1 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用讲义
课前双击巩固
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相
y=Asin(ωx+φ)
(A>0,ω>0),
x∈[0,+∞) A T=
f=1T=
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:
x
ωx+φ
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
3.函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤
图3-19-1
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变, 纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是 .
2.[教材改编] 某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin(x+π4),则原函数的解析式是 . 2 3.[教材改编] 若函数f(x)=sin ωx(0
.
4.[教材改编] 已知简谐运动f(x)=2sinπ3x+φ(|φ|
题组二 常错题
◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.
5.为得到函数y=cos(2x+π3)的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向 平移
个单位长度.
6.设ω>0,若函数f(x)=sin ωx2cos ωx2在区间[-π3,π3]上单调递增,则ω的取值范围是 .
7.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f(π8+t)=f(π8-t),且f(π8)=-3,则实数m= .
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|
图3-19-2
课堂考点探究
探究点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换
1 (1)将函数y=2sin2x+π6的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为 ( ) 3 A.y=2sin2x+π4 B.y=2sin2x+π3
第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单应用
考试要求：1．结合具体实例，了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义．2．能借助图象理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
一、教材概念·结论·性质重现1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0，x≥0)振幅周期频率相位初相
AT＝f＝＝ωx ＋ φ φ
2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)在一个周期内的简图时，要找
五个特征点，如下表所示：ωx＋φ0π2πxy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0
1．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．
2．相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的．
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途
径：
由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，
要平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．
1二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．( × )(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．( × )(3)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
( √ )
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间
的距离为．( √ )2．(2021·常州一模)已知函数f(x)＝2sin x，为了得到函数g(x)＝2sin的图象，只
需( )A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度
B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度
第五节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用 考试要求
1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
[知识排查·微点淘金]
知识点1 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx
＋φ)(A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ
知识点2 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找出五个关键点，如下表所示：
x －φω π2ω－φω π－φω 3π2ω－φω 2π－φω
ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
[微思考]
“五点法”作图时，五个关键点的横坐标之间有什么关系？
提示：“五点法”作图时，相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的14.
知识点3 由函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
[微提醒] 两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度． 常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．
[小试牛刀·自我诊断]
1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)
(1)y＝sinx－π4的图象是由y＝sinx＋π4的图象向右平移π2个单位长度得到的．(√)
(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(×)
第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数的简单应用
[考纲传真] 1.了解函数y＝AsinF(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
(对应学生用书第45页)
[基础知识填充]
1．函数y＝Asin (ωx＋φ)中各量的物理意义
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ
2. 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示
x －φω π2－φω π－φω 32π－φω 2π－φω
ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A
0
3. 由y＝sin x的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图像
先平移后伸缩 先伸缩后平移
⇓ ⇓
[知识拓展]
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换中，应向左平移φω个单位长度，而非φ个单位长度．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )
(2)将y＝3sin 2x的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y＝3sin2x＋π4.( )
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )
