历年考研数学一真题1987-2016
1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分)
(2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A 求矩阵.
B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a
(B )1
a
(C )1n a - (D )n a
九、（本题满分8分）
问,a b 为何值时,现线性方程组
123423423412340
221(3)2321
x x x x x x x x a x x b
x x x ax +++=++=-+--=+++=-
有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)
(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______.
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是
(A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关
(C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示
(D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、（本题满分6分）
已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5
,.A A 八、（本题满分8分）
已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
A 与20000001y ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似. (1)求x 与.y
(2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中
(A )必有一列元素全为0 (B )必有两列元素对应成比例
(C )必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D )任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) 七、（本题满分6分）
问λ为何值时,线性方程组1312312
34226423
x x x x x x x x λλλ+=++=+++=+⎧⎪
⎨⎪⎩有解,并求出解的一般形式.
八、（本题满分8分）
假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值.
(2)λ
A
为A 的伴随矩阵*A 的特征值.
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα 则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组
=AX b 的通解(一般解)必是
(A )1211212()2
k k -+++ββααα
(B )1211212()2
k k ++-+ββααα
(C )1211212()2
k k -+++ββαββ
(D )1211212()2
k k ++-+ββαββ
七、（本题满分6分） 设四阶矩阵
1100213401100
213,0011002100010
002-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
B C 且矩阵A 满足关系式
1()-''-=A E C B C E
其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A
八、（本题满分8分） 求一个正交变换化二次型222
12312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.
