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高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用高考压轴题：导数题型及解题方法一、切线问题题型1：求曲线y=f(x)在x=x处的切线方程。
方法：f'(x)为在x=x处的切线的斜率。
题型2：过点(a,b)的直线与曲线y=f(x)的相切问题。
方法：设曲线y=f(x)的切点(x,f(x))，由(x-a)f'(x)=f(x)-b求出x，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。
例题：已知函数f(x)=x-3x。
1）求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；（答案：9x-y-16=0）2）若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。
提示：设曲线y=f(x)上的切点(x,f(x))，建立x,f(x)的等式关系。
将问题转化为关于x,m的方程有三个不同实数根问题。
答案：m的范围是(-3,-2)）练1：已知曲线y=x-3x。
1）求过点(1,-3)与曲线y=x-3x相切的直线方程。
（答案：3x+y=0或15x-4y-27=0）2）证明：过点(-2,5)与曲线y=x-3x相切的直线有三条。
题型3：求两个曲线y=f(x)、y=g(x)的公切线。
方法：设曲线y=f(x)、y=g(x)的切点分别为(x1,f(x1))、(x2,g(x2))，建立x1,x2的等式关系，(x2-x1)f'(x1)=g(x2)-f(x1)，(x2-x1)f'(x2)=g(x2)-f(x1)；求出x1,x2，进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例题：求曲线y=x与曲线y=2elnx的公切线方程。
（答案：2ex-y-e=0）练1：求曲线y=x与曲线y=-(x-1)的公切线方程。
（答案：2x-y-1=0或y=0）2.设函数f(x)=p(x-2)-2lnx，g(x)=x，直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数p的值。
导数知识点各种题型归纳方法总结导数知识点和题型总结一、导数的定义：1.函数y=f(x)在x=x处的导数为f'(x)=y'|x=x=lim(Δy/Δx)，其中Δy=f(x+Δx)-f(x)。
2.求导数的步骤：①求函数的增量：Δy=f(x+Δx)-f(x)；②求平均变化率：Δy/Δx；③取极限得导数：f'(x)=lim(Δy/Δx)，其中Δx→0.二、导数的运算：1.基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：① C'=0（C为常数）；② (xn)'=nxn-1；③ (1/x)'=-1/x^2；④ (ex)'=ex；⑤ (sinx)'=cosx；⑥ (cosx)'=-sinx；⑦ (ax)'=axlna（a>0，且a≠1）；⑧ (lnx)'=1/x；⑨ (loga x)'=1/(xlna)（a>0，且a≠1）。
2.导数的运算法则：法则1：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)（和与差的导数等于导数的和与差）；法则2：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（前导后不导相乘+后导前不导相乘）；法则3：[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2（分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号）。
3.复合函数y=f(g(x))的导数求法：①换元，令u=g(x)，则y=f(u)；②分别求导再相乘，y'=g'(x)·f'(u)；③回代u=g(x)。
题型：1.已知f(x)=1/x，则lim(Δy/Δx)，其中Δx→0，且x=2+Δx，f(2)=1/2.答案：C。
2.设f'(3)=4，则lim(f(3-h)-f(3))/h，其中h→0.答案：A。
导数中的求参数取值范围问题一、常见基本题型：（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数()f x 增区间，则在此区间上 导函数()0f x '≥，如已知函数()f x 减区间，则在此区间上导函数()0f x '≤。
（2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。
例1.已知a ∈R ，函数2()()exf x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数）（1）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围；（2）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明 理由. 解： （1）2-()()e x f x x ax =-+-2-()(2)e ()(e )xxf x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e xx a x a ⎡⎤-++⎣⎦.()()f x 要使在-1,1上单调递减， 则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立，2(2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2()(2)g x x a x a =-++，则(1)0,(1)0.g g -≤⎧⎨≤⎩1(2)01(2)0a a a a +++≤⎧∴⎨-++≤⎩, 32a ∴≤-.（2）①若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立即2-(2)e 0xx a x a ⎡⎤-++≤⎣⎦ 对x ∈R 都成立.2e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤ 对x ∈R 都成立令2()(2)g x x a x a =-++，图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立②若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立，即2-(2)e 0xx a x a ⎡⎤-++≥⎣⎦ 对x ∈R 都成立，e 0,x -> 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立.22(2)440a a a ∆=+-=+>故函数()f x 不可能在R 上单调递增.综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数例2：已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈,若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45，对于任意[1,2]t ∈，函数()32/[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围； 解： /(2)1,22af a =-==-由32/2()2ln 23()(2)2, ()3(4)22f x x x mg x x x x g x x m x ∴=-+-∴=++-=++- 令/()0g x =得，2(4)240m ∆=++>故/()0g x =两个根一正一负，即有且只有一个正根函数()32/[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数 ∴/()0g x =在(,3)t 上有且只有实数根///(0)20,()0,(3)0g g t g =-<∴<>∴237, (4)233m m t t >-+<-故243m t t +<-，而23y t t =-∈在t [1,2]单调减， ∴9m <-，综合得3793m -<<-例3.已知函数14341ln )(-+-=xx x x f ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设42)(2-+-=bx x x g ，若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥ 恒成立，求实数b 的取值范围． 