2019高考数学二轮专题复习小题提速练七文

小题加速练 ( 十)一、选择题 ( 此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．)1．若复数z＝(1＋i)(3－a i)(此中i为虚数单位)为纯虚数，则实数a＝()A．3B．－ 3C．2D．－ 2分析：选 B. z＝ (1 ＋ i)(3－a i)＝3＋3i－a i＋a＝3＋a＋(3－a)i，∵ z为纯虚数，∴a＋3＝0，∴ a＝－3.3－a≠0，2．已知会合M＝{0，1，3，5，7}， N＝{2，3，4，5}，P＝ M∩ N，则会合 P 的子集个数为()A． 4 B． 3C． 2 D． 1分析：选 A. P＝M∩N＝ {3 ， 5} ，其子集个数为 4.ππ3．已知函数f ( x) ＝cos ω x＋3 图象的一条对称轴为直线x＝6 ，则实数ω 的值不行能是 ( )A．－ 2 B． 4C． 12 D． 16ππ分析：选 C.由题可得6ω＋3＝kπ，k∈Z，得ω＝－ 2＋ 6k，k∈Z，故令ω＝－ 2，得 k＝0；令ω＝4，得 k＝1；令ω＝16，得k＝3；令ω＝ 12，得k＝73?Z，故ω ≠12. 应选C.4．某啤酒厂搞促销活动，在100 000 听啤酒 ( 编号为 1～ 100 000) 中，采纳系统抽样的方法抽出5%的啤酒，并在它们盖内侧写上中奖字样，若样本中的最大编号是99 996 ，则样本中的最小编号是 ( )A． 13 B． 14C． 15 D． 16分析：选 D. 由题意得，采纳系统抽样的方法在100 000 听啤酒中抽取 5%的啤酒，间隔为 20，而最大编号为99 996 ，比 100 000 少 4，故样本中的最小编号为20－4＝ 16.5．已知函数f ( x) ＝x4＋x2，函数g( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的奇函数，则 ( ) A．f ( g( x)) 是偶函数，不是周期函数B．f ( g( x)) 是偶函数，且是周期函数C．f ( g( x)) 是奇函数，不是周期函数D．f ( g( x)) 是奇函数，且是周期函数通解：选 B. ∵函数f ( x) ＝x4＋x2是偶函数，∴f (－x)＝ f ( x)．令 h( x)＝ f ( g( x))，则 h(－ x)＝f ( g(－ x))＝ f (－ g( x))＝ f ( g( x))＝ h( x)，∴ h( x)是偶函数，∵ g( x＋2)＝ g( x)，∴ f ( g( x＋2)) ＝f ( g( x))，∴ f ( g( x))是周期函数，选 B.优解：∵函数 g( x)是定义在R上且周期为 2 的奇函数，不如设g( x) ＝ sin πx，则f ( g( x))＝(sin π) 4 ＋ (sin π) 2，∴( ( )) 是偶函数，f ( ( ＋2)) ＝ [sin π (x＋2)] 4＋ [sin π (xx x f g x g x＋2)] 2＝ (sin π x) 4＋ (sin π x)2＝f ( g( x))，∴ f ( g( x))是周期函数．1 )6．已知等比数列 { a } 知足 a ＞ 0， a ＋ a ＝3， a ＋ a ＝3，则 a ＋ a ＝ (n n 1 2 3 4 5 6 A． 9 B． 27C． 81 D． 243分析：选 B. 由等比数列的性质可知( a3＋a4) 2＝ ( a1＋a2)( a5＋ a6)，∴ a5＋ a6＝27.7．如图为一多面体的三视图，则此多面体的表面积是( )A． 22＋ 2 B． 23＋ 2C．22＋ 2 2 D． 23＋2 2分析：选 A. 依据题中三视图知，该多面体是从一个棱长为 2 的正方体的左上角截去一个直三棱柱后节余的部分，所以表面积为6×22－1×1×2＋2×1＝ 22＋ 2.x2 y2 a 8．已知F1，F2是双曲线E：a2－b2＝ 1( a＞ 0，b＞ 0) 的左、右焦点，P是直线x＝2上一5点，△ F1PF2是顶角为θ的等腰三角形，若cos θ＝8，则双曲线E的离心率为 () 3B． 2A.25电视播放动画动画a分析：选 B. 由题意知∠PF1F2＝θ或∠PF2F1＝θ ，设直线x＝2与x轴的交点为D，则a，由于△ 2 是顶角为θ51 2＝θ，则有| 1 2|， 0 1 的等腰三角形， cos θ＝，若∠D 2 F PF 8 PFF F Fa 5 c＝| PF1| ＝ 2c，在 Rt△PDF1中， | DF1| ＝ | PF1|cos θ，即 c＋2＝2c×8，所以离心率e＝a＝2；若∠ PFF ＝θ，则有| F F |＝| PF|＝2c，在Rt△ PDF中，| DF|＝|PF|cos θ，即 c－2＝2c×8，2 1 1 2 2 2 2 2a 5 不合题意．综上，双曲线 E 的离心率为 2.9．若侧面积为 8π的圆柱有一外接球，当球O 的体积获得最小值时，圆柱的表面积O为( )A． 12πB． 13πC． 10πD． 14π分析：选 A. 由球的对称性可知，圆柱的高即球心到两底面圆心的距离之和，设圆柱的底面半径是 r ，球心究竟面的距离是d，外接球 O的半径为 R，由球心究竟面的距离、截面圆的半径、球半径之间组成直角三角形，可知r 2＋d2＝2. 由题设可得2π ×2＝ 8π?rd＝R r d2 2 2 2 2 4 2 42? d＝r，则R ＝ r ＋ d ＝ r ＋r 2≥2 r ·r 2＝4，当且仅当r＝2时取等号，此时d＝ 2. 故圆柱的表面积S 表＝ S 侧＋ S底＝8π＋2πr 2＝8π＋2π( 2)2＝12π.x＋2y≥0，10．已知实数x ，y知足 x －y ≤0，且＝x＋y的最大值为6，则z′＝ 2x＋y的最小z0≤y≤m，值为 ( )A．－ 12 B．－ 9 C． 0 D． 9x ＋2 ≥0，y分析：选 B. 画出不等式组x－ y≤0，所表示的平面地区如图中暗影部分所示，0≤y≤m由题意可知，目标函数z＝ x＋ y 在直线 y＝x 和 y＝m的交点 A( m，m)处获得最大值，所以 2m＝ 6，m＝3. 