线y＝12ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为( )

A．1－ln 2 B.2(1－ln 2) 6 C．1＋ln 2 D.2(1＋ln 2)

解析 由题意知函数y＝12ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝12ex最小距离的2倍，设y＝12ex上点(x0，y0)处的切线与y＝x平行，有12ex0＝1，x0＝ln 2，y0＝1，∴切点到直线y＝x的距离d＝1－ln 22，所以|PQ|的最小值为22(1－ln 2)×2＝2(1－ln 2)．

答案 B

4．(2014·湖北，14)设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)．例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a，b)＝c＝a＋b2，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数．

(1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数．

(2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数2aba＋b.

(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

解析 过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线的方程为

y－f(a)＝f（a）＋f（b）a－b(x－a)，

令y＝0得c＝af（b）＋bf（a）f（a）＋f（b）.

(1)令几何平均数ab＝af（b）＋bf（a）f（a）＋f（b）⇒abf(a)＋abf(b)＝bf(a)＋af(b)，可取f(x)＝x(x>0)；

(2)令调和平均数2aba＋b＝af（b）＋bf（a）f（a）＋f（b）⇒ab＋baa＋b＝af（b）＋bf（a）f（a）＋f（b），可取f(x)＝x(x>0)．

答案 (1)x (2)x

5．(2014·山东，15)已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝4－x2关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．

解析 函数g(x)的定义域是[－2，2]，根据已知得h（x）＋g（x）2＝f(x)，所以h(x)＝