2013年值得商榷的高考题 数学学科

2013年高考数学试题分析（新课标卷）山西晚报网--2013-06-10■特邀名师许晓莉:山大附中数学高级教师、山西省学科带头人、山西省教学能手、山西省骨干教师、山西省优秀班主任、太原市德育标兵今年是山西省使用新课标卷高考的第三年，经历了第一年的易，第二年的难，考前按一线教师的估计今年应该难易适中，趋于稳定。

但从学生考完后的反应来看，有的感觉易，有的感觉难，说法不一。

7日晚我拿到试卷认真分析后，认为今年的考题不偏、不怪，理科数学与去年难度相近，文科数学与去年相比较为简单。

一、今年高考数学具体有以下特点1、试题构成总体稳定，风格特点基本没变从试题总体来看，主干知识中函数约22分，立体几何约22分，圆锥曲线约22分，三角约17分，概率统计约17分，数列约15分，不等式及其应用约10分，向量、二项式定理、集合、复数及算法各5分。

不过理科卷中一些常见知识没有考查，比如：命题与逻辑，排列组合，三角函数的图像和变换，线性规划，积分，正态分布，独立性检验与回归分析等。

文科卷的知识点覆盖比较全面。

今年的考题仍遵循了考试大纲所倡导的“高考应具有较高的，必要的区分度和适当的难度”这一原则。

很多题目似曾见过，但又不尽相同，进行了适度创新，体现了对考生思维能力和灵活应用知识的考查。

总之，试题融入了考纲的命题理念，以重点知识构建试题的主体，选材寓于教材又高于教材，立意创新又朴实无华，为以后的高中新课程的数学教学改革和日常教学，具有积极的导向作用。

2、试题知识点考查层次分明，难度设置比较合理理科试卷共24个题，其中22、23、24题是三选一。

1到12题是选择题，13到16题是填空题，17到24题是解答题。

选择题中前11个题目，比较常规，是学生平时常练的类型，容易上手。

不过个别题目问法较为新颖，需有一定的思辨能力。

第12题融合了数列、三角、圆锥曲线三大知识点，有一定的难度。

由于这个题属选择题，可以选择小题小做的办法，采用特值技巧加以解答。

三、注重通性通法，突出数学思想方法的考查2013年试题注重能力立意，以考查基础知识为重点，注重对通性通法的考查，淡化特殊技巧, 突出数学思想与方法的考查。

如选择题的前7题，填空题的前2题，试题均为常规题目，学生解答起来，也是顺畅.数学卷历来重视数学思想与方法的考查，今年也不例外。

如数形结合的思想渗透在线性规划（理科第15题）、函数与方程的思想则体现在理科第21题、第22题等题目中；转化与化归思想贯穿整份试卷，如理科第12题；试卷对分类讨论的思想（理科第21题等）做了深入考查。

总之，2013年高考全国大纲版卷数学试题，注重考查考生运用所学知识发现问题、分析问题、解决问题的能力。

整份试卷稳中有变，变中求新，新题不难，难题不偏，“稳”以考查基础，“变”以考查能力，有较高的信度、效度和区分度。

本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2013大纲全国，理1）设集合={1,2,3}A ，B={45}，，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈，则M 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62. （2013大纲全国，理2）3(13)i +=（ ）A ．-8B ．8C ．8i -D ．8i3. （2013大纲全国，理3）已知向量(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【考点定位】向量的坐标运算4. （2013大纲全国，理4）已知函数f(x)的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2-- C ．(1,0)- D ．1(,1)25. （2013大纲全国，理5）函数21()log (1)f x x=+（x>0）的反函数1()f x -=（ ）A ．1(0)21x x >- B ．1(0)21xx ≠- C ．21()x x R -∈ D ．21(0)x x ->6. （2013大纲全国，理6）已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+7. （2013大纲全国，理7）84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168 【答案】D8. （2013大纲全国，理8）椭圆C ：22143x y +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．13[,]24 B ．33[,]84 C ．1[,1]2 D ．3[,1]49. （2013大纲全国，理9）若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞10. （2013大纲全国，理10）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A ．23 B ．33 C ．23 D ．1311. （2013大纲全国，理11）已知抛物线C ：28y x =与点M （-2,2），过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若0MA MB •=，则k=（ ）A ．12B ．22C ．2D ．2【答案】D【解析】由题意知抛物线C 的焦点坐标为（2,0），则直线AB 的方程为(2)y k x =-，将其代入28y x =，得22224(2)40k x k x k -++=.12. （2013大纲全国，理12）已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称 B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称C ．()f x 的最大值为32D ．()f x 既是奇函数，又是周期函数当33t=-时，函数值为439-；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. （2013大纲全国，理13）已知α是第三象限角，1sin3α=-，则cotα=14. （2013大纲全国，理14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）15. （2013大纲全国，理15）记不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，所表示的平面区域为D.若直线(1)y a x =+与D 有公共点，则a 的取值范围是 【答案】1[,4]2【解析】作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. ∵直线(1)y a x =+过定点C （-1,0），由图并结合题意可知1,42BC AC k k ==， ∴要使直线(1)y a x =+与平面区域D 有公共点，则142a ≤≤. 【考点定位】线性规划16. （2013大纲全国，理16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为060，则球O 的表面积等于 本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（2013大纲全国，理17）（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232S a =，且124,,S S S 成等比数列，求{}n a 的通项公式.18. （2013大纲全国，理18）（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()()a b c a b c ac ++-+=. （Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若31sin sin 4A C =，求C.因此015C =或045C =.19. （2013大纲全国，理19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，090ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形.（Ⅰ）证明：PB CD ⊥； （Ⅱ）求二面角A-PD-C 的大小.取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，20. （2013大纲全国，理20）（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.21. （2013大纲全国，理21）（本小题满分12分）已知双曲线C：22221x ya b-=（a>0,b>0）的左、右焦点分别为1F、2F，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为6.（Ⅰ）求a,b ；（Ⅱ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且11||||AF BF =，证明：2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.2222122222||(3)(3)8831BF x y x x x =++=++-=+22. （2013大纲全国，理22）（本小题满分12分） 已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+. （Ⅰ）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；（Ⅱ）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明：21ln 24n n a a n -+>. 【答案】 （Ⅰ）由已知(0)0f =，2'2(12)()(1)x x f x x λλ--=+，'(0)0f =. 若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，'()0f x >，所以()0f x >.。