在直线x＋ 2y＝0 和y＝ 3 的交点B( － 6，3) 处，z′＝ 2x＋y获得最小值－ 9，故答案选 B.x2 2的点，若直线 PM 的斜率的取值范围是1， 2 ，则直线 PN 的斜率的取值范围是 ()21 1A.8， 21 1 B. － ，－281 1C.8， 2111 1D. －2，－ 8 ∪ 8，2n － y 0分析：选 A. 设 M ( x 0， y 0) ，N ( － x 0，－ y 0) ， P ( m ，n )( m ≠± x 0， n ≠± y 0) ，则 k PM ＝m － x 0，n ＋ y 0x 222k ＝2＝ 1 上，则m 2x 02＝ 1，两式相减得. 又 P ， M ， N 均在双曲线－ y－ n ＝ 1，－ y 0PNm ＋ x 0444（m － x 0）（ m ＋ x 0） － ( n － y 0)( n ＋ y 0) ＝ 0， n －y 0 n ＋ y 0 11 1 4－ · ＋ ＝ ，即 k PM ·k PN ＝ ，又 ≤ k PM ≤2， 0x0 4 4 2m xm11≤2，解得 1 1即 ≤ ≤ k PN ≤ . 应选 A.2 4k PN 8 22112．若函数 f ( x ) ＝ m －x ＋ 2ln x 在 e 2，e 上有两个不一样的零点，则实数m 的取值范围为( )2B ．1 2－ 2A ． (1 ， e－ 2]4＋ 4， eeC.1D ． [1 ，＋∞)1，4＋ 4e分析：选 C. 令 f ( x ) ＝ － x 2＋ 2ln x ＝0，则 ＝ x 2－ 2lnx .mm令 g ( x ) ＝x 2x ，则2 2（ x － 1）（ x ＋ 1），－ 2ln′()＝2 － ＝gxx xx1∴ g ( x ) 在 e 2， 1 上单一递减，在 (1 ，e] 上单一递加，1∴ g ( x ) min ＝ g (1) ＝ 1，又 g e 21g e 2 ＜ g (e) ，数形联合知，若函数1围为 1， 4＋ e 4 ，故答案选 C.＝ 4＋14，g (e) ＝ e 2－ 2，4＋14＜ 5，e 2－ 2＞2.7 2－ 2＞ 5，∴e ef ( x ) 在 1的取值范2， e 上有两个不一样的零点，则实数e m二、填空题 ( 此题共 4 小题，每题5 分，共 20 分． )13．已知平面向量 ＝ ( x 1， 1)，＝( x 2， 2) ，若| | ＝3，| b| ＝4，＝－ 12，则x 1＋ y 1aybyaa ·bx 2 ＋ y 2＝ ________．3分析：由于 | a | ＝ 3，| b | ＝ 4，a ·b ＝－ 12，所以向量 a ，b 的夹角为 180°， 即 a ＝－ 4b ，又 ＝ ( 1， 1)，＝( 2， 2) ，∴1＝－ 3 2， 1＝－ 3 2. 所以 x 1＋ y 1 3 xxx 4x4y＝－ .ayb yyx 2＋ y 243答案：－ 414．某互联网企业借助手机微信平台推行自己的产品， 对今年前 5 个月的微信推行花费x 与收益额 y ( 单位：百万元 ) 进行了初步统计，获得以下表格中的数据：x 24 5 68y304060p70^经计算，月微信推行花费x 与月收益额 y 知足线性回归方程y ＝ 6.5 x ＋ 17.5 ，则 p 的值为________．2＋ 4＋5＋ 6＋ 8分析： x ＝＝ 5，5y ＝30＋ 40＋ 60＋ p ＋ 70p5＝40＋ 5，p代入回归直线方程40＋ 5＝6.5 ×5＋ 17.5 ，解得 p ＝ 50.答案： 5015．如下图， 四个同样的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ ＝π，此刻向该正方形地区内随机地扔掷一枚飞镖，则飞镖6落在小正方形内的概率是________．分析：易知小正方形的边长为 3－ 1，故小正方形的面积为13－ 1) 2＝4－23，S ＝ ( 大正方形的面积为＝2×2＝ 4，故飞镖落在小正方形内的概率＝ S 1 ＝ 4－2 3 ＝ 2－ 3 ＝ 1SP S 4 23－ 2 .3答案： 1－ 2哈哈哈哈哈哈哈哈你好16．在△ABC中，A＝π3，BC＝ 3，D是BC的一个三均分点，则AD的最大值是________．分析：如下图，以BC所在直线为x 轴，线段 BC的垂直均分线为y 轴成立平面直角坐标系，不如令 D 1－， 0 . 设△ABC的外接圆圆心为2，半径为，则2＝ 3 ，∴＝3.M R R Rsin π3∵ | |＝| |＝| |＝，∴ 3 ，∴点 A 在圆2＋ 3 2＝3 上，MA MB MC RM0，x －2 2∴| AD| 1 2＋ 32＋ 3＝ 1＋ 3，故AD的最大值是3＋ 1.＝| MD|＋ R＝max 2 2 答案：3＋ 1。

小题提速练(二) “12选择＋4填空”80分练 (时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x ≥4}，B ＝{x |－1≤2x －1≤0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(4，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4 D ．(1,4]B [因为A ＝{x |x ≥4}，所以∁R A ＝{x |x ＜4}，又B ＝{x |－1≤2x －1≤0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤12，所以(∁R A )∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤12，故选B.] 2．复数5＋3i4－i对应的点在复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 A [因为5＋3i4－i ＝＋＋－＋＝17＋17i17＝1＋i ，所以该复数对应的点为(1,1)，故选A.]3．已知命题p ：x ＋y ≥2xy ，命题q ：在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .