第三章随机过程

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第三章随机过程

第三章随机过程第三章随机过程1.什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？它们之间有什么关系？答：宽平稳随机过程：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与时间间隔相关称之为宽平稳随机过程。

严平稳随机过程：若一个随即过程任何的n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，则之为严平稳随机过程。

一个严平稳随机过程，只要他的均值有界则必然是宽平稳的；反之不然。

2.平稳随机过程的自然相关函数具有什么特点？答：平稳随机过程的自然相关函数与时间起点无关，只与时间间隔有关，而且是偶函数。

3.什么是高斯噪声？什么是白噪声？它们各有什么特点？答：高斯噪声：概率密度函数符合正态分布的噪声。

高斯噪声的特点：它的n维分布仅由各随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数决定。

若高斯噪声是宽平稳，则也是严平稳的。

若随机变量之间互不相关，则也是统计独立的。

白噪声：功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声，属于一种理想宽带过程。

白噪声的特点：白噪声只在tao=0时才是相关的，而在其他任意时刻上的随机变量都不相关。

4.什么是窄带随机过程？它的频谱和时间波形有什么特点？答：如果随机过程的频谱密度分布在一个远离零频的很窄的频率范围内，则称其为窄带随即过程。

其频谱分布特点是带宽远小于中心频率，时间波形上的特点是呈现出包络和相位随机缓慢变化的正弦波。

5.什么是窄高斯噪声？他在波形上有什么特点？它的包络和相位各服从什么概率分布？答：窄带高斯噪声：若一个高斯噪声满足窄带条件，即其带宽远远小于中心频率，而且中心平率偏离零频很远，则称之为窄带高斯噪声。

其波形上的特点是包络和相位都像一个缓慢变化的正弦波。

其包络的一维分布服从瑞利分布，其相位的一维分布服从均匀分布。

6.何为高斯白噪声？它的概率密度函数、功率频谱密度如何表示？答：如果白噪声取值的概率密度分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声，其概率密度函数为高斯函数，其功率谱密度为常数。

3_随机过程

σ 2 = R (0) − R (∞ )

以相关函数表示随机过程的物理特性
ξ (t )的总功率：S = E[ξ 2 (t )] = R(0) ξ (t )的直流功率：a 2 = E 2 [ξ (t )] = R(∞) ξ (t )的交流功率：σ 2 = R(0) − R(∞)
−∞ −∞
∫
∞
[ x1 − a (t1 )][ x2 − a (t 2 )] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) dx1dx 2

自相关函数
R (t1 , t 2 ) = E[ξ (t1 )ξ (t 2 )] =

∫ ∫
∞
∞
−∞ −∞
x1 x 2 f 2 ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) dx1 dx 2

随机变量的概念

定义：一个随机变量是从试验的样本空间到实数集的函数，即一个随机变量对每个可能的结果指派一个实数值在随机试验E中，对于随机变量X，只关心它的取值范围和概率分布随机变量包括离散型和连续型

随机变量的概率分布

分布函数 X是随机变量，x是任意实数，定义 F ( x) = P{ X ≤ x} 称为X的分布函数概率密度函数 X是连续型随机变量，f(x)为X的概率密度
f ( x)
1 b − a f ( x) = 0
a< x<b else
1 b−a
0
a
b
x

高斯分布（正态分布）
( x−a )2 2σ 2
− 1 f ( x) = e 2π σ
1 2π σ
f ( x)
−∞ < x < ∞

(解答)《随机过程》第三章习题

义随机过程 Z (t) X (t) Y (t), t 0 ，且令： pn (t) P{Z (t) n}。
（1）试求随机过程{Z (t); t 0}的均值函数 E{Z (t)}和二阶矩 E{Z 2 (t)} ；

（2）试证明： pn (t)u n exp{(1 2 )t } exp{1ut 2u 1t }。 n
P{X (s) i}
P{N (s) 2(i 1)}
P{N (s) 2(i 1)}P{N (t s) 2( j i)} [(t s)]2( ji) e(ts) ; ( j i, t s)
P{N (s) 2(i 1)}
[2( j i)]!

