利用导数解不等式及参数的取值范围

2024届高考数学专题：同构、构造函数选择填空压轴题

一、单选题

1.若对∀x∈

1

2

e,1

2

，不等式(ax-4)lnx<2lna-axln2恒成立，则实数a的取值范围是()

A.(0,4e]B.(4e,+∞)C.[4e,+∞)D.(4e,+∞)

【答案】C

【分析】不等式(ax-4)lnx<2lna-axln2

变形为ln(2x)

2x

ax2，令

fx=lnx

x，利用导数研究函数

单调性，解不等式求实数a的取值范围.【详解】由已知得：a>0，由ax-4lnx<2lna-axln2，得axln2x<2lna+2lnx

即axln(2x)

2

2x

ax2．

令fx=lnx

x，x∈0,+∞，则f(2x)

求导得f(x)=1-lnx

x2，f(x)>0，解得0e，

∴f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，

且当01时，f(x)>0，函数图像如图所示．

∵x∈1

2е,1

2

，∴2x∈1

е,1

，∴f(2x)<0，

由f(2x)

=lnx

x的图像可知，2x2

x成立，

而2

x∈(4,4e)，∴a≥4е，实数a的取值范围是[4e,+∞).

故选：C．

2.对任意x∈0,+∞

，kekx+1-1+1

xlnx>0恒成立，则实数k的可能取值为()

A.-1B.1

3C.1

eD.2

e

【答案】D

【分析】将恒成立的不等式化为ekx+1lnekx>x+1

lnx，构造函数fx

=x+1

lnx，利用导数可求得

fx

单调性，从而得到ekx>x，分离变量可得k>lnx

x；令hx=lnx

x，利用导数可求得hx最大值，由

此可得k的范围，从而确定k可能的取值.

【详解】当x>0时，由kekx+1-1+1

xlnx>0得：kxekx+1>x+1

lnx，

∴ekx+1lnekx>x+1

lnx，

令fx=x+1lnx，则fx

=lnx+1+1

x，

·1·

令gx=fx

，则gx

专题11 利用导数解决零点问题

1．（2022·全国·高考真题（理））已知函数ln1exfxxax

(1)当1a时，求曲线yfx在点0,0f处的切线方程；

(2)若fx在区间1,0,0,各恰有一个零点，求a的取值范围．

【答案】(1)2yx

(2)(,1)

【解析】

【分析】

（1）先算出切点,再求导算出斜率即可

（2）求导,对a分类讨论,对x分(1,0),(0,)两部分研究

(1)

()fx的定义域为(1,)

当1a时,()ln(1),(0)0exxfxxf,所以切点为(0,0)11(),(0)21exxfxfx,所以切线斜率为2

所以曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程为2yx

(2)

()ln(1)exaxfxx

2e11(1)()1e(1)exxxaxaxfxxx

设2()e1xgxax

1若0a,当2(1,0),()e10xxgxax,即()0fx

所以()fx在(1,0)上单调递增,()(0)0fxf

故()fx在(1,0)上没有零点,不合题意

2若10a,当,()0x,则()e20xgxax

所以()gx在(0,)上单调递增所以()(0)10gxga,即()0fx

所以()fx在(0,)上单调递增,()(0)0fxf

故()fx在(0,)上没有零点,不合题意

3若1a

(1)当,()0x,则()e20xgxax,所以()gx在(0,)上单调递增

(0)10,(1)e0gag

所以存在(0,1)m,使得()0gm,即()0fm

当(0,),()0,()xmfxfx单调递减

当(,),()0,()xmfxfx单调递增 所以

1 / 5 不等式的解法举例

不等式渗透在中学数学各个分支中，应用范围十分广泛，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明.

涉及不等式的内容的考题大致可分为以下几种类型：①解不等式； ②证明不等式； ③取值范围问题； ④应用问题.

试题主要有如下特点：

（1）突出重点，综合考查.试题中不等式常与函数、数列、解析几何、三角等进行综合.

（2）解含参数的不等式能较好地体现等价转化、分类整合、数形结合等数学思想.

（3）除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何等试题中涉及不等式的知识，加强了不等式作为一种工具作用的考查.

1.不等式的解法

不等式的解法，要加强等价转化思想的训练与复习.，通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、准确求解.

(1)解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：①分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；②将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；③根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。

(2)解高次不等式、分式不等式，分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。首先使不等式一边是零，一边是一次因式（一次项系数为正）或二次不完全平方式的积与商的形式（注意二次因式恒正恒负的情况），然后用数轴标根法写出解集（尤其要注意不等号中带等号的情形）.

(3)解绝对值不等式的常用方法：

导数及其应用

专题五：利用导数研究函数零点问题

一、知识储备

1、利用导数确定函数零点的常用方法

(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．

(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．

2、利用函数的零点求参数范围的方法

(1)分离参数(()agx)后，将原问题转化为()ygx的值域(最值)问题或转化为直线ya与()ygx的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；

(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；

(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．

二、例题讲解

1．（2022·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知函数()eexxfxx.

（1）求函数()fx的单调区间和极值；

（2）讨论函数()()()gxfxaaR的零点的个数.

【答案】（1）单调递减区间是(,2)，单调递增区间是(2,)，极小值为21e，无极大值；（2）详见解析.

【分析】

（1）利用导数求得fx的单调区间，进而求得极值.

（2）由（1）画出fx大致图象，由此对a进行分类讨论，求得gx的零点个数.

【详解】

（1）函数()fx的定义域为R，且()(2)exfxx，

令()0fx得2x，则()fx，()fx的变化情况如下表示：

x (,2) 2 (2,)

()fx  0 

()fx 单调递减 21e 单调递增

∴()fx得单调递减区间是(,2)，单调递增区间是(2,).

当2x，()fx有极小值为21(2)ef，无极大值.

（2）令()0fx有1x：当1x时，()0fx；当1x时，()0fx，且()fx经过212,eA，(1,0)B，(0,1)C.