则下列命题为真命题的是( ) A ．p B ．﹁q C ．p ∨qD ．p ∧qC [当x ，y 中至少有一个负数时，x ＋y ≥2xy 不成立，所以命题p 是假命题；由正弦定理和三角形中的边角关系知，命题q 是真命题．所以p ∨q 是真命题．] 4.已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，则下列向量与2a ＋b 平行的是( ) A ．(1，－2)B ．(1，－3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23 D ．(0,2)C [因为a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，所以2a ＋b ＝(3,1)，而1×2－3×23＝0，故选C.]5．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，x －2y ＋3≥0，则z ＝yx的最大值为( )【导学号：04024176】A ．3B ．2C ．1D.12B [作出不等式组表示的平面区域，如图所示，yx的几何意义是区域内(包括边界)的点P (x ，y )与原点连线的斜率，由图可知，当P 移动到点B (1,2)时，yx取得最大值2.]6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则下列结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 C ．将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度可以得到函数y ＝sin 2x 的图象D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π8，5π8上单调递增C [由题知，函数f (x )的最小正周期为π，故A 不正确；令x ＝π4，求得f (x )＝22，故函数f (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故排除B ；将f (x )的图象向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin 2x 的图象，故选C ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，函数f (x )单调递减，故排除D.]7．执行图1中的程序框图(其中[x ]表示不超过x 的最大整数)，则输出的S 值为( )图1A ．5B ．7C ．9D ．12C [程序运行如下：(1)S ＝0＋[]0＝0，n ＝0＜5；(2)S ＝0＋[]1＝1，n ＝1＜5；(3)S ＝1＋[2]＝2，n ＝2＜5；(4)S ＝2＋[3]＝3，n ＝3＜5；(5)S ＝3＋[4]＝5，n ＝4＜5；(6)S ＝5＋[5]＝7，n ＝5；(7)S ＝7＋[6]＝9，n ＝6＞5，循环结束，故输出S ＝9.] 8．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为( )【导学号：04024177】图2A.43B.52C.73D.53A [由三视图知，该几何体为一个由底面相同的三棱锥与三棱柱组成的组合体，其体积V ＝13×12×2×1×1＋12×2×1×1＝43.] 9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙丁戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.43钱C.32钱 D.53钱 B [设所成等差数列的首项为a 1，公差为d ，则依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝5，a 1＋a 1＋d ＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16.]10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sin A sin C ＋sin 2C －sin 2A ＝12sinB sinC ，则sin A ＝( )A.14B.34C.114D.154D [由已知得b 2＝ac ，ac ＋c 2－a 2＝12bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝12bc ，所以cos A ＝14，所以sin A＝154.] 11．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作一条渐近线的垂线，与C 的右支交于点A .若|OF |＝|OA |(O 为坐标原点)，则C 的离心率e 为( )【导学号：04024178】A. 2 B ．2 C. 5D ．5C [不妨设一条渐近线为l ：y ＝bxa，作FA ⊥l 于点B (图略)，因为|OF |＝|OA |，所以B 为线段FA 的中点．设双曲线的右焦点为F ′，连接F ′A ，因为O 为线段FF ′的中点，所以F ′A ⊥FA .易得直线FA ，F ′A 的方程分别为y ＝－a b (x ＋c )，y ＝b a(x －c )，解方程组可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－a 2c，－2ab c .因为该点在双曲线C 上，所以b 2－a 22a 2c 2－4a 2b 2b 2c2＝1，结合c 2＝a2＋b 2，整理得5a 2＝c 2，即5a ＝c ，所以e ＝c a＝ 5.]12．