高三数学一轮复习函数知识点总结

2023年高考数学第一轮复习：数学知识点归纳1、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

2、平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。

第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

3、数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

4、空间向量和立体几何。

在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

5、概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一等可能的概率，第二事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

6、解析几何。

解析几何，这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2019年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

要练说，得练看。

看与说是统一的，看不准就难以说得好。

练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。

标轴没有公共点，则 f ( 2 )＝(
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
⁠
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3

2024年高考数学第一轮复习知识点总结一、函数与方程（约占25%）1. 函数的概念与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

2. 一次函数与二次函数：斜率、截距、图像特征、解析式、三要素表示法。

3. 指数函数与对数函数：性质、特征、解析式。

4. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数的性质、图像、周期与频率等。

5. 幂函数与反比例函数：性质、图像、变化规律。

6. 组合与复合函数：定义、性质、计算方法。

7. 方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程的解法、根的判别、关系式、二次函数与方程。

二、空间与向量（约占15%）1. 点、直线与平面：空间几何图形的基本概念、关系与性质。

2. 空间向量：向量的表示、运算、模与单位向量、数量积与向量积的意义与计算。

3. 空间直线与平面的方程：点线面关系、夹角与距离、平面投影问题。

4. 空间几何证明：基本证明方法与技巧。

三、导数与微分（约占15%）1. 函数的导数：导数的定义与性质、基本导数公式、导数的几何意义、高阶导数。

2. 导数的计算：四则运算法则、链式法则、乘法法则、常见函数的导数。

3. 函数的微分：微分的定义与计算、微分与导数的关系、微分中值定理。

4. 导数应用：切线、法线、函数的极值与最值、函数的单调性、函数的凹凸性与拐点、不定积分、定积分等。

四、概率与统计（约占15%）1. 随机事件与概率：事件的概念、样本空间、事件的运算、概率的定义与性质、基本事件、条件概率与乘法定理。

2. 随机变量：离散型与连续型随机变量、分布函数、概率分布列、概率密度函数、期望与方差。

3. 概率分布：离散型随机变量的分布、二项分布、泊松分布、连续型随机变量的分布、均匀分布、正态分布。

4. 统计与抽样：参数与统计量、抽样方法与数据处理、样本均值与总体均值的关系、抽样分布与中心极限定理。

五、数列与数列极限（约占13%）1. 数列与数列极限：数列的概念与性质、数列极限的定义与性质、等差数列、等比数列、收敛性判定、数列极限的性质。

面对高三数学大量的知识点，好多的同学都不知道应该从哪里复习。

下面就为大家分享高三数学第一轮复习函数知识点汇总，供参考。

一次函数一、一次函数定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。

即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

(通常找函数图像与x轴和y 轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。

(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点;当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

高考数学一轮复习基本初等函数知识点每一章知识点把握对复习是专门有利的，查字典数学网为您提供的是差不多初等函数知识点，期望能够关心到你。

一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：一样地，假如，那么叫做的次方根(nthroot)，其中1，且*.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.现在，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，那个地点叫做根指数(radi calexponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.现在，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根能够合并成(0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根差不多上0，记作。

注意：当是奇数时，，当是偶数时，2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样能够推广到有理数指数幂.3.实数指数幂的运算性质(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一样地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x 是自变量，函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范畴，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质a1图象特点函数性质向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点(0，1)自左向右看，图象逐步上升自左向右看，图象逐步下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快;函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢;注意：利用函数的单调性，结合图象还能够看出：(1)在[a，b]上，值域是或;(2)若，则;取遍所有正数当且仅当;(3)关于指数函数，总有;(4)当时，若，则;二、对数函数(一)对数1.对数的概念：一样地，假如，那么数叫做以为底的对数，记作：(底数，真数，对数式)说明：1注意底数的限制，且;2;3注意对数的书写格式.两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数;2自然对数：以无理数为底的对数的对数.对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数幂底数对数指数真数幂(二)对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+).注意：1对数函数的定义与指数函数类似，差不多上形式定义，注意辨别。

第二部分 函数1. 了解映射:f A B →的概念注意：（1）映射可以是多对一，也可以是一对一的对应，但不能是一对多的对应；（2）A 中元素在B 中必须都有象且唯一；（3）B 中元素在A 中不一定都有原象，若有原象也不一定唯一．2. 函数:f A B →是特殊的映射．特殊在定义域A 和值域C 都是非空数集！注意值域C B ⊆．函数的三要素：定义域、对应法则、值域，其中值域由定义域和对应法则确定， 也就是说，确定一个函数，只需确定函数的定义域和对应法则．3. 求函数定义域的常用方法:（1）偶次根式的被开方数非负；分式的分母不能为零；对数log a x 中0x >，0a >且1a ≠；三角形中0A π<<, 最大角3π≥，最小角3π≤等等．（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围．注意单位．[注]：定义域要用集合或区间表示，不能用不等式表示.4. 求函数值域（最值）的方法:基本初等函数直接利用单调性；导数；均值定理；三角代换；数形结合；几何意义等．5. 指数函数()x f x a =()0,1a a >≠且的反函数是()1log a f x x -=()0,1a a >≠且， 反之亦然．它们的定义域与值域互换，图象关于直线y ＝x 对称.6. 函数的奇偶性:（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．（2）确定函数奇偶性的常用方法（若函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性，但要注意定义域的变化，如2()1x x f x x -=-）： ①直接利用奇偶性定义判断：②利用奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()()()()10f x f x f x -=±≠．如：奇函数(lg y x =±，11x x a y a +=-()0,1a a >≠且的判断． （3）函数奇偶性的性质：① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.② 若()f x 为偶函数，则()()f x f x =，此性质常用于根据单调性解不等式． ③ 若()f x 为奇函数，且0在函数的定义域中，则必有()00f =，常用此性质解题，但要注意：()00f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件．7. 函数的单调性：（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：定义法:（取值――作差――变形――定号）；导数法:（在区间(),a b 内，若总有()'0f x >，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(),a b 内为增函数，则()'0f x ≥.请注意两者的区别：前者不含等号，后者含等号.②选择填空题还可用数形结合法、特殊值法等等， 特别要注意b y ax x=+型函数的图象和单调性在解题中的运用 （,a b 同号时，对勾函数；,a b 异号时，在()()0,,0+∞-∞上分别单调）③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减.如:函数()20.5log 2y x x =-+的单调递增区间是？(答：（1,2）)．关注定义域． 函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是？（应首先将x 的系数化为正数） 答：511(,),1212k k k ππππ++∈Z . （2）特别提醒：求单调区间时要注意，一是勿忘定义域；二是不能用不等式表示；三是单调区间尽可能包括端点，但由导数求得的单调区间一律为开区间．（3）注意函数单调性与奇偶性的应用：①比较大小；②解不等式；③求参数范围．8. 常见的图象变换：（1）平移变换：()f x →()f x a ±或 ()f x a ±；函数()y f x a =±)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴左（右）平移a 个单位得到的；函数()x f y =±a )0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴向上（下）平移a 个单位得到的；（2）伸缩变换：()f x →()f ax 或 ()af x ；函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a1倍得到的；函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴 伸缩为原来的a 倍得到的.*9. 函数的对称性:（1）一个函数本身的性质：若()()f a x f b x +=-对任意x 恒成立，则函数()f x 的图象关于直线2a b x +=轴对称；若()()0f a x f b x ++-=对任意x 恒成立，，则()f x 的图象关于点,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称． （2）两个函数的关系：若()f x 与()g x 关于直线x a =对称，则()()2g x f a x =-；若()f x 与()g x 关于点(),0a 中心对称，则()()0f a x g a x ++-=．（3）特别关注形如ax b y cx d+=+的函数，其图象是双曲线，其两渐近线分别是直线d x c=-(由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c- （4）如何画出|()|f x 的图象？如何画出(||)f x 的图象？*10. 函数的周期性：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x值，都满足()()f x T f x +=，那么这个函数()f x 就叫作周期函数．注意：①周期函数的定义域一定是无界的；②定义在R 上的常数函数也是周期函数，因而周期函数不一定有最小正周期；（1） 若()f x 图象有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()f x 是周期函数，且2||a b -为一个周期；（2） 若()f x 图象有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()f x 是周期函数，且2||a b -为一个周期；（3） 如果函数()y f x =的图象有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且4||a b -为一个周期；（4）若0a ≠，且()f x 满足()()x a f x f +=-，或1()()f x a f x +=； 或1()()f x a f x +=-；则均可得出2a 是()f x 的一个周期.11. 指数式、对数式：log a N a N =，log log log c a c b b a=， log log m n a a n b b m =，()n m mn a a =. 12. 指、对、幂函数：①指数函数x y a =的图象分两类（0a >、0a <）；②对数函数log a y x =的图象也分两类（1a >、01a <<）；③幂函数y x α=的图象首先关注第一象限，再根据定义域及奇偶性作出其它象限的图象．在同一坐标系中作出不同类型的幂函数．13. 指数、对数值的大小比较主要方法为：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；14. 函数的应用:求解数学应用题，要特别注意：设（解答中涉及到的字母），定义域（实际问题，注意单位），答（将所得的数学结果，回归到实际问题中去）.*15. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如:函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题．求解抽象函数问题的常用方法是：（1）利用赋值法探究性质（如令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f ；令y x =或y x =-或将x 换成－x ，将y 换成－y 等）；（2）利用函数的性质进行演绎探究（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）；（3）借鉴函数模型进行类比探究．几类常见的抽象函数为 ：①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ -----()()()f x y f x f y ±=±；②幂函数型：2()f x x = -----()()()f xy f x f y =，()()()x f x f y f y =； ③指数函数型：()x f x a = -----()()()f x y f x f y +=，()()()f x f x y f y -=； ④对数函数型：()log a f x x = -----()()()f xy f x f y =+，()()()x f f x f y y =-； ⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-． 需要注意的是：函数模型只是满足所对应的抽象函数的一种函数类型，它只能帮助我们思考问题，但不能作为推理、论证的依据．16. 高考试题中关于基本初等函数性质考查的基本类型：函数是北京高考考查能力的重要素材，以函数为基础与其它章节在知识交汇点命制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重．以选择题、填空题形式主要考查函数的基本概念、函数图象、函数性质（单调性、奇偶性、周期性）等重要知识；同时关注函数知识的应用，突出函数与方程的思想、数形结合的思想． 例1：对于函数: ①1()45f x x x=+-，②21()log ()2x f x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-， 判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（ D ）（A ）① （B ）② （C ）①③ （D ）①② 例2：如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．（1）设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ B ）（2）设BP x =，四边形面积1D MBN S y =，则函数()y f x =的图象大致是（ B ）例3：已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立， 则实数a 的取值范围是( A )（A ）2a（B ）2a （C ）22a （D ）2a 或2a第三部分 导数1. 导数的背景：瞬时速度与瞬时变化率（平均变化率的极限）．AB CDM N P A 1B 1C 1D 1。