湖北省考试院专家评析2013年高考湖北卷（数学篇）湖北省考试院专家评析2013年高考湖北卷（数学篇）一、基础与能力并重，体现人文关怀密切结合教材，紧扣考试说明。

试卷紧扣《考试说明》，密切结合教材，沿袭了“在丰富背景下立意，在贴近教材中设计”的命题风格，不随意拔高考点，不刻意追求别致，很多试题都紧贴课本。

文理两科都有三分之二以上的试题源于教材，分值均在110分以上。

试题的设计贴近考生实际，不人为设置障碍，不有意为难考生。

如通过配插图说明、附加注解释、给参考公式和参考数据等方式，降低理解题意和人为运算的难度，体现以考生为本的命题理念。

降低起点难度，突出知能并重。

试题通过控制计算量，增加思维量，控制交汇度、创新度、开放度，突出直观化、生活化、综合化等具体做法，进一步降低三类题型(选择题、填空题和解答题)的起点难度，有利于考生稳定心态和正常发挥。

试题在注重基础、降低起点的同时，结合学科内知识点之间的适度交融，将观察、实验、联想、猜测、归纳、类比、推广等思维活动和能力要求融入三类题型之中，突出能力立意的命题原则；通过设计一些“多想少算”的试题，突出数学思想方法的考查，以此甄别不同考生的数学素养。

二、稳定与创新兼顾，凸显导向功能稳定题型结构，注重文理差异。

文理两科的试卷结构和赋分方式与去年完全相同，突出主干知识，新增内容和重点内容组合，文科立体几何解答题与应用题结合等考查形式都与去年保持了相对稳定。

同时，适当加大了文理两科不同试题的题量和难度的差异，文、理科完全相同的试题有5道，姊妹题有2道，完全不同的试题有16道，难度均有所下降，符合减轻学生学习负担的课改趋势。