如图3所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝π2，AC ＝1，BC 边在x 轴上，有一个半径为1的圆P 沿x 轴向△ABC 滚动，并沿△ABC 的表面滚过，则圆心P 的大致轨迹是(虚线为各段弧所在圆的半径)( )图3D [当圆在点B 的左侧滚动时，圆心P 的运动轨迹是一条线段；当圆在线段AB 上滚动时，圆心P 的运动轨迹也是一条线段；当圆与点A 接触并且绕过点A 时，圆心P 的轨迹是以点A 为圆心，1为半径的圆弧；当圆在线段AC 上和点C 右侧滚动时，与在线段AB 上和点B 的左侧滚动时的情况相同．结合各选项中的曲线知，选项D 正确．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图4所示是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则a 1，a 2的大小关系是________．图4[解析] 由题意可知a 1＝80＋1＋5＋5＋4＋55＝84，a 2＝80＋4＋4＋6＋4＋75＝85，所以a 2＞a 1.[答案] a 2＞a 114．若直线l ：x 4＋y3＝1与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的内切圆的方程为________．[解析] 由题意，设圆心为(a ，a )，则有|3a ＋4a －12|5＝a ，解得a ＝1或a ＝6(舍去)，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. [答案] (x －1)2＋(y －1)2＝115．已知函数f (x )＝e x－mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 不存在与直线y ＝－1ex 平行的切线，则实数m 的取值范围为________.【导学号：04024179】[解析] 由已知得f ′(x )＝e x －m ，由曲线C 不存在与直线y ＝－1e x 平行的切线，知方程ex－m ＝－1e 无解，即方程m ＝e x ＋1e 无解．因为e x ＞0，所以e x＋1e ＞1e，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1e .[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1e16．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝4，AB ＝23，则该球的表面积为________．[解析] 依题意，把三棱锥D ­ABC 扩展为直三棱柱，则上、下底面中心的连线的中点O 与A 之间的距离为球的半径(图略)．设△ABC 的中心为E ，因为AD ＝4，AB ＝23，△ABC 是正三角形，所以AE ＝2，OE ＝2，所以AO ＝22，所以该球表面积S ＝4π×(22)2＝32π. [答案] 32π。

客观题提速练七(时间:45分钟满分:80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2018·浙江模拟)已知集合A={1,2},B={x|x2-(a+1)x+a=0,a∈R},若A=B,则a等于( )(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-22.(2018·太原二模)计算:等于( )(A)2 (B)-2 (C)2i (D)-2i3.(2018·河南周口一模)已知sin α-2cos α=2(α≠kπ,k∈Z),则tan α等于( )(A)-(B)(C)-(D)4.(2018·保定二模)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )(A)(B)(C)2 (D)35.(2018·陕西铜川一模)若函数f(x)=在（0,）上单调递增,则实数a的取值范围为( )(A)a≤-1 (B)a≤2 (C)a≥-1 (D)a≤16. (2018·天津市联考)函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,-π<ϕ<0)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=Acos ωx的图象,只需将函数y=f(x)的图象( )(A)向左平移个单位长度(B)向左平移个单位长度(C)向右平移个单位长度(D)向右平移个单位长度7.(2018·岳阳二模)若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)88. (2018·浙江模拟)如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分),已知甲组数据的中位数为17,乙组数据的平均数为17.4,则x,y的值分别为( )(A)7,8 (B)5,7 (C)8,5 (D)7,79.(2018·临沂一模)已知x,y满足x3+2y3=x-y,x>0,y>0,则x,y使得x2+ky2≤1恒成立的k的最大值为( )(A)2(B)2+(C)2+2(D)+110.(2018·浙江模拟)甲、乙两个几何体的三视图分别如图(1),图(2)所示,分别记它们的表面积为S 甲,S乙,体积为V甲,V乙,则( )(A)S甲>S乙,V甲>V乙(B)S甲>S乙,V甲<V乙(C)S甲<S乙,V甲>V乙(D)S甲<S乙,V甲<V乙11. 如图所示,直线AB的方程为6x-3y-4=0,向边长为2的正方形内随机地投飞镖,飞镖都能投入正方形内,且投到每个点的可能性相等,则飞镖落在阴影部分(三角形ABC的内部)的概率是( )(A) (B)(C) (D)12.(2018·台州期中)在△ABC中,若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是( )(A)0<C≤(B)0<C<(C)<C<(D)<C≤二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2018·辽宁模拟)点P(x,y)在不等式组表示的平面区域内,则z=x+y的最大值为.14.