二次函数压轴题解题技巧
引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
一、动态：动点、动线
1．如图，抛物线与
x 轴交于 (1，0)、(2，0)两点，且1＞2，与
y轴交于点
(0，4)，
A x
B x x x C
其中 x1、 x2是方程 x2－2x－8＝0的两个根．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)点 P是线段 AB上的动点，过点 P 作 PE∥AC，交 BC于点 E，连接 CP，当△ CPE的面积最大时，求点 P 的坐标；
(3) 探究：若点
Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点，使△成为等腰三角
Q QBC
形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
y
C
E
B A
二、圆
OP
2．如图1，在平面直角坐标系xOy，二次函数 y＝ ax2＋bx＋ c( a＞0)的图象顶点为D，与
轴交于点，与
x 轴交于点、，点在原点的左侧，点
B
的坐标为 (3 ， 0) ，＝，
C A BA OB OC
1
tan ∠ACO＝3．x y
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于点 M、N，且以 MN为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的半径长度；
(3)如图 2，若点G(2 ，y) 是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点 P 运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P 的坐标和△ AGP的最大面积．
y y
A B
E O x AC B x
C
C
G D D
图 1图 2
三、比例比值取值范围
3．如图是二次函数y
(x m 2k
的图象，其顶点坐标为 M(1,-4).
)
（1）求出图象与x轴的交点 A,B 的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S PAB 5
S MAB,若存在，求出P 点的坐标；4
若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一
个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y x b (b1) 与此图象有两个公共点
时， b 的取值范围.
四、探究型
4. 如图，直线y 3x3交 x 轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x 轴于
另一点 C（3,0 ） . ⑴求抛物线的解析式 ;
y
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ ABQ是等腰三角形？
若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由 .B
A
O C x
五、最值类
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y x2bx c 的图象与x轴交于 A、B 两点， A 点在
原点的左侧，
B 点的坐标为（3， 0），与 y 轴交于（ 0，
C
-3 ）点，点P 是直线 BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四
//
边形 POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C
为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在
2
请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
课后作业
1．在平面直角坐标系中，已知A( － 4， 0) ，B(1 ， 0) ，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点 C，过点 C作圆的切线交 x 轴于点 D．
（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰
好与 x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．
y
C
A B D
－4O 1
x
2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上， OA＝2， OC＝3．过原点 O作∠ AOC的平分线交 AB于点 D，连接 DC，过点 D 作 DE⊥ DC，交 OA于点 E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
y轴的正半轴交于点
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与F，另一边与
线段 OC交于点 G．如果 DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点 M的横坐标
为
6
，那么 EF
＝2 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
5
GO
（3）对于（ 2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线 GQ与AB的交点P 与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
y
D
A B
E
O C x
3