保持适度创新，规避题型套路。

强调通性通法，淡化特殊技巧，并不等于一味迎合中学教学盛行的题型套路。

试卷采用“适度创新”和“规避模式”的做法，做到“新、变”但不怪，“新、变”而不难。

具体体现在：一是适当改变一些试题模式。

如将概率统计知识与线性规划知识自然融合，避开现有应用题的模式；适当降低压轴题的绝对难度，让更多的考生涉足压轴题。

2013年高考真题精校精析2013·江苏卷(数学)1． 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 1．π [解析] 周期为T ＝2π2＝π.2． 设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．2．5 [解析] 因为z ＝(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，所以复数z 的模为5. 3． 双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．3．y ＝±34x [解析] 令x 216－y 29＝0，得渐近线方程为y ＝±34x .4． 集合{－1，0，1}共有________个子集．4．8 [解析] 集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8. 5． 如图1－1是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________．图1－15．3 [解析] 逐一代入可得当a ＝26>20时，n ＝36． 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．6．2 [解析] 由题知x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，s 2甲＝15(9＋1＋0＋1＋9)＝4；x 乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，s 2乙＝15(1＋0＋1＋4＋4)＝2，所以s 2甲>s 2乙，故答案为2. 7． 现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．7.2063[解析] 基本事件共有7×9＝63种，m 可以取1，3，5，7，n 可以取1，3，5，7，9.所以m ，n 都取到奇数共有20种，故所求概率为2063.8． 如图1－1，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________．图1－18．1∶24 [解析] 设三棱柱的底面积为S ，高为h ，则V 2＝Sh ，又D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，所以S △AED ＝14S ，且三棱锥F －ADE 的高为12h ，故V 1＝13S △AED ·12h ＝13·14S ·12h ＝124Sh ，所以V 1∶V 2＝1∶24.9． 抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．9.⎣⎡⎦⎤－2，12 [解析] 由y ＝x 2得y ′＝2x ，则在点x ＝1处的切线斜率k ＝2×1＝2，切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫12，0.作直线l 0：x ＋2y ＝0.当平移直线l 0至点A 时，z min ＝0＋2(－1)＝－2； 当平移直线l 0至点B 时，z max ＝12＋2×0＝12.故x ＋2y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12. 10． 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．10.12 [解析] 如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12－23AB →＋23AC →， 又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线， 所以λ1＝12－23，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.11． 已知f (x )是定义在上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．11．(－5，0)∪(5，＋∞) [解析] 设x <0，则－x >0.因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋4x )．又f (0)＝0，于是不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－（x 2＋4x ）>x . 解得x >5或－5<x <0，故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．12． 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．12.33 [解析] 由题意知F (c ，0)，l ：x ＝a 2c ，不妨设B (0，b )，则直线BF ：x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy－bc ＝0.于是d 1＝|－bc |b 2＋c 2＝bca， d 2＝a 2c －c ＝a 2－c 2c ＝b 2c .由d 2＝6d 1，得⎝⎛⎫b 2c 2＝6⎝⎛⎫bc a 2， 化简得6c 4＋a 2c 2－a 4＝0， 即6e 4＋e 2－1＝0，解得e 2＝13或e 2＝－12(舍去)，故e ＝33，故椭圆C 的离心率为33. 13． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图像上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为2 2，则满足条件的实数a 的所有值为________．13．－1，10 [解析] 由题意知，若a <0，则a ＝－1满足题意；若a >0，则圆(x －a )2＋(y －a )2＝8与y ＝1x(x >0)相切．联立方程，消去y 得x 2－2ax ＋a 2＋1x 2－2ax ＋a 2＝8，即⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2a 2－10＝0. 令Δ＝0得(2a )2－4(2a 2－10)＝0.(*) 解得a ＝10. 此时方程(*)的解为x ＝10±62，满足题意． 综上，实数a 的所有值为－1，10.14． 在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3. 则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．14．12 [解析] 设{a n }的公比为q .由a 5＝12及a 5(q ＋q 2)＝3得q ＝2，所以a 1＝132，所以a 6＝1，a 1a 2…a 11＝a 116＝1，此时a 1＋a 2＋…＋a 11>1.又a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132，a 1a 2…a 12＝26<27－132，所以a 1a 2…a 12>a 1a 2…a 12，但a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132，a 1a 2…a 13＝26·27＝25·28>28－132，所以a 1＋a 2＋…＋a 13<a 1a 2…a 13，故最大正整数n 的值为12.15． 已知＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|－|＝2，求证：；(2)设＝(0，1)，若＋＝，求α，β的值．15．解：(1)由题意得|－＝，即(－)＝－＋2＝2. 又因为＝＝＝＝，所以－＝，即＝，故(2)因为＋＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.16．， 如图1－2，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .图1－216．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.17．如图1－3，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．图1－317．解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.由题意，|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或－34，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以x 2＋（y －3）2＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1， 即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125. 18． 如图1－4，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？图1－418．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．因为0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．19． 设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c ，n ∈*，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈*)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.19．解：由题设，S n ＝na ＋n （n －1）2d . (1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝⎛⎭⎫a ＋d 22＝a ⎝⎛⎭⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c ＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈，有⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D (*)．