知识点总结 51 三角函数概念及三角恒等变换一．角的概念的推广：1.定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2.角的分类：{按旋转方向的不同分类{正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；零角：没有旋转；按终边位置不同分类{象限角：角的终边在第几象限，就是第几象限的角；轴线角：角的终边在坐标轴上。

3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 4.几种特殊位置的角的集合 (1)象限角的集合：①第一象限角：{α|2kπ<α<2kπ+π2 ,k ∈Z}；②第二象限角：{α|2kπ+π2<α<2kπ+π ,k ∈Z}； ③第三象限角：{α|2kπ+π<α<2kπ+3π2,k ∈Z}；④第四象限角：{α|2kπ+3π2<α<2kπ+2π ,k ∈Z}；(2)轴线角的集合:①终边在x 轴非负半轴上的角的集合：{α|α=2kπ ,k ∈Z }. ②终边在x 轴非正半轴上的角的集合：{α|α=2kπ+π ,k ∈Z }. ③终边在x 轴上的角的集合：{α|α=kπ ,k ∈Z }. ④终边在y 轴上的角的集合：{α|α=kπ+π2 ,k ∈Z}.⑤终边在坐标轴上的角的集合：{α|α=k ∙π2 ,k ∈Z}. (3)终边在特殊直线上：①终边在y ＝x 上的角的集合：{α|α=kπ+π4 ,k ∈Z}.②终边在y ＝－x 上的角的集合：{α|α=kπ−π4 ,k ∈Z}.③终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：{α|α=k ∙π4 ,k ∈Z}. 二．弧度制：1.弧度的角：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示.2.正角、负角和零角的弧度数一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3.角度制与弧度制的换算(1)1°＝π180 rad. (2)1 rad ＝(180π)°4.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr 相关公式：(1)扇形的弧长公式：l ＝nπr180＝|α|r . (2)扇形的面积公式：S ＝12lr ＝nπr 2360＝12|α|r 2. 三．三角函数概念(1)利用单位圆定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： sin α＝y . cos α＝x . tan α＝yx (x ≠0).(2)利用终边上的点定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边过点P (x ，y )，|OP |=r 那么： sin α＝yr. cos α＝xr. tan α＝yx(x ≠0).(3)符号法则：一全二正三切四余 (4)特殊角的三角函数值四．三角恒等变形 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：sinαcosα＝tan α(α≠kπ+π2,k ∈Z)． 变形：(1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α=1±sin2α，(2)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； (3)cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (4)sin α＝tan αcos α(α≠kπ+π2,k ∈Z)．2.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

]
20）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B
、C的对边，4sin2
B
2
C
-cos2A=
7 2
。
（1）求角A的度数；
（2）若a= 3 ，b+c=3，求b和c的值。
解：∴c4∴ocsoc2Aos(21s=A+A2 c-b=co2os122csAb22c)Aa-∴22==c72oA12s=2A60+。1=b272+c2-a2=bc 又∵b+c=3 bc=2
22 3
选A
例4
函数f(x)=cos2(x-
2 3
)+sin2(x-
5 6
)
+msinxcosx的值域为[a,2](x∈R,m>a)求m
值和f(x)的单调增区间。
解 ：1 f (x1 2 )[ = c 2 1 x c o o 2 2 4 3 x s ) 4 3 ()c s 1 2 co x ( o 2 2x 5 s 3 5 3 ) (s ) m ] 2 m 2( s s2 i2 x i x n
=sin(45。±35。). ∴ Sinα =sin 10。 ,sinβ=sin 80。
∴α=10。 β=80。 cos(2α-β)=cos60。= 1
2
〔三〕单元测试
一、选择题
1〕函数y=
coxs s
|cox|s |s
inx inx|
|ttaaxxnn|的值域是〔A〕
(A) |3,-1| (B) |3,1| (C) |-1,1,3| (D) |-1,1-3|
（2）若x∈[求a的值。
2
,
2
]时，f(x)的最大值为1，
解：（1）f(x)=sin(x+

高三数学一轮知识点总结归纳高三数学是学生们备战高考的关键时期，对于数学知识点的总结归纳是非常重要的。

本文将对高三数学一轮知识点进行全面梳理，帮助同学们更好地复习与巩固学习内容。

一、函数与方程1. 函数的性质与图像a. 定义域、值域与奇偶性b. 函数的增减性与最值c. 函数的周期性与对称性d. 常见函数的图像与性质总结2. 一次函数与二次函数a. 一次函数的定义与性质b. 一次函数的图像与常见问题c. 二次函数的定义与性质d. 二次函数的图像与常见问题3. 指数与对数函数a. 指数函数的定义与性质b. 指数函数的图像与常见问题c. 对数函数的定义与性质d. 对数函数的图像与常见问题4. 幂函数与反比例函数a. 幂函数的定义与性质b. 幂函数的图像与常见问题c. 反比例函数的定义与性质d. 反比例函数的图像与常见问题二、三角函数1. 基本概念与性质a. 弧度制与角度制的转换b. 正弦、余弦、正切函数的定义与性质c. 正弦、余弦、正切函数的图像与常见问题2. 三角函数的基本关系a. 三角函数的周期性与对称性b. 三角函数的和差化积与积化和差c. 三角函数的倍角与半角公式3. 解三角函数方程a. 解简单的三角方程b. 解复杂的三角方程c. 解三角方程组与实际问题应用三、数列与数列的表示方法1. 基本概念与通项公式a. 数列的定义与性质b. 等差数列的通项公式与性质c. 等比数列的通项公式与性质2. 数列求和问题a. 等差数列求和与常见问题b. 等比数列求和与常见问题c. 常用数列求和公式总结3. 递推数列与特殊数列a. 递推数列的定义与常见问题b. 斐波那契数列与常见问题c. 等差数列与等比数列的特殊性质四、空间几何与向量1. 点、直线与平面a. 点的定义与性质b. 直线的定义与性质c. 平面的定义与性质2. 空间图形的方程a. 点、直线的位置关系与方程b. 直线与平面的位置关系与方程c. 平面与平面的位置关系与方程3. 向量的基本概念与运算a. 向量的定义与性质b. 向量的加减法与数量积c. 向量的数量积与向量积4. 空间几何的应用a. 点到直线的距离与投影b. 直线与平面之间的夹角与距离c. 空间图形的体积与表面积计算通过以上的知识点总结归纳，我们可以更好地复习数学知识，加深对各个知识点的理解，并且在解题过程中能够迅速找到思路，提高解题效率。

