单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义(课堂PPT)

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-1 § 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

§ 单位圆与周期性 （2课时）

一、 教学目标：

1、 理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念

2、 会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性

3、 通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学的重要思想方法之一

二、 教学重、难点

1、 正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号；会利用单位圆求三角函数值；

2、 了解周期性及一般函数周期性的定义，会求简单函数的周期性；

3、 利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法

三、情感态度与价值观

1、由锐角的正、余弦函数推广到任意角的正、余弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；

2、通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。

四、教学过程

尝试回忆

1、1弧度的角；2、角度制与弧度制的互化；3、弧长公式及扇形面积公式；4、用弧度制表示第一象限内的角的集合和x轴上的角的集合。

2、特别注意：角度与弧度不要混用。如090,kkZ，应写成0018090,kkZ或,2kkZ

3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？

由锐角三角函数推广到任意角的三角函数，由直角中的边之比定义，推广到直角坐标系中的坐标定义。

探究新知

1、单位圆

在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。

单位长：可以是1cm、1m、1km、1光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。

2、任意角的正、余弦函数定义

在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则交点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v=sinα; 点P的横坐标u叫作角α的余弦函数,记作u=cosα.

09三角函数在单位圆的表示方法

1

在理解任意角三角函数定义的基础上，理解三角函数在单位圆上的表示方法，理解正弦线、余弦线，并能由图象讲出三角函数的值域和已知三角函数值作出对应的角。

三角函数(正弦、余弦)在单位圆的表示

已知三角函数值作出对应的角。

讲授与讨论相结合 三角函数在单位圆的表示方法

课本P14 图4-12

MPyyry1sin -1≤sinα≤1 -1≤cosα≤1 例 题

OMxxrx1cos

例 题

P20 第2 题

x y

o TA x y

o T

A

T -1- 一、三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”,三角函数的定义已经明确告诉角的终边上取点具有任意性，如果我们在角的终边上取适当的点，使比值中的分母为1，那末三角函数就可以用相应的一个坐标表示，这样讨论三角函数就比较方便。

二、单位圆的定义

在直角坐标系中，以原点为圆心，以1为半径的圆。

三、角α的正弦、余弦在单位上的表示

1．作图：（课本P14 图4-12 ）

此处略 …… …… ……… …… ……

设任意角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于P 过P(x,y)作PMx轴于M，

简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示），“有向线段”（带有方向的线段），方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。

例：有向线段OM，OP 长度分别为yx,

当OM=x时 若0x OM看作与x轴同向 OM具有正值x

若0x OM看作与x轴反向 OM具有负值x

2．MPyyry1sin

OMxxrx1cos

1 / 2 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义

授课

时间 第 周 星期 第 节 课型 新授课 主备课人

学习

目标 1. 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义；

2. 会用三角函数线表示任意角三角函数的值；

3. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号

重点难点 求任意角三角函数的值

学习

过程

与方

法 自主学习

1． 设点P是角终边上任意一点，坐标为(,)Pxy，22||OPxyr，用

（1）比值 叫做的正弦，记作sin，即sin= ；

（2）比值 叫做的余弦，记作cos，即cos= ；

（3）比值 叫做的正切，记作tan，即tan= .

其中，sinyx 和cosyx的定义域分别是_____________；而tanyx的定义域是 _________.除上述情况外，对于确定的值，比值yr、xr、yx分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、是以角为自变量，一比值为函数值的函数，分别叫做角的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为____________．

2．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

①正弦值yr对于第一、二象限为_______对于第三、四象限_______；

②余弦值xr对于第一、四象限为_______对于第二、三象限为_______；

③正切值yx对于第一、三象限为_______对于第二、四象限为________．

说明：（1）若终边落在轴线上，则可用定义 求出三角函数值；

（2）正弦函数值的符号与y的符号相同，余弦函数值的符号与x的符号相同．

精讲互动

一、任意角的三角函数

例1． 已知角的终边经过点(2,3)P，求的正弦、余弦、正切值.

对边

邻边 斜边

1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义

一.教学目标：

（一）知识与技能：认识单位圆，让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力.

（二）过程与方法：理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号，并能初步应用它们解决一些问题。

（三）情感态度与价值观：通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平。

二.教学难点：利用单位圆给正弦函数、余弦函数下定义。

三.教学重点：正弦函数、余弦函数的定义

四.学情分析：

五. 学法与教法：探究讨论法。

六.教学过程：

（一）、复习引入

锐角的正弦、余弦函数的定义：

（二）、探究新知

1、下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角 的正弦函数、余弦函数.

当点P(u,v) 就是 的终边与单位圆的交点时,锐角三角函数会有什么结果？

以原点为O圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆． sin_____;cos_____.

2、任意角的正弦函数、余弦函数定义：

如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u,v)，那么：

（1）v叫做α的正弦，记作sinα， 即sinα=v；

（2）u叫做α的余弦，记作cosα，

即cosα=u.

3、三角函数 都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函A(1,0)

O P(u,v)

α y

M x

x y

O P(u,v) α A(1,0) sin,cos,MPvOPOMuOPsin,cosyx

数值的函数.

角(弧度数) 与实数一 一对应