在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，①19A ＋5B ＋cd 1＝0，②21A ＋5B ＋cd 1＝0，③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c ＝0.20． 设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为实数．(1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．20．解：(1)令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x<0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a >0，进而解得x >a－1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1) 上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ．当x <ln a 时，g ′(x )<0；当x >ln a 时，g ′(x )>0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a >1，即a >e.综上，有a ∈(e ，＋∞)．(2)当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a >0时，令g ′(x )＝e x －a >0，解得a <e x ，即x >ln a ，因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0<a ≤e －1.结合上述两种情况，有a ≤e －1.(i)当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1x>0，得f (x )存在唯一的零点；(ii)当a <0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )<0，f (1)＝－a >0，且函数f (x )在[e a ，1]上的图像不间断，所以f (x )在(e a ，1)上存在零点．另外，当x >0时，f ′(x )＝1x －a >0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )只有一个零点．(iii)当0<a ≤e－1时，令f ′(x )＝1x－a ＝0，解得x ＝a －1.当0<x <a －1时，f ′(x )>0，当x >a －1时，f ′(x )<0，所以，x ＝a －1是f (x )的最大值点，且最大值为f (a －1)＝－ln a －1.①当－ln a －1＝0，即a ＝e －1时，f (x )有一个零点x ＝e.②当－ln a －1>0，即0<a <e －1时，f (x )有两个零点．实际上，对于0<a <e －1，由于f (e －1)＝－1－a e －1<0，f (a －1)>0，且函数f (x )在[e －1，a －1]上的图像不间断，所以f (x )在(e －1，a －1)上存在零点．另外，当x ∈(0，a －1)时，f ′(x )＝1x －a >0，故f (x )在(0，a －1)上是单调增函数，所以f (x )在(0，a －1)上只有一个零点．下面考虑f (x )在(a －1，＋∞)上的情况，先证f (e a －1)＝a (a －2－e a －1)<0，为此，我们要证明：当x >e 时，e x >x 2，设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x －2x ，则l ′(x )＝e x －2.当x >1时，l ′(x )＝e x －2>e －2>0，所以l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x >2时，h ′(x )＝e x －2x >h ′(2)＝e 2－4>0，从而h (x )在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x >e 时，h (x )＝e x －x 2>h (e)＝e e －e 2>0， 即当x >e 时，e x >x 2.当0<a <e －1，即a －1>e 时，f (e a －1)＝a －1－a e a －1＝a (a －2－e a －1)<0，又f (a －1)>0，且函数f (x )在[a －1，e a －1]上的图像不间断，所以f (x )在(a －1，e a －1)上存在零点．又当x >a－1时，f ′(x )＝1x－a <0，故f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数，所以f (x )在(a －1，＋∞)上只有一个零点．综合(i)(ii)(iii)，当a ≤0或a ＝e －1时，f (x )的零点个数为1，当0<a <e －1时，f (x )的零点个数为2. 21． A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图1－1所示，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC . 求证：AC ＝2AD .图1－1证明：联结OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB ， 所以BC OD ＝AC AD.又BC ＝2OC ＝2OD . 故AC ＝2AD .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵＝，＝1,0) 2,6)，求矩阵－1解：设矩阵的逆矩阵为a,c ) b,d )， 则－1,0) 0,2)a,c ) b,d )＝1,0) 0,1)． 即－a,2c ) －b,2d )＝1,0) 0,1)， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而的逆矩阵为－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0,12)))．所以－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0,12)))1,0) 2,6)＝－1,0) －2,3)．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标． 解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2，2)，12，－1.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0. 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .22． 如图1－2所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．图1－222．解：(1)以A A －xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2)设平面ADC 1的法向量为1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以·AD →＝0，·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 23． 设数列{a n }：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k －1k ，…，(－1)k －1k ，k个…，即当（k －1）k 2<n ≤ (k ∈*)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈*)．对于l ∈*，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈*，且1≤n ≤l }．(1)求集合P 11中元素的个数；(2)求集合P 2 000中元素的个数．23．解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈*)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i ＝m 时成立，即S m (2m ＋1)＝－m (2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m (2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m (2m ＋1)－4m －3＝－(2m 2＋5m ＋3)＝－(m ＋1)(2m ＋3)．综合①②可得S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)．于是S (i ＋1)(2i ＋1)＝S i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝－i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝(2i ＋1)(i ＋1)．由上可知S i (2i ＋1)是2i ＋1的倍数，而a i (2i ＋1)＋j ＝2i ＋1(j ＝1，2，…，2i ＋1)，所以S i (2i ＋1)＋j ＝S i (2i ＋1)＋j (2i ＋1)是a i (2i ＋1)＋j (j ＝1，2，…，2i ＋1)的倍数，又S (i ＋1)(2i ＋1)＝(i ＋1)(2i ＋1)不是2i ＋2的倍数．而a (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝－(2i ＋2)(j ＝1，2，…，2i ＋2)，所以S (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝S (i ＋1)(2i ＋1)－j (2i ＋2)＝(2i ＋1)(i ＋1)－j (2i ＋2)不是a (i ＋1)(2i ＋1)＋j (j ＝1，2，…，2i ＋2)的倍数，故当l ＝i (2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为1＋3＋…＋(2i －1)＝i 2，于是，当l ＝i (2i ＋1)＋j (1≤j ≤2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为i 2＋j .又2 000＝31×(2×31＋1)＋47.故集合P 2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.。