高三数学一轮知识点总结大全高三是所有考生的关键时刻，是为了应对高考而付出努力的最后一年。

数学作为高考必考科目之一，具有重要的分数和排名权重。

为了帮助高三学生更好地备考，下面将对高三数学一轮知识点进行全面总结。

一、函数与方程1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，对于定义域内的每个自变量都有唯一对应的因变量。

2. 函数的性质：奇偶性、周期性、增减性、单调性等。

3. 方程与不等式的解：通过求解方程或者不等式，求取未知数的取值范围。

二、数列与递推关系1. 等差数列：一种常见的数列，其中任意两个相邻项之间的差值为常数。

2. 等比数列：一种常见的数列，其中任意两个相邻项之间的比值为常数。

3. 递推关系：通过已知项和递推关系式，求解数列中任意一项的值。

三、平面几何1. 直线与曲线：通过方程或者性质，判断直线与曲线的关系。

2. 圆与其相关概念：弦、弧、切线、切点等。

3. 三角形与多边形：根据性质和定理，解决三角形和多边形相关的问题。

四、空间几何1. 空间中的直线与平面：通过方向向量和点的坐标等信息，求解直线与平面的关系。

2. 空间中的角与距离：根据空间几何相关定理，求解角的大小和点的距离。

3. 空间中的曲线与曲面：通过方程和性质，求解曲线和曲面的特性。

五、立体几何1. 立体的体积和表面积：求解各种形状的体积和表面积，例如（球、圆柱、锥、棱柱、棱锥等）。

2. 空间向量：矢量的定义、性质、运算等。

3. 空间解析几何：点、直线、平面的坐标和性质。

六、概率与统计1. 随机事件：基本概念、性质和运算。

2. 概率计算：频率、概率、事件间的关系和计算方法。

3. 排列组合与分布：排列、组合、二项分布、正态分布等。

七、数学证明与推理1. 数学证明的基本方法：直接证明法、反证法、数学归纳法等。

2. 数学运算与性质：算术运算、整除性质、同余关系等。

3. 数学推理与连续性：数学推理的过程和方法，连续性的概念和性质。

八、复数与数域1. 复数的定义与运算：复数的基本运算、共轭、模长等。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集.②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅） 4. ①n 个元素的子集有2n个. ②n 个元素的真子集有2n－1个. ③n 个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255 x x x 或，⇒. 4. 集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2） 等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3） 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )6. 有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+(3) card ( U A )= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx（自右向左正负相间） 则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a xa x a n n n n的解可以根据各区间的符号确定.特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解的讨论.0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

知识点总结 3-2函数的性质一．函数的奇偶性偶函数 奇函数 定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征 关于y 轴对称 关于原点对称 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(−x)f(x)＝－1.②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(−x)f(x)＝1. (3)如果一个奇函数f(x)在x ＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (4)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(5)在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性；偶函数具有相反的单调性． (6)若y ＝f(x ＋a )是奇函数⇔f(x)关于点(a ,0)对称； 若y ＝f(x ＋a )是偶函数⇔f(x)关于直线x=a 对称．(7)奇函数的最值：若奇函数f (x)在区间D 上有最值，则f mzx (x)+f min (x)=0;(8)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式. 即f(x)=g(x)+h(x)，其中：g(x)=12[f(x)+f(−x)] ,h(x)=12[f(x)−f(−x)]；二．函数的周期性(差为常数有周期)1.如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，就称函数y ＝f(x)为周期函数， 称T 为这个函数的周期。

2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期． 提醒：若T 是函数f(x)的一个周期，则nT(n ∈Z ，n≠0)也是函数f(x)的周期． 3.周期性的几个常用结论(1)f(x +a )=−f(x)+t(t ∈R)，则T =2a . (2)f(x +a )=kf(x),(k ∈R,k ≠0)，则T =2a . (3)f(x +a )=1−f(x)1+f(x)，则T =2a ； f(x +a )=1+f(x)1−f(x)；则T =4a ；(5)若f(x +2a )=f(x +a )−f(x),则T ＝6a (a >0)．4.函数对称性与周期性的关系（类比三角函数）：若函数存在两个对称关系，则必然是周期函数； 口诀：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差(或：同性两距离，异性4距离)。