在（1+x+）10的展开式中x2项的系数为.(结果用数值表示)15.(2018·南充三模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,则当|AF|+4|BF|取得最小值时,直线AB的倾斜角的正弦值为.16.(2018·青岛二模)若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则对称点(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“友好点对”).已知函数f(x)=则f(x)的“友好点对”有个.1.B 因为A={1,2},B={x|x2-(a+1)x+a=0,a∈R},若A=B,则1,2是方程x2-(a+1)x+ a=0的两根,则即a=2.故选B.2.A ===2,故选A.3.A 由sin α-2cos α=2和sin2α+cos2α=1解得sin α=,cos α=-或sin α=0,cos α=-1,又α≠kπ,k∈Z,则sin α=,cos α=-,则tan α==-,故选A.4.B 由抛物线方程得准线方程为x=-1,焦点F(1,0),又P(x0,y0)为C上一点,|PF|=4,所以x P=3,代入抛物线方程得|y P|=2,所以S△POF=×|OF|×|y P|=.故选B.5.C 函数f(x)=在(0,)上单调递增,则f′(x)=≥0,x∈(0,)恒成立,a≥(-)max,又函数g(x)=-在(0,)上单调递增,g()=-1,则a≥-1,故选C.6.B 由图象可知A=2,T=-(-)=,所以T=π=, 得ω=2,由2×+ϕ=2kπ+得ϕ=2kπ-(k∈Z),因为-π<ϕ<0,所以ϕ=-,所以f(x)=2sin（2x-）,g(x)=2cos 2x=2sin（2x+）,若得到g(x)=2cos 2x,只需将f(x)=2sin（2x-）向左平移个单位长度即可,故选B.7.A 当输入的值为n=5时,n不满足第一判断框中的条件,n=16,k=1,n不满足第二判断框中的条件,n满足第一判断框中的条件,n=8,k=2,n不满足第二判断框中的条件,n满足第一判断框中的条件,n=4,k=3,n不满足第二判断框中的条件,n满足第一判断框中的条件,n=2,k=4,n不满足第二判断框中的条件,n满足第一判断框中的条件,n=1,k=5,n满足第二判断框中的条件,退出循环,即输出的结果为k=5,故选A.8.D 因为甲组数据的中位数为17,所以x=7,因为乙组数据的平均数为17.4,所以×(9+16+16+10+y+29)=17.4,得80+y=87,则y=7,故选D.9.C 因为x,y都是正数,所以x3+2y3=x-y>0,则x>y>0,令=t,t>1,则x2+ky2≤1即为x2+ky2≤,ky2≤,ky≤,k≤=,t>1恒成立,令t-1=m,m>0,则==m++2≥2+2,当且仅当m=,t=+1时取等号,则（））min= （）min=2+2,故选C.10.B 由三视图还原两原几何体如图,正方体棱长为2a,则S甲=24a2,S乙=24a2-2a2+a2,V甲=8a3-a3=7a3,V乙=8a2-a3=a3.所以S甲>S乙,V甲<V乙,故选B.11.B 观察题图可知,阴影部分是一个小三角形,在直线AB的方程6x-3y-4=0中,令x=1得y=,令y=-1得x=.所以三角形ABC的面积为S=AC×BC= ×（）1+）×(1-)=,则飞镖落在阴影部分(三角形ABC的内部)的概率是P===.故选B.12.A 因为c=AB=1,a=BC=2,b=AC,根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边可知,1<b<3,根据余弦定理得cos C=(a2+b2-c2)=(4+b2-1)=(3+b2)=(b+)≥,当且仅当b=时等号成立,所以0<C≤,故选A.13.解析:先根据约束条件画出可行域,当直线x+y=z过点A(2,4)时,z最大,z最大是6.答案:614.解析:因为(1+x+)10=［ (1+x)+］10=(1+x)10+(1+x)9+…+()10,所以x2项只能在(1+x)10的展开式中,即x2,系数为=45.答案:4515.解析:易知当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1)(k≠0),由消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1,x2>0,则x1+x2=①,x1x2=1②,+=+===1.当直线的斜率不存在时,易知|AF|=|BF|=2,故+=1.设|AF|=a,|BF|=b,则+=1,所以|AF|+4|BF|=a+4b=(+)(a+4b)=5++≥9,当且仅当a=2b时取等号,故a+4b的最小值为9,此时直线的斜率存在,且x1+ 1=2(x2+1)③,联立①②③得x1=2,x2=,k=±2,故直线AB的倾斜角的正弦值为.答案:16.解析:根据题意及“友好点对”的定义,可知,只需作出函数y=2x2+4x+1(x<0)的图象关于原点对称的图象, 看它与函数y=(x≥0)交点个数即可.如图,观察图象可得,它们的交点个数是2.即f(x)的“友好点对”有2个.答案:2。

