2018二次函数压轴题题型归纳
一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=
2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫
⎝⎛++22
B A B A y y x x ，
直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：
（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠
（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k
3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：
① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；
② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）
③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）
例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：
已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。
解：当0=m 时，1=x ；
当0≠m 时，()032
≥-=∆m ，()m m x 213∆±-=
，m
x 3
21-=、12=x ；
综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：
已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；
∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。
（题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122不论m 为何值，方程恒成立）
小结．．：关于x 的方程b ax =有无数解⇔⎩⎨
⎧==0
0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）
（1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。
（2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得
AN MN BM ++之和最小。
8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法 三角形的面积求解常用方法：如上图，S △PAB =1/2 ·PM ·△x
=1/2 ·AN ·△y
9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2）与一次函数（h
kx y ＋＝）
（1）解方程组⎩⎨⎧h
kx y c
bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。
（2）解方程组⎩⎨
⎧h
kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2
即()02＝－＋－＋h c x k b ax ，通过∆可判断两个图象的交点的个数 有两个交点 ⇔ 0＞∆ 仅有一个交点 ⇔ 0=∆ 没有交点⇔0＜∆ 10、方程法
（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度
（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 （3）列方程或关系式 11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形几何要求 几何分析 涉及公式 应用图形
跟平行有关的图形
平移
2121k k l l ＝∥⇔、2121x x y y k --= 平行四边形 矩形 梯形
跟直角有关的图形 勾股定理逆定理
利用相似、全等、平行、对顶角、互
余、互补等
()()2
2B A B A x x y y AB -+-= 直角三角形
直角梯形
矩形
跟线段有关
的图形
利用几何中的全等、中垂线的性质等。 ()()22B A B A x x y y AB -+-= 等腰三角形
全等
等腰梯形
跟角有关的利用相似、全等、
一 基础构图：
y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个） ★和最小，差最大
1在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标 2在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标
★ 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，
求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．
★ 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为等腰三角形，求出P 坐标
★ 讨论平行四边形
1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，
且以B
，A ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标
二综合题型
例1 (中考变式）如图，抛物线c
-
=2与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。
+
y+
x
bx
交Y轴于C
(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。
(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。若没有，请说明理由
(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L，
求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？
当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？
(4)在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、
H、D为顶点的四边形为平行四边形？
(5)在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？
