2019中考二次函数压轴题专题分类训练

最值问题定角对定边（弦）模型1．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）∴解得：∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3（2）在y轴上存在点P，使得△P AM为直角三角形．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴顶点M（1，4）∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20设点P坐标为（0，p）∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2①若∠P AM＝90°，则AM2+AP2＝MP2∴20+9+p2＝17﹣8p+p2解得：p＝﹣∴P（0，﹣）②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2∴9+p2+17﹣8p+p2＝20解得：p1＝1，p2＝3∴P（0，1）或（0，3）③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2∴20+17﹣8p+p2＝9+p2解得：p＝∴P（0，）综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△P AM为直角三角形．（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H∵DG⊥x轴于点G∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°∴四边形IEGH是矩形∵点I为△ADG的内心∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG∴矩形IEGH是正方形设点I坐标为（m，n）∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m∵DA＝OA＝3∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m∴DG＝DH+HG＝m+n∵DG2+AG2＝DA2∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0配方得：（m﹣）2+（n+）2＝∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动∴当点I在线段CQ上时，CI最小∵CQ＝∴CI＝CQ﹣IQ＝∴CI最小值为．求面积最值有新意1．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x 轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠P AE≠∠CAO，∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，此时，即：，∴AE＝4PE，设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，∴OE＝4k﹣2，将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：k＝0或（舍去0），则点P（，）；（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，∴，∴S△PDF＝•S△BOC，而S△BOC＝OB•OC＝＝16，BC＝＝4，∴S△PDF＝•S△BOC＝PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝．定值问题1.（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为36；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．解：（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6，∴正方形面积为36；有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0；故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，y Q＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，当m＝﹣1，y Q最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），当m＜﹣1时，y Q随m的增大而增大，当m＝﹣2时，y Q最小＝3，当m＞﹣1时，y Q随m的增大而减小，当m＝4时，y Q最小＝﹣21，∴3＞﹣21，∴y Q最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），最低位置时的坐标为（4，﹣21）；②当双曲线y＝经过点B（﹣2，﹣2）时，k＝4，∴N（4，1），∵顶点P（m，n）在边BC上，∴n＝﹣2，∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）与边AB、DC分别交于点E、F，∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2），∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2，∴＝﹣，∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1），∵AE＝NF，点F在点N下方，∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2，∴12a（m﹣1）＝3，∴a（m﹣1）＝，∴＝；③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），∴y M＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4），即y M＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），∵a＞0，∴对应每一个a（a＞0）值，当m＝1时，y M最小＝﹣2，当m＝﹣2或4时，y M最大＝9a﹣2，当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2，∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2），∵点E在边AB上，且此时不与B重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，∴0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2，∴E（﹣2，﹣2），F（4，36a﹣2），∵点F在边CD上，且此时不与C重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，解得0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，综上所述，抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方；2.（2019•泰州）已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝（m＞0，x＞0）．（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．①求m，k的值；②直接写出当y1＞y2时x的范围；（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝（x＞0）的图象相交于点C．①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交与点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．解：（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝2，将点A的坐标代入反比例函数得：m＝3×4＝12；②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n），则BD＝2+n﹣m，BC＝m﹣n，DC＝2+n﹣n＝2则BD＝BC或BD＝DC，即：2+n﹣m＝m﹣n，或m﹣（2+n）＝2即：m﹣n＝1或4；②点E的横坐标为：，d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），m﹣n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值，当1﹣＝0时，此时k＝1，从而d＝1．存在性问题锐角三角形存在性1．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．D为顶点，直线AC交对称轴于点E，直线BE 交y轴于点F，AC：CE＝2：1．（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．解：（1）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∵OA＜OB，∴对称轴在y轴右侧，即∵a＞0，∴b＜0；（2）①过点D作DM⊥Oy，则，∴，设A（﹣2m，0）m＞0，则AO＝2m，DM＝m∵OC＝4，∴CM＝2，∴D（m，﹣6），B（4m，0），则，∴OE＝8，S△BEF＝×4×4m＝8，∴m＝1，∴A（﹣2，0），B（4，0），设y＝a（x+2）（x﹣4），即y＝ax2﹣2ax﹣8a，令x＝0，则y＝﹣8a，∴C（0，﹣8a），∴﹣8a＝﹣4，a＝，∴；②由①知B（4m，0）C（0，﹣4）D（m，﹣6），则∠CBD一定为锐角，CB2＝16m2+16，CD2＝m2+4，DB2＝9m2+36，当∠CDB为锐角时，CD2+DB2＞CB2，m2+4+9m2+36＞16m2+16，解得﹣2＜m＜2；当∠BCD为锐角时，CD2+CB2＞DB2，m2+4+16m2+16＞9m2+36，解得，综上：，；故：．相似存在唯一性（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是（2，9）；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．①当n＝时，求DP的长；②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围＜n＜．解：（1）顶点为D（2，9）；故答案为（2，9）；（2）对称轴x＝2，∴C（2，），由已知可求A（﹣，0），点A关于x＝2对称点为（，0），则AD关于x＝2对称的直线为y＝﹣2x+13，∴B（5，3），①当n＝时，N（2，），∴DA＝，DN＝，CD＝当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，∵△DAC∽△DPN，∴，∴DP＝9；当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA，∴△DNQ∽△DCA，∴，∴DP＝9；综上所述，DN＝9；②当PQ∥AB，DB＝DP时，DB＝3，∴，∴DN＝，∴N（2，），∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，＜n＜；故答案为＜n＜；动点产生的图形存在性1.（2019·邵阳）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式，（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A．B两点，过A．B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值，（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P 向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值，若不能，请说明理由．解：（1）将（0，0），（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x．（2）当y＝m时，﹣x2+x＝m，解得：x1＝4﹣，x2＝4+，∴点A的坐标为（4﹣，m），点B的坐标为（4+，m），∴点D的坐标为（4﹣，0），点C的坐标为（4+，0）．∵矩形ABCD为正方形，∴4+﹣（4﹣）＝m，解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4．∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．（3）以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0）．设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0），将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．当x＝2+t时，y＝﹣x2+x＝﹣t2+t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4，∴点E的坐标为（2+t，﹣t2+t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）．∵以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF，∴AQ＝EF，分三种情况考虑：①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴t＝﹣t2+t，解得：t1＝0（舍去），t2＝4，②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴8﹣t＝﹣t2+t，解得：t3＝4（舍去），t4＝6，③当7＜t≤8时，如图3所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t+4﹣（﹣t2+t+4）＝t2﹣t，∴8﹣t＝t2﹣t，解得：t5＝2﹣2（舍去），t6＝2+2．综上所述：当以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4，6或2+2．．已知角平分线的相关计算1.（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．解：（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），将A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边，①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，﹣2x﹣3），将Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣2x﹣3＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2，解得，x＝0或x＝﹣1，因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣1，0）；②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣x2﹣x+2，得x2﹣2x﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2，解得，x＝3，或x＝﹣，此时点P的坐标为（3，0）或（﹣，）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣x2+2x﹣3═﹣（2﹣x）2﹣（2﹣x）+2，解得，x＝0或x＝﹣3，因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣3，12），综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣，）或（﹣3，12）；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°，由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT，∴△PSC∽△RTC，∴，设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），所以有，整理得，x1+x2＝4，在Rt△PRH中，tan∠PRH＝＝过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，），若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH，所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，所以2m ＝， 解得，m ＝， 所以点Q 坐标为（，﹣7+）或（，﹣7﹣）．2.（19-20长郡期末25题）如图1，抛物线2: 2W y ax =-的顶点为点A ，与x 轴的负半轴交于点D ，直线AB 交抛物线W 于另一点C ，点B 的坐标为()1,0．（1）求直线AB 的解析式；（2）过点C 作CE x ⊥轴，交x 轴于点E ，若AC 平分DCE ∠，求抛物线W 的解析式； （3）若12a =，将抛物线W 向下平移()0m m >个单位得到抛物线1W ，如图2，记抛物线1W 的顶点为1A ，与x 轴负半轴的交点为1D ，与射线BC 的交点为1C ．问：在平移的过程中，11tan D C B ∠是否恒为定值？若是，请求出11tan D C B ∠的值；若不是，请说明理由．【详解】（1）∵抛物线W ：22y ax =-的顶点为点A ， ∴点2(0)A -，， 设直线AB 解析式为y kx b =+，∵B （1，0），∴20b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得：22k b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为：22y x =-．（2）如图，过点B 作BN CD ⊥于N ，∵AC 平分，DCE BN CD BE CE ∠⊥⊥,,，∴BN BE =，∵90,BND CED BDN CDE ∠=∠=︒∠=∠， ∴BND CED V :V ， ∴BN DB CE CD=， ∴BE DB CE CD =， ∵//AO CE ， ∴12BO BE DB AO CE CD===， 设,BE x BD y ==，则2,2CE x CD y ==， ∵222CD DE CE =+，∴()22244y x y x =++，∴()()530x y x y +-=， ∴53y x =， ∴点()1,2C x x +，点51,03D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴点C ，点D 是抛物线W ：22y ax =-上的点，∴()2221250123x a x a x ⎧=+-⎪⎨⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎩， ∵x ＞0， ∴25113x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 解得：10x =(舍去)，23925x =， ∴2539012325a ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭， ∴2532a =， ∴抛物线解析式为：225232y x =-．（3）11tan D C B ∠恒为定值，理由如下： 如图，过点1C 作1C H x ⊥轴于H ，过点C 作CG x ⊥轴G ，过点B 作BF CD ⊥于点F ， ∵a=12， ∴抛物线W 的解析式为y=12x 2-2， ∵将抛物线W 向下平移m 个单位，得到抛物线1W ， ∴抛物线1W 的解析式为：2122y x m =--， 设点1D 的坐标为()(),00t t <， ∴21022t m =--， ∴2122m t +=， ∴抛物线1W 的解析式为：221122y x t =-， ∵抛物线1W 与射线BC 的交点为1C ， ∴22221122y x y x t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 解得：11222x t y t =-⎧⎨=-⎩，22222x t y t =-⎧⎨=+⎩(不合题意舍去)， ∴点1C 的坐标()2,22t t --，∴122,2C H t OH t =-=-，∴()11222D H DO OH t t t =+=-+-=-， ∴11C H D H =，且1C H x ⊥轴，1145C D H ∴=o ，∵2122y x =-与x 轴交于点D ， ∴点()2,0D -， ∵22y x =-与2122y x =-交于点C ，点A ， ∴222122y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 解得：46x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=-⎩，∴点()4,6C ，A （0，-2），∴6,246GC DG OD OG ==+=+=， ∴DG CG =，且CG x ⊥轴， ∴1145GDC C D H ∠=︒=∠， ∴11//C D CD ， ∴11D C B DCB ∠=∠， ∴11tan D C B tan DCB ∠=∠，∵45,,213CDB BF CD BD OD OB ∠=⊥=+=+=o， ∴45FDB FBD ∠=∠=o ，∴,3DF BF DB ===，∴DF BF ==∵点()2,0D -，点()4,6C ， ∴CD ==，∴92CF CD DF =-=， ∴1113BF tan D C B tan DCB CF ∠=∠==， ∴11tan D C B ∠恒为定值．已知面积比的相关计算1.（2019•十堰）已知抛物线y ＝a （x ﹣2）2+c 经过点A （﹣2，0）和C （0，），与x 轴交于另一点B ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图，点E ，F 分别在线段AB ，BD 上（E 点不与A ，B 重合），且∠DEF ＝∠A ，则△DEF 能否为等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由； （3）若点P 在抛物线上，且＝m ，试确定满足条件的点P 的个数．解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点D坐标（2，3）．（2）可能．如图1，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），∴AB＝8，AD＝BD＝5，①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．②当DE＝EF时，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE＝AD＝5③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，△FDE∽△DAB，∴＝，∴＝＝，∵△AEF∽△BCE∴＝＝，∴EB＝AD＝，答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+×3×（n﹣2）﹣×4×3＝﹣（n﹣4）2+，∵﹣＜0，∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，∵＝m，∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝＝，观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P的个数有4个，当m＝时，满足条件的点P的个数有3个，当m＞时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．2.（2019年湖南省益阳市）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C 两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．（1）求抛物线对应的二次函数表达式，（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由，（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA．PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若点A．B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（，）．解：（1）函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，（2）OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，∴S四边形OMAD＝S△OBM，（3）设点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，解得：m＝﹣1或4，故点P（4，﹣5），如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，由（2）知：点N是PQ的中点，将点C（﹣1，0）、P（4，﹣5）的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，同理直线AC的表达式为：y＝2x+2，直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D（0，3），同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣，即点Q（﹣，），∵点N是PQ的中点，由中点公式得：点N（，﹣）．3.（2019年湖南省常德市）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式，（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值，（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3），则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，∵﹣2＜0，故当x＝﹣＝2，C有最大值，最大值为10，此时x＝2，点N（0，3）与点D重合，（3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的，则S△PNC＝×MN×GM＝×2×3＝，连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，过点P作PK∥⊥CD于点K，将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，解得：PH＝＝HG，则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，解得：x＝，故点P（，），直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，即点P′、P″的坐标分别为（，）、（，），故点P坐标为：（，）或（，）或（，）．4.（2019年湖南省湘西州）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式，（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值，（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由，（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2∴A（2，0）∵OA：AD＝1：3∴AD＝3OA＝6∵四边形ABCD是矩形∴AD⊥AB∴D（2，﹣6）∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8∴抛物线对称轴为直线x＝4∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）∴y C＝y D＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称∴x C＝4+（4﹣x D）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）∴AB＝CD＝4，B（6，0）∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4∴M（6，﹣4）∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上∴M'（6，4），FM＝FM'∵N为CD中点∴N（4，﹣6）∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小∴C四边形MNGF＝MN+M'N'＝＝2+10＝12∴四边形MNGF周长最小值为12．（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．过点P作PE∥y轴交直线OD于点E∵D（2，﹣6）∴OD＝，直线OD解析式为y＝﹣3x设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧∴PE＝y E﹣y P＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝PE•x P+PE•（x D﹣x P）＝PE（x P+x D﹣x P）＝PE•x D＝PE＝﹣t2+t ∵△ODP中OD边上的高h＝，∴S△ODP＝OD•h∴﹣t2+t＝×2×方程无解②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧∴PE＝y P﹣y E＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝PE•x P﹣PE•（x P﹣x D）＝PE（x P﹣x P+x D）＝PE•x D＝PE＝t2﹣t∴t2﹣t＝×2×解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6∴P（6，﹣6）综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L∵KL平分矩形ABCD的面积∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4∴K（m，0），L（2+m，0）连接AC，交KL于点H∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD∴S△AHK＝S△CHL∵AK∥LC∴△AHK∽△CHL∴∴AH＝CH，即点H为AC中点∴H（4，﹣3）也是KL中点∴∴m＝3∴抛物线平移的距离为3个单位长度．4．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y ＝x2；（2）y＝（x﹣1）2﹣4与x轴正半轴的交点A（3，0），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝4，∴y＝﹣x+4，y＝﹣x+4与y＝（x﹣1）2﹣4的交点为﹣x+4＝（x﹣1）2﹣4的解，∴x＝3或x＝﹣，∴B（﹣，），设P（t，﹣t+4），且﹣＜t＜3，∵PQ∥y轴，∴Q（t，t2﹣2t﹣3），①当AP＝AQ时，|4﹣t|＝|t2﹣2t﹣3|，则有﹣4+t＝t2﹣2t﹣3，∴t＝，∴P点横坐标为；②当AP＝PQ时，PQ＝﹣t2+t+7，P A＝（3﹣t），∴﹣t2+t+7＝（3﹣t），∴t＝﹣；∴P点横坐标为﹣；（3）设经过M与N的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，∴k＝2m，直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，∴E（，mn），∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，∴（m﹣n）3﹣＝4，∴（m﹣n）3＝8，∴m﹣n＝2；含参数二次函数分类讨论1．（2019•天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y ＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣；联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，∵抛物线C与直线l有交点，∴△＝9﹣8a≥0，∴a≤且a≠0；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；2.（2019•长沙）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值，（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围，（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好≤≤，求m，n的值．解：（1）由题可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1．∴．∴b＝6，c＝2019．（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入解析式可得：．∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0．∴c＝2x02+2020，∴c＞2020，（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．∴y≤1．∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好≤≤，∴≤．∴．∴≤1，即m≥1．∴1≤m＜n．∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下，∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小．∴当x＝m时，y最大值＝﹣2m2+4m﹣1．当x＝n时，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．又，∴．将①整理，得2n3﹣4n2+n+1＝0，变形，得2n2（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0．∴（n﹣1）（2n2﹣2n﹣1）＝0．∵n＞1，∴2n2﹣2n﹣1＝0．解得n1＝（舍去），n2＝．同理，由②得到：（m﹣1）（2m2﹣2m﹣1）＝0．∵1≤m＜n，∴2m2﹣2m﹣1＝0．解得m1＝1，m2＝（舍去），m3＝（舍去）．综上所述，m＝1，n＝．3.（2019•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，得﹣2b+c＝0，∴c＝2b；（2）m＝﹣，n＝，∴n＝，∴n＝2b﹣m2，（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，对称轴x＝﹣，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴0≤b≤8，∴﹣4≤x＝﹣≤0，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，∴b＝6或b＝﹣10，∵4≤b≤8，∴b＝6；当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，∴b＝2或b＝18，∵2≤b≤4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6；求抛物线解析式1.（2019·怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标,（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值,②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形,③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3，即点A．B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，点P（1，4）,（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得：x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，同理：y1y2＝9﹣4k2，①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，|x2﹣x1|＝，解得：k＝±2,②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），则直线PM表达式中的k1值为：，直线PN表达式中的k2值为：，为：k1k2＝＝＝﹣1，故PM⊥PN，即：△PMN恒为直角三角形,③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，设点H坐标为（x，y），则x＝＝1﹣k，y＝（y1+y2）＝（6﹣k2），整理得：y＝﹣2x2+4x+1，即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．2.（2019·株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标，②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．解：（1）①∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）②证明：当y＝x时，x2﹣2x﹣1＝x整理得：x2﹣3x﹣1＝0∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根即二次函数y＝x2﹣2x﹣1有两个不同的“不动点”．（2）把b＝c3代入二次函数得：y＝ax2+c3x+c∵二次函数与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0）即x1、x2为方程ax2+c3x+c＝0的两个不相等实数根∴x1+x2＝﹣，x1x2＝∵当x＝0时，y＝ax2+c3x+c＝c∴C（0，c）∵E（1，0）∴CE＝，AE＝1﹣x1，BE＝x2﹣1∵DF⊥y轴，OC＝OD∴DF∥x轴∴∴EF＝CE＝，CF＝2∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB∴△AEF∽△CEB∴，即AE•BE＝CE•EF∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1+c2展开得：1+c2＝x2﹣1﹣x1x2+x11+c2＝﹣﹣1﹣c3+2ac2+2c+4a＝0c2（c+2a）+2（c+2a）＝0（c2+2）（c+2a）＝0∵c2+2＞0∴c+2a＝0，即c＝﹣2a∴x1+x2＝﹣＝4a2，x1x2＝＝﹣2，CF＝2＝2∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16a4+8∴AB＝x2﹣x1＝∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P∴△PFC∽△PBA∴∴解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去）∴c＝﹣2a＝﹣2，b＝c3＝﹣4∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣23．（2019•孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（4，0），线段AC的长为2，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4．（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4﹣m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小．解：（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4，令y＝0，则x＝4或﹣2，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），则AC＝2，故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2、y＝x2﹣x﹣4；（2）①当BC是平行四边形的一条边时，如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B，设：点P（n，n2﹣n﹣4），点Q（m，0），则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q，即：n+4＝m，n2﹣n﹣4+4＝0，解得：m＝4或6（舍去4），即点Q（6，0）；②当BC是平行四边形的对角线时，设点P（m，n）、点Q（s，0），其中n＝m2﹣m﹣4，由中心公式可得：m+s＝﹣2，n+0＝4，解得：s＝2或4（舍去4），故点Q（2，0）；故点Q的坐标为（2，0）或（6，0）；（3）如图2，过点P作PH∥x轴交BC于点H，∵GP∥y轴，∴∠HEP＝∠ACB，∵PH∥x轴，∴∠PHO＝∠AOC，∴△EPH∽△CAO，∴，即：，则EP＝PH，设点P（t，y P），点H（x H，y P），则t2﹣t﹣4＝x H﹣4，则x H＝t2﹣t，f＝PH＝[t﹣（t2﹣t）]＝﹣（t2﹣4t），当t＝m时，f1＝（m2﹣4m），当t＝4﹣m时，f2＝﹣（m2﹣2m），则f1﹣f2＝﹣m（m﹣），则0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0，f1＞f2．。

