2011考研数学线性代数 (2)

考研数学二-线性代数向量(总分116, 做题时间90分钟)一、选择题1.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则SSS_SINGLE_SELA 当m＞n时，必有行列式|AB|≠0．B 当m＞n时，必有行列式|AB|=0．C 当n＞m时，必有行列式|AB|≠0．D 当n＞m时，必有行列式|AB|=0．2.设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为SSS_SINGLE_SELA向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表出．B向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表出．C向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价．D矩阵A=[α1，α2，…，αm]与矩阵B=[β1，β2，…，βm]等价．3.已知向量组Ⅰ：α1，α2，α3，α4线性无关，则与Ⅰ等价的向量组是SSS_SINGLE_SEL Aα1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1．Bα1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1．Cα1+α2，α2-α3，α3+α4，α4-α1．Dα1-α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1．4.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是SSS_SINGLE_SEL Aα1+α2，α2+α3，α3-α1．Bα1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3．Cα1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1．Dα1+α2+α3，2α1-3α2+22α3，3α1+5α2-5α3．5.设向量组Ⅰ：α1，α2，…，α3，Ⅱ：α1，α2，…，αs，…，αs+r，则必有SSS_SINGLE_SELA Ⅰ相关Ⅱ相关．B Ⅰ无关Ⅱ无关．C Ⅱ相关Ⅰ相关．D Ⅱ相关Ⅰ无关．6.设向量组Ⅰ：α1=[α11，α21，…，αn1]，α2=[α12，α22，…，αn2]，…，αs-[α1s ，α2s，…，αns]，Ⅱ：β1=[α11，α21，…，αn1，…，αn+r,1]，β2=[α12，α22，…，αn2，…，αn+r,2]，…，βs=[α1s，α2s，…，αns，…，αn+r,s]，则必有SSS_SINGLE_SELA Ⅰ相关Ⅱ相关．B Ⅰ无关Ⅱ无关．C Ⅱ无关Ⅰ无关．D Ⅱ无关Ⅰ相关．7.若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则SSS_SINGLE_SELA α必可由β，γ，δ线性表出．B β必不能由α，γ，δ线性表出．C δ必可由α，β，γ线性表出．D δ必不能α，β，γ线性表出．二、填空题8.设三阶矩阵，三维列向量，已知Aα与α线性相关，则a=______．SSS_FILL9.设向量组α1=[2，1，1，1]，α2=[2，1，a，a]，α3=[3，2，1，a]，α4=[4，3，2，1]线性无关，则a应满足条件______．SSS_FILL10.设α1=[1，0，0，1]，α2=[1，2，4，1]，α3=[3，2，1，3]，α4=[4，3，2，1]，α5=[2，5，5，2]，则r(α1，α2，，…，α5)=______．SSS_FILL11.已知，r(AB)=2，则a=______．SSS_FILL12.设齐次线性方程组A23X=0有基础解系ξ1，ξ2，向量β1，β2=[1，2，3]都与ξ1，ξ2正交，则β1=______．SSS_FILL13.设α1=[1，2，3]T，α2=[3，x，-1]T，α3=[1，y，3]T，是两两正交向量组，则x，y分别是______．SSS_FILL14.设是正交矩阵，则a，b，c，d应满足关系______．SSS_FILL三、解答题15.设向量组α1=[1，1，3，1]，α2=[1，1，-1，3]，α3=[5，-2，7，9]，α4=[1，2，-5，5]．问α1，α2，α3，α4是否线性无关，若线性无关，说明理由；若线性相关．求出不全为零的线性组合系数使其线性组合为零．SSS_TEXT_QUSTI16.设α1=[1，2，0]，α2=[1，a+2，-3a]，α3=[-1，-a-2，3a]，β=[1，3，-3]，问a为何值时，β不能由α1，α2，α3线性表出；a为何值时，β可由α1，α2，α3线性表出，并求其表出式．SSS_TEXT_QUSTI17.设α1=[1，3，1，2]，α2=[2，5，3，3]，α3=[0，1，-1，a]，β=[3，10，b，4]，问a，b满足什么条件时，β不能由α1，α2，α3线性表出；a，b满足什么条件时，β可由α1，α2，α3线性表出，并求其表出式．SSS_TEXT_QUSTI 18.设向量组α1，α2，…，αn线性无关，证明向量组也线性无关．SSS_TEXT_QUSTI 19.设向量组α1，α2，…，α3线性无关，设β=b1α1+b2α2+…+bsαs，如果对于某个i(1≤i≤s)，bi ≠0，用β替换αi，则新得到的向量组α1，α2，…，αi-1，β，αi+1，…，αs也线性无关．SSS_TEXT_QUSTI 20.设A是n阶方阵，列向量组α1，α2，…，αn线性无关，证明：列向量组Aα1，Aα2，…，Aαn线性无关的充要条件是A为可逆矩阵．SSS_TEXT_QUSTI21.设向量组α1=[1，-1，2，4]，α2=[0，3，1，2]，α3=[3，0，7，14]，α4=[1，-1，2，0]，α5=[2，1，5，6]．求向量组的秩、极大线性无关组，并将其余向量由极大线性无关组线性表出．SSS_TEXT_QUSTI已知向量组Ⅰ：α1，α2，α3，Ⅱ：α1，α2，α3，β，Ⅲ：α1，α2，α3，γ，且它们的秩分别为r(Ⅰ)=3，r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，证明：向量组α1，α2，α3，γ-β线性无关．22.A是n阶方阵，满足A2=A，证明：r(A) +r(A-E)=n．SSS_TEXT_QUSTI23.用施密特标准正交化方法将下列向量组化成标准正交向量组．α1=[1，-1，1]T，α2=[-1，1，1]T，α3=[1，1，-1]T．SSS_TEXT_QUSTI24.已知n维向量组α1，α2，…，αn-1线性无关，非零向量β与αi(i=1，2，…，n-1)正交，证明：i，β线性无关．SSS_TEXT_QUSTI25.设α=[a1，a2，…，an]≠0，证明：是正交阵．SSS_TEXT_QUSTI 1。