小题提速练(一)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |x |≤2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[2，5] B ．(2，5] C ．[－1，2]D ．[－1，2)解析：选B.由题得A ＝[－1，5]，B ＝[－2，2]，则∁R B ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(2，5]，故选B.2．如果复数m 2＋i1＋m i是纯虚数，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．0或1D ．0或－1通解：选D.m 2＋i 1＋m i ＝（m 2＋i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝m 2＋m ＋（1－m 3）i1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D. 优解：设m 2＋i 1＋m i ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则有b i(1＋m i)＝m 2＋i ，即－mb ＋b i ＝m 2＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－mb ＝m 2，b ＝1，解得m ＝－1或0，故选D.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．4C ．6D ．8通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C.优解：目标函数z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x ＝3，y ＝0时，z ＝3；当x ＝6，y ＝0时，z ＝6；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以z max ＝6，故选C.4．若双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73B ．54 C.43D ．53解析：选D.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为y ＝±ba x ，所以根据一条渐近线经过点(3，－4)，可知3b ＝4a ∴b a ＝43.∴e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53. 5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，c ＝ln 3π，则( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c 通解：选B.因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞0，c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.优解：因为a 3＝12＞b 3＝127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B. 6．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x ＋2－x解析：选C.因为y ＝2x为增函数，y ＝2－x为减函数，所以y ＝2x－2－x为增函数，又y ＝2x －2－x为奇函数，所以选C.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.4 33π B ．12π C.33π D ．36π 解析：选D.由三视图可知该几何体为一个半圆锥，其中圆锥的底面半圆的半径为1，母线长为2，所以8．已知函数y ＝sin ()2x ＋φ在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选 A.由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，k ∈Z .当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A 正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，也不关于直线x ＝π3对称，故B 、D错误．故选A.9．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－3 3πB ．4－6 3πC.13－32πD ．23解析：选B.设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝ ⎛⎭⎪⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－6 3r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－6 3π，故选B.10．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析：选D.①f (x )＝x ，这个函数可使f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )成立，∵f (x ＋y )＝x ＋y ，x ＋y ＝f (x )＋f (y )， ∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，故①对应丁．②寻找一类函数g (x )，使得g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)具有这种性质，令g (x )＝a x，g (y )＝a y，则g (x ＋y )＝ax ＋y＝a x ·a y＝g (x )·g (y )，故②对应甲．③寻找一类函数h (x )，使得h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，对数函数具有这种性质，令h (x )＝log a x ，h (y )＝log a y ，则h (x ·y )＝log a (xy )＝log a x ＋log a y ＝h (x )＋h (y )，故③对应乙．④令m (x )＝x 2，这个函数可使m (xy )＝m (x )·m (y )成立，∵m (x )＝x 2，∴m (x ·y )＝(xy )2＝x 2y 2＝m (x )·m (y )，故④对应丙．故选D.11．已知抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由题意得，焦点F (0，1)，对于①，l AB 为y ＝x ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y＋1＝0，得y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，故①错误；对于②，|AB |min ＝2p ＝4，故②错误；因为y ′＝x2，则l AM ∶y －y A ＝x A2(x －x A )，即l AM ：y ＝12x A x －y A ，同理l BM：y ＝12x Bx －y B，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x Ax －y A，y ＝12x Bx －y B，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B 2，x A ·x B 4.设l AB 为y ＝kx ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，AB 的斜率为1时，x M ＝2，故④错误，故选B.12．已知函数f (x )＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B ．12＜x 0＜1 C.22＜x 0＜ 2 D ．2＜x 0＜ 3解析：选D.由题意，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(x 0)＝2x 0，f (x 0)＝x 20，所以切线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20.因为l 也与函数y ＝ln x (0＜x ＜1)的图象相切，设切点坐标为(x 1，ln x 1)，易知y ′＝1x，则切线l 的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，即y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，又0＜x 1＜1，所以x 0＞1，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln2 2＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，所以存在x 0∈(2，3)，使得g (x 0)＝0，故 2＜x 0＜3，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________．解析：因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b ）＝0，故|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝12，故a 与b 的夹角为60°.答案：60°14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为________．解：该程序框图的执行过程如下：v ＝1，i ＝2；v ＝1×2＋2＝4，i ＝1；v＝4×2＋1＝9，i ＝0；v ＝9×2＋0＝18，i ＝－1，此时输出v＝18.答案：1815．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________．解析：解法一：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，|AF |＝3，由抛物线的定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2.如图，不妨设点A 在第一象限，将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，所以点A 的纵坐标为2 2，即A (2，2 2)，所以直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－ 2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2，所以点B 的横坐标为12，所以|BF |＝12－(－1)＝32.解法二：如图，不妨设点A 在第一象限，设∠AFx ＝θ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则由抛物线的定义知x A＋1＝2＋3cos θ＝3，解得cos θ＝13.又|BF |＝x B ＋1＝1－|BF |cos θ＋1＝2－13|BF |，所以|BF |＝32.答案：3216．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝5 3，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________．解析：如图，在△ABC 中，BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos∠CDB ＝CD BD ＝52x.在△ACD 中，AD＝x ，CD ＝5，AC ＝5 3，则cos∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝x 2＋52－（5 3）22×x ×5.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos∠ADC ＝－cos∠CDB ，即x 2＋52－（5 3）22×x ×5＝－52x，解得x ＝5，所以AD 的长为5.答案：5。