2019年中考数学压轴题专项训练：二次函数1．如图，已知抛物线y ＝x 2﹣x ﹣n （n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．（1）若AB ＝4，求n 的值；（2）如图，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；（3）如图，在（2）的条件下，若点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，是否存在以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求P 点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当y ＝0时， x 2﹣x ﹣n ＝0，解得：x 1＝，x 2＝，∴点A 的坐标为（，0），点B 的坐标为（，0）．∵AB ＝4，∴﹣＝4， 整理，得：9+8n ＝16，解得：n ＝．（2）当x ＝0时，y ＝x 2﹣x ﹣n ＝﹣n ，∴点C 的坐标为（0，﹣n ）．∵△ABC 为直角三角形，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACO +∠BCO ＝90°，∠CBO +∠BCO ＝90°，∴∠ACO ＝∠CBO ．又∵∠AOC ＝∠COB ＝90°，∴△AOC ∽△COB ，∴＝，∴OA •OB ＝OC 2，即﹣•＝n 2， 整理，得：n 2﹣2n ＝0，解得：n 1＝0（舍去），n 2＝2．（3）由（2）可知，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（0，﹣2），抛物线的对称轴为直线x ＝．设点P 的坐标为（m ， m 2﹣m ﹣2），分两种情况考虑，如图2所示：①若BC 为边，当四边形BCP 1Q 1为平行四边形时，﹣m ＝4﹣0，解得：m ＝﹣，∴点P 1的坐标为（﹣，）；当四边形BCQ 2P 2为平行四边形时，m ﹣＝4﹣0，解得：m ＝，∴点P 2的坐标为（，）．②若BC 为对角线，设BC ，P 3Q 3的交点为M ，∵点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（0，﹣2），∴点M 的坐标为（2，﹣1），∴+m ＝2×2，解得：m ＝，∴点P 3的坐标为（，﹣）．综上所述：存在以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为（﹣，），（，）或（，﹣）．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）交直线y＝kx+n（k＞0）于A（1，1），B两点，交y轴于点C，直线AB交y轴于点D．已知该抛物线的对称轴为直线x＝．（1）求a，b的值；（2）记直线AB与抛物线的对称轴的交点为E，连结CE，CB．若△CEB的面积为，求k，n的值．解：（1）由题意，得，解得，故所求a 的值为1，b 的值为﹣5；（2）如图，设点B （m ，m 2﹣5m +5），过A 作AG ⊥y 轴于G ，过B 作BF ⊥x 轴于F ，延长GA 交BF 于H ．∵DG ∥BF ，∴＝，即＝，∴DG ＝m ﹣4，∴CD ＝m ．∵S △CEB ＝S △CDB ﹣S △CDE ，∴m 2﹣m ×＝，解得m 1＝﹣（舍去），m 2＝6．把A （1，1），B （6，11）代入y ＝kx +n ，得，解得．故所求k 的值为2，n 的值为﹣1．3．如图，已知直线＝﹣2x +m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 相交于A ，B 两点，且点A （1，4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求m 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是x轴上一点，当△ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标．解：（1）将点A坐标代入y＝﹣2x+m得：4＝﹣2+m，解得：m＝6；（2）y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点B（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（3）①当∠ABP＝90°时，直线AB的表达式为：y＝﹣2x+6，则直线PB的表达式中的k值为，设直线PB的表达式为：y＝x+b，将点B的坐标代入上式得：0＝3+b，解得：b＝﹣，即直线PB的表达式为：y＝x﹣，当x＝1时，y＝﹣1，即点P（1，﹣1）；②当∠AP（P′）B＝90°时，点P′（1，0）；故点P的坐标为（1，﹣1）或（1，0）．4．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，2），它的顶点为D（1，m）且tan∠COD＝（1）求m的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．若点A是由原抛物线上的点E平移所得，求点E的坐标．解：（1）顶点为D（1，m），且tan∠COD＝，则m＝3，则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+3，即：a+3＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2；（2）设：抛物线向上平移n个单位，则函数表达式为：y＝﹣x2+2x+2+n，令y＝0，则x＝1+，令x＝0，则y＝2+n，∵OA＝OB，∴1+＝2+n，解得：n＝1或﹣2（舍去﹣2），则点A的坐标为（3，0），故点E（3，﹣1）．5．如图，抛物线y＝ax2﹣bx+3交x轴于B（1，0），C（3，0）两点，交y轴于A点，连接AB，点P为抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P到直线AB的距离为时，求点P的横坐标；（3）当△ACP和△ABC的面积相等时，请直接写出点P的坐标．解：（1）用交点式抛物线表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3…①，则点A（0，3）；（2）过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HG∥x轴交过点P平行于y轴的直线于点G，则∠ABO＝∠HPG＝α，在△AOB中，tan ABO＝＝3＝tanα，设PG＝n，则HG＝3n，PH＝，即：n2+9n2＝（）2，解得：n＝，则直线直线AB的表达式为：y＝﹣3x+3，设点H（m，3﹣3m），则点P（m+，﹣3m），将点P坐标代入①式并整理得：3m2+11m﹣14＝0，解得：m＝1或﹣，故点P的横坐标为：或﹣；（3）参考（2）作△P′G′H′，过点O作OM⊥AC于点M，∵△AC P和△ABC的面积相等，∴P′H′＝OM，∵OA＝OB，∴∠ACO＝45°，∴OM＝，即：P′H′＝OM＝，按照（2）的方法，同理可得：点P′的坐标为（，）或（，）．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣﹣x+2与x轴交于B、C两点，与y 轴交于点A，抛物线的顶点为D．连接AB，点E是第二象限内的抛物线上的一动点，过点E作EP⊥BC于点P，交线段AB于点F．（1）连接EA、EB，取线段AC的中点Q，当△EAB面积最大时，在x轴上找一点R使得|RE 一RQ|值最大，请求出R点的坐标及|RE﹣RQ|的最大值；（2）如图2，在（1）的条件下，将△PED绕E点旋转得△ED′P′，当△AP′P是以AP 为直角边的直角三角形时，求点P′的坐标．解：（1）∵y ＝0时，﹣x 2﹣x +2＝0，解得：x 1＝﹣3，x 2＝1 ∴B （﹣3，0），C （1，0）∵x ＝0时，y ＝2，∴A （0，2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b∴ 解得：∴直线AB 的解析式为：y ＝x +2设点E （e ，﹣e 2﹣e +2），则点F （e ， e +2）∴EF ＝﹣e 2﹣e +2﹣（e +2）＝﹣e 2﹣2e∴S △EAB ＝OB •EF ＝×3•（﹣e 2﹣2e ）＝﹣e 2﹣3e ＝﹣（e +）2+ ∵﹣3＜e ＜0∴当e ＝﹣时，△EAB 的面积最大，∴﹣e 2﹣e +2＝∴此时点E 坐标为（，）如图1，连接并延长EQ ，交x 轴于点R ，则此时|RE ﹣RQ |＝EQ 值最大 ∵Q 是AC 中点∴Q （，1）设直线EQ 解析式为：y ＝ax +c∴ 解得：∴直线EQ 解析式为：y ＝x +当y ＝0时，x +＝0，解得：x ＝∴R （，0）此时|RE ﹣RQ |的最大值EQ ＝（2）设点P '坐标为（m ，n ）∵EP ⊥x 轴，E （，）∴P （，0），EP ＝，AP ＝i ）当∠P 'PA ＝90°时，如图2，过点P '作P 'M ⊥x 轴于点M ， ∴∠P 'MP ＝∠POA ＝90°，∠PP 'M +∠P 'PM ＝∠P 'PM +∠APO ＝90° ∴∠PP 'M ＝∠APO∴△PP 'M ∽△APO∴ 即：整理得：4n +3m ＝①∵EP '＝EP∴（m +）2+（n ﹣）2＝（）2②联立①②解方程组得：（舍去）∴P '（，）ii ）当∠PAP '＝90°时，如图3，过点P '作P 'N ⊥y 轴于点N ，由△P 'AN ∽△APO 得即： 整理得：3m +4n ＝8①∵EP '＝EP∴（m+）2+（n﹣）2＝（）2②联立①②解方程组得：∴P'（，）或（，）综上所述，当△AP′P是以AP为直角边的直角三角形时，点P′的坐标为（，）或（，）或（，）7．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y＝x﹣3经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，求tan∠BDE的值．（1）解：∵直线y＝x﹣3经过B、C两点，∴B（3，0），C（0，﹣3），∵y＝x2+bx+c经过B、C两点，∴，解得，故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）解：如图，过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是直线x＝1，C（0，﹣3）．∴D（2，﹣3）．从而得CD＝OE＝2，DE＝3．∵B（3，0），∴BE＝1．在Rt△DEB中，∠DEB＝90°．∴tan∠BDE＝＝．8．如图，对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（﹣3，0），C 为抛物线与y 轴的交点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且S △POC ＝2S △BOC ，求点P 的坐标．解：（1）∵抛物线的对称轴为x ＝﹣1，A 点的坐标为（﹣3，0），∴点B 的坐标为（1，0）． 将点A 和点B 的坐标代入抛物线的解析式得： 解得：b ＝2，c ＝﹣3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3．（2）∵将x ＝0代y ＝x 2+2x ﹣3入，得y ＝﹣3， ∴点C 的坐标为（0，﹣3）． ∴OC ＝3．∵点B 的坐标为（1，0）， ∴OB ＝1．设点P 的坐标为（a ，a 2+2a ﹣3），则点P 到OC 的距离为|a |． ∵S △POC ＝4S △BOC ，∴OC •|a |＝OC •OB ，即×3×|a |＝2××3×1，解得a ＝±2． 当a ＝2时，点P 的坐标为（2，5）； 当a ＝﹣2时，点P 的坐标为（﹣2，﹣3）． ∴点P 的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）．9．定义：若抛物线的顶点和与x 轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛物线为正抛物线． 概念理解：（1）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点．试证明：以点A 为顶点，且与x 轴交于D 、C 两点的抛物线是正抛物线； 问题探究：（2）已知一条抛物线经过x 轴的两点E 、F （E 在F 的左边），E （1，0）且EF ＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展：（3）将抛物线y 1＝﹣x 2+2x +9向下平移9个单位后得新的抛物线y 2．抛物线y 2的顶点为P ，与x 轴的两个交点分别为M 、N （M 在N 左侧），把△PMN 沿x 轴正半轴无滑动翻滚，当边PN 与x 轴重合时记为第1次翻滚，当边PM 与x 轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y 2的顶点P 的对应点坐标．解：（1）证明：∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点∴AD ＝BD ＝CD ＝BC∵抛物线以A 为顶点与x 轴交于D 、C 两点 ∴AD ＝AC ∴AD ＝AC ＝CD ∴△ACD 是等边三角形∴以A 为顶点与x 轴交于D 、C 两点的抛物线是正抛物线．（2）∵E （1，0）且EF ＝2，点F 在x 轴上且E 在F 的左边 ∴F （3，0）∵一条经过x 轴的两点E 、F 的抛物线为正抛物线，设顶点为G ∴△EFG 是等边三角形∴x G ＝，|y G |＝①当G （2，）时，设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）2+把点E （1，0）代入得：a +＝0∴a ＝﹣∴y ＝﹣（x ﹣2）2+②当G （2，﹣）时，设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）2﹣把点E （1，0）代入得：a ﹣＝0∴a ＝∴y ＝（x ﹣2）2﹣综上所述，这条抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣2）2+或y ＝（x ﹣2）2﹣（3）∵抛物线y 1＝﹣x 2+2x +9＝﹣（x ﹣）2+12∴y 1向下平移9个单位后得抛物线y 2＝﹣（x ﹣）2+3∴P （，3），M （0，0），N （2，0）∴PM ＝MN ＝PN ＝2∴△PMN 是等边三角形∴第一次翻滚顶点P 的坐标变为P 1（4，0），第二次翻滚得P 2与P 1相同，第三次翻滚得P 3（7，3）即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n 能被3整除时，点P 纵坐标为3，横坐标为：+n ×2＝（2n +1）∵2019÷3＝673∴（2×2019+1）×＝4039∴当第2019次翻滚后抛物线y 2的顶点P 的对应点坐标为（4039，3）．10．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）经过点B ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M ′．将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l ′，当直线l ′与直线AM ′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d 1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．解：（1）令x＝0代入y＝﹣3x+3，∴y＝3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴3＝﹣3a，∴a＝﹣1，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，∴0＝﹣x2+2x+3，∴x＝﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，令y＝0代入y＝﹣3x+3，∴x＝1，∴A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），S＝S四边形OAMB ﹣S△AOB＝S△OBM +S△OAM﹣S△AOB＝×m×3+×1×（﹣m2+2m+3）﹣×1×3＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，S取得最大值．（3）由（2）可知：M′的坐标为（，）；②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，根据题意知：d1+d2＝BF，此时只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′＝90°，∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∵点C在线段BM′上，∴F在优弧上，∴当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB＝，M′B＝，M′A＝，过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG＝x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2＝M′A2﹣AG2，∴﹣（﹣x）2＝﹣x2，∴x＝，cos∠M′BG＝＝，∵l1∥l′，∴∠BCA＝90°，∠BAC＝45°；方法二：过B点作BD垂直于l′于D点，过M′点作M′E垂直于l′于E点，则BD＝d1，ME＝d2，∵S△ABM′＝×AC×（d1+d2）当d1+d2取得最大值时，AC应该取得最小值，当AC⊥BM′时取得最小值．根据B（0，3）和M′（，）可得BM′＝，∵S△ABM＝×AC×BM′＝，∴AC＝，当AC⊥BM′时，cos∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝45°．11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B关于x轴的对称点是C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A和点C．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，求此时点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交CD轴于点M，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．解：∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点，∴A（3，0），B（0，﹣3），∵点B关于x轴的对称点是C，∴C（0，3），∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A、点C，∴∴b＝2，c＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）∵A（3，0），C（0，3），平移线段AC，点A的对应为点D，点C的对应点为E，设E（m，m﹣3），则D（m+3，m﹣6），∵D落在二次函数在第四象限的图象上，∴﹣（m+3）2+2（m+3）+3＝m﹣6，m 1＝1，m2＝﹣6（舍去），∴D（4，﹣5），（3）∵C（0，3），D（4，﹣5），∴解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+3，令y＝0，则x＝，∴M（，0），∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于A（3，0），C（0，3），∴AO＝3，OC＝3，∴∠OAC＝45°，过点P作PF⊥AC，点P作PN⊥OA交AC于点E，连PC，∴△PEF和△AEN都是等腰直角三角形，设P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），∴PE＝PN﹣EN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴EN＝﹣m+3，AE＝，FE＝，∴CF＝AC﹣AE﹣EF＝，①当△COM∽△PFC，，∴，解得m＝0，舍去，，1②当△COM ∽△CFP 时，，∴，解得m 1＝0（舍去），，综合可得P 点的横坐标为或．12．如图1，将抛物线P 1：y 1＝x 2﹣3右移m 个单位长度得到新抛物线P 2：y 2＝a （x +h ）2+k ，抛物线P 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线P 2与x 轴交于A 1，B 1两点，与y 轴交于点C 1．（1）当m ＝1时，a ＝，h ＝ ﹣1 ，k ＝ ﹣3 ；（2）在（1）的条件下，当y 1＜y 2＜0时，求x 的取值范围；（3）如图2，过点C 1作y 轴的垂线，分别交抛物线P 1，P 2于D 、E 两点，当四边形A 1DEB 是矩形时，求m 的值．解：（1）∵抛物线P 1：y 1＝x 2﹣3右移m 个单位长度得到新抛物线解析式为：y 2＝（x ﹣m ）2﹣3∴y 2＝a （x +h ）2+k ＝（x ﹣m ）2﹣3 又∵m ＝1 ∴h ＝﹣m ＝﹣1故答案为：；﹣1，﹣3（2）∵当y 2＝（x ﹣1）2﹣3＝0时， 解得：x 1＝﹣2，x 2＝4∴由图象可知，当﹣2＜x ＜4时，y 2＜0当y 1＝y 2时， x 2﹣3＝（x ﹣1）2﹣3 解得：x ＝，∴由图象可知，当x ＜时，y 1＜y 2∴当y 1＜y 2＜0时，x 的取值范围是﹣2＜x ＜（3）当y 1＝x 2﹣3＝0时，解得：x ＝±3 ∴A （﹣3，0），OA ＝3 根据平移性质得：AA 1＝DC 1＝m ∵四边形A 1DEB 是矩形 ∴∠A 1DE ＝∠DA 1B ＝90° ∴四边形A 1DC 1O 是矩形 ∴OA 1＝DC 1＝m ∴OA ＝AA 1+OA 1＝2m ＝3∴m ＝13．已知：如图，抛物线的顶点为A （0，2），与x 轴交于B （﹣2，0）、C（2，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点P 是抛物线y 上的一个动点，连接PO 并延长至点Q ，使OQ ＝2OP ．若点Q 正好落在该抛物线上，求点P 的坐标；（3）设点P 是抛物线y 上的一个动点，连接PO 并延长至点Q ，使OQ ＝mOP （m 为常数）；①证明点Q 一定落在抛物线上；②设有一个边长为m +1的正方形（其中m ＞3），它的一组对边垂直于x 轴，另一组对边垂直于y 轴，并且该正方形四个顶点正好落在抛物线和组成的封闭图形上，求线段PQ 被该正方形的两条边截得线段长最大时点Q 的坐标．解：（1）由条件可设抛物线y＝ax2+2，将C（2，0）代入1可得抛物线；（2）如图，作PE⊥x轴，FQ⊥x轴设点P（t，），利用△PEO∽△OFQ可求得点Q（﹣2t，t2﹣4）．把Q（﹣2t，t2﹣4）代入中，得：t2﹣4＝，∴3t2＝6，，∴（3）①证明：设点P（t，），利用相似可求得点Q（﹣mt，）．将x＝﹣mt代入中，得：．∴点Q一定落在抛物线上；②如图所示∵正方形的边长为m+1，由抛物线的对称性可知正方形右边两个顶点横坐标为，将x＝代入抛物线解析式可得两点纵坐标分别为：和，∴﹣＝m+1，解得：．∵m＞3，∴∴正方形右边两个顶点横坐标为＝＝，将x＝代入得：＝，∴正方形右下顶点的纵坐标为﹣（）＝．∴正方形右下顶点的坐标为（，），同理，正方形左下顶点的坐标为（，）．设PQ与y轴所成的角为α，当PQ与正方形上下两边相交时，PQ被正方形上下两边所截线段的长＝，当α增大时，cosα减小，增大，当PQ经过正方形右下顶点时，α最大，PQ被正方形上下两边所截线段最大，此时点Q 与正方形右下或左下顶点重合；当PQ与正方形上右两边（或上左两边）相交时，由图形可知随着α的增大，PQ被正方形上下两边所截线段的长减小，综上所述，当点Q与正方形右下或左下顶点重合时，PQ被正方形上下两边所截线段最长，此时点Q的坐标为（，）或（，）．14．如图，已知二次函数的图象经过点A（﹣3，6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，顶点为点P．（1）求这个二次函数解析式；（2）设D为x轴上一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；（3）作直线AP，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，在直线AP上是否存在点N，使AM+MN的值最小？若存在，求出M、N的坐标：若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故：抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣，令y＝0，则x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝﹣，故点C坐标为（3，0），点P（1，﹣2）；（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，设：∠DPC＝∠BAC＝α，由题意得：AB＝2，AC＝6，BC＝4，PC＝2，S＝×AC×BH＝×BC×y A，△ABC解得：BH＝2，sinα＝＝＝，则tanα＝，由题意得：GC＝2＝PG，故∠PCB＝45°，延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD＝MC＝x，在△PMD中，tanα＝＝＝，解得：x＝2，则CD＝x＝4，故点P（7，0）；（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，直线AP表达式中的k值为：＝﹣2，则直线A′N表达式中的k值为，设直线A′N的表达式为：y＝x+b，将点A′坐标代入上式并求解得：b＝，故直线A′N的表达式为：y＝x+…①，当x＝1时，y＝4，故点M（1，4），同理直线AP的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②两个方程并求解得：x＝﹣，故点N（﹣，）．15．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x 轴分別交于C、D两点（点C在点D的左侧）．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，连接OM．①求MN的最大值；②当△OMN为直角三角形时，直接写出点M的坐标；（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分別交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，解得：a＝﹣1，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝﹣（x +1）2+4，即y ＝﹣x 2﹣2x +3． （2）①设直线OB 对应的函数表达式为y ＝kx （k ≠0）， 将B （﹣2，3）代入y ＝kx ，得：3＝﹣2k ，解得：k ＝﹣，∴直线OB 对应的函数表达式为y ＝﹣x ．联立直线OB 和抛物线的函数表达式成方程组，得：，解得：，．设点M 的坐标为（m ，﹣m 2﹣2m +3）（﹣2＜m ＜），则点N 的坐标为（m 2+m ﹣2，﹣m 2﹣2m +3），∴MN ＝m ﹣（m 2+m ﹣2）＝﹣m 2﹣m +2＝﹣（m +）2+．∵﹣＜0，∴当m ＝﹣时，MN 最大，最大值为．②∵MN ∥x 轴， ∴∠ONM ≠90°，∴分两种情况考虑（如图3所述）： （i ）当∠OMN ＝90°时，线段OM 在y 轴上． ∵当m ＝0时，y ＝﹣m 2﹣2m +3＝3， ∴点M 的坐标为（0，3）； （ii ）当∠MON ＝90°时，OM ⊥OB ， ∵点B 的坐标为（﹣2，3）， ∴点（3，2）在直线OM 上，∴直线OM 对应的函数表达式为y ＝x ．联立直线OM和抛物线的函数表达式成方程组，得：，解得：（不合题意，舍去），，∴点M的坐标为（，）．综上所述：点M的坐标为（0，3）或（，）．（3）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴点C的坐标为（﹣3，0），点D的坐标为（1，0）．设点P的坐标为（n，﹣n2﹣2n+3）（﹣1＜n＜1）．∵点C的坐标为（﹣3，0），点D的坐标为（1，0），∴直线CP对应的函数表达式为y＝（1﹣n）x+3﹣3n，直线DP对应的函数表达式为y＝﹣（n+3）x+n+3（可利用待定系数法求出）．∵点A的坐标为（﹣1，4），AE∥y轴，∴直线AE对应的函数表达式为x＝﹣1．当x＝﹣1时，y＝（1﹣n）x+3﹣3n＝2﹣2n，y＝﹣（n+3）x+n+3＝2n+6，∴点F的坐标为（﹣1，2﹣2n），点G的坐标为（﹣1，2n+6），∴EF＝2﹣2n，EG＝2n+6，∴EF+EG＝8．∴EF+EG的和为定值，该定值为8．16．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点，①连接BC 、CD 、BD ，设BD 交直线AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2．求：的最大值；②如图2，是否存在点D ，使得∠DCA ＝2∠BAC ？若存在，直接写出点D 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）根据题意得A （﹣4，0），C （0，2），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A ．C 两点，∴，∴b ＝﹣，c ＝2，∴y ＝﹣x 2﹣x +2；（2）①如图1，令y ＝0，∴﹣x 2﹣x +2＝0，∴x 1＝﹣4，x 2＝1，∴B （1，0），过D 作DM ⊥x 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ， ∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴S 1：S 2＝DE ：BE ＝DM ：BN ，设D （a ，﹣a 2﹣a +2），∴M （a ， a +2），∵B （1.0），∴N （1，），∴S 1：S 2＝DM ：BN ＝（﹣a 2﹣2a ）：＝﹣（a +2）2+；∴当a ＝﹣2时，S 1：S 2的最大值是；②∵A （﹣4，0），B （1，0），C （0，2），∴AC ＝2，BC ＝，AB ＝5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P （﹣，0），∴PA ＝PC ＝PB ＝，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan （2∠BAC ）＝，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，如图2，∴∠DCA＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG，∴∠CDG＝∠BAC，∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝，即RC：DR＝，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR＝﹣a，RC＝﹣a2﹣a，∴（﹣a2﹣a）：（﹣a）＝1：2，∴a1＝0（舍去），a2＝﹣2，∴x D＝﹣2，∴yD＝3，∴点D的坐标为（﹣2，3）．。

