2018-2019学年最新高中数学苏教版必修四教学案：第3章 3.1 两角和与差的三角函数-含答案

3.1.1 两角和与差的余弦一、课题：两角和与差的余弦二、教学目标：1．掌握两点间的距离公式及其推导；2．掌握两角和的余弦公式的推导；3．能初步运用公式()C αβ±来解决一些有关的简单的问题。

三、教学重点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导。

四、教学难点：两角和的余弦公式的推导。

五、教学过程： （一）复习：1．数轴两点间的距离公式：12MN x x =-．2．点(,)P x y 是α终边与单位圆的交点，则sin ,cos y x αα==． （二）新课讲解：1．两点间的距离公式及其推导设111222(,),(,)P x y P x y 是坐标平面内的任意两点，从点12,P P 分别作x 轴的垂线1122,PM P M ，与x 轴交于点1122(,0),(,0)M x M x ；再从点12,P P 分别作y 轴的垂线 1122,PN P N ，与y 轴交于点1122(0,),(0,)N y N y ．直线11PN 与22P M 相交于点Q ，那么11221PQ M M x x ==-， 21221QP N N y y ==-．由勾股定理，可得2221212PP PQ QP =+2212x x y y =-+- 222121()()x x y y =-+-∴12PP =．2．两角和的余弦公式的推导在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作角,αβ与β-，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点1P ，终边交⊙O 于点2P ；角β的始边为2OP ，终边交⊙O 于点3P ；角β-的始边为1OP ，终边交⊙O 于点4P ，则点1234,,,P P P P 的坐标分别是1(1,0)P ，2(cos ,sin )P αα， 3(cos(),sin())P αβαβ++，4(cos(),sin())Pββ--， 1324PP P P =，∴22[cos()1]sin ()αβαβ+-++22[cos()cos ][sin()sin ]βαβα=--+--得：22cos()αβ-+22(cos cos sin sin )αβαβ=-- ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-．（()C αβ+）3．两角差的余弦公式在公式()C αβ+中用β-代替β，就得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （C αβ-）说明：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。

3π π 5 3 sin 4 ＋α＝13，cos4－β＝5，且
π 3π 0＜α＜4＜β＜ 4 ，求 cos(α＋β)的值.
3π 3π π π π 3π 解 ∵0<α<4<β< 4 ，∴ 4 < 4 ＋α<π，－2<4－β<0. 3π π 5 3 又 sin 4 ＋α＝13，cos4－β＝5，
题型探究
达标检测
问题导学
知识点 两角和与差的正弦公式 思考1
答
新知探究 点点落实
如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
π π sin(α＋β)＝cos －α＋β＝cos －α －β 2 2 π β＋sin －α sin 2
解析答案
π π (2)sin 12－ 3cos 12＝ － 2
.
解析
方法一
1 原式＝2 sin 2
π 3 π . 12－ 2 cos 12
π π π π π π π － sin cos sin cos － cos sin ＝ 2 12 3 12 12 3 12 3
3π π 12 4 ∴cos 4 ＋α＝－13，sin4－β＝－5.
π 3π π cos(α＋β)＝sin2＋α＋β＝sin 4 ＋α－4－β
3π π 3π π ＝sin 4 ＋αcos4－β－cos 4 ＋αsin4－β
3π α－cos 2 sin α＝－cos α. 2.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α

3.1.2 两角和与差的正弦学习目标 1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系.2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式的特征.3.能运用公式进行三角函数的有关化简求值．知识点 两角和与差的正弦思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？思考2 如何推导两角差的正弦呢？梳理 (1)两角和与差的正弦公式记忆口诀：“正余余正，符号相同”． (2)辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝aa 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(cos φsin x ＋sin φcosx )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba，φ为辅助角．类型一 给角求值例1 (1)化简求值：sin(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(63°－x )·sin(x －18°)．(2)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°＝________.反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )．类型二 给值求值 例2 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)．反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略：①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．跟踪训练2 已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值．类型三 辅助角公式命题角度1 用辅助公式化简例3 将下列各式写成A sin(ωx ＋φ)的形式： (1)3sin x －cos x ； (2)24sin(π4－x )＋64cos(π4－x )．反思与感悟 一般地对于a sin α＋b cos α形式的代数式，可以提取a 2＋b 2，化为A sin(ωx ＋φ)的形式，公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ))称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值. 跟踪训练3 sin π12－3cos π12＝________.命题角度2 求函数值域最值例4 已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，求函数f (x )的值域．反思与感悟 (1)用辅助角公式化成一角一函数， 即a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ±φ)的形式． (2)根据三角函数的单调性求其值域．跟踪训练4 (1)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ≤2π)取得最大值时，x ＝________；(2)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为________．1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于________．2．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________.3．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________. 4．计算2cos π12＋6sin π12的值是________．5．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋3x .1．公式的推导和记忆 (1)理顺公式间的逻辑关系C (α－β)―――――→以－β代换βC (α＋β)――――→诱导公式S (α＋β)―――――→以－β代换βS (α－β). (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”； 对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C (α－β)，C (α＋β)，S (α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意． 2．应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式． (3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝sin 90°，12＝cos 60°，32＝sin 60°等，再如：0，12，22，32等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．答案精析问题导学 知识点思考1 sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos β＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αsin β＝sin αcos β＋cos αsin β.思考2 可以由sin(α－β)＝cos[π2－(α－β)]＝cos[(π2－α)＋β]得到，也可以由sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]得到． 梳理 (1)sin αcos β＋cos αsin β 题型探究 例1 (1)22 (2)12跟踪训练1 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°) ＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16° ＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )]＝sin 90°＝1. 例2 解 ∵0<α<π4<β<3π4，∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝－45. ∴c os(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋α＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365. 跟踪训练2 解 ∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45.∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)·sin(α－β) ＝－45×1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝－3365，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)·sin(α－β) ＝－45×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝－6365.例3 解 (1)3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x ) ＝2(cos π6sin x －sin π6cos x )＝2sin(x －π6)．(2)原式＝22[12sin(π4－x )＋32cos(π4－x )] ＝22[sin π6sin(π4－x )＋cos π6cos(π4－x )] ＝22cos(π4－x －π6)＝22cos(π12－x )＝22sin(x ＋5π12)． 跟踪训练3 － 2例4 解 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，因为π2≤x ≤π，所以π3≤x －π6≤5π6.所以12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≤1.所以函数f (x )的值域为[1,2]．跟踪训练4 (1)5π6 (2)[－3，3]当堂训练1.122.cos α3.124.25.2－64。

1 23 4
解析答案
1 23 4
4.已知
A，B
都是锐角，且
tan
A＝13，sin
B＝
55，则
π A＋B＝__4__.
解析 ∵B 为锐角，sin B＝ 55，
∴cos B＝255，∴tan B＝12， ∴tan(A＋B)＝1t－antAan＋AttaannBB＝1－13＋13×21 21＝1.
∵0<A＋B<π，
解析 由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得
tan A＋tan B 1－tan Atan B＝－1，即 tan(A＋B)＝－1，
∵A＋B∈(0，π)，
∴A＋B＝34π，
则
C＝π4，cos
C＝
2 2.
解析答案
3.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为__2_. 解析 (1＋tan A)(1＋tan B) ＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B ＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B ＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝___4___. 解析 (1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25° ＝2. 同理(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2. 故原式等于4.
由条件知 sin
α－cos
α＝tan
α－1＝3，
则tan α＝2. 因为tan(α－β)＝2，
所以tan(β－α)＝－2，故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]