2013年值得商榷的数学高考题这几年的高考题越来越注重考查学生的能力和基础知识．但不可否认地说，仍然有需要改进的地方．有些题目不够好或可以改进．我这里谈一点个人意见，希望引起大家讨论、批评．一 概率统计题中的问题由于概率统计题，目前仍是问题比较多，因此，这里先集中谈谈这方面的问题．(一)数学上定位不准确陕西第5题. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是( A ) ()1()1()2()4224A B B B ππππ---评注：几何概率模型考查的是，如何把一个随机现象中求概率的问题转化为计算几何对象测度(长度、面积等)的问题．而这道题重点是计算面积，基本谈不上对随机现象的认识．这样的问题去年也存在，如2012年湖北理8．.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A21121.1...2A B C D ππππ--2013年辽宁 填空第16题为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 10 .评注：统计的作用是提取信息．信息指的是我们要考查对象(总体)中的信息．样本则是随机抽取的．因此，求样本的最大值就没有任何意义．每次抽样样本不同，随机的最大值也会不同．因此，这道题问题的提法就是错误的．另外，在实际问题中，是知道了样本去求样本平均数和方差，怎么会倒过来，由均值、方差等去求最大值呢？这纯粹变成了数字游戏．和统计问题相差万里．(二)概率统计问题中比较突出的是，生编硬造的痕迹严重．2013年湖南理18．(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(II)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．2013年江西理19．(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望．2013年浙江第19题此题的第二问．(本小题满分14分)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．(1)当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若55,,39E Dηη==求a：b：c．2013年江苏填空7．现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为2063．评注：这些题目，人为编造痕迹严重，无论是，问随机取一株作物求相‘接近’的概率或年收获量(湖南18题)，还是向量与合唱团(江西18题)，都极不自然，很难让人认同．浙江18题第二问，已知均值】方差，倒过来求a,b,c的关系也极不自然．而江苏的填空题，出现的‘病毒’，也不知要做什么．(三) 个别题目有些难我们看一下安徽21题．下面是出题者给出的分析和答案．重点看第二问．2013年安徽理21．(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ．(I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (II)求使P (X =m )取得最大值的整数m ．分析： (I)由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；(II)由题意，要先研究随机变量X 的取值范围，由于k ≤n 故要分两类k =n 与k ＜n 进行研究，k =n 时易求，k ＜n 时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P (X =m )，再根据其形式研究它取得最大值的整数m 即可．解：(I)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以A 与B 相互独立，由于()()11,k n k n C k P A P B C n --===故()()1,k P A P B n ==- 因此学生甲收到活动信息的概率是222211.k kn k n n -⎛⎫--= ⎪⎝⎭(II)当k =n 时，m 只能取n ，此时有P (X =m )=P (X =n )=1当k <n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和m 中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k 位”所包含的基本事件总数为()2,m n C 当X =m 时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k −m ，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m −k ，由乘法原理知：事件{X =m }所包含的基本事件数为2,k k m m k k m k m kn k n k n k n k C C C C C C ------= ()()222,k k m m k k m m k n k n kk n k k knn C C C C C P X M C C ------=== 当k ≤m <t 时，P (X =M )<P (X =M +1)⇔(m −k +1)2≤(n −m )(2k −m )⇔m ≤()212.2k k n +-+假如()212.2k k k t n +≤-<+成立，则当(k +1)2能被n +2整除时，()()2211221,22k k k k k t n n ++≤-<+-<++ 故P (X =M )在()2122k m k n +=-+和()21212k m k n +=+-+处达到最大值；当(k +1)2不能被n +2整除时，P (X =M )在()2122k m k n ⎡⎤+=-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦处达到最大值(注：[x ]表示不超过x 的最大整数)，下面证明()212.2k k k t n +≤-<+因为1≤k <n ，所以()()2221111120.2222k k k k kn n k k k n n n n ++-------=≥=≥++++ 而()()221120,22k n k k n n n +-+--=-<++ 故()212,2k k n n +-<+显然()2122,2k k k n +-<+ 因此()212.2k k k t n +≤-<+ 点评： 本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分评注：这道题在两个方面比较难了．首先，如果考虑一个老师，例如李老师，先取了k 个学生，那么张老师选取到的学生中，没有被李老师选到的人数，服从超几何分布．也就是说，这个问题可以转化为学生熟知的超几何分布．讨论就很简单了．但是学生很难看出这一点．从这份答案来看，连出题者都没有能如此做．说明此题是难了．其次，后面的问题由求最大值转化为判断单调区间的问题．而这里涉及的是离散变量．因此，整个的困难变成了对参数的讨论，完全离开了概率的分析．而且这个讨论超出了中学生的水平，难了．如果能对参数给出具体的值，如n =100,k =60等，把问题集中于概率的分析，即突出了对概率的考查，又降低了难度，此题能成为一道不错的概率题．二 考试内容超出了课程标准和考试大纲(一) 递推公式2013年广东 理科第19题(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有121117.4n a a a +++< 评注：递推公式曾在高考题中一再出现．