2019全国各地中考数学压轴大题函数综合八、二次函数含参数分类讨论综合问题1.（2019•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，∴a＝2，∴y＝x2+2x+3，∴顶点坐标为（﹣1，2）；（2）①当m＝2时，n＝11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴2≤n＜11；2.（2019•杭州）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），∴x1＝0，x2＝1，∴y═x（x﹣1）＝x2﹣x，当x＝时，y＝﹣，∴乙说点的不对；（2）对称轴为x＝，当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，∴m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，∴mn＝[﹣][﹣]∵0＜x1＜x2＜1，∴0≤﹣≤，0≤﹣≤，∴0＜mn＜．3.（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值．解：（1）令y＝0，则﹣，解得，x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m），函数图象的对称轴为直线，∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴，∴n＝1，∴，∴m，n的值分别为，1．4.（2019•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，得﹣2b+c＝0，∴c＝2b；（2）m＝﹣，n＝，∴n＝，∴n＝2b﹣m2，（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，对称轴x＝﹣，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴0≤b≤8，∴﹣4≤x＝﹣≤0，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，∴b＝6或b＝﹣10，∵4≤b≤8，∴b＝6；当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，∴b＝2或b＝18，∵2≤b≤4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6；5.（2019•天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣；联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，∵抛物线C与直线l有交点，∴△＝9﹣8a≥0，∴a≤且a≠0；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；6.（2019•大连）把函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）．（1）填空：t的值为2m﹣1（用含m的代数式表示）（2）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式；（3）当m＝0时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．解：（1）C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，顶点（1，﹣4a）围绕点P（m，0）旋转180°的对称点为（2m﹣1，4a），C2：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，函数的对称轴为：x＝2m﹣1，t＝2m﹣1，故答案为：2m﹣1；（2）a＝﹣1时，C1：y＝﹣（x﹣1）2+4，①当t＜1时，x＝时，有最小值y2＝，x＝t时，有最大值y1＝﹣（t﹣1）2+4，则y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+4﹣＝1，无解；②1≤t时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，y1﹣y2＝≠1（舍去）；③当t时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝t时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，y1﹣y2＝（t﹣1）2＝1，解得：t＝0或2（舍去0），故C2：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；（3）m＝0，C2：y＝﹣a（x+1）2+4a，点A、B、D、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0），当a＞0时，a越大，则OD越大，则点D′越靠左，当C2过点A′时，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a＝，当C2过点D′时，同理可得：a＝1，故：0＜a或a≥1；当a＜0时，当C2过点D′时，﹣3a＝1，解得：a＝﹣，故：a≤﹣；综上，故：0＜a或a≥1或a≤﹣．7.（2019•贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．解：（1）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，∴点B的坐标为（3，0），代入y＝x2+bx+c，得：，解得，所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图所示：由抛物线解析式知C（0，﹣3），则OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，∴OP＝OB tan∠OBP＝3，∴CP＝3；若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，∴OP′＝OB tan∠OBP′＝33，∴CP＝33；综上，CP的长为3或33；（3）若a+1＜1，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1（正值舍去）；若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；若a＞1，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2（负值舍去）；综上，a的值为1或2．8.（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，即c＝﹣b﹣1，当b＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，∵点D（b，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y D＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴AD＝AE，由已知AM＝AD，m＝5，∴5﹣（﹣1）＝（b+1），∴b＝3﹣1；（Ⅲ）∵点Q（b+，y Q）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y Q＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，∵AM+2QM＝2（AM+QM），∴可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由∠GAM＝45°，得AM＝GM，则此时点M满足题意，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，∴QH＝MH，QM＝MH，∵点M（m，0），∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，解得，m＝﹣，∵AM+2QM ＝，∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b +）﹣（﹣）]＝，∴b＝4．。

中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B .（1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1.（2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．图22.（2010绵阳）如图，抛物线y = ax 2+ bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积．3．(2012铜仁)如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．C ED GAxy OB F题型二：构造直角三角形【例2】（2010山东聊城）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．E【变式练习】1．（2012广州）如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．2.（2009成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS∠BCO＝10。

2019全国各地中考数学压轴大题函数综合七、二次函数定值与最值综合问题1.（2019•黄石）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；（3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示）解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x﹣，点M坐标为（2，﹣3）；（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），S四边形AMBC＝AB（y C﹣y D）＝×6×（9+3）＝36；（3）y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）2﹣3，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：y＝x2，则定点D与动点P之间距离PD＝＝，∵，PD有最小值，当x2＝3m﹣时，PD最小值d＝＝．2.（2019•张家界）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）；（2）∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，AM＝MB＝AB sin45°＝＝AD＝BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°，∴四边形ADBM为正方形；（3）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），则S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此时x＝，故点P（，﹣）；（4）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y＝x+3…①则直线AH所在表达式中的k值为﹣，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+s，将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，故点H（，），而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+QC的最小值为．3.（2019•泰州）已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝（m＞0，x＞0）．（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．①求m，k的值；②直接写出当y1＞y2时x的范围；（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝（x＞0）的图象相交于点C．①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m ﹣n的值；②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交与点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C 间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．解：（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝2，将点A的坐标代入反比例函数得：m＝3×4＝12；②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n），则BD＝2+n﹣m，BC＝m﹣n，DC＝2+n﹣n＝2则BD＝BC或BD＝DC，即：2+n﹣m＝m﹣n，或m﹣（2+n）＝2即：m﹣n＝1或4；②点E的横坐标为：，d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），m﹣n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值，当1﹣＝0时，此时k＝1，从而d＝1．4.（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）∴解得：∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3（2）①若点P在x轴下方，如图1，延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1∴B（﹣3，0）∵A（1，0），C（0，﹣3）∴OA＝1，OC＝3，AC＝，AB＝4∴Rt△AOC中，sin∠ACO＝，cos∠ACO＝∵AB＝AH，G为BH中点∴AG⊥BH，BG＝GH∴∠BAG＝∠HAG，即∠P AB＝2∠BAG∵∠P AB＝2∠ACO∴∠BAG＝∠ACO∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝∴BG＝AB＝∴BH＝2BG＝∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝，cos∠HBI＝∴HI＝BH＝，BI＝BH＝∴x H＝﹣3+＝﹣，y H＝﹣，即H（﹣，﹣）设直线AH解析式为y＝kx+a∴解得：∴直线AH：y＝x﹣∵解得：（即点A），∴P（﹣，﹣）②若点P在x轴上方，如图2，在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称∴H'（﹣，）设直线AH'解析式为y＝k'x+a'∴解得：∴直线AH'：y＝﹣x+∵解得：（即点A），∴P（﹣，）综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）．（3）DM+DN为定值∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1∴D（﹣1，0），x M＝x N＝﹣1设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）设直线AQ解析式为y＝dx+e∴解得：∴直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3当x＝﹣1时，y M＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6设直线BQ解析式为y＝mx+n∴解得：∴直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3当x＝﹣1时，y N＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．5.（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）∴解得：∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3（2）在y轴上存在点P，使得△P AM为直角三角形．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴顶点M（1，4）∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20设点P坐标为（0，p）∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2①若∠P AM＝90°，则AM2+AP2＝MP2∴20+9+p2＝17﹣8p+p2解得：p＝﹣∴P（0，﹣）②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2∴9+p2+17﹣8p+p2＝20解得：p1＝1，p2＝3∴P（0，1）或（0，3）③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2∴20+17﹣8p+p2＝9+p2解得：p＝∴P（0，）综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△P AM为直角三角形．（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H∵DG⊥x轴于点G∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°∴四边形IEGH是矩形∵点I为△ADG的内心∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG∴矩形IEGH是正方形设点I坐标为（m，n）∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m∵DA＝OA＝3∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m∴DG＝DH+HG＝m+n∵DG2+AG2＝DA2∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0配方得：（m﹣）2+（n+）2＝∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动∴当点I在线段CQ上时，CI最小∵CQ＝∴CI＝CQ﹣IQ＝∴CI最小值为．6.（2019•滨州）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠P AD的值．解：（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4），当y＝0时，0＝﹣x2+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（8，0），∴OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0），设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），∴PN＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∵PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°，作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（﹣t2+t）＝t＝﹣（t﹣6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得，t1＝2，t2＝10，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，﹣），当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴sin∠P1AD＝＝；当P2的坐标为（10，﹣），则P2A＝＝，∴sin∠P2AD＝＝；由上可得，sin∠P AD的值是或．7.（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴，∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴＝，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，＝，∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，∵∠AGE＝∠AHP＝90°∴sin，∴，∵E、F关于x轴对称，∴PE＝PF，∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，∵EF＝，∠AEG＝∠HEF，∴＝，∴．∴PE+P A的最小值是3．8.（2019•达州）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段P A交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．解：（1）由题意把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，，解得b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；（2）∵抛物线顶点C（﹣1，4），∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线对称轴与x轴交于点H，则H（﹣1，0），在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1，∴tan∠COH＝＝4，∵∠COH＝∠CAO+∠ACO，∴当∠ACO＝∠CDO时，tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4，如图1，当点D在对称轴左侧时，∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO，∴△AOC∽△ACD，∴＝，∵AC＝＝2，AO＝1，∴＝，∴AD＝20，∴OD＝19，∴D（﹣19，0）；当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x＝1的对称点D'的坐标为（17，0），∴点D的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；（3）设P（a，﹣a2﹣2a+3），将P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b，得，，解得，k＝﹣a﹣3，b＝a+3，∴y P A＝（﹣a﹣3）x+a+3，当x＝0时，y＝a+3，∴N（0，a+3），如图2，∵S△BPM＝S△BP A﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO﹣S四边形BMNO，∴S△BPM﹣S△EMN＝S△BP A﹣S△EBO﹣S△AON＝×4×（﹣a2﹣2a+3）﹣×3×3﹣×1×（a+3）＝﹣2a2﹣a＝﹣2（a+）2+，由二次函数的性质知，当a＝﹣时，S△BPM﹣S△EMN有最大值，∵△BMP和△EMN的面积分别为m、n，∴m﹣n的最大值为．9.（2019•恩施州）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CF sin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝AB cos∠ABE＝AB cos∠ACO＝4×＝，|y|＝OB tan∠ABE＝OB tan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．10.（2019•鞍山）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ时，求点P的坐标．（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．解：（1）将点A（3，4），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，得：，解得，∴y＝﹣x2+3x+4；（2）如图1，过点P作PE∥x轴，交AB于点E，∵A（3，4），AD⊥x轴，∴D（3，0），∵B（﹣1，0），∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形，∴，∵PE∥x轴，∴△PQE∽△DQB，∴，∴，∴PE＝2，∴可求得直线AB的解析式为y＝x+1，设E（x，x+1），则P（x﹣2，x+1），将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（x+2）2+3（x+2）+4＝x+1，解得x1＝3，x2＝3，当x＝3时，x﹣2＝32＝1，x+1＝31＝4，∴点P（1，4）；当x＝3时，x﹣2＝32＝1，x+1＝31＝4，∴P（1，4），∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，∴﹣1＜x﹣2＜3，∴点P的坐标为（1，4）或（1，4）；（3）由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，∴C（0，4），∵A（3，4），∴AC∥x轴，∴∠OCA＝90°，∴GH⊥MN，∴∠GHM＝90°，在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°，∴点C、G、H、M共圆，如图2，连接CH，则∠GCH＝∠GMH＝60°，∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上，∴当BH⊥CH时，BH最小，过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于点Q，∵∠GCH＝60°，∴∠HCM＝30°，又BH⊥CH，∴∠BHC＝90°，∴∠BHP＝∠HCM＝30°，设OP＝a，则CQ＝a，∴QH a，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，∴BP＝1+a，在Rt△BPH中，HP（a+1），BH2（1+a），∵QH+HP＝AD＝4，∴a（a+1）＝4，解得a，∴BH最小＝2（1+a）．11.（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、P A，当点P运动到某一位置时，PC+P A 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5∴C（0，5）y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1∴A（1，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5∴B（5，0）（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8 ∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18 （可以直接利用点M是抛物线的顶点时，面积最大求解）（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2∴∵∠PBD＝∠ABP∴△PBD∽△ABP∴＝＝，∴PD＝AP∴PC+P A＝PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+P A＝PC+PD＝CD最小∵CD＝∴PC+P A的最小值为12.（2019•遵义）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时P A+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），则S△MOC MH×x C（﹣x2+4x﹣x）x2x，∵0，故x，故当点M（，）时，S△MOC最大值为．13.（2019•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y x2x+2，同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，将点FB代入一次函数表达式，同理可得直线BF的表达式为：y x+1，设点P（x，x2x+2），则点H（x，x+1），S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB4×1PH×BO＝2+2（x2x+2x﹣1）＝7，解得：x＝2或，故点P（2，3）或（，）；（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接P A″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，∵MN＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点A″（3，0），同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9…③，联立①③并解得：x，即点M（，），点M沿ED向下平移2个单位得：N（，）．14.（2019•锦州）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．解：（1）在y x+3中，令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝4，∴A（4，0），B（0，3），将A（4，0），B（0，3）分别代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2x+3．（2）存在．如图1，过点B作BH⊥CD于H，设C（t，0），则D（t，），E（t，），H（t，3）；∴EC，AC＝4﹣t，BH＝t，DH＝﹣t2t，DE＝﹣t2+4t∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE①当△BDE∽△ACE时，∠BDE＝∠ACE＝90°，∴，即：BD•CE＝AC•DE∴t（）＝（4﹣t）×（﹣t2+4t），解得：t1＝0（舍去），t2＝4（舍去），t3，∴D（，3）②当△DBE∽△ACE时，∠BDE＝∠CAE∵BH⊥CD∴∠BHD＝90°，∴tan∠BDE＝tan∠CAE，即：BH•AC＝CE•DH∴t（4﹣t）＝（）（﹣t2t），解得：t1＝0（舍），t2＝4（舍），t3，∴D（，）；综上所述，点D的坐标为（，3）或（，）；（3）如图2，∵四边形DEGF是平行四边形∴DE∥FG，DE＝FG设D（m，），E（m，），F（n，），G（n，），则：DE＝﹣m2+4m，FG＝﹣n2+4n，∴﹣m2+4m＝﹣n2+4n，即：（m﹣n）（m+n﹣4）＝0，∵m﹣n≠0∴m+n﹣4＝0，即：m+n＝4过点G作GK⊥CD于K，则GK∥AC∴∠EGK＝∠BAO∴cos∠EGK＝cos∠BAO，即：GK•AB＝AO•EG∴5（n﹣m）＝4EG，即：EG（n﹣m）∴DEGF周长＝2（DE+EG）＝2[（﹣m2+4m）（n﹣m）]＝﹣2∵﹣2＜0，∴当m时，∴▱DEGF周长最大值，∴G（，），当E，G互换时，结论也成立，此时G（，）．15.（2019•烟台）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y（x＞0）经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）解：（1）C（0，3）∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3，∵D在y上，∴D（2，3），将点A（﹣1，0）和D（2，3）代入y＝ax2+bx+3，∴a＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）M（1，4），B（3，0），作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'（﹣1，4），D'（2，﹣3），∴M'D'直线的解析式为y x∴N（，0），F（0，）；（3）设P（0，t），N（r，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时此时圆心N到BD的距离最小，圆心角∠DNB最大，则，∠BPD 的度数最大；∴PN＝ND，∴r，∴t2﹣6t﹣4r+13＝0，易求BD的中点为（，），直线BD的解析式为y＝﹣3x+9，∴BD的中垂线解析式y x，N在中垂线上，∴t r，∴t2﹣18t+21＝0，∴t＝9+2或t＝9﹣2，∵圆N与y轴相切，∴圆心N在D点下方，∴0＜t＜3，∴t＝9﹣2．。