高考数学一轮复习---二次函数知识点与题型一、基础知识1．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象与性质二次函数系数的特征：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小；(2)－b2a的值决定图象对称轴的位置；(3)c的取值决定图象与y轴的交点；(4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数．(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)二、常用结论1．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．2．二次函数在闭区间上的最值设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]．(1)当－b2a≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)当m <－b 2a ≤m ＋n2时，最小值为)2(ab f -，最大值为f (n )； (3)当m ＋n 2<－b2a ≤n 时，最小值为)2(a b f -，最大值为f (m )； (4)当－b2a >n 时，最小值为f (n )，最大值为f (m )．三、考点解析考点一 求二次函数的解析式求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同. 例、已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 跟踪训练1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________. 考点二 二次函数的图象与性质 考法(一) 二次函数图象的识别例、若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )考法(二) 二次函数的单调性与最值问题例、(1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．(2)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________． [解题技法]1．二次函数最值问题的类型及解题思路 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的； ②对称轴动、区间固定； ③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题． 2．二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题例、(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．[解题技法]由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键：(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .跟踪训练1．已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( ) A.54 B ．1或54 C ．－1或54 D ．－5或54课后作业1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，并且过点P (－1,7)，则a ，b 的值分别是( ) A ．2,4 B ．－2,4 C ．2，－4 D ．－2，－4 2．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2 3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0 5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞) D ．(－∞，－6)6．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________． 7．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-49,23，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．8．y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________． 9．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．提高训练1.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③2．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34 D ．1 3．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．4．求函数y ＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值．。

函数基础知识梳理一、函数的概念与表示【知识清单】1．函数的概念：设A ，B 是两个 ，如果对于集合A 中的 一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，使，在集合B 中都有 的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y ＝f (x )，x ∈A .在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的 .特别地,如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法表示函数的常用方法有 、图象法和 . 4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【必备知识】 1．常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)零次幂的底数不能为0. (5)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为 .(6)y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的定义域为 ． (7)y ＝tan x 的定义域为 . 2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域：当a ＞0时，值域为 ；当a ＜0时，值域为 . (3)y ＝kx(k ≠0)的值域是 ．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是 ．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是 . 补充(1)一次分式函数()()0ax b f x c cx d+=≠+的值域 ；(2)函数()()0,0bf x ax a b x =+>>的值域为 ；(3)函数()()0,0b f x ax a b x=->>的值域为 ； (4)函数()(),,R f x x a x b a b x =-+-∈的值域为),a b ⎡-+∞⎣； 函数()(),,R f x x a x b a b x =---∈的值域为,a b a b ⎡---⎤⎣⎦.二、函数的基本性质【知识清单】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是 的自左向右看图象是 的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．★函数单调性的证明：定义法“取值—作差—变形—定号—结论”。

高三数学第一轮复习讲义第一章：函数与方程1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。

在数学中，我们通常用自变量和因变量来描述一个函数。

自变量是输入值，而因变量是输出值。

1.1.2 函数的性质1.定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，而值域是因变量的取值范围。

2.单调性：函数的单调性指的是函数在定义域内是否单调递增或单调递减。

3.奇偶性：函数的奇偶性指的是函数在定义域内是否关于原点对称。

4.最值与极值：函数的最值是函数取得的最大值或最小值，而极值则是函数在某一特定区间内取得的最大值或最小值。

1.2 一次函数与二次函数1.2.1 一次函数的性质与图像一次函数是指函数的最高次幂为一的函数，其一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数。

一次函数的性质与图像包括： - 斜率：斜率表示了函数图像在平面上的倾斜程度，可以通过斜率的正负来判断函数的单调性。

- 截距：截距表示了函数图像与 y 轴的交点位置。

1.2.2 二次函数的性质与图像二次函数是指函数的最高次幂为二的函数，其一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a，b 和 c 是常数，且a ≠ 0 。