也曾多次受到批评． 此题是，今年高考卷中唯一出现的数列的递推公式考题．关于递推公式，我们所以会不止一次地提出批评．其根本原因是， 它不是数学研究的方向，无论是问题本身，还是其技巧方法，都不值得人们为此而花费精力．举一个类似的例子：我们知道五次和五次以上的代数方程都无法用方程的系数给出其根的解析表达式(除了一些极特殊的方程)．因此，找一些特殊的高次方程去求其解析解，就没有什么意义了．它不是数学研究的方向．同样地，对微分方程与差分方程(递推公式就是差分方程)，除了对一阶线性或某些特殊的方程(如贝努里方程)有通解公式外，主要是给出了高阶常系数线性方程的通解公式，而对一般的方程，特别是非线性方程，无法给出通解的表达式．因此，讨论一些特殊的方程(递推公式)，去求其通项公式，不是数学研究的方向．没有意义．对差分方程(递推公式)来说，数学上，研究的是，这些解的极限行为(趋于一个稳定值、呈现周期现象等)以及初始值或参数对解的影响．这属于离散拓扑动力系统，讨论的问题涉及到我们常听说的‘混沌’、‘分形’等．正是基于以上理由，我们反对在高中讨论这种意义不大的问题，即反对求一般的递推公式．新课标高考后，递推公式一度离开了高考．但前一两年又有所出现．我们曾给出批评．今年递推公式几乎不再出现，这是一个好现象．只有广东这次还有递推公式的题．因此，我们提出批评．希望以后能够杜绝．(二)大学或竞赛的题目这类题的出现也超出了高中课程标准和考试大纲的要求．不过，它一般不是指知识内容的超纲，而是一些比较难的技巧和方法．而这些技巧和方法又往往不是最基本、最本质的东西．2013年福建理科15题当x ∈R ,∣x ∣<1时，有如下表达式：211,1nx x x x +++++=- 两边同时积分得：111112222220000011,1n dx x dx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰ 从而得到如下等式：23111111111ln 2.2223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：2310121111111____.2223212n n n n n n C C C C n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 注： 这里涉及的不是基本思想，而更多地是一种技巧．而且这里还涉及到级数能否逐项积分的问题，在此也无法严格讨论．没有必要用这些东西来考查中学生．2013年安徽理20题(本小题满分13分)设函数()()232221,*,23nn x x x f x x x R n N n =-+++++∈∈证明：(1)对每个n ∈N *，存在唯一的2,1,3n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足f n (x n )=0； (2)对于任意p ∈N *，由(1)中x n 构成数列{x n }满足10;n n p x x n+<-< 证明：(1)对每个n ∈N *，当x >0时，由函数()()232221,*23nn x x x f x x x R n N n =-+++++∈∈可得()2110,23n x x x f x n-'=++++>故函数f (x )在(0，+∞)上是增函数．由于f 1(0)=0，当n ≥2时，()222211110,23n f n=+++> 即f n (1)>0．又232222222233313323nn f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+++++ ⎪⎝⎭2112343ini =⎛⎫≤-+⋅ ⎪⎝⎭∑2112213311120.2343313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+⨯=-< ⎪⎝⎭-根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的2,1,3n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足f n (x n )=0．(2)对于任意p ∈N *，由(1)中x n 构成数列{x n }，当x >0时， 因为()()()()112,1n n n n x f x f x f x n ++=+>+所以f n +1(x n )>f n (x n )=f n +1(x n +1)=0．由 f n +1(x ) 在(0，+∞)上单调递增，可得 x n +1<x n ，即 x n -x n +1>0，故数列{x n }为减数列，即对任意的 n 、p ∈N *，x n ﹣x n +p >0．由于 ()232221,23nn x x x f x x n=-+++++ ①()()()()2322212222123,12nn pn pn pn p n p n p n n n pn pn pn px x x f x x n x x x n n n p ++++++++++++=-+++++⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦+②用①减去②并移项，利用0<x n +p ≤1，可得222211k k k kn pn pnn p nn pn p n n p k k n k n x x x x x x kkk++++++==+=+--=+≤∑∑∑21111111.(1)n pn pk n k n k k k n n p n ++=+=+≤<=-<-+∑∑综上可得，对于任意p ∈N *，由(1)中x n 构成数列{x n }满足0＜x n -x n +p ＜．点评： 本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．评注：这道题也是要用到大学数学系学生常用的放缩法来估计．这种能力对大学学数学的学生是应该要求的．但对高中生来说，就不应该如此要求了．用数学系大学生要会的一些技巧来区分选拔中学生是不适当的．其结果是，中学教学中会补充这些非本质的内容，加重学生负担．除了加入大学一些内容外，还有就是用一些竞赛的难题，如下面湖北和重庆的考题．都超出了对中学生考查的要求．2013年湖北理22(本小题满分14分)设n 是正整数，r 为正有理数．(Ⅰ)求函数f (x )=(1+x )r +1−(r +1)x −1(x >−1)的最小值； (Ⅱ)证明：()()11111111r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++(Ⅲ)设x ∈R ，记[x ]为不小于x 的最小整数，例如[][]322,4, 1.2π⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦令S =++++ 求[S ]的值．(参考数据：4444333380344.7,350.5,124618.3,126≈≈≈≈631.7)解；(Ⅰ)由题意得f '(x )=(r +1)(1+x )r −(r +1)=(r +1)[(1+x )r −1]，令f '(x )=0，解得x =0．当−1<x <0时，f '(x )<0，∴f (x )在(−1，0)内是减函数； 当x >0时，f '(x )>0，∴f (x )在(0，+∞)内是增函数． 