专题10 路径轨迹问题

解：设M(x,y),则动圆半径 RM Px42y2.
⒈若圆M与圆C外切，则 MCMPr.
即 x 4 2 y2x 4 2 y2 4 .
整 理 2 x 1 得 x 4 2 y 2 x 1 .
整理 x2得 y2 1(x2) .
4 12
⒉若圆M与圆C内切，则 MCMPr.
即 x 4 2 y2x 4 2 y2 4 .
2020年10月2日
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例1、已知△ABC，BC 求点A 的轨迹 .
2
,
AC AB
m.
解：以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点, 建立直角坐标系，则B(-1,0),C(1,0).
2020年10月2日
o
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例2、动圆M过定点P(-4,0)且与圆C: x2y28x0 相切，求动圆圆心M的轨迹方程.
3、列出方程; 用坐标表示条件P (M),列出方程f(x,y)=0
4、化简方程; 将方程f(x,y)=0化为最简形式
5、证明方程; 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲 线上的点
2020年10月2日
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※ 定义法的适用范围及解题步骤：
若能够明确所研究曲线的类型及 方程的标准形式，则先设出所求 曲线的标准方程，再利用题目条 件确定所设方程中的未知量.
焦点的轨迹方程 .
2020年10月2日
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数学轨迹问题
数学轨迹问题是指研究设定的数学函数或方程所描述的几何图形的运动规律和特点。

这类问题通常需要将数学方法与几何图形的运动相结合，通过分析数学函数或方程的性质，来研究图形的形状、位置、变化等问题。

常见的数学轨迹问题包括：
1. 平面曲线轨迹问题：给定一个平面曲线的方程，研究曲线上点的运动轨迹。

例如，求解抛物线上一动点的坐标关系。

2. 空间曲线轨迹问题：给定一个空间曲线的参数方程，研究曲线上点的运动轨迹。

例如，求解螺线上一动点的坐标关系。

3. 平面图形轨迹问题：给定一个平面图形的特定性质，研究这个图形在不同位置、形态下的变化。

例如，研究圆心在直线上的所有圆的轨迹。

4. 空间图形轨迹问题：给定一个空间图形的特点，研究这个图形在不同位置、形态下的变化。

例如，研究圆锥的截面在不同高度下的形状。

数学轨迹问题在几何学、微积分等数学分支中都有广泛的应用。

通过研究数学轨迹问题，可以揭示数学函数或方程的性质，并帮助我们更好地理解几何图形的变化和相互关系。

初中常见路径（轨迹）问题之解决策略一、 动点到定点的距离等于定长这一类动点问题的特点是：所求的动点到某一个定点的距离是不变的。

根据圆的定义，这时容易发现该动点的轨迹是一个圆周或者一段弧。

而且该圆或者弧的圆心就是定点，半径就是定长。

知道圆心和半径之后就容易求解了。

1. 如图，矩形ABCD 中，AB=2，E 是AD 边上一动点，将△ABE 沿BE折叠至△PBE ，在点E 从A 到D 的过程中，求P 点轨迹长。

2. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2。

将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，得到△A′B′C ，AC 中点为D ，A′B′中点为E ，连接DE ，当旋转角为_______°时，DE 长度最大，最大值为__________．3. 如图，OA ⊥OB ，垂足为O ，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上两个动点，点C 是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C 运动形成的路径长是______二、定角对定长这一类动点问题的特点是：以该动点为顶点的某个角度大小是固定不变的，而且该固定角度所对的某一条边是固定的。

由圆周角的特点可知，这个动点的轨迹就是一个圆周或者一段弧。

而且这个固定角度就是圆周角，这个固定边就是弦。

如果需要求轨迹长的话，再把圆心角和半径算出来就行了。

不过有一点需要注意，这时需要把起始点和终点找到才能准确求出圆心角。

对于这种题型，找圆心可以用三角形外心的结论：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。

所以，当这个固定角度是锐角时，圆心和动点位于固定边的同侧；当这个固定角度是直角时，圆心就在固定边的中点；当这个固定角度是钝角时，圆心和动点位于固定边的两侧。

4.如图，点E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF。

连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H。

若正方形的边长为2，则线段DH的最小值是___．5.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P.若BF=CE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.6.如图，正方形ODEF的边长为2，以O为圆心，AB为直径的半圆经过点D，连接AF，BD相交于点P，将正方形ODEF从OD与OA重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，求交点P运动的路径长.7.如图，圆O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2。

轨迹专题动点的轨迹在初中范围内一般有两种（1）弧线（2）线段判定方法：描出三个点：起点，终点，中间点如果是弧线要做到以下几点：确定圆心（一般按照斜边中线等于斜边的一半来确定）确定半径确定圆心角（把圆心和起点，终点相连）注意：点的轨迹有时候存在返回典例：1、例1、已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一个动点，OD⊥AC于D，如果点C在圆上运动一周，则点D运动的路线长是2、一个矩形按照如图翻转61次，AB=2，AD=1，则点D走过的路程为如图，将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A'O'B'处，则顶点O经过的路线总长为______．如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）如图，将半径为1cm的圆形纸板，沿着边长分别为8cm和6cm的矩形外侧滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长约为（精确到0.01）如图，将半径为1cm的圆形纸板，沿着周长为8cm三角形外侧滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长约为1、如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点。

P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D。

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动。

请直接写出点H所经过的路径长。

（不必写解答过程）2、如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点O从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs。