江苏省南京市2013届高三第二次模拟考试数学试题 Word版含答案

浙江省宁波市2013年高考模拟考试数学（理）试题本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式)()()(B P A P B A P +=+Sh V = 如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 Sh V 31=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高k n k k n n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k = 球的表面积公式 棱台的体积公式24R S π= )(312211S S S S h V ++= 球的体积公式 其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积，343V R π= h 表示棱台的高其中R 表示球的半径第I 卷（选择题部分，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合M={-1，0，1}，N={x|x 2≤}，则M ∩N=A ．{0}B ．{0，1}C ．{-1，1}D ．{-1，0}2．函数)4cos()4cos()(ππ--+=x x x f 是 A ．周期为π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的奇函数3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．338B ．3316C ．38D ．3164．已知点P （3，3），Q （3，-3），O 为坐标原点，动点M （x ，y ）满足⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅≤⋅12||12||OM OM OP ，则点M 所构成的平面区域的面积是 A ．12 B ．16 C ．32 D ．645．已知R b a ∈,，条件p ：“a>b ”，条件q ：“122->b a ”，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共12小题。

每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =( ） （A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝（C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3}（2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z = （ ）（A ）-1+i （B ）-1-i （C ）1+i （D ）1-i（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ ）（A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19-（4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。

直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则（ ）（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（ ） （A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A ）11112310++++L （B ）11112!3!10!++++L（C ）11112311++++L （D ）11112!3!11!++++L（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分 别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四 面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设a=log 36，b=log 510，c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) 14 (B) 12(C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是 （A ）∃x α∈R,f(x α)=0 （B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形 （C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =（11）设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x （C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x （12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）(B)211,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭( C) 211,23⎛⎤- ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

南京市2023届高三年级第二次模拟考试数学参考答案2023.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．B2．C3．B4．A5．C6．D7．A8．D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9．BD10．AB11．BCD12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．114．x 23(α＝p q ，其中p 为偶数，p q 为既约分数，0＜pq＜1)15．5916．17；6717．（本小题满分10分）已知f (x )＝sin ωx －3c os ωx ，ω＞0．（1）若函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，求f (3π2)的值；（2）若函数f (x )的图象关于(π3，0)对称，且函数f (x )在[0，π4]上单调，求ω的值．解：(1)f (x )＝sin ωx －3c os ωx ＝2(12sin ωx －32cos ωx )＝2sin(ωx －π3)．························1分（①f (x )＝-2cos(ωx ＋π6)以下得分段相同；②化简错误或不化简此段不给分，以下按照对应分数段给分。