2011考研数学三大纲考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟.二、答题方式答题方式为闭卷、笔试.三、试卷内容结构微积分56%线性代数22%概率论与数理统计22%四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题8小题，每题4分，共32分填空题6小题，每题4分，共24分解答题(包括证明题) 9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性复合函数.反函数.分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念.6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法.7.理解无穷小的概念和基本性质.掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系.8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理.介值定理)，并会应用这些性质.二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数.反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性.拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念)，会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日( Lagrange)中值定理.了解泰勒定理.柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用.6.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数.当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨(Newton- Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常(广义)积分定积分的应用考试要求1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.2.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法.3.会利用定积分计算平面图形的面积.旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题.4.了解反常积分的概念，会计算反常积分.四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值.最大值和最小值二重积分的概念.基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数.4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题.5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标.极坐标).了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算.五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径.收敛区间(指开区间)和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1.了解级数的收敛与发散.收敛级数的和的概念.2.了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法.3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法.4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域.5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数.6.了解. . . 及的麦克劳林(Maclaurin)展开式.六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程.齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式.指数函数.正弦函数.余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.7.会用微分方程求解简单的经济应用问题.线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法.5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则.三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1.了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则.2.理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系.5.了解内积的概念.掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆(Cramer)法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组(导出组)的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组.2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法.3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法.2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念.2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形.3.理解正定二次型.正定矩阵的概念，并掌握其判别法.概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1.了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算.2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等.3.理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1.理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用.3.掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为5.会求随机变量函数的分布.三、多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1.理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质.2.理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布.3.理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系.4.掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义.5.会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布.四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫(Chebyshev)不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.2.会求随机变量函数的数学期望.3.了解切比雪夫不等式.五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利(Bernoulli)大数定律辛钦(Khinchine)大数定律棣莫弗—拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理列维—林德伯格(Levy-Lindberg)定理考试要求1.