中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P 是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD 的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．周长类6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S 和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．综合类10．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x 轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．对应练习13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．14．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形P ACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．。

2019年数学中考总复习：二次函数压轴题专项训练（一）1．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（2，0），点B（0，2），动点D以1个单位长度/秒的速度从点A出发向x轴负半轴运动，同时动点E以个单位长度/秒的速度从点B出发向y轴负半轴运动，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F（1）求∠OAB度数；（2）当t为何值时，四边形ADEF为菱形，请求出此时二次函数解析式；（3）是否存在实数t，使△AGF为直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D是第四象限内该抛物线上一动点，连AC、AD与抛物线对称轴分别交于点M、N，延长DC交抛物线对称轴于点E．（1）直接写出线段AB的长；（2）若∠CAB＝∠DAB，求的值；（3）若在第三象限内该抛物线上有一点P，使得以A、B、P为项点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．3．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣交x轴正半轴于点A （5，0），交y轴于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接AP，将射线AP绕点A逆时针旋转60°，与过点P且垂直于AP的直线交于点C，设点P横坐标为t，点C的横坐标为m，求m与t之间的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，过点C作直线交x轴于点D，在x轴上取点F，连接FP，点E为AC的中点，连接ED，若F的横坐标为，∠AFP＝∠CDE，且∠FAP+∠ACD＝180°，求m的值．4．如图，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点P是直线BC上方抛物线上的一动点，PE∥y轴，交直线BC于点E连接AP，交直线BC 于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当AD＝2PD时，求点P的坐标；（3）求线段PE的最大值；（4）当线段PE最大时，若点F在直线BC上且∠EFP＝2∠ACO，直接写出点F的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1），点B（﹣9，10），抛物线y＝2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作x轴的平行线，与抛物线交于点C，点P是直线AC下方抛物线上一点，过点P且与y轴平行的直线与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P运动到抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2019年数学中考总复习：二次函数压轴题专项训练（二）6．二次函数y＝ax2+x+3的图象与x轴分别相交于A、B两点，且A（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）如图1，求抛物线解析式（2）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，设点P的横坐标为t（t＞1），连接PC、PB、BC．设△PBC的面积为s，求s与t的函数关系式．（3）如图3，在（2）的条件下当s＝时，点Q为第二象限抛物线上一点，连接PQ交y 轴于点E，延长PQ交x轴于点M，点N在点C上方的y轴上，连接MN，若MP平分∠NMB，MN＝5CN，且OM＜ON．将线段PQ绕点P逆时针旋转45°得到线段PR，求点R的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C （﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P从点D出发，沿DC边向点C 运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？（3）动点P、Q运动过程中，是否存在某一时刻，使△PQF是等腰三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线经过y＝ax2+bx+c点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线解析式和直线AC的解析式；（2）若点P是第四象限抛物线上的一点，若S△PAC＝10，求点P的坐标；（3）如图2，点M是线段AC上的一个动点（不与A、C重合），经过A、M、O三点的圆与过A且垂直于AC的直线交于点N，求当S△OMN 最小时点M的坐标及S△OMN最小值．9．在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，点A的坐标为（0，），点D为抛物线的顶点．（1）如图1，求拋物线的顶点D的坐标；（2）如图2，点P是第一象限内对称轴右侧拋物线上一点，连接PB，过点D作DQ⊥BP 于点H，交x轴于点Q，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，求n与m的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CE∥y轴交BP的延长线于点E，点F为CE的中点，连接FQ，若∠DQC+∠CQF＝135°，求点P的坐标．10．如图，抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y轴，且经过点（，），P为抛物线上一点，A （0，）．（1）求抛物线解析式；（2）Q为直线AP上一点，且满足AQ＝2AP．当P运动时，Q在某个函数图象上运动，试写出Q点所在函数的解析式；（3）如图2，以PA为半径作⊙P与x轴分别交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求点P的横坐标．2019年数学中考总复习：二次函数压轴题专项训练（三）11．如图，抛物线y＝+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，﹣1），点B （9，﹣10），AC∥x轴，点P是直线AC上方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC上，联结BC、BD．（1）求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标；（2）点E为第一象限内抛物线上一点，如果△COE与△BCD的面积相等，求点E的坐标；（3）点Q在抛物线对称轴上，如果△BCD∽△CPQ，求点Q的坐标．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝﹣x交第二象限于点E，与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，EC∥x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线y＝﹣x上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M，若以M，A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，以直线x＝1为对称轴的抛物线恰好经过A（0，4），B（4，0）两点，连结AB．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）点C为线段AB上一动点，延长OC交抛物线于点D，连结BD．若△AOC与△BCD的面积相等，求点C的坐标．（3）设k＝，求k的最大值．15．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C（1）填空：b＝，c＝，点C的坐标为．（2）如图1，若点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m．PQ与OQ的比值为y，求y与m的数学关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值．（3）如图2，若点P是第四象限的抛物线上的一点．连接PB与AP，当∠PBA+∠CBO＝45°时．求△PBA的面积．。

中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大若存在，求m的值；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形并写出四边形PB′A′B的两条性质．5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．周长类6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．综合类10．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．对应练习13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．14．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A 点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．。

2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案二次函数是中考数学的必考点，每年的中考数学试题中，二次函数都占了不少的比例，考题或以综合题的形式出现，或以选择题的形式出现，或以填空题的形式出现，不论以哪种形式出现，都旨在考查学生对二次函数的理解，以及应用二次函数解决实际问题的能力，下面我们一起来看中考网为大家带来的"2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案"，希望通过本题的练习，能加强考生对二次函数性质的理解。

2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5。

点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动。

伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E。

点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止。

设点P、Q运动的时间是t秒（t>0）。

（1）当t=2时，AP=________，点Q到AC的距离是________（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形?若能，求t的值；若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值。

分析：(1)先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距离;(2)作QF⊥AC于点F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函数解析式;(3)当DE∥QB时，得四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由线段的对应比例关系求得t，由PQ∥BC，四边形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由线段的对应比例关系求t;(4)①第一种情况点P由C向A运动，DE经过点C、连接QC，作QG⊥BC于点G，由PC2=QC2解得t;②第二种情况，点P由A向C运动，DE经过点C，由图列出相互关系，求解t. 解答：二次函数的性质是考生必须掌握的考点，在中学数学学习中占有重要的地位，本文为考生提供的2019年中考数学二次函数综合压轴题及答案除了考查学生利用二次函数的相关知识处，同时还考查了学生对相似三角形的判定定理、线段比的知识，做题时考生要注意巧妙利用辅助线的帮助解答，难度较大。

2019年中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．图22.如图，抛物线y = ax 2+ bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积．3．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．C ED GAxy OB F题型二：构造直角三角形【例2】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．E【变式练习】1．如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且。

2019年中考数学二轮复习二次函数压轴题综合练习1．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y 轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．2.如图，已知抛物线2(1)y a x=-+a≠0）经过点(2)A-，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB=，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．3．如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴与点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P时直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．4. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。