二次函数的性质与图像包括： - 开口方向：二次函数的开口方向由二次项的系数 a 决定。

- 判别式：判别式可以用来判断二次函数的图像与 x 轴的交点情况。

-顶点坐标：二次函数图像的顶点坐标可以通过解方程组求得。

第二章：不等式与数列2.1 不等式2.1.1 不等式的基本性质不等式是一种表示两个数之间大小关系的数学式子。

在解不等式时，需要注意以下基本性质： - 加减变换：对不等式两边同时加减某个数不改变不等关系的方向。

- 乘除变换：对不等式两边同时乘除某个非零数不改变不等关系的方向。

需要注意，当乘除以负数时，不等关系的方向会发生变化。

2.1.2 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，其一般形式为 ax + b >0（或 < 0）。

知识点总结 3-3初等函数与函数模型一．幂函数1．幂函数的概念：一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图象定义域R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)增 增 增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1，1)x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域． 根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；幂函数的图象过定点(1，1)；(2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增， 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减； (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．(5)在第一象限，直线x ＝a (a >1)同各幂函数相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．(即：指大图高)(6)形如f (x )＝x α(其中α∈Z )，当α为奇数时，幂函数为奇函数，图象关于原点对称； 当α为偶数时，幂函数为偶函数，图象关于y 轴对称．(7)对于形如f (x )＝x m n(其中n ∈N *，m ∈Z ，m 与n 互质)的幂函数的奇偶性： ①当m 为偶数时，f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称； ②当m ，n 都为奇数时，f (x )为奇函数，图象关于原点对称；③当n 为偶数时，x >0(或x ≥0)，f (x )是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)． 二．二次函数1.二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)；xyy ＝1y ＝xx ＝1α<00<α<1α>1O顶点式：f(x)=a(x −m)2+n(a ≠0)，对称轴为：x =m ，顶点是：(m,n)；零点式：f(x)=a(x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)，x 1,x 2是f(x)的零点(即方程ax 2+bx +c =0两根)，对称轴x =x 1+x 22；2.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R R值域[4ac −b 24a,+∞)(−∞,4ac −b 24a]单调性 (−∞,−b2a ]上递减；[−b2a ,+∞)上递增 (−∞,−b2a ]上递增；[−b2a ,+∞)上递减对称性 函数的图象关于直线x =−b 2a 对称3.与二次函数有关的恒成立问题：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则(1)f (x )＞0恒成立的充要条件是{a >0,∆<0, f (x )＜0恒成立的充要条件是{a <0,∆<0,(2)f (x )＞0(a ＜0)在区间[m ，n ]恒成立的充要条件是{f(m)>0f(n)>0(3)f (x )＜0(a ＞0)在区间[m ，n ]恒成立的充要条件是{f(m)<0f(n)<0三．指数与指数函数1.根式：式子√a n叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 性质：(√a n)n ＝a (a 使√a n有意义)；当n 为奇数时，√a n n ＝a ， 当n 为偶数时，√a n n＝|a |＝{a, a ≥0,−a,a <0,2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n=√a m n(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； 正数的负分数指数幂的意义是a−m n=√a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ； (a r )s ＝a rs ； (ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q.4.指数函数及其性质①概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. ②指数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象定义域R值域 (0，＋∞)性质 过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数①画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，(−1,1a ). ②在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大，简称“底大图高” 如图是:(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则：c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0．四．对数与对数函数1．(1)对数的定义：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ， 其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，N>0(负数和零没有对数)． (2)几种常用的对数一般对数：log a N (a >0，且a ≠1)； 常用对数：lgN =log 10N ； 自然对数：lnN =log e N (e ≈2.718) 2.对数的常用结论(1)log a 1＝0(a >0且a ≠1)； (2)log a a ＝1(a >0且a ≠1)； 推广：log a a n =n (a >0且a ≠1) (3)对数恒等式： a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)．4.对数的运算法则：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； 5.对数的换底公式：log b N ＝log a Nlog ab (a ，b 均大于零，且不等于1)；推广：(1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log ba (a ，b 均大于0且不等于1)；(2)log a m b n ＝nmlog a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R )；6.对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 7.对数函数的图象与性质 函数y ＝log a x ，a >1y ＝log a x ，0<a <1图象图象特征 在y 轴右侧，过定点(1，0) 当x 逐渐增大时，图象是上升的 当x 逐渐增大时，图象是下降的定义域(0，＋∞)值域 R单调性 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 五．对勾函数与飘带函数f (x )＝ax ＋bx1.