故函数f (x )在x =0处，取得最小值为f (0)=0． (Ⅱ)由(Ⅰ)，当x ∈(−1，+∞)时，有f (x )≥f (0)=0， 即(1+x )r +1≥1+(r +1)x ，且等号当且仅当x =0时成立， 故当x >−1且x ≠0，有(1+x )r +1>1+(r +1)x ，①在①中，令1x n =(这时x >−1且x ≠0)，得11111.r r n n++⎛⎫+>+⎪⎝⎭上式两边同乘n r +1，得(n +1)r +1>n r +1+n r (r +1)， 即()111,1r r r n n n r +++-<+②当n >1时，在①中令1x n=-(这时x >−1且x ≠0)，类似可得()111,1r r rnn n r ++-->+③且当n =1时，③也成立． 综合②，③得()()111111,11r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++④(Ⅲ)在④中，令1,3r =n 分别取值81，82，83， (125)得444433333381808281,44⎛⎫⎛⎫⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭444433333382818382,44⎛⎫⎛⎫⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭444433333383828483,44⎛⎫⎛⎫⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………4444333333125124126125,44⎛⎫⎛⎫⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将以上各式相加，并整理得44443333331258012681,44S ⎛⎫⎛⎫⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入数据计算，可得444433333312580210.2,12681210.9,44⎛⎫⎛⎫⋅-≈⋅-≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由[S ]的定义，得[S ]=211．2013年重庆理22(本小题满分12分) 对正整数n ，记I n ={1，2，3…，n }，,.n n n m P m I k I ⎫=∈∈⎬⎭(1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P m 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P m 能分成两人上不相交的稀疏集的并．解：(1)对于集合P 7 ，有n =7． 当k =4时，,n n n P I k I ⎫=∈∈⎬⎭中有3个数(1，2，3)与I 7={1，2，3，…，7}中的数重复，由此求得集合P 7中元素的个数为 7×7−3=46． 又法：当k =41357,1,,2,,3,,2222=有3个数与k =1相同，共有1167446.C C +=(2)先证当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A 和B 为两个不相交的稀疏集，使A ∪B =P n ⊇I n ．不妨设1∈A ，则由于1+3=22，∴3∉A ，即3∈B ．同理可得，6∈A ，10∈B ．又推出15∈A ，但1+15=42，这与A 为稀疏集相矛盾．再证P 14满足要求．当k =1时，14141414,.P I k I I ⎫=∈∈=⎬⎭可以分成2个稀疏集的并集．事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1⋃B1=I14．当k=4时，集合14I⎫∈⎬⎭中，除整数外，剩下的数组成集合13513,,,,,2222⎧⎫⎨⎬⎩⎭可以分为下列2个稀疏集的并：22159113713,,,,,,.2222222A A⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭当k=9时，集合14I⎫∈⎬⎭，除整数外，剩下的数组成集合12451314,,,,,,,333333⎧⎫⎨⎬⎩⎭可以分为下列2个稀疏集的并：3314510132781114,,,,,,,,,.3333333333A B⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭最后，集合1414,,1,4,9C m I k I k⎫=∈∈≠⎬⎭中的数的分母都是无理数，它与P n中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1⋃A2⋃A3⋃C，B=B1⋃B2⋃B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A⋃B=P14．综上可得，n的最大值为14．三其它(一)题目叙述不合适例如，2013年全国新课标Ⅰ卷理科第12题设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…，若b 1>c 1，b 1＋c 1=2a 1，a n＋1=a n，11,,22n n n nn n c a b a b c ++++==则( )A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列评注： 我们要考察学生的阅读能力，特别是阅读数学读物的能力．但是，作为写作者又应该把文章写得清楚明白．不能故意为难人．例如，此题给出的是，一系列周长不变且有一边为定长的三角形．为什么不能很自然地把这一点说明白呢？而故意用符号语言把它写的让人不易看懂．用符号语言是为了简洁清楚．而不是故意让人看不明白．这道题的重点应该是在给定的条件下，考查数列的增减性，这种写法不知作者要考察的是什么．2013年湖北理科14题古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+．记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+正方形数 ()2,4N n n =五边形数 ()231,522N n n n =-六边形数 ()2,62N n n n=- …… 可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = ．评注 什么是三角形数、正方形数、无边形数，……，作者为什么不能给清楚(例如，画图)呢？(二)题目本身意义不清楚2013年广东理13 题给定区域D ：44,4,0,x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩令点集T ={(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z =x +y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定 6 条不同的直线．评注 在线性规划中，为什么会有这个问题？不清楚问题的背景和意义．数学问题就变成了游戏．类似地，下面山东这道题的第三问，两个斜率使得1211kk kk +为定值，有几何意义吗？如果有，应该给出来，如果没有，这还是解析几何的问题吗？变成纯粹的形式推导，不是数学讨论的问题．2013年山东理科22(本小题满分13分)椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的左右焦点分别是F 1，F 2，离心率为2，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值．。