2019年湖北省各市中考数学真题汇编压轴题综合练：《二次函数》1．（2019•恩施州）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2019•襄阳）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019•随州）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）．（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为，①求点P的坐标；②设M为直线AP上一动点，连接OM，直线OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2019•随州）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p ＝x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：2 4 (10)销售价格x（元/千克）12 10 (4)市场需求量q（百千克）已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当x为元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为元/千克．5．（2019•荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．6．（2019•湖北）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y ＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．7．（2019•黄冈）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C （0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2019•荆州）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．9．（2019•黄石）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；（3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示）10．（2019•十堰）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），与x 轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P的个数．11．（2019•荆门）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x 天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．12．（2019•十堰）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．（1）当31≤x≤50时，y与x的关系式为；（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的取值范围．13．（2019•孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x 轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）点A的坐标为，点B的坐标为，线段AC的长为，抛物线的解析式为．（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q 的坐标．②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4﹣m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小．14．（2019•咸宁）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x （天）满足关系式z＝﹣2x+120．（1）第40天，该厂生产该产品的利润是元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？15．（2019•鄂州）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？16．（2019•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．17．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别求运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L 与直线x ＝1的交点M 始终位于x 轴下方．18．（2019•荆门）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y ＝x ﹣1交于A ，B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q ，M ，N ，满足S △QAB ＝S △MAB ＝S △NAB ＝S ，求S 的值；（3）在A ，B 之间的抛物线弧上是否存在点P 满足∠APB ＝90°？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．（坐标平面内两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）之间的距离MN ＝）19．（2019•鄂州）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，AB ＝4，交y 轴于点C ，对称轴是直线x ＝1．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）连接BC ，E 是线段OC 上一点，E 关于直线x ＝1的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标；（3）动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，交线段BC 于点Q ．设运动时间为t （t ＞0）秒．①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出t 的值；②△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．20．（2019•武汉）已知抛物线C 1：y ＝（x ﹣1）2﹣4和C 2：y ＝x 2（1）如何将抛物线C 1平移得到抛物线C 2？（2）如图1，抛物线C 1与x 轴正半轴交于点A ，直线y ＝﹣x +b 经过点A ，交抛物线C 1于另一点B ．请你在线段AB 上取点P ，过点P 作直线PQ ∥y 轴交抛物线C 1于点Q ，连接AQ ．①若AP ＝AQ ，求点P 的横坐标；②若PA ＝PQ ，直接写出点P 的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点抛物线C2的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．21．（2019•武汉）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）50 60 80周销售量y（件）100 80 40周销售利润w（元）1000 1600 1600 注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是元/件；当售价是元/件时，周销售利润最大，最大利润是元．（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．参考答案1．解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC ＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CF sin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝AB cos∠ABE＝AB cos∠ACO＝4×＝，|y|＝OB tan∠ABE＝OB tan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．2．解：（1）y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝6，故点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3），抛物线的对称轴为x＝1，则点A（﹣4，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）（x+4）＝a（x2﹣2x﹣24），即﹣24a＝3，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3…①；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CBA＝＝＝tanα，则cosα＝，设点P（x，﹣x2+x+3），则点G（x，﹣x+3），则PH＝PG cosα＝（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，∵＜0，故PH有最大值，此时x＝3，则点P（3，）；（3）①当点Q在x轴上方时，则点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，则点Q（2，3）；②当点Q在x轴下方时，（Ⅰ）当∠BAQ＝∠CAB时，，△QAB∽△BAC，由勾股定理得：AC＝5，AQ＝＝20，过点Q作QH⊥x轴于点H，由△QHA∽△COA得：＝＝，∵OC＝3，∴QH＝12，则AH＝16，OH＝16﹣4＝12，∴Q（12，﹣12）；根据点的对称性，当点Q在第三象限时，符合条件的点Q（﹣10，﹣12）；当x＝12时，y＝﹣x2+x+3＝﹣12；当x＝﹣10时，y＝﹣x2+x+3＝﹣12；故点Q的坐标为：（12，﹣12）或（﹣10，﹣12）；（Ⅱ）当∠BAQ＝∠CBA时，则直线AQ∥BC，直线BC表达式中的k为：﹣，则直线AQ的表达式为：y＝﹣x﹣2…②，联立①②并解得：x＝10或﹣4（舍去﹣4），故点Q（10，﹣7），＝，而＝≠，即Q，A，B为顶点的三角形与△ABC不相似，故舍去，Q的对称点（﹣8，﹣7）同样也舍去，即点Q的为：（﹣8，﹣7）、（10，﹣7）均不符合题意，都舍去；综上，点Q的坐标为：（2，3）或（12，﹣12）或（﹣10，﹣12）．3．解：（1）∵抛物线与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）∴设交点式y＝a（x+2）（x﹣6）∵抛物线过点A（0，6）∴﹣12a＝6∴a＝﹣∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8 ∴抛物线对称轴为直线x＝2．（2）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1∴∠PHD＝90°∵点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧∴2＜m＜6，PH＝n＝﹣m2+2m+6，n＞0∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°∵PD⊥AC于点E∴∠CED＝90°∴∠CDE＝90°﹣∠ACO＝45°∴DH＝PH＝n∵PG∥AB∴∠PGH＝∠ABO∴△PGH∽△ABO∴∴GH＝n∴d＝DH﹣GH＝n﹣n＝n＝（﹣m2+2m+6）＝﹣m2+m+4（2＜m＜6）（3）①∵S△PDG＝DG•PH＝∴n•n＝解得：n1＝，n2＝﹣（舍去）∴﹣m2+2m+6＝解得：m1＝﹣1（舍去），m2＝5∴点P坐标为（5，）②在抛物线上存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形．设直线AP解析式为y＝kx+6把点P代入得：5k+6＝∴k＝﹣∴直线AP：y＝﹣x+6i）若∠RAS＝90°，且S在线段AC上，如图2 ∵直线AC解析式为y＝﹣x+6∴直线AR解析式为y＝x+6解得：（即点A）∴R（2，8）∵∠ASR＝∠OAC＝45°∴RS∥y轴∴x S＝x R＝2∴S（2，4）∴直线OM：y＝2x∵解得：∴M（，），ii）若∠ASR＝90°，如图4∴∠SAR＝∠ACO＝45°∴AR∥x轴∴R（4，6）∵S在AR的垂直平分线上∴S（2，4）∴M（，）iii）若∠ARS＝90°，如图5∴∠SAR＝∠ACO＝45°，RS∥y轴∴AR∥x轴∴R（4，6）∴S（4，2）∴直线OM：y＝x∵解得：∴M（6，3）ix）点M在点A的左侧时，∠SAR＝90°，如图6，∴∠SRA＝45°，R和S关于y轴对称，∴R（2，8），S（﹣2，8），∴OM：y＝﹣4x，∵解得：，∴M（，）综上所述，M1（，），R1（2，8）；M2（，），R2（4，6）；M3（6，3），R 3（4，6）；M4（，），R4（2，8）．4．解：（1）由表格的数据，设q与x的函数关系式为：q＝kx+b 根据表格的数据得，解得故q与x的函数关系式为：q＝﹣x+14，其中2≤x≤10 （2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q即x+8≤﹣x+14，解得x≤4又2≤x≤10，所以此时2≤x≤4②由①可知，当2≤x≤4时，y＝（x﹣2）p＝（x﹣2）（x+8）＝x2+7x﹣16当4＜x≤10时，y＝（x﹣2）q﹣2（p﹣q）＝（x﹣2）（﹣x+14）﹣2[x+8﹣（﹣x+14）]＝﹣x2+13x﹣16即有y＝（3）当2≤x≤4时，y＝x2+7x﹣16的对称轴为x＝＝＝﹣7∴当2≤x≤4时，除x的增大而增大∴x＝4时有最大值，y＝＝20当4＜x≤10时y＝﹣x2+13x﹣16＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，＞4∴x＝时取最大值即此时y有最大利润要使每天的利润不低于24百元，则当2≤x≤4时，显然不符合故y＝﹣（x﹣）2+≥24，解得5≤x≤8故当x＝5时，能保证不低于24百元，并尽可能地减少半成品食材的浪费，故答案为：，55．解：（1）∵平行四边形OABC中，A（6，0），C（4，3）∴BC＝OA＝6，BC∥x轴∴x B＝x C+6＝10，y B＝y C＝3，即B（10，3）设抛物线y＝ax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x﹣（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P∵C（4，3）∴OC＝∵BC∥OA∴∠OEC＝∠AOE∵OE平分∠AOC∴∠AOE＝∠COE∴∠OEC＝∠COE∴CE＝OC＝5∴x E＝x C+5＝9，即E（9，3）∴直线OE解析式为y＝x∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x＝﹣＝7 ∴F（7，）∵点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上∴E'（9，﹣3），PE＝PE'∴当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小设直线E'F解析式为y＝kx+h∴ 解得：∴直线E 'F ：y ＝﹣x +21 当﹣x +21＝0时，解得：x ＝∴当PE +PF 的值最小时，点P 坐标为（，0）．（3）存在满足条件的点M ，N ，使得以点M ，N ，H ，E 为顶点的四边形为平行四边形． 设AH 与OE 相交于点G （t ，t ），如图2∵AH ⊥OE 于点G ，A （6，0）∴∠AGO ＝90°∴AG 2+OG 2＝OA 2∴（6﹣t ）2+（t ）2+t 2+（t ）2＝62∴解得：t 1＝0（舍去），t 2＝∴G （，）设直线AG 解析式为y ＝dx +e ∴ 解得：∴直线AG ：y ＝﹣3x +18当y ＝3时，﹣3x +18＝3，解得：x ＝5∴H （5，3）∴HE＝9﹣5＝4，点H、E关于直线x＝7对称①当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2则HE∥MN，MN＝HE＝4∵点N在抛物线对称轴：直线x＝7上∴x M＝7+4或7﹣4，即x M＝11或3当x＝3时，y M＝﹣×9+×3﹣＝∴M（3，）或（11，）②当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3 则HE、MN互相平分∵直线x＝7平分HE，点F在直线x＝7上∴点M在直线x＝7上，即M为抛物线顶点∴y M＝﹣×49+×7﹣＝4∴M（7，4）综上所述，点M坐标为（3，）、（11，）或（7，4）．6．解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣；联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，∵抛物线C与直线l有交点，∴△＝9﹣8a≥0，∴a≤且a≠0；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x增大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；7．解：（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式可得，∴，∴y＝﹣﹣x+2；（2）∵△PAM≌△PBM，∴PA＝PB，MA＝MB，∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，∵AB＝2，∴点P的纵坐标是1，∴1＝﹣﹣x+2，∴x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，∴P（﹣1﹣，1）或P（﹣1+，1）；（3）CM＝t﹣2，MG＝CM＝2t﹣4，MD＝4﹣（BC+CM）＝4﹣（2+t﹣2）＝4﹣t，MF＝MD＝4﹣t，∴BF＝4﹣4+t＝t，∴S＝（GM+BF）×MF＝（2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣+8t﹣8＝﹣（t﹣）2+；当t＝时，S最大值为；（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝x+2，直线AQ的解析式y＝﹣（x+2）+2，∴K（0，），H（﹣，），∴OK2＝，OH2＝+，HK2＝+，①当OK＝OH时，＝+，∴3m2+12m+8＝0，∴m＝﹣2+或m＝﹣2﹣；②当OH＝HK时，+＝+，∴m2+4m+8＝0，∴m无解；③当OK＝HK时，＝+，∴m2+4m﹣8＝0，∴m＝﹣2+2或m＝﹣2﹣2；综上所述：Q（﹣2+2，0）或Q（﹣2﹣2，0）或Q（﹣2+，0）或Q（﹣2﹣，0）8．解：∵y＝x2﹣4，∴其顶点坐标为（0，﹣4），∵y ＝x 2﹣4是y ＝﹣x +p 的伴随函数，∴（0，﹣4）在一次函数y ＝﹣x +p 的图象上，∴﹣4＝0+p ．∴p ＝﹣4，∴一次函数为：y ＝﹣x ﹣4，∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），∴直线y ＝﹣x +p 与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4，∴直线y ＝﹣x +p 与两坐标轴围成的三角形的面积为：．（2）设函数y ＝x 2+2x +n 与x 轴两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1+x 2＝﹣2，x 1x 2＝n ， ∴，∵函数y ＝x 2+2x +n 与x 轴两个交点间的距离为4， ∴，解得，n ＝﹣3，∴函数y ＝x 2+2x +n 为：y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4，∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），∵y ＝x 2+2x +n 是y ＝mx ﹣3（m ≠0）的伴随函数，∴﹣4＝﹣m ﹣3，∴m ＝1．9．解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x﹣，点M坐标为（2，﹣3）；（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），S＝AB（y C﹣y M）＝×6×（9+3）＝36；四边形AMBC（3）y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）2﹣3，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：y＝x2，则定点D与动点P之间距离PD＝＝，令t＝，则x2＝3t，可得PD＝，当t＝﹣＝﹣时，PD有最小值，∵t≥0，∴3﹣2m≤0，即m≥时，PD的最小值d＝；当m＜时，3﹣2m＞0，t≥0，∴t2+（3﹣2m）t+m2≥0，故当PD最小时，t＝0，即x＝0，∴当点P与点O重合时，PD最小，即PD的最小值d＝|m|∴d＝．10．解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点D坐标（2，3）．（2）可能．如图1，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），∴AB＝8，AD＝BD＝5，①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．②当DE＝EF时，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE＝AD＝5③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，△FDE∽△DAB，∴＝，∴＝＝，∵△BEF∽△ADE∴＝＝，∴EB＝AD＝，答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，则S△PBD ＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+×3×（n﹣2）﹣×4×3＝﹣（n﹣4）2+，∵﹣＜0，∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，∵＝m，∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝＝，观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P的个数有4个，当m＝时，满足条件的点P的个数有3个，当m＞时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．11．解：（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图知可知，解得∴n＝2x+10同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n＝（2）∵y＝mn﹣80∴y＝整理得，y＝（3）当1≤x≤10时，∵y＝6x2+60x+70的对称轴x＝＝＝﹣5∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大＝1270∴x＝10时，y取最大值，则y10当10＜x＜15时∵y＝﹣4.2x2+111x+580的对称轴是x＝﹣＝＝≈13.2＜13.5 ∴x＝13时，y取得最大值，此时y＝1313.2当15≤x≤30时∵y＝1.4x2﹣149x+3220的对称轴为x＝＝＞30∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y＝130015综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元12．解：（1）依题意，当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33，当31≤x≤50时，设y＝kx+b，则有，解得∴y与x的关系式为：y＝x+55（2）依题意，∵W＝（y﹣18）•m∴整理得，当1≤x≤30时，∵W随x增大而增大∴x＝30时，取最大值W＝30×110+1100＝4400当31≤x≤50时，W＝x2+160x+1850＝∵＜0∴x＝32时，W取得最大值，此时W＝4410综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元（3）依题意，W＝（y+a﹣18）•m＝∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大∴对称轴x＝＝＞34.5，得a＞2.5故a的的取值范围为a＞2.5．13．解：（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4，令y＝0，则x＝4或﹣2，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），则AC＝2，故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2、y＝x2﹣x﹣4；（2）①当BC是平行四边形的一条边时，如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B，设：点P（n，n2﹣n﹣4），点Q（m，0），则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q，即：n+4＝m，n2﹣n﹣4+4＝0，解得：m＝4或6（舍去4），即点Q（6，0）；当BC是平行四边形的对角线时，设点P（m，n）、点Q（s，0），其中n＝m2﹣m﹣4，由中点公式可得：m+s＝4，n+0＝﹣4，解得：s＝2或4（舍去4），故点Q（2，0）；故点Q的坐标为（2，0）或（6，0）；②如图2，针对于抛物线y＝x2﹣x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4）∵B（4，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，过点P作PH∥x轴交BC于点H，∵PE∥AC轴，∴∠HEP＝∠ACB，∵PH∥x轴，∴∠PHE＝∠ABC＝45°，∴△EPH∽△CAB，∴，即：，则EP＝PH，设点P（t，y P），∵点P在抛物线y＝x2﹣x﹣4上，∴y P＝t2﹣t﹣4设点H（x H，y P），∵点H在直线y＝x﹣4上，∴y P＝x H﹣4则t2﹣t﹣4＝x H﹣4，则x H＝t2﹣t，f＝PH＝[t﹣（t2﹣t）]＝﹣（t2﹣4t），当t＝m时，f1＝﹣（m2﹣4m），当t＝4﹣m时，f2＝﹣（m2﹣2m），则f1﹣f2＝﹣m（m﹣），则0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0，f 1＞f2．14．解：（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40 则第40天的利润为：（80﹣40）×40＝1600元故答案为1600（2）①设直线AB 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），把（0，70）（30，40）代入得 ，解得∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +70（Ⅰ）当0＜x ＜30时w ＝[80﹣（﹣x +70）]（﹣2x +120）＝﹣2x 2+100x +1200＝﹣2（x ﹣25）2+2450∴当x ＝25时，w 最大值＝2450（Ⅱ）当30≤x ≤50时，w ＝（80﹣40）×（﹣2x +120）＝﹣80x +4800∵w 随x 的增大而减小∴当x ＝30时，w 最大值＝2400∴w ＝，第25天的利润最大，最大利润为2450元②（Ⅰ）当0＜x ≤30时，令﹣2（x ﹣25）2+2450＝2400，解得x 1＝20，x 2＝30∵抛物线w ＝﹣2（x ﹣25）2+2450开口向下由其图象可知，当20≤x ≤30时，w ≥2400此时，当天利润不低于2400元的天数为：30﹣20+1＝11天（Ⅱ）当30＜x ≤50时，由①可知当天利润均低于2400元综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天．15．解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）整理得y＝﹣5x+500；（2）由题意，得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500∵a＝﹣5＜0∴w有最大值即当x＝70时，w最大值＝4500∴应降价80﹣70＝10（元）答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；（3）由题意，得：﹣5（x﹣70）2+4500＝4220+200解之，得：x1＝66，x2＝74，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当66≤x≤74时，符合该网店要求而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66∴当销售单价定为66元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．16．解：（1）在中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2 ∴A（4，0），B（0，2）把A （4，0），B （0，2），代入，得 ，解得 ∴抛物线得解析式为（2）如图，过点B 作x 轴得平行线交抛物线于点E ，过点D 作BE 的垂线，垂足为F∵BE ∥x 轴，∴∠BAC ＝∠ABE∵∠ABD ＝2∠BAC ，∴∠ABD ＝2∠ABE即∠DBE +∠ABE ＝2∠ABE∴∠DBE ＝∠ABE∴∠DBE ＝∠BAC设D 点的坐标为（x ，），则BF ＝x ，DF ＝∵tan ∠DBE ＝，tan ∠BAC ＝ ∴＝，即解得x 1＝0（舍去），x 2＝2当x＝2时，＝3∴点D的坐标为（2，3）（3）当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF设E（m，），F（m，）EF＝|（）﹣（）|＝2解得m＝2，，1当BO为对角线时，OB与EF互相平分过点O作OF∥AB，直线OF交抛物线于点F（）和（）求得直线EF解析式为或直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为或∴E点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或（）17．解：（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6，∴正方形面积为36；有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0；故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，y Q＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，当m＝﹣1，y Q最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），当m＜﹣1时，y Q随m的增大而增大，当m＝﹣2时，y Q最小＝3，当m＞﹣1时，y Q随m的增大而减小，当m＝4时，y Q最小＝﹣21，∴3＞﹣21，∴y Q最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），最低位置时的坐标为（4，﹣21）；②当双曲线y＝经过点B（﹣2，﹣2）时，k＝4，∴N（4，1），∵顶点P（m，n）在边BC上，∴n＝﹣2，∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）与边AB、DC分别交于点E、F，∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2），∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2，∴＝﹣＝a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1），∵AE＝NF，点F在点N下方，∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2，∴12a（m﹣1）＝3，∴a（m﹣1）＝，∴＝；③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），∴y M＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4），y＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），M∵a＞0，∴对应每一个a（a＞0）值，当m＝1时，y M最小＝﹣2，当m＝﹣2或4时，y M最大＝9a﹣2，当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2，∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2），∵点E在边AB上，且此时不与B重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，∴0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，。