lim
h0
Pt
2

h 2

S2

t2

h 2 ,t5 h2

h 2

S5

t5

h
2

5 2
t2 (t5
t2 )2 et5
,
0 t2 t5
（2）由于{N (t) 1} {S1 t} ，由泊松过程与指数分布的关系可知，在{S1 t} 条件下， S1 的分布密度函数为
（3）由于{N (t) 1} {S1 t S2} ，令： 0 t1 t t2 ，取充分小的 h1, h2 0 ，
使得： t1 h1 t1 t t2 h2 t2 ，由
t1 h1 S1 t1, t2 h2 S2 t2 N t1 h1 0, N t1 N t1 h1 1,
3、设{N1 (t); t 0}和{N 2 (t); t 0} 是相互独立的 Poisson过程,其参数分别为 1 和 2 ．若 N0 (t) N1 (t) N 2 (t) ，问: （1） {N0 (t); t 0} 是否为 Poisson 过程，请说明理由；（2） {N0 (t); t 0} 是否为平稳过程，请说明理由。解：（1）由于 N 0 (t) 的状态空间为 S {,1, 0,1,} ，因此 N 0 (t) 不是计数过程，更

第三章通信原理随机过程

或随机过程的一次实现。全部样本函数构成的总
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义：随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )

B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分，通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有相同的条件而输出相同的波形。恰恰相反，即使n足够大，也找不到两个完全相同的波形。这就是说，通信机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录，都是一个确定的时间函
数，xi 称t 之为样本函数
式中是一个离散随机变量，且
P

、0
1 2
P 2，试12求和E 1。 R 0,1

第3章-通信原理-随机过程

第3章随机过程3.1 随机过程基本概念自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：(1) 确定性过程：其变化过程具有确定的形式，数学上可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。

(2) 随机过程：没有确定的变化形式。

每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。

数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。

随机信号和噪声统称为随机过程。

1. 随机过程的分布函数随机过程定义：设S k(k=1, 2, …)是随机试验。

每一次试验都有一条时间波形(称为样本函数)，记作x i(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)，…, x n(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。

无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。

随机过程具有随机变量和时间函数的特点。

在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。

在一个固定时刻t1，不同样本的取值x i(t1)是一个随机变量。

随机过程是处于不同时刻的随机变量的集合。

设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。

随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。

把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率记为F1(x1, t1)，即如果F1对x1的导数存在，即ξ (t)样本函数的总体（随机过程）11{()}P t xξ≤11111(,){()}F x t P t xξ=≤称为ξ(t)的一维概率密度函数。

同理，任给t 1, t 2, …, t n ∈T, 则ξ(t)的n 维分布函数被定义为为ξ(t)的n 维概率密度函数。

2. 随机过程的数字特征用数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。

数字特征是指均值、方差和相关系数。

是从随机变量的数字特征推广而来的。

(1) 数学期望（均值）表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心，即均值。

积分是对x 进行的，表示t 时刻各个样本的均值，不同时刻t 的均值构成摆动中心。

随机过程第三章

2
定义3.2：称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ >0的泊松过程，若它满足下列条件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是独立增量过程； 3. 在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λ>0的泊松分布，即对任意s,t≥0，有 n t ( t )
P{ X (t s ) X ( s ) n} e n! , n 0,1,
16
复合泊松过程
定义：设{N(t),t≥0}是强度为λ 的泊松过程，{Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量，且与{N(t),t≥0}独立，令
N (t )
X (t )
Y ,
k k 1
t0
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。 N(t) Yk X(t) 在时间段(0,t]内来到商店的顾客数第k个顾客在商店所花的钱数该商店在(0,t]时间段内的营业额
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
例如： •电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数； •火车站某段时间内购买车票的旅客数； •机器在一段时间内发生故障的次数；
4
定理 3.1：定义3.2和定义3.3是等价的。证明
13
非齐次泊松过程
允许时刻t的来到强度是t的函数定义：称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ (t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是独立增量过程； 3. P{ X (t h) X (t ) 1} (t )h o(h)
P{W1 s | X (t ) 1 ? }
分布函数
0, s FW1| X (t ) 1 (s) , t 1,