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律).2.了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理(二项分布以正态分布为极限分布)、列维—林德伯格中心极限定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率.六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1.了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2.了解产生变量、变量和变量的典型模式;了解标准正态分布、分布、分布和分布上侧分位数，会查相应的数值表.3.掌握正态总体的样本均值.样本方差.样本矩的抽样分布.4.了解经验分布函数的概念和性质.七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1.了解参数的点估计、估计量与估计值的概念.2.掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法.。

中国科学院研究生院2011年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效 。

1.（20分）设p q是既约分数，1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，而且()0.pf q=证明 （1）0|p a ，而|n q a ； （2）对任意整数m ，有()|()p mq f m -.110()0 ())|(). , ()()(), n n p p f x f x qx p f x p q qx pq q f x qx p b x b --⎛⎫=--- ⎪⎝⎭=-++证明：由知,在有理数域上，，从而（因为互素，是一个本原多项式，故可设101000 (I),, |, |.n n n n b b a qb a pb q a p b --==-式中，，都是整数，比较两边系数，即得因此（2）由（I ）立得，对任意整数m ，有()|()p mq f m -.2. (20分) 设n 阶方阵1,(||)n i j n A i j ≤≤=-, 其行列式记为n D . 试证明 12440.n n n D D D --++= 并由此求出行列式n D . 证明：1211012.2131230n n n D n n n n --=---- 将第3行加到第1行，再减去第2行的2倍，得0200112210122013(2).213314123134n n n n D n n n n n n n n ---==---------再将第2列加到第1列，得1221222013(2)41424340012221222013013 (2)(2)414014243403444.n n n n n D n n n n n n n n n n n n n n n D D ----=---------=-+--------=-- 即12440.n n n D D D --++=上述差分方程的特征方程2440λλ++=有二重特征根2，故可设12()(2).n n D c nc =+-由120,1D D ==-可定出1211,44c c ==-．从而2(1)(2)n n D n -=---．3. (16分) 已知二阶矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征多项式为2(1)λ-，试求 20112011.AA -220111201111011A (1)A .0101101020100=2011.0101020101111=01011 2011A A A A A X AX A A X λ--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-=解：由的特征多项式为可知的Jordan 标准形为或如果的Jordan 标准形为，那么，这时如果的Jordan 标准形为，则有可逆矩阵X,使，这时20111111111201111010101012010020100 .0201002010X X X X X X X ---⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-2011-20114.（20分）设,,αβγ是3维线性空间V 的一组基，线性变换A 满足(+2+)=(3+4)=(4+5)=αβγαβγββγγ⎧⎪⎨⎪⎩A A A ,,.试求A 在基,2,αβγγ+下的矩阵.解：由题设知+2+=3+4=4+5=αβγαβγββγγ⎧⎪⎨⎪⎩,,.A A A A A A A 从而可求出+65,=-5+4,=43.ααβγββγγβγ=--A A A 于是有+65+3(2+)8,(2+)=6+53(2+)8,=432(2+)5.ααβγαβγγβγβγβγγγβγβγγ=-=--=-+-=-A A A所以A 在基,2,αβγγ+下的矩阵为100332885⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 5. (24分) 已知矩阵222254245-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A .(1) 求A 的特征多项式, 并确定其是否有重根; (2) 求一个正交矩阵P , 使得1PAP -为对角矩阵;(3) 令V 是所有与A 可交换的实矩阵全体,证明V 是一个实数域上的线性空间,并确定V 的维数. 解：（1）A 的特征多项式 2()||(1)(10).f E A λλλ=-=--（2）0122333P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，11110PAP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （3）设12,,B B V k R ∈∈，则1122,,AB B A AB B A ==从而 121211()(),()()A B B B B A A kB kB A +=+=，即121,B B V kB V +∈∈．又显然0V ∈，所以V 是的33R ⨯的一上线性子空间，从而是实数域上的线性空间．由1111PAP PBP PBP PAP ----=，11110PAP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，得 11121212233b b PBP b b b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 所以V 是5维的，111111112212233,,,,P E P P E P P E P P E P P E P -----就是V 的一组基.6. (20分) 设,A B 是两个n 阶复方阵,1n >. (1) 如果AB BA =, 证明,A B 有公共的特征向量;(2) 如果AB BA B μ-=, 其中μ是一个非零复数,那么,A B 是否会有公共的特征向量?回答“是”请给出证明；回答“否”请给出反例. 证明 在nC 中定义线性变换,στ，使(),(),.n x Ax x Bx x C στ==∈则,στ的特征向量分别是,A B 的特征向量．（1）由AB BA =知σττσ=.设0λ是σ的特征值，00{|(),}nV x x x x C λσλ==∈. 对任意0V λα∈，(())()σταστα=()τσα=0(())()τσαλτα==，因而0()V λτα∈，即0V λ是τ的不变子空间．考虑0|V λτ，它是0V λ的一个线性变换，在复数域C 上必有特征值μ，即存在,0V λξξ∈≠，使()τξμξ=．由于0V λξ∈，故ξ是,στ的公共的特征向量，它也是,A B的公共特征向量．