稳中求变，立意新颖——2013年湖北省高考文科数学试题点评2013年湖北省高考文科数学试题命题遵循“有助于高校选拔人才，有助于中学实施素质教育，有助于推动高中数学新课程改革”的原则，注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想方法，考查考生对数学本质的理解水平，体现了课程目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）的要求. 试题在源于教材的同时又具有一定的创新性、探究性和开放性，既考查了考生的共同基础，又考查了考生的学习潜能。

具体特点有：一、全面考查，突出主干知识试题几乎涵盖了高中数学的所有章节的知识内容，基础知识全面考，主干知识重点考。

第8、10、21题考查函数，共23分；第6、18题考查三角函数，共17分；第19题考查数列，共13分；第16、20题考查立体几何，共18分；第2、22题考查解析几何，共19分。

解答题仍然依次考查了三角函数、数列、立体几何、函数与导数、解析几何，与学生平时训练模式相同，让学生觉得亲切、平和、熟悉。

二、注重应用，体现课标精神试题坚持数学应用，关注社会热点。

应用题贴近生活，背景公平。

如第5题“小明骑车上学”贴近生活，第9题“旅行社租用车辆”是社会热点，第16题“天地盆测雨”宣传了数学史，第20题“地质队钻矿”背景公平。

还有信息题，第8题“高斯函数”，第17题“格点”，第21题“调和平均数”，这些题目给出了新的概念。

这些题情景开放，背景新颖，体现了大众数学，拓展了学生数学视野，充分考查学生采集和处理信息的能力。

三、突出能力，难度适当增加试题突出对数学思想方法考查。

体现函数与方程思想的有：第10题、第17题、第22题。

第10题通过构建函数解决方程解的问题；第17题通过构建方程求系数；第22题把存在直线的问题转化为方程存在解的问题。

体现数形结合思想的有：第8题、第10题体现分类讨论思想的有：第19题、第21题。

体现转化与化归思想的有：第5题、第14题，第22题。

体现特殊与一般的思想有：第17题试题整体难度比去年大。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学 (理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{}R x x x M ∈<-=),4)1(|2，{}3,2,1,0,1-=N ，则M N = （ ） （A ）｛0,1，2｝ （B ）｛－1,0，1,2｝（C ）｛－1,0，2,3｝ （D ）｛0,1，2,3｝ 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ,所以M N {}2,1,0=，选A.2、设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -1【答案】A 【解析】i i i i i i i z +-=+-+=-=1)1)(1()1(212，所以选A. 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则1a ＝（ ）（A ） 31（B ） 31- （C ）91 （D ）91- 【答案】C4、已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α， l ⊄β，则（ ）（A ） α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l 【答案】D5、已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数是5，则a ＝（ ） （A ） －4 （B ） －3 （C ）－2 （D ）－1 【答案】D6、执行右面的程序框图，如果输入的10=N ，那么输出的S =（ ）【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，依此类推，选B.7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.8、设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（ ）（A ） a b c >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）C b a >>【答案】D9、已知a ＞0， ,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ， 若23z x y =-＋y 的最小值是1，则a ＝（ ）（A ）41 （B ）21 （C ）1 （D ）210、已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。

2013高考数学试卷分析与专家点评（湖北卷）“稳定和创新”是2013年湖北省高考数学试卷的总体特征，既体现了新课改精神，又贴近新课程教学的实际;今年理科试卷的起点和难度较低，体现人文关怀，又注意甄别选拔功能，既强调依纲靠本，又注重适度创新。

有部分题目较新颖，属于探究式问题，重点突出对学生能力的要求;选择题与填空题重点突出新课标新增内容的知识以及高中数学六大主干知识板块内容的考察，其中新课标新增加的内容难度不大，学生在此处比较容易得分;主干知识依然突出对基本概念、基本思想和基本方法的考察。

此外，选择题第9题考察了期望，题目较简单，计算量略大;填空题13题依然与去年一样考察了柯西不等式，学生只用考虑等式成立条件，就可以轻松解出此题，填空题14题考察了推理与证明，与去年相似，总体突出对学生归纳总结能力的考察;解答题第一个解三角形的题比较常规，学生只需要注意边角转化，正确运用正弦定理就可以解出此题数列题第一问求的是等差数列的通项公式，考生运用等比数列性质求解即可，第二问属于数列与不等式综合的存在性问题，难度适中，与平时练习区别不大。

立体几何，第一问属于探究式问题，第二问与传统的求线面角或已知线面角判断点的位置有所不同，需要学生先用参数求出所需要的角，再证明一个恒等式。

第19题这次没有考分布列与期望，第一问考的是正态分布，好在题目提供了公式与参考数据，学生虽平时复习时易忽略此处，但相信大部分考生依然能正确解出此题，第二问属于线性规划的应用题，考生一般都能解出但应注意格式，这个其实也在警示我们复习时要注意那些我们容易忽略的考点。

圆锥曲线第一问考上只需要考虑一个特殊情况即可，可以很轻松解出此题，第二问其实只是将第一问的结论一般化，计算量较大，但总体难度较去年减小。

压轴题依然考察的是导数与不等式的综合问题，学生第一问一般都能得分，第二问是利用第一问结论去证明，考生只需将所需证明结论还原为第一问函数形式即可，第三问总体难度较大。