随机过程第三章泊松过程

随机过程第三章泊松过程泊松过程是随机过程中的一类重要过程，在许多领域都有广泛应用，如排队论、可靠性分析、金融工程等。

泊松过程的概念由法国数学家泊松提出，它具有无记忆性、独立增量和平稳增量等重要特征。

在本文中，我们将介绍泊松过程的定义、性质以及一些实际应用。

泊松过程的定义：设N(t)是在区间[0,t]内发生的事件个数，若满足以下三个条件，则称N(t)是具有独立增量和平稳增量的泊松过程：1.N(0)=0，表示在时间0之前没有事件发生；2.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布只与时间间隔t-s有关，与s时刻之前的事件个数无关，这表明泊松过程具有无记忆性；3.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布是一个参数为λ(t-s)的泊松分布，其中λ是过程的强度参数。

泊松过程具有很多重要的性质。

首先，泊松过程的均值和方差等于其强度参数λ。

其次，泊松过程的增量独立，即在非重叠区间上的增量相互独立。

此外，泊松过程的时间间隔也是独立同分布的指数分布。

泊松过程具有广泛的应用。

在排队论中，泊松过程可用于描述到达队列的顾客数量。

在可靠性分析领域，泊松过程可用于描述设备的故障次数。

在金融工程中，泊松过程可用于模拟股票价格的变动和交易的发生。

在实际应用中，对于给定的泊松过程，我们通常感兴趣的是估计其强度参数λ。

常用的估计方法有最大似然估计和矩估计。

最大似然估计通过最大化观测到的事件发生次数和估计的事件发生率之间的似然函数，来估计λ的值。

矩估计则是通过将观测到的事件个数的平均值等于λ的估计值，来确定λ的值。

此外，在泊松过程的应用中，我们还可能遇到泊松过程的两个重要扩展：非齐次泊松过程和二维泊松过程。

非齐次泊松过程是指强度参数λ是时间的一个函数，而不是常数。

二维泊松过程是指同时考虑两个独立的泊松过程，其事件发生次数可能影响到对方的发生次数。

综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有无记忆性、独立增量和平稳增量等特征。

随机过程第三章课件

（3）该过程为平稳增量过程；
（4）在 t , t t 内出现一个事件的概率为t ot（当 t 0 时）
为 ot ，即 P N t t N t 2 ot
则称该计数过程为泊松过程。
为一常数；在 t , t t 内出现事件二次以及二次以上的概率
st
，则 N s N t
3.2 泊松过程
【二】泊松过程:
【定义一】泊松过程设 N t , t 0 为计数过程，其状态取非负整数，并满足下列假设：
（1）从 t 0 起开始观察事件，即 N 0 0
和 N t4 N t3 是相互统计独立的；
（2）该过程是独立增量过程，即当 0 t1 t2 t3 t4 时，N t2 N t1
FSn
t k et t 0 t PSn t PN t n

f Sn t
dFSn t dt
t n1 t 0 e t n 1!
k n
k!
3.3 有关泊松过程的几个问题
【三】到达时间的条件分布:
设泊松过程 N t , t 0 ，如果已知在 0, t 内有一个 A 事件出现，问这一事件到达时间的分布如何？
PT1 s, N t 1 PN s 1, N t N s 0 PN t 1 PN t 1 PN s 1PN t N s 0 PN t 1
（1）从 t 0 起开始观察事件，即 N 0 0
和 N t4 N t3 是相互统计独立的；
（2）该过程是独立增量过程，即当 0 t1 t2 t3 t4 时，N t2 N t1