对勾函数：f (x )＝ax ＋bx (ab ＞0)(1)当a ＞0，b ＞0时，f (x )在(－∞，－√ba]，[√ba ，＋∞)上是增函数，在[－√ba ，0)，(0，√ba ]上是减函数；(2)当a ＜0，b ＜0时，f (x )在(－∞，－]√ba ，[√ba ，＋∞)上是减函数，在[－√ba ，0)，(0，√ba ]上是增函数；2.飘带函数：f (x )＝ax ＋bx(ab ＜0)(1)当a ＞0，b ＜0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数； (2)当a ＜0，b ＞0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数； 六.几类常见函数模型 函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)七．抽象函数的模型 1.反比例函数模型若f(x +y)=f(x)f(y)f(x)+f(y)；则f(x)=f(1)x，(其中x,f(x),f(y),f(x +y)均不为0)2.一次函数模型模型1：若()()()f x y f x f y ±=±，则()(1)f x f x =； 模型2：若()()()f x y f x f y ±=±，则()f x 为奇函数；模型3：若()()(),f x y f x f y m +=++则()()[1]f x f m x m =+-； 模型4：若()()(),f x y f x f y m -=-+则()()[1]f x f m x m =-+；xya ＞0，b ＞0－b ab aOxya ＜0，b ＜0－b ab aOxya ＞0，b ＜0－－b a－b aOxya ＜0，b ＞0－－b a－b aO3.指数函数模型模型1：若f(x +y)=f(x)f(y)，则f(x)=[f(1)]x ,(f(x)>0)； 模型2：若f(x −y)=f(x)f(y)，则f(x)=[f(1)]x ,(f(x)>0)； 模型3：若f(x +y)=m ∙f(x)f(y)，则f(x)=[mf(1)]xm；模型4：若f(x −y)=m ∙f(x)f(y)，则f(x)=m [f(1)m]x ；4.对数函数模型模型1：若f(x n )=nf(x)，则f(x)=f(a )log a x(a >0且a ≠1，x >0)； 模型2：若f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)=f(a )log a x(a >0且a ≠1，x >0)； 模型3：若f(xy )=f(x)−f(y)，则f(x)=f(a )log a x(a >0且a ≠1，x >0)；模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m ，则f(x)=[f(a )+m ]log a x +m(a >0且a ≠1，x >0)； 模型5：若f(x y )=f(x)−f(y)+m ，则f(x)=[f(a )−m ]log a x +m(a >0且a ≠1，x >0)； 5.幂函数模型模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f(x)=[f(a )]log a x (a >0且a ≠1，x >0)；模型2：若f(xy )=f(x)f(y)，则f(x)=[f(a )]log a x (a >0且a ≠1，x >0,y ≠0,f(y)≠0)； 代入()f a 则可化简为幂函数； 6.余弦函数模型模型1：若f(x +y)+f(x −y)=2f(x)f(y)(f(x)不恒为0)，则f(x)=cosωx ； 模型2：若f(x)+f(y)=2f(x+y 2)f(x−y 2)(f(x)不恒为0)，则f(x)=cosωx ；模型3：若f(x +y)+f(x −y)=kf(x)f(y)(f(x)不恒为0)，则f(x)=2kcosωx ； 7.正切函数模型模型1：若f(x +y)=f(x)+f(y)1−f(x)f(y) (f(x)f(y)≠1)，则f(x)=tanωx ；。

高考数学一轮复习---对数函数知识点与题型一、基础知识 1．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). y ＝log a x 的3个特征 (1)底数a >0，且a ≠1； (2)自变量x >0； (3)函数值域为R.2．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质定义域：(0，＋∞)3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．二、常用结论 对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a ，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象． (2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．三、考点解析考点一 对数函数的图象及应用 例、(1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )(2)已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．变式练习1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2<log a x (a >0，且a ≠1)对x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛210，恒成立，求实数a 的取值范围．考点二 对数函数的性质及应用 考法(一) 比较对数值的大小例、已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b考法(二) 解简单对数不等式例、已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．考法(三) 对数型函数性质的综合问题例、已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间．跟踪训练 1．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛210， B.]21,0( C.)21(∞+，D ．(0，＋∞) 3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________．课后作业1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2) C.)32[∞+，D.)32(∞+， 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log2x B.12x C ．log 12x D ．2x －23．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x 4．函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )5．若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin2π5，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >b >c6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1)<f (2) C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定7．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.8．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________. 9．函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________．10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．11．求函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值．12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间]320[，上的最大值．。