2019中考·数学 ---二次函数综合题压轴题型类型1线段问题1.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6相交于A(,)和B(4,c),点P是直线AB上的动点,设点P的横坐标为n,过点P作PC⊥x轴,交抛物线于点C,交x轴于点M.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在线段AB上运动时(点P不与点A,B重合),是否存在这样的点P,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)点P在直线AB上自由移动,当点C,P,M中恰有一点是其他两点所连线段的中点时,请直接写出n的值.2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,直线y=x-2与x轴交于点D,与y轴交于点C.点P是x轴下方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x 轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)若PE=3EF,求m的值;(3)连接PC,是否存在点P,使△PCE是以PC为腰的等腰三角形?若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.3.[2019原创]如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,C(1,0),与y轴交于点B(0,-3).(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线AB下方的抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,垂足为点F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.①当△PDE的周长最大时,求出点P的坐标;②连接AP,以AP为边在其右侧作正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.则当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时,请直接写出点P的坐标.备用图类型2面积问题4.[2018四川绵阳]如图,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A(,-3)和点B(3,0),过点A 作直线AC∥x轴,交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线,垂足为D,连接OA,使得以A,D,P为顶点的三角形与△AOC相似,求出点P的坐标;(3)抛物线上是否存在点Q,使得S△AOC=S△AOQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.5.[2018山东东营]如图,抛物线y=a(x-1)(x-3)(a>0)与x轴交于A,B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长度;(2)设直线BC与y轴交于点M,点C恰为BM的中点,求直线BM和抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,直线BC下方的抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.6.[2017开封二模]如图,已知抛物线y=a(x+1)(x-5)与x轴从左至右交于A,B两点,与y轴交于点C(0,5).(1)求该抛物线的函数解析式;(2)D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C,B不重合),过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC于点E,连接BD,CD,直线BC能否把△BDF分成面积之比为2∶3的两部分?若能,请求出点D的坐标;若不能,请说明理由;(3)若M为抛物线对称轴上一动点,△MBC为直角三角形,请直接写出点M的坐标.类型3等腰三角形的存在性问题7.[2018山西中考改编]如图,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A(-3,0),B(4,0),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作PE∥AC交x轴于点E,交BC于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最大值;(3)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请直接写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.8.[2018洛阳二模]如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点C,顶点为点P,经过B,C两点的直线的解析式为y=-x+3. (1)求二次函数的解析式;(2)Q是直线BC下方抛物线上一动点,△QBC的面积是否有最大值?若有,请求出这个最大值和此时点Q的坐标;若无,请说明理由;(3)该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以点C,P,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.9.如图,二次函数y=x2+bx-的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.(1)求抛物线的解析式及点B的坐标;(2)当点P在线段AO(点P不与A,O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.备用图类型4直角三角形、等腰直角三角形的存在性问题10.[2018四川眉山中考改编]如图(1),已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P 是抛物线上一个动点,设其横坐标为m. (1)求抛物线的解析式;(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上运动,连接PE,PO,当m为何值时,四边形AOPE的面积最大?并求出其最大值;(3)如图(2),点F是抛物线的对称轴l上的一点,在对称轴左侧、y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.图(1)图(2)11.[2018辽宁沈阳中考改编]如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx-1经过点A(-2,1)和点B(-1,-1),抛物线C2:y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M (1)求抛物线C1的解析式; (2)直接．．用含t的代数式表示线段MN的长;(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值.备用图12.[2018平顶山二模]如图,已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=x2+bx+c经过点A,B,且交x轴于点C. (1)求抛物线的解析式.(2)点P为抛物线上一点,且点P在直线AB的下方,设点P的横坐标为m.①试求当m为何值时,△PAB的面积最大;②当△PAB的面积最大时,过点P作x轴的垂线PD,垂足为点D,则在直线PD上是否存在点Q,使△QBC为直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.备用图类型5平行四边形的存在性问题13.[2018濮阳一模]如图,抛物线y=ax2+bx-3经过点A(2,-3),与x轴负半轴交于点B,与y 轴交于点C,且OC=3OB. (1)求抛物线的解析式; (2)点D在y轴上,且∠BDO=∠BAC,求点D 的坐标; (3)点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.14.[2018新乡一模]如图,一次函数y=-x+2分别交y轴、x轴于A,B两点,抛物线y=-x2+bx+c过A,B两点. (1)求抛物线的解析式; (2)作垂直于x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于点M,交这个抛物线于点N.求当t取何值时,MN有最大值,最大值是多少;(3)在(2)的条件下,以A,M,N,D(点D为平面内一点)为顶点作平行四边形,求顶点D的坐标.15.在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的“梦想直线”;定义有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.已知抛物线y=-x2-x+2与其“梦想直线”交于A,B两点(点A在点B的左侧),与x 轴负半轴交于点C. (1)填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为,点A的坐标为,点B的坐标为; (2)如图,点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM 所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标; (3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E,F的坐标;若不存在,请说明理由.备用图类型6矩形、菱形、正方形的存在性问题16.如图,以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A,点B(-1,0),与y 轴交于点C(0,4),作直线AC.(1)求抛物线的解析式;(2)点P在抛物线的对称轴上,且到直线AC和x轴的距离相等.设点P的纵坐标为m,求m的值;(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线AC上,点Q为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,Q为顶点的四边形是菱形,请直接写出点Q的坐标.备用图17.[2018四川南充]如图,抛物线的顶点为P(1,4),且与y轴交于C(0,3),与x轴交于点A,B.(1)求抛物线的解析式.(2)Q是抛物线上除点P外一点,且△BCQ与△BCP的面积相等,求点Q的坐标.(3)若M,N为抛物线上两个动点,分别过点M,N作直线BC的垂线段,垂足分别为点D,E.是否存在点M,N使四边形MNED为正方形?若存在,请直接写出正方形MNED的边长;若不存在,请说明理由.18.如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=kx+h与x轴相交于点A(-1,0),与y轴相交于点C,与抛物线y=-x2+bx+3的一交点为点D,抛物线过x轴上的A,B两点,且CD=4AC.(1)求直线l和抛物线的解析式;(2)点E是直线l上方抛物线上的一动点,连接AE,DE,求△ADE面积最大时点E的坐标;(3)设点P是抛物线对称轴上一点,点Q在抛物线上,以A,D,P,Q为顶点的四边形能否为矩形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.备用图类型7相似三角形或全等三角形的存在性问题19.[2018四川达州中考改编]如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B(,0).(1)求抛物线的解析式;(2)连接OA,过点A作AC⊥OA交抛物线于点C,连接OC,求△AOC的面积;(3)点M是y轴右侧抛物线上一动点,连接OM,过点M作MN⊥OM交x轴于点N.问:是否存在点M,使以点O,M,N为顶点的三角形与(2)中的△AOC相似?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.备用图20.[2018郑州外国语三模]如图,抛物线y=-x2+(3m+1)x-m(m>,且m为实数)与x轴交于A,B(点B位于点A的右侧,且AB≠OA)两点,与y轴交于点C.(1)填空:点B的坐标为,点C的坐标为(用含m的代数式表示).(2)当m=3时,在直线BC上方的抛物线上有一点M,过点M作x轴的垂线,交直线BC于点N,求线段MN长度的最大值.(3)在第四象限内是否存在点P,使得△PCO,△POA和△PAB中的任意两个三角形都相似(全等是相似的特殊情况)?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.备用图21.[2018山东潍坊]如图(1),抛物线y1=ax2-x+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,),抛物线y1的顶点为G,GM⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B,且对称轴为直线l的抛物线y2.(1)求抛物线y2的解析式.(2)如图(2),在直线l上是否存在点T,使△TAC是等腰三角形?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.(3)点P为抛物线y1上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线y2于点Q,点Q关于直线l的对称点为R.若以点P,Q,R为顶点的三角形与△AMG全等,求直线PR的解析式.图(1)图(2)备用图类型8角度的存在性问题22.[2018广东]如图,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A,B两点,直线y=x+m过顶点C和点B.(1)求m的值;(2)求抛物线y=ax2+b(a≠0)的解析式;(3)抛物线上是否存在点M,使得∠MCB=15°?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.23.[2018许昌二模]如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=-x+2经过点A,C. (1)求抛物线的解析式. (2)点P为直线AC上方抛物线上一动点.①连接PO,交AC于点E,求的最大值.②过点P作PF⊥AC,垂足为点F,连接PC,是否存在点P,使△PFC中的一个角等于∠CAB的2倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.24.[2018安阳二模]如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,4).已知点D的坐标为(0,2),点P为二次函数图象上的一动点. (1)求二次函数的解析式; (2)当点P位于第二象限内二次函数的图象上时,连接AD,AP,以AD,AP为邻边作平行四边形APED,设平行四边形APED的面积为S,求S 的最大值; (3)点F是y轴上一点,是否存在点F,P,使∠PDF与∠ADO互余?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1.(1)∵B(4,c)在直线y=x+2上,∴c=6,则B(4,6).∵A(,),B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,∴解得故抛物线的解析式为y=2x2-8x+6.(2)存在.易知点P的坐标为(n,n+2)(<n<4),点C的坐标为(n,2n2-8n+6),∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2(n-)2+.∵-2<0,∴当n=时,线段PC的长取得最大值.(3)n的值为或.2.(1)将A(-1,0),B(3,0)两点的坐标分别代入y=ax2+bx-3中,得解得∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)∵点P的横坐标为m,点P在x轴下方,∴P(m,m2-2m-3),E(m,m-2),F(m,0),且-1<m<3,∴PE=|y E-y P|=|(m-2)-(m2-2m-3)|=|-m2+3m+1|,EF=|y F-y E|=|0-(m-2)|=|-m+2|.∵PE=3EF,∴|-m2+3m+1|=3|-m+2|.①若-m2+3m+1=3(-m+2),整理,得m2-6m+5=0,解得m=1或m=5.∵-1<m<3,∴m=5不合题意,应舍去,∴m=1.②若-m2+3m+1=-3(-m+2),整理,得m2-7=0,解得m=或m=-.∵-1<m<3,∴m=-不合题意,应舍去,∴m=.综上所述,m的值为1或.(3)存在,m的值为1+,1-,或.3.(1)将B(0,-3),C(1,0)分别代入y=x2+bx+c,得解得故抛物线的解析式为y=x2+2x-3.(2)①令y=x2+2x-3=0,得x1=1,x2=-3,∴A(-3,0),∴OA=OB,∴∠BAO=45°,又∵PF⊥AO,∴∠AEF=45°,∴∠PED=45°,∴PD=DE,∴△PDE为等腰直角三角形,△PDE的周长为PE+2×=(1+)PE.设点F的横坐标为m,则PF=-m2-2m+3,FE=AF=m+3,∴PE=PF-FE=-m2-3m=-(m+)2+.∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点,∴-3<m<0,∴当m=-时,PE最大,为,此时△PDE的周长最大,点P的坐标为(-,-).②点P的坐标为(,)或(-1-,-2).4.(1)把点A,B的坐标分别代入抛物线的解析式,得解得故抛物线的解析式为y=x2-x.(2)设点P的坐标为(m,n).∵A(,-3),∴C(0,-3),D(m,-3),∴PD=n+3,CO=3,AD=m-,AC=.①当△ADP∽△ACO时,=,即=,∴n=m-6.∵点P在抛物线上,∴n=m2-m,∴m-6=m2-m,解得m1=4,m2=(不合题意,舍去),∴P(4,6).②当△PDA∽△ACO时,=,即=,∴n=m-4.∵点P在抛物线上,∴n=m2-m,∴m-4=m2-m,解得m1=,m2=(不合题意,舍去),∴P(,-).综上所述,点P的坐标为(4,6)或(,-).(3)存在.∵A(,-3),∴AC=,OC=3,∴OA=2.在△AOC中,设边OA上的高为h,则S△AOC=OC·AC=OA·h,即×3×=×2×h,解得h=.∵S△AOC=S△AOQ,∴△AOQ的边OA上的高为.如图,过点O作OR⊥OA,在射线OR上截取OM=,过点M作MN∥OA交y轴于点N,过点M作MH⊥x轴于点H.∵AC=,OA=2,∴∠AOC=30°.∵MN∥OA,∴∠MNO=∠AOC=30°,OM⊥MN,∴ON=2OM=9,∠NOM=60°,∴点N的坐标为(0,9),∠MOB=30°,∴MH=OM=,OH=MH=,∴M(,).设直线MN的解析式为y=kx+c,则解得联立抛物线与直线MN的解析式,得整理,得x2-x-18=0,解得x1=3,x2=-2,故点Q的坐标为(3,0)或(-2,15). 5.(1)由题可知,当y=0时,a(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3,即A(1,0),B(3,0),∴OA=1,OB=3.∵△OCA∽△OBC,∴OC∶OB=OA∶OC,∴OC2=OA·OB=3,则OC=.(2)∵点C是BM的中点,∴点C的横坐标为,又OC=,点C在x轴下方,∴C(,-).设直线BM的解析式为y=kx+b,把点B(3,0),C(,-)分别代入,得解得将C(,-)代入抛物线的解析式,得a=,故抛物线的解析式为y=x2-x+2.