（2）AB BA B μ-=知σττσμτ-=，用数学归纳法容易证明对任意的正整数k ，有k k kk σττσμτ-=，于是有()()0k k ktr k tr μτσττσ=-=，从而0.ktr τ= 所以τ为幂零变换，即有正整数m 使0.mτ=这样0就是τ的特征值，设0{|()0}V ατα==，则对任意0V α∈有(())()()()0τσατσασταμτα==-=，即0()V σα∈．就是说0V 是σ的不变子空间．与(1)类似可证,στ有公共的特征向量，它也是,A B 的公共特征向量． 7. (15分) 设A 是n 阶实方阵,其特征多项式有如下分解 1212()det()()()(),s r rrs p E A λλλλλλλλ=-=---其中E 为n 阶单位方阵,诸i λ两两不相等. 试证明A 的Jordan 标准形中以i λ为特征值的Jordan 块的个数等于特征子空间i V λ的维数. 证明：设A 的Jordan 标准形为11rr t J J J J +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中j J 为j j n n ⨯Jordan 块，1,...,j t =．1,...,r J J 是以i λ为特征值的全部Jordan 块. 则 1,1;(),1.j i j j j n j r rank E J n r j t λ-≤≤⎧-=⎨+≤≤⎩于是1()()().ti i ijj j rank E A rank E J rank EJ n r λλλ=-=-=-=-∑ 所以特征子空间i V λ的维数为r ，恰为A 的Jordan 标准形中以i λ为特征值的Jordan 块的个数.8. (15分) 设A 是n 阶实方阵,证明A 为实对称矩阵当且仅当2TAA A =, 其中TA 表示矩阵A 的转置.证明：必要性．当A 为实对称矩阵时，显然有2TAA A =．充分性．当2T AA A =时，()()()()()T T T T T T T T T T T T T TTr A A A A Tr AA AA A A A A Tr A A A A Tr A A A A --=--+=-=- ()()0TTTr A A AA Tr AA AA =-=-=，而T A A -为实矩阵，故0TA A -=，即TA A =．。

全国2011年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设3阶方阵A 的行列式为2，则12A -=( ) A.-1 B.14- C.14D.1 2.设212()222122,323235x x x f x x x x x x x ---=------则方程()0f x =的根的个数为（ ） A.0B.1C.2D.3 3.设A 为n 阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得到方阵B ，若,≠A B 则必有（ ） A.0=A B. 0+≠A B C. 0A ≠ D. 0-≠A B4.设A ,B 是任意的n 阶方阵，下列命题中正确的是（ ）A.222()2+=++A B A AB BB.22()()+-=-A B A B A BC.()()()()-+=+-A E A E A E A ED.222()=AB A B5.设111213212223313233,a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 其中0,0,1,2,3,i i a b i ≠≠=则矩阵A的秩为（ ） A.0 B.1 C.2D.3 6.设6阶方阵A 的秩为4，则A 的伴随矩阵A *的秩为（ ）A.0 B.2 C.3 D.47.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k ，6）正交，则数k 为（ ）A.-10 B.-4 C.3 D.108.已知线性方程组1231231243224x x x x ax x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩无解，则数a =( ) A.12- B.0 C.12 D.19.设3阶方阵A 的特征多项式为2(2)(3),λλλ-=++E A 则=A ( ) A.-18 B.-6 C.6 D.1810.若3阶实对称矩阵()ij a =A 是正定矩阵，则A 的3个特征值可能为（ ）A.-1，-2，-3B.-1，-2，3C.-1，2，3D.1，2，3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.设行列式304222,532D =-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.12.设,,a a b b a a b b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A B 则=AB __________.13.设A 是4×3矩阵且103()2,020,103r ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B 则()r =AB __________.14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr 可由向量组β1，β2，…,βs 线性表示，则r 与s 的关系为__________.16.设方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，且数0,λ<则λ=__________.17.设4元线性方程组x =A b 的三个解α1，α2，α3，已知T 1(1,2,3,4),=αT 23(3,5,7,9),r() 3.+==A αα则方程组的通解是__________.18.设3阶方阵A 的秩为2，且250,+=A A 则A 的全部特征值为__________. 19.设矩阵21100413a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 有一个特征值2,λ=对应的特征向量为12,2x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则数a =__________. 20.设实二次型T 123(,,),f x x x x x =A 已知A 的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设矩阵2323(,2,3),(,,),αγγβγγ==A B 其中23,,,αβγγ均为3维列向量，且18, 2.==A B 求.-A B22.解矩阵方程11101110221011.1104321--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭X23.设向量组α1=（1，1，1，3）T ，α2=（-1，-3，5，1）T ，α3=（3，2，-1，p+2）T ，α4=（3，2，-1，p+2）T 问p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24.设3元线性方程组1231231232124551x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩,（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.25.已知2阶方阵A 的特征值为11λ=及21,3λ=-方阵2.=B A （1）求B 的特征值； （2）求B 的行列式.26.用配方法化二次型2221231231223(,,)22412f x x x x x x x x x x =---+为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(本题6分)27.设A 是3阶反对称矩阵，证明0.=A。