周荫清《随机过程理论》第3章随机过程的线性变换

周荫清《随机过程理论》第3章随机过程的线性变换随机过程的线性变换是随机过程理论中的重要概念，它在对随机过程进行分析和应用时起到了重要的作用。

本文将对周荫清《随机过程理论》第3章的内容进行详细介绍和解析。

随机过程的线性变换是指将一个随机过程通过线性变换得到另一个随机过程的过程。

具体而言，设X(t)是一个随机过程，A是一个常数矩阵，b是一个常向量，定义随机过程Y(t)=AX(t)+b，则Y(t)是X(t)的线性变换。

首先，本章介绍了随机过程的线性变换的性质。

线性变换保持了从一个状态到另一个状态的概率转移，即P{X(t2)∈B，X(t1)∈A}=P{Y(t2)∈B，Y(t1)∈A}，其中B和A是任意集合。

这个性质保证了线性变换后的随机过程依然具有一些重要的性质，如马尔可夫性和平稳性。

接着，本章介绍了线性变换对随机过程的均值和自协方差函数的影响。

对于均值，线性变换后的随机过程的均值等于线性变换前随机过程的均值乘以线性变换矩阵的转置，即E[Y(t)]=AE[X(t)]+b。

对于自协方差函数，线性变换后的随机过程的自协方差函数等于线性变换前随机过程的自协方差函数乘以线性变换矩阵的转置，即R_Y(t1,t2)=AR_X(t1,t2)A^T。

然后，本章介绍了随机过程的线性滤波。

线性滤波是将一个随机过程通过滤波器的作用得到另一个随机过程的过程。

具体而言，设X(t)为一个随机过程，h(t)为一个给定的函数，则线性滤波得到的随机过程Y(t)定义为Y(t) = ∫h(t-s)X(s)ds。

本章介绍了线性滤波的定义和性质，包括线性滤波的线性性质和稳定性。

最后，本章介绍了随机过程的线性变换和线性滤波的应用。

线性变换和线性滤波方法常被用于模拟和预测随机过程以及信号处理等领域。

本章通过实例和应用案例，详细介绍了如何使用线性变换和线性滤波方法进行随机过程的分析和应用，如求解线性滤波器的响应和输出等。

总之，周荫清《随机过程理论》第3章详细介绍了随机过程的线性变换的概念、性质、影响以及应用。

随机过程第三章

Tn 的概率密度函数： Tn 的特征函数：
fTn (t ) e t u (t )
ΦTn (t )
j
D[Tn ] 1 2
Tn 的数字特征：
E[Tn ] 1 ,
时间间隔Tn

证明：首先注意到事件{T1>t}发生当且仅当泊松过程在区间[0,t]内没有事件发生，因而
假设在假设在0内事件内事件aa已经发生一次确定这一事件到已经发生一次确定这一事件到达时间达时间w11的分布的分布定理定理设设x是泊松过程已知在是泊松过程已知在0tt内事件内事件aa发生发生nn次则这次则这nn次到达时间次到达时间ww11ww22wwnn与相应与相应于于nn个个0tt上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布有相同的分布二项分布例例22设在设在内事件内事件aa已经发生已经发生n内事件内事件aa发生发生k次的概率
[二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的次数，则 X ~ B (n, p)
n P( X k ) p k q n k k
E ( X ) np, D( X ) npq
[泊松定理] 在二项分布中，设 np= 是常数，则有
lim P( X
n
“我建立了描述随机现象的一种概率分布.”── 泊松
泊松简介
泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用。他工作的特色是应用数学方法研究各类力学和物理问题，并由此得到数学上的发现。他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。泊松是19世纪概率统计领域里的卓越人物.他改进了概率论的运用方法，特别是用于统计方面的方法，建立了描述随机现象的一种概率分布──泊松分布.他推广了“大数定律”，并导出了在概率论与数理方程中有重要应用的泊松积分.他是从法庭审判问题出发研究概率论的，1837年出版了他的专著《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》.

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第三章随机过程

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