(3)存在.设点P的坐标为(m,m2-m+2),过点P作PQ⊥x轴,交直线BM于点Q,则Q(m,m-),∴PQ=m--(m2-m+2)=-m2+3m-3.当△BCP的面积最大时,四边形ABPC的面积最大,S△BCP=PQ·(3-)=PQ=-m2+m-,当m=-=时,S△BCP有最大值,四边形ABPC的面积最大,此时点P的坐标为(,-).6.(1)∵抛物线y=a(x+1)(x-5)经过C(0,5).∴5=a(0+1)(0-5),解得a=-1,∴抛物线的函数关系式为y=-(x+1)(x-5),即y=-x2+4x+5.(2)直线BC能把△BDF分成面积之比为2∶3的两部分.设直线BC的函数关系式为y=kx+b,则解得∴y=-x+5.设D(m,-m2+4m+5),则E(m,-m+5).∴DE=-m2+4m+5+m-5=-m2+5m,EF=-m+5.∵△BDE和△BFE是等高的,∴=.(i)当DE∶EF=2∶3时,即=,解得m1=,m2=5(舍去),此时,D(,).(ii)当DE∶EF=3∶2时,即=,解得m1=,m2=5(舍去),此时,D(,).综上所述,点D的坐标为(,)或(,).(3)点M的坐标为(2,7),(2,-3),(2,6)或(2,-1).7.(1)将点A(-3,0),B(4,0)分别代入y=ax2+bx-4,得解得故抛物线的解析式为y=x2-x-4.(2)如图,过点F作FG⊥PQ于点G,则FG∥x轴.由B(4,0),C(0,-4),得△OBC为等腰直角三角形,∴∠QFG=∠OBC=45°,∴GQ=FG=QF.∵PE∥AC,∴∠1=∠2.∵FG∥x轴,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3.又∵∠FGP=∠AOC=90°,∴△FGP∽△AOC,∴=,即=,∴GP=FG=×QF=QF,∴QP=GQ+GP=QF+QF=QF,∴QF=QP.∵PM⊥x轴,点P的横坐标为m,∠MBQ=45°,∴QM=MB=4-m,PM=-m2+m+4,∴QP=PM-QM=-m2+m+4-(4-m)=-m2+m,∴QF=QP=(-m2+m)=-m2+m.∵-<0,∴QF有最大值,∴当m=-=2时,QF有最大值.(3)存在.点Q的坐标为(,-4)或(1,-3).8.(1)∵直线y=-x+3经过B,C两点,∴B(3,0),C(0,3).∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点B,C,∴解得故二次函数的解析式为y=x2-4x+3.(2)有.设点Q的横坐标为m,则点Q的纵坐标为m2-4m+3.如图,过点Q作x轴的垂线交BC于点D,则点D的坐标为(m,-m+3),∴QD=(-m+3)-(m2-4m+3)=-m2+3m,∴S△QBC=S△QDC+S△QDB=m·QD+(3-m)QD=×3×QD=(-m2+3m)=-(m-)2+.故当m=时,△QBC的面积取最大值,为,此时点Q的坐标为(,-).(3)存在.点M的坐标为(2,7),(2,2-1),(2,)或(2,-2-1).9.(1)将点A坐标代入y=x2+bx-,解得b=1,故抛物线的解析式为y=x2+x-.令y=0,得x2+bx-=0,解得x1=1,x2=-3,故点B的坐标为(1,0).(2)由题意知,正方形ABCD的边长为4,OA=3,OB=1.设PA=t,OE=l.由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°,易得△DAP∽△POE.∴=,即=.∴l=-t2+t=-(t-)2+,故当t=时,l有最大值,即P为AO的中点时,OE的最大值为.(3)存在.由题意知,若△PED是等腰三角形,则PD=PE.①当点P在y轴左侧时,如图(1),设DE与x轴交于点G.图(1)易知△DAP≌△POE,∴OP=AD=4,OE=AP=4-3=1,∴点P的坐标为(-4,0).∵AD⊥x轴,EO⊥x轴,∴△ADG∽△OEG,∴==,∴AG=4GO=AO=,∴重叠部分的面积为S△ADG=××4=.图(2)②当点P在y轴右侧时,如图(2),设DE与x轴交于点G,DP与BC交于点F.同①可得OP=4,OE=AP=7,∴点P的坐标为(4,0).由△ADG∽△OEG,得AG=OG=OA=.由△DCF∽△PBF,得CF=BF=BC=.∴重叠部分的面积S四边形DGBF=4×4-××4-××4=.10.(1)设抛物线与x轴的另一个交点为D,由抛物线的对称性,得D(3,0),则抛物线的解析式可变形为y=a(x-1)(x-3),把A(0,3)代入,得3=3a,解得a=1,故抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)易得点P的坐标为(m,m2-4m+3),∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°,∴∠AOE=45°,∴△AOE是等腰直角三角形,∴AE=OA=3,∴E(3,3).易得直线OE的解析式为y=x,过点P作PG∥y轴,交直线OE于点G,则G(m,m),∴PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,∴S四边形AOPE=+=×3×3+PG·AE=+×3×(-m2+5m-3)=-m2+m=-(m-)2+.∵-<0,∴当m=时,S四边形AOPE有最大值,最大值是.(3)存在.点P的坐标为(,)或(,).11.(1)∵抛物线C1:y=ax2+bx-1经过点A(-2,1)和B(-1,-1),∴解得故抛物线C1的解析式为y=x2+x-1.(2)MN=t2+2.(3)分两种情况讨论.①当∠ANM=90°时,AN=MN,∵AN=t-(-2)=t+2,由(2)得MN=t2+2,∴t+2=t2+2,解得t1=0,t2=1.∵t=0时,∠AMN=90°,不符合题意,舍去,∴t=1.②当∠AMN=90°时,AM=MN,∵AM=t-(-2)=t+2,由(2)得MN=t2+2,∴t+2=t2+2,解得t3=0,t4=1.∵t=1时,∠ANM=90°,不符合题意,舍去,∴t=0.综上所述,t的值为0或1.12.(1)对于直线y=x-3,令x=0,得y=-3,令y=0,得x=6,∴A(6,0),B(0,-3).将点A,B的坐标分别代入y=x2+bx+c,得解得故抛物线的解析式为y=x2-x-3.(2)①由题易知P(m,m2-m-3).如图,过点P作PE⊥x轴,交AB于点E,则E(m,m-3),∴PE=m-3-(m2-m-3)=-m2+2m,∴S△PAB=PE·OA=×(-m2+2m)×6=-(m-3)2+9,∵点P在直线AB下方的抛物线上,∴0<m<6,∴当m=3时,△PAB的面积最大,为9.②存在,点Q的坐标为(3,)或(3,-).13.(1)当x=0时,y=-3,∴C(0,-3).∵OC=3OB,∴OB=1,∴B(-1,0).将A,B两点的坐标代入抛物线的解析式,得解得故抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)过点B作BF⊥AC,交AC的延长线于点F.易得AF=BF=3,∴∠BAC=45°,∴∠BDO=∠BAC=45°.∵点D在y轴上,∴OB=OD=1,故点D的坐标为(0,1)或(0,-1).(3)存在.如图,当AB为对角线时,易得平行四边形AM1BN1,∴M1(0,-3).当AB为一边时,在▱ABM2N2中,点A的横坐标是2,点N2的横坐标是1,点B的横坐标是-1,由图形平移前后点的坐标关系,得点M2的横坐标是-2,∴点M2的纵坐标为(-2)2-2×(-2)-3=5,∴M2(-2,5).在▱ABN3M3中,点B的横坐标是-1,点N3的横坐标是1,点A的横坐标是2,由图形平移前后点的坐标关系,得点M3的横坐标为4,∴点M3的纵坐标为42-2×4-3=5,∴M3(4,5).14.(1)易知点A,B的坐标分别为(0,2),(4,0).将x=0,y=2代入y=-x2+bx+c,得c=2,将x=4,y=0,c=2代入y=-x2+bx+c,得0=-16+4b+2,解得b=,故抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)易得M(t,-t+2),N(t,-t2+t+2),则MN=y N-y M=-t2+t+2-(2-t)=-t2+4t=-(t-2)2+4,∴当t=2时,MN有最大值4.(3)易知A(0,2),M(2,1),N(2,5),设D(m,n).当AM是对角线时,AM的中点的坐标为(1,),DN的中点的坐标为(,),∴1=,=,解得m=0,n=-2,此时点D的坐标为(0,-2).当AN是对角线时,AN的中点的坐标为(1,),DM的中点的坐标为(,),∴1=,=,解得m=0,n=6,此时点D的坐标为(0,6).当MN是对角线时,MN的中点的坐标为(2,3),AD的中点的坐标为(,),∴2=,3=,解得m=4,n=4,此时点D的坐标为(4,4).15.(1)y=-x+(-2,2)(1,0)(2)∵抛物线与x轴负半轴交于点C,∴C(-3,0).过点A作AG⊥y轴,垂足为点G.当点N在y轴上时,如图(1),△AMN为抛物线的“梦想三角形”.设N(0,n),∵A(-2,2),C(-3,0),∴AC=,∴AN=AC=.在Rt△AGN中,AG2+GN2=AN2,又AG=2,GN=|n-2|,∴4+(n-2)2=13,解得n=2-3或n=2+3.设M(m,0),当n=2-3时,在Rt△MNO中,ON2+OM2=MN2,即(2-3)2+m2=(m+3)2,解得m=2-2.当n=2+3时,在Rt△MNO中,ON2+OM2=MN2,即(2+3)2+m2=(m+3)2,解得m=2+2.又-3<m≤1,∴m=2+2不合题意,舍去,∴m=2-2,此时n=2-3,∴N(0,2-3).图(1)图(2)当点M在y轴上时,如图(2),△AMN为“梦想三角形”,此时点M与点O重合,在Rt△AGM中,AG=2,GM=2,∴tan∠AMG==,∴∠AMG=30°,∴∠AMC=∠AMN=∠NMB=60°,过点N作NP⊥x轴于点P,在Rt△NMP中,MN=CM=3,∴NP=,OP=,∴N(,).综上所述,点N的坐标为(0,2-3)或(,).(3)E1(-1,-),F1(0,);E2(-1,-),F2(-4,).16.(1)由题意得,c=4,则解得∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4.(2)∵抛物线与x轴交于点B(-1,0),对称轴为直线x=1,∴点A的坐标为(3,0).∵直线AC经过点A(3,0),点C(0,4),∴直线AC的解析式为y=-x+4.令对称轴与直线AC交于点D,与x轴交于点E,则DE⊥x轴,点D的坐标为(1,).∴DE=,AE=2,AD=.图(1)①当点P在∠CAB的平分线上时,如图(1),过点P作PH⊥AC于点H,则PH=PE=m,DP=-m.易得△DPH∽△DAE,∴=,即=,解得m=1.图(2)②当点P在∠CAB的邻补角的平分线上时,如图(2),过点P作PG⊥AC于点G,则PG=PE=-m,DP=-m.易得△DPG∽△DAE,∴=,即=,解得m=-4.∴m的值为1或-4.(3)点Q的坐标为(1,)或(,).17.(1)由题可设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4(a≠0),将C(0,3)代入,得a+4=3,∴a=-1,故抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. (2)易得B(3,0),根据待定系数法,易得直线BC的解析式为y=-x+3.分以下两种情况讨论.①当点Q在直线BC上方时,∵S△PBC=S△QBC,∴PQ∥BC.如图(1),过点P作平行于BC的直线,交抛物线于点Q1,∵P(1,4),∴直线PQ的解析式为y=-x+5.联立y=-x+5与y=-x2+2x+3,得解得∴Q1(2,3).②当点Q在直线BC下方时,如图,设抛物线的对称轴交BC于点G,交x轴于点H,则G(1,2),∴PG=GH=2.过点H作平行于BC的直线,交抛物线于点Q2,Q3.易得直线Q2Q3的解析式为y=-x+1,联立y=-x+1与y=-x2+2x+3,得解得∴Q2(,),Q3(,).综上所述,点Q的坐标为(2,3),(,)或(,).(3)存在.正方形MNED的边长为9或.18.(1)将A(-1,0)代入y=-x2+bx+3,得b=2,故抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,过点D作DF⊥x轴于点F,易证△AOC∽△AFD,∴=.∵CD=4AC,∴==,∴点D横坐标为4.把x=4代入y=-x2+2x+3,得y=-5,∴D(4,-5).把A(-1,0),D(4,-5)分别代入y=kx+h,解得k=-1,h=-1,故直线l的解析式为y=-x-1.(2)过点E作EM⊥x轴,交AD于点M,设E(m,-m2+2m+3),则M(m,-m-1),∴EM=-m2+2m+3-(-m-1)=-m2+3m+4,∴S△ADE=×5(-m2+3m+4)=-m2+m+10,当m=-=时,△ADE的面积最大,此时,E(,).(3)以A,D,P,Q为顶点的四边形不能为矩形.理由:设P(1,n),AD2=25+25=50.①若AD是一边,则∠QAD=90°.易知x Q-x P=x A-x D,即x Q-1=-1-4,解得x Q=-4,故点Q的坐标为(-4,-21).此时AQ2=32+212=450,DQ2=82+162=320,∴AQ2+AD2≠DQ2,∴∠QAD≠90°,故此时以A,D,P,Q为顶点的四边形不是矩形.②若AD是对角线,则∠AQD=90°.用同样的方法求得Q(2,3),此时QD2=22+82=68,QA2=32+32=18,∴QD2+QA2≠AD2,∴∠AQD≠90°,故此时以A,D,P,Q为顶点的四边形不是矩形.综上所述,以A,D,P,Q为顶点的四边形不能为矩形.19.(1)设抛物线的解析式为y=ax(x-).将点A的坐标代入,得1=a(1-),解得a=-.故抛物线的解析式为y=-x(x-)=-x2+x.(2)如图,过点C作CD⊥x轴于点D,延长CA交y轴于点E,设AC与x轴交于点H.∵A(1,1),∴∠AOE=45°.∵AC⊥OA,∴△AOE为等腰直角三角形.∴OE=2,∴E(0,2).设直线AC的解析式为y=kx+b.根据题意,得解得故直线AC的解析式为y=-x+2.联立抛物线与直线AC的解析式,得解得∴C(5,-3),∴CD=3.易知H(2,0),∴S△AOC=OH·(1+CD)=×2×4=4.(3)存在,点M的坐标为(,),(,-)或(,-54).过点M作MF⊥x轴于点F,则△MNO∽△FMO.①当点M在x轴上方时,由题意得△MNO∽△AOC,设M(m,-m2+m),则OF=m.∴△FMO∽△AOC,∴=.∵A(1,1),∴OA=.∵C(5,-3),∴AC=4,∴=,∴=.∵m>0,∴-m+=,解得m=,当m=时,-m2+m=,∴M(,).②当点M在x轴下方时.(i)若△MNO∽△AOC,同①可得=.∵m>0,∴m-=,解得m=,当m=时,-m2+m=-,∴M(,-).(ii)若△MNO∽△ACO,可得△FMO∽△ACO,∴=,∴=4,∵m>0,∴m-=4,解得m=.当m=时,-m2+m=-54,∴M(,-54).综上,满足条件的点M的坐标为(,),(,-)或(,-54).20.(1)(3m,0)(0,-m)(2)当m=3时,y=-x2+x-3,点B的坐标为(9,0),点C的坐标为(0,-3),易得直线BC的解析式为y=x-3.设M(a,-a2+a-3),则N(a,a-3),∴MN=-a2+a-3-(a-3)=-a2+3a.∵点M在直线BC上方的抛物线上,∴0<a<9,∴当a=-=时,MN的长有最大值,为-×()2+3×=. (3)存在,点P的坐标为(1,-3),(1,-)或(1,).21.(1)将C(0,),B(1,0)分别代入y1=ax2-x+c,得解得故抛物线y1的解析式为y1=-x2-x+.∵抛物线y1平移后得到抛物线y2,且顶点为B(1,0),∴抛物线y2的解析式为y2=-(x-1)2,即y2=-x2+x-.(2)存在.易得抛物线y2的对称轴l为直线x=1,A(-3,0),设T(1,t),过点T作TE⊥y轴于点E,则TC2=TE2+CE2=12+(-t)2, TA2=TB2+AB2=t2+(1+3)2=t2+16,AC2=.分以下三种情况讨论:①当TC=AC时,12+(-t)2=,解得t1=,t2=;②当TA=AC时,t2+16=,此方程无实数解;③当TA=TC时,12+(-t)2=t2+16,解得t3=-.综上可知,在直线l上存在点T,使△TAC是等腰三角形,此时点T的坐标为(1,),(1,)或(1,-).(3)设P(m,-m2-m+),则Q(m,-m2+m-).∵Q,R关于直线x=1对称,∴R(2-m,-m2+m-).分以下两种情况讨论:①当点P在直线l的左侧时,PQ=-m2-m+-(-m2+m-)=1-m,QR=2-2m,a.当△PQR≌△GMA,即PQ=GM,QR=AM时,易得m=0,∴P(0,),即点P与点C重合,∴R(2,-).设直线PR的解析式为y=kx+b,将P(0,),R(2,-)分别代入,得解得故直线PR的解析式为y=-x+.b.当△PQR≌△AMG,即PQ=AM,QR=MG时,这种情况不存在.②当点P在直线l的右侧时,PQ=-m2+m--(-m2-m+)=m-1,RQ=2m-2,同理可得P(2,-),R(0,-),利用待定系数法,可得直线PR的解析式为y=-x-.综上所述,直线PR的解析式为y=-x+或y=-x-.22.(1)将C(0,-3)代入y=x+m,得-3=0+m,解得m=-3.(2)对于y=x-3,令y=0,得x=3,∴B(3,0).将C(0,-3),B(3,0)分别代入y=ax2+b,得解得故抛物线y=ax2+b(a≠0)的解析式为y=x2-3.(3)存在.分以下两种情况讨论.①若点M在BC上方,设MC交x轴于点D,则∠ODC=45°+15°=60°,∴OD==,∴D(,0).设直线DC的解析式为y=kx-3,把D(,0)代入,得k-3=0,解得k=,故直线DC的解析式为y=x-3.联立直线DC和抛物线的解析式,得解得(不合题意,舍去)∴M(3,6).②若点M在BC下方,设MC交x轴于点E,则∠OEC=45°-15°=30°,∴OE==3.设直线EC的解析式为y=mx-3,把E(3,0)代入,得0=3m-3,解得m=,故直线EC的解析式为y=x-3.联立直线EC和抛物线的解析式,得解得(不合题意,舍去)∴M(,-2).综上所述,点M的坐标为(3,6)或(,-2).23.(1)对于y=-x+2,当x=0时,y=2,当y=0时,x=4,∴A(4,0),C(0,2).∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(4,0),C(0,2),∴解得故抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)如图,过点P作PN⊥x轴于点N,交直线AC于点M,则PN∥y轴,∴∠PME=∠OCE.又∵∠PEM=∠OEC,∴△PEM∽△OEC,∴=.∵C(0,2),∴OC=2.设点P的坐标为(t,-t2+t+2),则点M(t,-t+2),∴PM=-t2+t+2-(-t+2)=-t2+2t,∴=-t2+t=-(t-2)2+1.∵-<0,0<t<4,∴当t=2时,有最大值1.(3)存在.点P的坐标为(2,3)或(,).24.(1)∵二次函数y=-x2+bx+c的图象过点B(1,0),C(0,4),∴解得故二次函数的解析式为y=-x2-3x+4.(2)如图,连接PD,过点P作PM⊥x轴于点M,交AD于点N,令-x2-3x+4=0,解得x1=1,x2=-4,∴A(-4,0).设直线AD的解析式为y=kx+t,将A(-4,0),D(0,2)分别代入,得解得故直线AD的解析式为y=x+2.设P(m,-m2-3m+4),则N(m,m+2),∴PN=-m2-3m+4-(m+2)=-m2-m+2,∴S=2S△APD=2(S△APN+S△PND)=2×(PN·AM+PN·MO)=PN·AO=(-m2-m+2)×4=-4(m+)2+.∵-4<m<0,∴当m=-时,S有最大值,为.(3)存在,点P的横坐标为1,-2,或.。