）因为函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π，则2π|ω|＝π，ω＞0，故ω＝2，·····················2分所以f (x )＝2sin(2x －π3)，则f (3π2)＝2sin(3π－π3)＝2sin π3＝3．·······················································1分(2)因为函数f (x )的图象关于(π3，0)对称，所以2sin(ω·π3－π3)＝0，即sin(π3ω－π3)＝0，所以π3ω－π3＝k π，即ω＝3k ＋1，k ∈Z ．···················································2分当x ∈[0，π4]，则ωx －π3∈[－π3，ωπ4－π3]．因为函数f (x )在[0，π4]上单调，所以ωπ4－π3≤π2，则ω≤103，故0＜ω≤103．···················································································2分由0＜3k ＋1≤103，解得－13＜k ≤79．又k ∈Z ，所以k ＝0，所以ω＝1．······················································································2分（①利用T 2＞π4，得0＜ω≤4，也可得2分；②ω＝1或4，若未说明单调性舍解则扣1分）解：（1）方法1因为(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，所以(n －2)S n ＋1＋2(S n ＋1－S n )＝nS n ，即nS n ＋1＝(n ＋2)S n ，··············································································2分所以S n ＋1S n ＝n ＋2n.当n ≥2时，S n ＝S n S n －1·S n －1S n －2····S 2S 1·S 1＝n ＋1n －1·n n －2·n －1n －3···42·31×2＝n (n ＋1)．又n ＝1时，上式也成立，所以S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．····································2分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .又n ＝1时，上式也成立，所以a n ＝2n (n ∈N *)．··············································································2分【注】若n ＝1两次都不检验，扣1分，检验一次不扣分．方法2因为(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，所以n (S n ＋1－S n )－2(S n ＋1－a n ＋1)＝0，所以2S n ＝na n ＋1，①···············································································2分所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n ，②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n (n ≥2)，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1(n ≥2)，········································································2分所以a n ＋1a n ＝n ＋1n(n ≥2)，在①中令n ＝1得2a 1＝a 2，又a 1＝2，所以a 2＝4，所以当n ≥3时，a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2...a 3a 2.a 2＝n n －1.n －1n －2 (3)24＝2n ，又n ＝1和2时，上式也成立，所以a n ＝2n (n ∈N *).···············································································2分【注】若没求出a 2＝4，扣1分．方法3因为(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，所以n (S n ＋1－S n )－2(S n ＋1－a n ＋1)＝0，所以2S n ＝na n ＋1，①···············································································2分所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n ，②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n (n ≥2)，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1(n ≥2)，········································································2分所以a n ＋1a n ＝n ＋1n (n ≥2)，即11n n a a n n+=+，在①中令n ＝1得2a 1＝a 2，又a 1＝2，所以a 2＝4，则12212n n a a an n -====- ，故a n ＝2n (n ≥2)又n ＝1和2时，上式也成立，所以a n ＝2n (n ∈N *).···············································································2分【注】若没求出a 2＝4，扣1分．法4：因为(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，①所以当n ≥2时，(n －3)S n ＋2a n ＝(n －1)S n －1，②①－②得(n －2)S n ＋1－(2n －3)S n ＋(n －1)S n －1＋2a n ＋1－2a n ＝0，即(n －2)(S n ＋1－S n )－(n －1)(S n －S n －1)＋2a n ＋1－2a n ＝0，……………………………2分即(n －2)a n ＋1－(n －1)a n ＋2a n ＋1－2a n ＝0，即na n ＋1＝(n ＋1)a n (n ≥2).……………………………………………………………2分以下同法2或法3.法5：因为(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，所以(n －2)S n ＋1＋2(S n ＋1－S n )＝nS n ，所以nS n ＋1＝(n ＋2)S n ，……………………………………………………………2分所以S n ＋1n ＋2＝S n n ，所以S n ＋1(n ＋1)(n ＋2)＝S n n (n ＋1)，所以{S nn (n ＋1)}是常数列，所以S n n (n ＋1)＝S 12＝1，即S n ＝n (n ＋1).…………………………………2分所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .又n ＝1时，上式也成立，所以a n ＝2n (n ∈N *).…………………………………2分【注】若n ＝1不检验，扣1分．（2）由（1）知1a 12＋1a 22＋…＋1a n 2＝14×(112＋122＋…＋1n 2)．方法1因为当n ≥2时，1n 2＜1n 2－1=1n －1－11n +．·······································2分当n ≥2时，112＋122＋132＋…＋1n 2＜112＋122－1＋132－1＋…＋1n 2－1＝1＋12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－11n +)····················2分＝1＋12(1＋12－1n －1n ＋1)＜74，当n ＝1时，上式也成立，故112＋122＋132＋…＋1n 2＜74，所以1a 12＋1a 22＋···＋1a n 2＜716．···································································2分方法2因为1n 2＜1n (n －1)＝1n －1－1n (n ≥2)，···························································2分当n ≥3时，112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n)····························2分＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74，当n ＝1，2时，上式也成立，故112＋122＋132＋…＋1n 2＜74，所以1a 1＋1a 2＋···＋1a n ＜716．······································································2分方法3因为2211111()44122121n n n n <=---+．················································2分当n ≥2时，22212111n a a a ++ <111111114235572121n n ⎛⎫+-+-++- -+⎝⎭ =111151542321122112n n ⎛⎫+-=-< ⎪++⎝⎭·································2分因为571216<，当n ＝1时，1a 12＝14＜716成立.所以1a 12＋1a 22＋···＋1a n 2＜716．···································································2分法4：因为当n ≥2时，1n 2＝44n 2＜44n 2－1＝2(12n －1－12n ＋1)，……………………2分所以1a 12＋1a 22＋…＋1a n 2＜14[1＋2(13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1)]………………2分＝14[1＋2(13－12n ＋1)]＜512＜716.当n ＝1时，1a 12＝14＜716成立.综上，对一切正整数n ，有1a 12＋1a 22＋···＋1a n 2＜716．……………………………2分补充说明：第二问放缩式子的2分没单独写出来，写在和式中，仍然得2分；后面n ＝1不检验不扣分。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题】和第Ⅱ卷（非选择题】两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分】一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1】已知集合M=｛x|(x-1)2< 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =( 】 （A 】｛0，1，2｝ （B 】｛-1，0，1，2｝ （C 】{-1，0，2，3} （D 】{0，1，2，3} （2】设复数z 满足（1-i 】z=2 i ，则z =（ 】 （A 】-1+i（B 】-1-i（C 】1+i（D 】1-i（3】等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ 】 （A 】13 （B 】13- （C 】19 （D 】19- （4】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。

直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则（】（A 】α∥β且l ∥α（B 】α⊥β且l ⊥β（C 】α与β相交，且交线垂直于l（D 】α与β相交，且交线平行于l（5】已知（1+ɑx 】(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（ 】 （A 】-4（B 】-3（C 】-2 （D 】-1（6】执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A 】11112310++++ （B 】11112!3!10!++++ （C 】11112311++++ （D 】11112!3!11!++++（7】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分 别是（1，0，1】，（1，1，0】，（0，1，1】，（0，0，0】，画该四 面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视 图可以为(A) (B)(C)(D)（8】设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A 】c ＞b ＞a （B 】b ＞c ＞a （C 】a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9】已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) 14 (B) 12(C)1 (D)2（10】已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是 （A 】∃x α∈R,f(x α)=0（B 】函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C 】若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α】单调递减（D 】若x 0是f （x 】的极值点，则()0'0f x =（11】设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2】，则C 的方程为（A 】y 2=4x 或y 2=8x （B 】y 2=2x 或y 2=8x（C 】y 2=4x 或y 2=16x （D 】y 2=2x 或y 2=16x（12】已知点A （-1，0】；B （1，0】；C （0，1】，直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A 】（0，1】(B)112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭( C) 113⎛⎤ ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。