5§1.5用卡诺图法化简逻辑函数

相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。

= AB(C + C ) + ABC + ABC = ABC + ABC + ABC + ABC
=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）
（三）卡诺图的结构 （1）二变量卡诺图 ）
（2）三变量卡诺图 ）
B m0 ABC A m4 ABC m1 ABC m5 ABC C (a) m3 ABC m7 ABC m2 ABC m6 ABC A 0 1 0 4 1 5 3 7 2 6 BC 00 01 11 10
总之， 个相邻的最小项结合， 个取值不同的变量而合并为l 总之，2n个相邻的最小项结合，可以消去n个取值不同的变量而合并为l项。
2．用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则） 用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）
（1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。 =0,1,2,3…… 个相邻项。 ……） 尽量画大圈，但每个圈内只能含有2 要特别注意对边相邻性 四角相邻性。 对边相邻性和 要特别注意对边相邻性和四角相邻性。 （2）圈的个数尽量少。 圈的个数尽量少。 （3）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1 小项。 小项。 （4）在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈 在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格， 是多余的。 是多余的。
知识点导入
通过第三讲的学习，我们已经学会了如 何使用代数法来化简逻辑函数，从而使逻 辑电路达到最简洁合理。 这一讲我们将学习逻辑函数的另一种化 简方法——卡诺图化简法，同样可以得到 简方法——卡诺图化简法，同样可以得到 最简逻辑函数，并设计出最简逻辑电路图。

11 1 1 1 1 1 1
1 1
1
1
1
L B AD
18
例 用卡诺图化简逻辑函数 Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11) 解：
19
A
BC B D
Y A BC B D
20
例 化简图示逻辑函数。 解：
1
2 多余 的圈
4
3
Y ACD A B C A C D ABC
ABC D ABCD ABD ABC D ABCD ABD
ABD ABD AD
11
10
AD AD D
相邻项相加时，反复应用 A A 1公式，函数 表达式的项数和每项所含的因子数就会减小.
11
两个最小项合并
12
四个最小项合并
13
CD 00 AB 00 01 11 10 1 1
A BCD A BCD ABCD A BCD A BC D A BC D ABC D A BC D C
(c )
(d )
八个最小项的合并
14
用卡诺图化简逻辑函数的步骤：
画出逻辑函数的卡诺图。 • 合并最小项，即根据前述原则画圈。 • 写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简 与项，规则是:取值为l的变量用原变量表示，取 值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与,然 后将所有与项进行或运算，即得最简与—或表达 式。
例1 将
L( A, B, C ) AB AC 化成最小项表达式
L( A, B, C ) AB(C C ) A( B B)C
ABC ABC A BC A B C
= m7＋m6＋m3＋m1

ABC ABC A BC
m3 m2 m1
m(1、 2、 3)
例2
L( ABC ) ( AB AB C ) AB
AB AB C AB
AB AB C AB ( AB AB) C AB ABC ABC AB(C C) ABC ABC ABC ABC
⒈用摩根定律去掉非号(多个变量上)直至只在一个变量上有非号为止
⒉用分配律去除括号，直至得到一个与或表达式
⒊配项得到最小项表达式
习 例1
题
A B A BC
的最小项
求函数F(A、B、C) 表达式 解：F(A、B、C)
A B A BC
A B A BC
AB(C C) A BC
如:
m0 m2 m4 m6 m8 m10 m12 m14 D
2.用卡诺图化简逻辑函数的方法和步骤
设已得到逻辑函数的卡诺图
1) 将相邻的值为“1”的小方块画成若干个包围圈
ⅰ)每个包围圈中必须含有2n个小方块 (n=0,1,2, …)
画 圈 原 则
ⅱ)小方块可重复被包围，但每个包围圈中必须含有其他 包围圈没有的新小方块 ⅲ)不能漏掉任何值为1的小方块 ⅳ) 包围圈所含的小方块数目要尽可能多 ⅳ) 包围圈数目要尽可能少，画包围圈的顺序由大→小
10 1
01 11 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1
B
1 1 1
D
3.具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简
无关项的定义
在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者 这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无 关项或任意项。