《二次函数》压轴大题专项训练题一．解答题1．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON＝，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标．（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标．2．在平面直角坐标系中，如果某点的横坐标与纵坐标的和为10，则称此点为“合适点”例如，点（1，9），（﹣2019，2029）…都是“合适点”．（1）求函数y＝2x+1的图象上的“合适点”的坐标；（2）求二次函数y＝x2﹣5x﹣2的图象上的两个“合适点”A，B之间线段的长；（3）若二次函数y＝ax2+4x+c的图象上有且只有一个合适点”，其坐标为（4，6），求二次函数y＝ax2+4x+c的表达式；（4）我们将抛物线y＝2（x﹣n）2﹣3在x轴下方的图象记为G1，在x轴及x轴上方图象记为G2，现将G1沿x轴向上翻折得到G3，图象G2和图象G3两部分组成的记为G，当图象G上恰有两个“合适点”时，直接写出n的取值范围．3．若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）与y轴交于点C，其图象的顶点为点M，O是坐标原点．（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）求此二次函数的解析式并写出二次函数的对称轴；（2）如图1，若a＞0，b＞0，△ABC为直角三角形，△ABM是以AB＝2的等边三角形，试确定a，b，c的值；（3）设m，n为正整数，且m≠2，a＝1，t为任意常数，令b＝3﹣mt，c＝﹣3mt，如果对于一切实数t，AB≥|2t+n|始终成立，求m、n的值．4．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝4．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF ：S△CDF＝4：3时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣2），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 中的点D 沿AE 对折，使点D 落在OC 上F 点，已知AO ＝8．AD ＝10，G （﹣1，7），已知抛物线过点O ，F ，G ．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 为抛物线的对称轴上一动点，当|MG ﹣MF |取得最大值时，求点M 的坐标．（3）一条动直线过平面上一点B ，点B 的坐标为（3，﹣8），且该直线与（1）中的抛物线交于P 、Q 两点，请判断；是否为定值，若是定值请求出定值，着不是定值请求出其取值范围．（参考公式：在平面直角坐标系中，若H （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则H ，N 两点间的距离为HN ＝）．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点A ，直线y ＝﹣x +2经过A ，C 两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，直线MN 与对称轴交于点G ，与抛物线交于M ，N 两点（点N 在对称轴右侧），且MN ∥x 轴，MN ＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N 的坐标．（3）过点A 的直线与抛物线交于点F ，当tan ∠FAC ＝时，求点F 的坐标．（4）过点D 作直线AC 的垂线，交AC 于点H ，交y 轴于点K ，连接CN ，△AHK 沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK 与四边形DGNC 产生重叠，设重叠面积为S ，移动时间为t （0≤t ≤），请直接写出S 与t 的函数关系式．7．如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝x+3经过A，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点N是x轴上的动点，过点N作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线AC于点H．①点D在线段OC上，连接AD、BD，当AH＝BD时，求AD+AH的最小值；②当OC＝3OD时将直线AD绕点A旋转45°，使直线AD与y轴交于点P，请直接写出点P的坐标．8．在平面直角坐标系中，某个函数图象上任意两点的坐标分别为（﹣t ，y 1）和（t ，y 2）（其中t 为常数且t ＞0），将x ＜﹣t 的部分沿直线y ＝y 1翻折，翻折后的图象记为G 1；将x ＞t 的部分沿直线y ＝y 2翻折，翻折后的图象记为G 2，将G 1和G 2及原函数图象剩余的部分组成新的图象G ．例如：如图，当t ＝1时，原函数y ＝x ，图象G 所对应的函数关系式为y ＝．（1）当t ＝时，原函数为y ＝x +1，图象G 与坐标轴的交点坐标是 ．（2）当t ＝时，原函数为y ＝x 2﹣2x①图象G 所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是 ．②图象G 所对应的函数是否有最大值，如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由．（3）对应函数y ＝x 2﹣2nx +n 2﹣3（n 为常数）．①n ＝﹣1时，若图象G 与直线y ＝2恰好有两个交点，求t 的取值范围．②当t ＝2时，若图象G 在n 2﹣2≤x ≤n 2﹣1上的函数值y 随x 的增大而减小，直接写出n 的取值范围．9．如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．②在△NMP移动过程中，存在点M使△M BD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．（3）当PH＝2时，求点P的坐标．11．在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD ＝2S△APQ时，求点P的坐标．（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M 作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y ＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF＝BF 时，求sin∠EBA的值．（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．P为该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）将该抛物线沿y轴向下平移AB个单位，点P的对应点为P'，若OP＝OP'，求△OPP'的面积；（3）连结AP，BP，设△APB的面积为S，当﹣2≤m≤2时，求S的取值范围；（4）若二次函数的自变量x的取值范围是m≤x≤m+1，且最大值为，直接写出m的值．15．如图，过点A（0，1）作直线PQ，交抛物线y＝x2于P，Q两点，点B是点A关于x 轴的对称点．（1）试判断以点P为圆心，PA为半径的圆与直线l：y＝﹣1的位置关系；（2）证明：直线BQ和直线BP关于y轴对称；（3）过点P作y轴的平行线交直线l：y＝﹣1于H点，连接AH交x轴于E，直线PE与抛物线y＝x2是否还有除点P之外别的交点？请说明理由．参考答案一．解答题1．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．（2）如图1，设对称轴与x轴交于点H，∵MN平分∠OMD，∴∠OMN＝∠DMN，又∵DM∥ON，∴∠DMN＝∠MNO，∴∠MNO＝∠OMN，∴OM＝ON＝．在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OH＝1．∴，∴M1（1，1）；M2（1，﹣1）．①当M1（1，1）时，直线OM解析式为：y＝x，依题意得：x＝x2﹣2x﹣3．解得：，，∵点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，∴Q点纵坐标y＝．∴，②当M2（1，﹣1）时，直线OM解析式为：y＝﹣x，同理可求：，综上所述：点Q 的坐标为：，，（3）由题意可知：A （﹣1，0），C （0，﹣3），D （1，﹣4），∴AC ＝，AD ＝，CD ＝，∵直线BC 经过B （3，0），C （0，﹣3）， ∴直线BC 解析式为y ＝x ﹣3，∵抛物线对称轴为x ＝1，而直线BC 交对称轴于点E ， ∴E 坐标为（1，﹣2）；∴CE ＝，设P 点坐标为（x ，y ）， 则CP 2＝（x ﹣0）2+（y +3）2， 则EP 2＝（x ﹣1）2+（y +2）2，∵CE ＝CD ，若△PCE 与△ACD 全等，有两种情况， Ⅰ．PC ＝AC ，PE ＝AD ，即△PCE ≌△ACD ．∴，解得：，，即P 点坐标为P 1（﹣3，﹣4），P 2（﹣1，﹣6）． Ⅱ．PC ＝AD ，PE ＝AC ，即△PCE ≌△ACD ．∴，解得：，，即P 点坐标为P 3（2，1），P 4（4，﹣1）．故若△PCE 与△ACD 全等，P 点有四个，坐标为P 1（﹣3，﹣4），P 2（﹣1，﹣6），P 3（2，1），P（4，﹣1）．42．解：（1）联立x+y＝10和y＝2x+1并解得：x＝3，y＝7，故“合适点”的坐标为（3，7）；（2）联立x+y＝10和y＝x2﹣5x﹣2并解得：x＝﹣2或6，故点A、B的坐标分别为：（﹣2，12）、（6，4），则AB＝＝8；（3）将点（4，6）代入二次函数表达式得：16a+16+c＝6…①，联立y＝10﹣x和y＝ax2+4x+c并整理得：ax2+5x+（c﹣10）＝0，△＝25﹣4a（c﹣10）＝0…②，联立①②并解得：a＝﹣，c＝0，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x；（4）图象G，如下图所示：G 2的顶点坐标为（n，3），则G2的函数表达式为：y＝﹣2（x﹣n）2+3，x+y＝10，则y＝10﹣x，设直线m为：y＝10﹣x，①当直线m与图象G2只有一个交点时，直线m与图象G有3个交点，即有3个“合适点”，联立直线m与G2的表达式得：y＝﹣2（x﹣n）2+3＝10﹣x，整理得：2x2﹣（4n+1）x+（2n2+7）＝0，△＝b2﹣4ac＝8n﹣55＝0，解得：n＝，故当n＜时，图象G恰好有2个“合适点”；②当直线m经过点A、B时，直线m与图象G有3个交点，即有3个“合适点”，则在这两个点之间有2个“合适点”，直线m与x轴的交点为（10，0），将（10，0）代入y＝2（x﹣n）2﹣3并解得：n＝10，故10﹣＜n＜10+；综上，n的取值范围为：n＜或10﹣＜n＜10+．3．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），则﹣8a＝3，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（2）如图所示，△ABC为直角三角形，则∠ACB＝90°，∵△AMB 是等边三角形，则点C 是MB 的中点，则BC ＝MC ＝1，则BO ＝BC ＝，同理OC ＝，OA ＝2﹣＝，则点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣，0）、（，0），（0，﹣），则函数的表达式为：y ＝a （x +）（x ﹣）＝a （x 2+x ﹣），即﹣a ＝﹣，解得：a ＝，则函数表达式为：y ＝x 2+x ﹣；（3）y ＝ax 2+bx +c ＝x 2+（3﹣mt ）x ﹣3mt ， 则x 1+x 2＝mt ﹣3，x 1x 2＝﹣3mt ，AB ＝x 2﹣x 1＝＝|mt +3|≥|2t +n |，对于一切实数t ，上式都成立， 则必然存在|mt +3|＝|2t +n |， 即：mt +3＝±（2t +n ）， ∵m ≠2，则m ＝﹣2，n ＝﹣3， 即m ＝﹣2、n ＝﹣3． 4．解：（1）∵OB ＝OC ＝4， ∴B （4，0），C （0，4），把B （4，0），C （0，4）代入y ＝ax 2+3x +c ，得，解得∴抛物线的函数解析式为y ＝﹣x 2+3x +4；（2）如图1，设直线BC解析式为y＝kx+b，则，解得∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，令点D、F的横坐标分别为x D，x F，∵S△COF ：S△CDF＝4：3，∴S△COF ＝S△COD，即OC•x F＝×OC•x D，∴x D＝x F，设点D横坐标为7t，点F横坐标为4t，∵点F在直线BC上，∴F（4t，4﹣4t），设直线OF解析式为y＝k′x，则4﹣4t＝4tk′，∴k′＝＝，∴直线OF解析式为y＝x，∵点D在直线OF上，∴D（7t，7﹣7t），将D（7t，7﹣7t）代入y＝﹣x2+3x+4中，得7﹣7t＝﹣（7t）2+3×7t+4，解得：t1＝，t2＝，∴D的坐标为（1，6）或（3，4）；（3）①当∠PEB＝2∠OBE，且点P在x轴上方时，如图2，作BE的垂直平分线交OB于F，连接EF，在∠BEO内部作射线EP交x轴于G，交抛物线于P，使∠PEB＝∠EFO，过点G作GH⊥BE于H，则BF＝EF，设BF＝EF＝m，∴OF＝OB﹣BF＝4﹣m在Rt△OEF中，∠EOF＝90°，∵OE2+OF2＝EF2∴22+（4﹣m）2＝m2，解得：m＝，∴BF＝EF＝，OF＝4﹣＝，∴tan∠OBE＝＝＝，tan∠OFE＝＝＝，∵BF＝EF∴∠BEF＝∠OBE∵∠OFE＝∠BEF+∠OBE∴∠OFE＝2∠OBE∵∠PEB＝2∠OBE∴∠PEB＝∠OFE∴tan∠PEB＝＝tan∠OFE＝，设GH＝4a，则EH＝3a，∴BE＝＝＝2，BH＝2﹣3a∵＝tan∠∠OBE＝，∴＝，解得：a＝，∴GH＝，BH＝∴BG＝＝∴OG＝OB﹣BG＝4﹣＝∴G（，0），设直线EG解析式为y＝k″x+b″，则，解得∴直线EG解析式为y＝x﹣2，联立方程组，解得：（舍去），，∴P（，），②当∠PEB＝2∠OBE，且点P在x轴下方时，如图3，过点E作EF⊥y轴，作点B关于直线EF的对称点G，连接BG交EF于F，射线EG交抛物线于点P，∵E（0，﹣2），∴直线EF为：y＝﹣2∵B（4，0），∴G（4，﹣4）∴直线EG解析式为y＝﹣x﹣2，解方程组，得，（不符合题意，舍去），∴P（，）；③当∠PBE＝2∠OBE，且点P在x轴上方时，如图4，在y轴正半轴上截取OF＝OE＝2，作射线BF交抛物线于P，在△BOE和△BOF中，∴△BOE≌△BOF（SAS）∴∠PBO＝∠OBE∴∠PBE＝2∠OBE易求得直线PF解析式为y＝﹣x+2，联立方程组，解得（不符合题意，舍去），，∴P（﹣，）；④当∠PBE＝2∠OBE，且点P在x轴下方时，如图5，过点E作EF⊥BE交直线BP于F，过F作FG⊥y轴于G，由①知：tan∠PBE＝＝，BE＝2∴EF＝∵∠EGF＝∠BOE＝∠BEF＝90°∴∠BEO+∠FEG＝∠BEO+OBE＝90°∴∠FEG＝∠OBE∴△EFG∽△BEO∴＝＝，即＝＝∴FG＝，EG＝∴OG＝OE+EG＝2+＝∴F（，﹣）易求得直线BF解析式为y＝x﹣22，联立方程组，解得（舍去），∴∴P（﹣，﹣）；综上所述，符合条件的点P的坐标为：（，）、（，）、（﹣，）、（﹣，﹣）．5．解：（1）∵矩形AOCD中的点D沿AE对折，使点D落在OC上F点，∴AF＝AD＝10，在Rt△AOF中，OF＝＝6，∴F（6，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣6），把G（﹣1，7）代入得a×（﹣1）×（﹣1﹣6）＝7，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x（x﹣6），即y＝x2﹣6x；（2）∵点M为抛物线的对称轴上一动点，∴MF＝MO，∴|MG﹣MF|＝|MG﹣MO|≤GO（当且仅当G、O、M共线时，取等号），易得直线OG的解析式为y＝﹣7x，当x＝3时，y＝﹣7x＝﹣21，∴当|MG﹣MF|取得最大值时，点M的坐标为（3，﹣21）；（3）1＜的值≤2．理由如下：设直线PQ的解析式为y＝kx+b，把B（3，﹣8）代入得3k+b＝﹣8，则b＝﹣3k﹣8，∴直线PQ的解析式为y＝kx﹣3k﹣8，设P（x1，kx1﹣3k﹣8），Q（x2，kx2﹣3k﹣8），则x 1、x 2为方程x 2﹣6x ＝kx ﹣3k ﹣8的两根， ∴x 1+x 2＝6+k ，x 1x 2＝3k +8，∴PQ ＝＝•＝•＝•＝•，PB ＝＝•＝•|x 1﹣3|，BQ ＝＝•＝•|x 2﹣3|，∴PB •BQ ＝（1+k 2）|（x 1﹣3）（x 2﹣3）|＝（1+k 2）|（x 1x 2﹣3x 1x 2+9|＝（1+k 2）|3k +8﹣3（6+k ）+9|＝1+k 2，∴＝＝＝∵0＜≤3 ∴1＜的值≤2．6．解：（1）直线y ＝﹣x +2经过A ，C 两点，则点A 、C 的坐标分别为（0，2）、（4，0），则c ＝2，抛物线表达式为：y ＝﹣x 2+bx +2，将点C 坐标代入上式并解得：b ＝，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+x +2…①；（2）抛物线的对称轴为：x ＝，点N 的横坐标为： +＝5，故点N的坐标为（5，3）；（3）∵tan∠ACO＝＝tan∠FAC＝，即∠ACO＝∠FAC，①当点F在直线AC下方时，设直线AF交x轴于点R，∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝，即点R的坐标为：（，0），将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，解得：，故直线AR的表达式为：y＝﹣x+2…②，联立①②并解得：x＝，故点F（，﹣）；②当点F在直线AC的上方时，∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，则点F′（3，2）；综上，点F的坐标为：（3，2）或（，﹣）；（4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝＝，则sinα＝，cosα＝；①当0≤t≤时（左侧图），设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，则∠DST＝∠ACO＝α，过点T作TL⊥KH，则LT＝HH′＝t，∠LTD＝∠ACO＝α，则DT＝＝＝＝t，DS＝，S＝S＝DT×DS＝t2；△DST②当＜t≤时（右侧图），同理可得：S＝S＝×DG×（GS′+DT′）＝3+（+﹣）＝t﹣；梯形DGS′T′综上，S＝．7．解：（1）直线y＝x+3经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，则x＝﹣3或1，即点B（1，0），当AH＝BD时，AD+AH＝AD+BD，当A、B、D三点共线时，AD+AH＝AD+BD最小，最小值为：AB＝1﹣（﹣3）＝4，答：AD+AH的最小值为4；②当OC＝3OD时，OD＝1，AD＝，则tan∠ADO＝，则sinα＝，当点P在y轴上方时，如下图，过点P作△APD的高PH，交AD的延长线与点H，设：PH＝m，∵∠PAD＝45°，则AH＝m，tan∠PDH＝＝tanα＝3，解得：m＝，PD＝＝＝5，故点P（0，6）；当点P在y轴下方时，如下图所示，同理可得： DP′＝故：点P（0，﹣）；综上，点P（0，6）或（0，﹣）8．解：（1）当x＝时，y＝，当x≥时，翻折后函数的表达式为：y＝﹣x+b，将点（，）坐标代入上式并解得：翻折后函数的表达式为：y＝﹣x+2，当y＝0时，x＝2，即函数与x轴交点坐标为：（2，0）；同理沿x＝﹣翻折后函数的表达式为：y＝﹣x，函数与x轴交点坐标为：（0，0），故答案为：（2，0）或（0，0）；（2）当t＝时，由函数为y＝x2﹣2x构建的新函数G的图象，如下图所示：点A、B分别是t＝﹣、t＝的两个翻折点，点C是抛物线原顶点，则点A、B、C的横坐标分别为﹣、1、，①函数值y随x的增大而减小时，﹣≤x≤1或x≥，故答案为：﹣≤x≤1或x≥；②函数在点A处取得最大值，x＝﹣，y＝（﹣）2﹣2×（﹣）＝，答：图象G所对应的函数有最大值为；（3）n＝﹣1时，y＝x2+2x﹣2，①参考（2）中的图象知：当y＝2时，y＝x2+2x﹣2＝2，解得：x＝﹣1±，若图象G与直线y＝2恰好有两个交点，则t＞﹣1；②函数的对称轴为：x＝n，令y＝x2﹣2nx+n2﹣3＝0，则x＝n±，当t＝2时，点A、B、C的横坐标分别为：﹣2，n，2，当x＝n在y轴左侧时，（n≤0），此时原函数与x轴的交点坐标（n+，0）在x＝2的左侧，如下图所示，则函数在AB段和点C右侧，故：﹣2≤x≤n，即：在﹣2≤n2﹣2≤﹣x≤n2﹣1≤n，解得：n≤；当x＝n在y轴右侧时，（n≥0），同理可得：n≥；综上：n≤或n≥．9．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12）＝ax2﹣4ax﹣12a，即：﹣12a＝6，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，令y＝0，解得：x＝4或﹣2，故点A（﹣2，0），函数的对称轴为：x＝2，故点D（2，8）；（2）将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，解得：，故直线AD的表达式为：y＝2x+4，设点N（n，2n+4），∵MN＝OA＝2，则点M（n+2，2n+4），①将点M的坐标代入抛物线表达式得：2n+4＝﹣（n+2）2+2（n+1）+6，解得：n＝﹣2±2，故点M的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）；②点M（n+2，2n+4），点B、D的坐标分别为（6，0）、（2，8），则BD2＝（6﹣2）2+82，MB2＝（n﹣4）2+（2n+4）2，MD2＝n2+（2n﹣4）2，当∠BMD为直角时，由勾股定理得：（6﹣2）2+82＝（n﹣4）2+（2n+4）2+n2+（2n﹣4）2，解得：n＝，当∠MBD为直角时，同理可得：n＝﹣4，当∠MDB为直角时，同理可得：n＝，故点M的坐标为：（﹣2，﹣4）或（，）或（，）或（，）．10．解：（1）点C（0，4），则c＝4，二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）tan∠ACO＝＝，△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB＝或4，∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，则或，解得：a＝或；（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；分别延长CF、HP交于点N，∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，∴∠FPN＝∠NFB，∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，∴△PNF≌△BEF（AAS），∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4），∵PH＝2，即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，解得：a＝1或或或（舍去），故：点P的坐标为（1，4）或（，4）或（）．11．解：（1）将点A（3，4），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，得：，解得，∴y＝﹣x2+3x+4；（2）如图1，过点P作PE∥x轴，交AB于点E，∵A （3，4），AD ⊥x 轴，∴D （3，0），∵B （﹣1，0），∴BD ＝3﹣（﹣1）＝4，∵S △AQD ＝2S △APQ ，△AQD 与△APQ 是等高的两个三角形，∴＝，∵PE ∥x 轴，∴△PQE ∽△DQB ，∴＝＝，∴＝，∴PE ＝2，∴可求得直线AB 的解析式为y ＝x +1，设E （x ，x +1），则P （x ﹣2，x +1），将点P 坐标代入y ＝﹣x 2+3x +4得﹣（x +2）2+3（x +2）+4＝x +1，解得x 1＝3+，x 2＝3﹣，当x ＝3+时，x ﹣2＝3+﹣2＝1+，x +1＝3++1＝4+，∴点P （1+，4+）；当x ＝3﹣时，x ﹣2＝3﹣﹣2＝1﹣，x +1＝3﹣+1＝4﹣，∴P （1﹣，4﹣），∵点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，∴﹣1＜x ﹣2＜3，∴点P 的坐标为（1+，4+）或（1﹣，4﹣）；（3）由（1）得，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+3x +4，∴C （0，4），∵A （3，4），∴AC ∥x 轴，∴∠OCA ＝90°，∴GH ⊥MN ，∴∠GHM＝90°，在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°，∴点C、G、H、M共圆，如图2，连接CH，则∠GCH＝∠GMH＝60°，∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上，∴当BH⊥CH时，BH最小，过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于点Q，∵∠GCH＝60°，∴∠HCM＝30°，又BH⊥CH，∴∠BHC＝90°，∴∠BHP＝∠HCM＝30°，设OP＝a，则CQ＝a，∴QH＝a，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，∴BP＝1+a，在Rt△BPH中，HP＝＝（a+1），BH＝＝2（1+a），∵QH+HP＝AD＝4，∴a+（a+1）＝4，解得a＝，＝2（1+a）＝．∴BH最小12．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，则点C（0，2），函数的对称轴为：x＝1；（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×y P+×OC×|x P|﹣×CO×OD＝（﹣x2﹣x+2）×2×（﹣x）﹣＝﹣x2﹣3x+2，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；（3）存在，理由：△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，N1的情况（△M1N1O）：设点N1的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则M1E＝x+1，过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，∵∠FN 1O +∠M 1N 1E ＝90°，∠M 1N 1E +∠EM 1N 1＝90°，∴∠EM 1N 1＝∠FN 1O ， ∠M 1N 1E ＝∠N 1OF ＝90°，ON 1＝M 1N 1， ∴△M 1N 1E ≌△N 1OF （AAS ），∴M 1E ＝N 1F ，即：x +1＝﹣x 2﹣x +2，解得：x ＝（舍去负值），则点N 1（，）；N 2的情况（△M 2N 2O ）：同理可得：点N 2（，）；②当点N 在x 轴下方时，点N 的位置为N 3、N 4，同理可得：点N 3、N 4的坐标分别为：（，）、（，）；综上，点N 的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．13．解：（1）在y ＝2x +6中，当x ＝0时y ＝6，当y ＝0时x ＝﹣3， ∴C （0，6）、A （﹣3，0），∵抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 的图象经过A 、C 两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2﹣4x +6；（2）令﹣2x 2﹣4x +6＝0， 解得x 1＝﹣3，x 2＝1， ∴B （1，0）， ∵点E 的横坐标为t ， ∴E （t ，﹣2t 2﹣4t +6），如图，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，则EH ∥FG ，∵EF ＝BF ，∴＝＝＝，∵BH ＝1﹣t ，∴BG ＝BH ＝﹣t ，∴点F 的横坐标为+t ，∴F （+t ， +t ），∴﹣2t 2﹣4t +6＝（+t ），∴t 2+3t +2＝0，解得t 1＝﹣2，t 2＝﹣1， 当t ＝﹣2时，﹣2t 2﹣4t +6＝6， 当t ＝﹣1时，﹣2t 2﹣4t +6＝8， ∴E 1（﹣2，6），E 2（﹣1，8），当点E 的坐标为（﹣2，6）时，在Rt △EBH 中，EH ＝6，BH ＝3，∴BE ＝＝＝3，∴sin ∠EBA ＝＝＝；同理，当点E 的坐标为（﹣1，8）时，sin ∠EBA ＝＝，∴sin ∠EBA 的值为或；（3）∵点N 在对称轴上，∴x N＝＝﹣1，①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：（Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线，∵E（﹣2，6），x N＝﹣1，﹣1﹣（﹣2）＝1，B（1，0），∴x M＝1+1＝2，当x＝2时，y＝﹣2×22﹣4×2+6＝﹣10，∴M（2，﹣10）；（Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线，∵x N＝﹣1，B（1，0），1﹣（﹣1）＝2，E（﹣2，6），∴x M＝﹣2﹣2＝﹣4，当x＝﹣4时，y＝﹣2×（﹣4）2﹣4×（﹣4）+6＝﹣10，∴M（﹣4，﹣10）；②当EB为平行四边形的对角线时，∵B（1，0），E（﹣2，6），x N＝﹣1，∴1+（﹣2）＝﹣1+x M，∴x M＝0，当x＝0时，y＝6，∴M（0，6）；综上所述，M的坐标为（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）．14．解：（1）由题意，得．解得．则该抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+；（2）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），∴AB＝4．∴抛物线是向下平移了2个单位，∴PP ′＝2． ∵OP ＝OP '，∴当y ＝1时，﹣x 2+x +＝1．∴x 1＝1﹣，x 2＝1+；∴△OPP '的面积为或；（3）将抛物线：y ＝﹣x 2+x +配方，得：y ＝﹣（x ﹣1）2+2． 当m ＝1时，S ＝4． 当m ＝2时，S ＝3． 当m ＝﹣2时，S ＝5．∴当﹣2≤m ≤2时，S 的取值范围为：0＜S ≤5；（4）m ＝2或m ＝﹣1．解析：抛物线y ＝﹣（x ﹣1）2+2的对称轴是直线x ＝1． ①当m +1＜1，即m ＜0时，当x ＝m +1时，y 取得最大值为，即﹣（m +1﹣1）2+2＝， 解得m 1＝1，m 2＝﹣1（舍去）． ∴m ＝﹣1．②当m +1≥1，且m ≤1，即0≤m ≤1时，当x ＝1时，y 取得最大值为2≠，即﹣（m +1﹣1）2+2＝， 解得m 1＝1，m 2＝﹣1（舍去）． ∴m ＝﹣1．③当m ＞1，x ＝m 时，y 取得最大值为，即﹣（m ﹣1）2+2＝，解得m 1＝2，m 2＝0（舍去）． 综上所述，m ＝2或m ＝﹣1．15．解：（1）以点P 为圆心，PA 为半径的圆与直线l ：y ＝﹣1的位置关系为相切．设点P （m ，m 2），点P 到直线l ：y ＝﹣1的距离为d ＝+1，则PA ＝＝+1，d ＝m 2﹣（﹣1）＝+1，∴PA ＝d∴以点P 为圆心，PA 为半径的圆与直线l ：y ＝﹣1相切；（2）如图，过点P 作PH ⊥直线l 于H ，作PA ⊥y 轴于M ，过点Q 作QG ⊥l 于G ，QN ⊥y 轴于N ，则：∠QGB ＝∠QNA ＝∠QNB ＝∠GBN ＝∠HBM ＝∠PMA ＝∠PHB ＝90° ∴四边形BGQN 、BHPM 均为矩形， ∴BN ＝QG ，BM ＝PH由（1）知：PA ＝PH ，QA ＝QG ∴QA ＝BN ，PA ＝BM ∵∠PAM ＝∠QAN ∴△PAM ∽△QAN∴＝∴＝∵∠BMP ＝∠BNQ ＝90° ∴△BMP ∽△BNQ ∴∠PBM ＝∠QBN∴直线BQ 和直线BP 关于y 轴对称； （3）除点P 之外无别的交点．∵P（m，），H（m，﹣1），A（0，1）设直线AH解析式为y＝k′x+b′，则，解得∴直线AH解析式为y＝x+1，令y＝0，得x＝，∴E（，0）设直线PE解析式为y＝k″x+b″，则，解得∴直线PE解析式为y＝x，联立方程组，得＝x，∴x2﹣2mx+m2＝0∵△＝（﹣2m）2﹣4m2＝0∴直线PE与抛物线y＝x2有且只有一个交点，即除点P之外无别的交点．。

1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M 的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B （3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．6．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．7．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n 关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．9．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．11．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P 在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P （1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S=S△ABP的Q△ABQ点（异于点P）的坐标．12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM 的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；=S△ABD？若存在（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．15．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB 的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．16．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B（），C（）；（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=．17．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．18．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．19．如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B 在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m 的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE 的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0，）（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F．①填空：b=（用含a的代数式表示）；②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b 的值．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD 于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C1．①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；②函数C2：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．25．如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．26．如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．27．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．28．平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．①当a=1、d=﹣1时，求k的值；②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围；（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．29．如图，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求直线BC的函数表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD 的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．31．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．32．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．33．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．34．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．35．如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B （﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P 为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．36．如图，某日的钱塘江观潮信息如图：按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s=t2+bt+c（b，c是常数）刻画．（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头 1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v0+（t﹣30），v0是加速前的速度）．37．如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E 作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．39．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．40．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c=；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P 的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B （6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t 为何值时，S有最大值，最大值是多少？8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x 轴于点E．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．12．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．14．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y 轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存OPMN在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．。