解：（I ）14341ln )(-+-=xx x x f 的定义域是(0,)+∞22243443411)(x x x x x x f --=--=' 由0>x 及0)(>'x f 得31<<x ；由0>x 及0)(<'x f 得310><<x x 或， 故函数)(x f 的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3(,)1,0(∞+ （II ）若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立， 问题等价于max min )()(x g x f ≥，由（I ）可知，在(0,2)上，1x =是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以min 1()(1)2f x f ==-； []2()24,1,2g x x bx x =-+-∈当1b <时，max ()(1)25g x g b ==-；当12b ≤≤时，2max ()()4g x g b b ==-；当2b >时，max ()(2)48g x g b ==-；问题等价于11252b b <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或212142b b ≤≤⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 或21482b b >⎧⎪⎨-≥-⎪⎩解得1b <或1b ≤≤或 b ∈∅即2b ≤，所以实数b的取值范围是,⎛-∞ ⎝⎦。
导数中的求参数取值范围问题一、常见基本题型：（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数()f x 增区间，则在此区间上导函数()0f x '≥，如已知函数()f x 减区间，则在此区间上导函数()0f x '≤。
（2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。
（3）知函数图象的交点情况，求参数的取值范围，可转化为求极值问题例1.已知a ∈R ，函数2()()e x f x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数）（1）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围；（2）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由.例2：已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈,若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45o ，对于任意[1,2]t ∈，函数()32/[()]2m g x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；例3.已知函数14341ln )(-+-=xx x x f ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设42)(2-+-=bx x x g ，若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式 )()(21x g x f ≥ 恒成立，求实数b 的取值范围．例4．设函数22f x x m x h x x x a=-=-+,()ln,()(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．例5.已知函数2f x x a x=+若函数()()2()ln.=+在[1，4]上是减函数，求g x f x x实数a的取值范围。
例6.已知函数()1x f x e x =--若存在4[1,ln ]3x ∈-，使10x a e x -++<成立，求a 的取值范围；例7.已知函数ln(1x f (x)x+=），设3h(x)xf (x)x ax =--在（0，2）上有极值，求a 的取值范围.例8.设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(.,3)()1(-∞=例9．已知三次函数d-=2+f+cxxaxx35(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),)并且)(xf在x=3处有极值.（１）求)f的解析式.(x（２）当)f>0恒成立,求实数m的取值范围.(x,0(mx∈时, )例10.已知函数1)(2,133=xxaxxf在处取得极值bx-=x=-+(1)求函数)(xf的解析式.(2)若过点)2A可作曲线y=)(xf的三条切线,求实数m的取值范围.mm,1(-≠)(例11．已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f 。
导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。
(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。
这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。
因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。
（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。
故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。
一．含参数导数问题的分类讨论问题求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★例1已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间 ★★例2已知函数x a x a x x f ln )2(2)(+--=（a>0）求函数的单调区间★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
。
练习：已知函数当时，讨论的单调性.二．已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；．例4.已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________．练习：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23. (1)求a 的值；(2)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．恒成立分参例1：设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________．练习： 当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]。
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类一、根据判别式 △=b ²-4ac 讨论↵例1.已知函数. f(x)=x ³+ax ²+x+1(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=3x²+2ax +1,判别式△=b ²-4ac=4(a ²-3),(1)当 a >√3或 a <−√3时，则在 (−∞,−a−√a 2−33)和 (−a+√a 2−33,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;在 (−a−√a 2−33,−a+√a 2−33),f ′(x )<0,f(x)是减函数;(2)当 −√3<a <√3时,则对所有x∈R, f'(x)>0, f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;↵二、根据判二次函数根的大小讨论↵例2：已知函数. f (x )=(x²+ax −3a²+3a )eˣ(a ∈R 且 a ≠23),求f(x)的单调区间. 解: f ′(x )=[x²+(a +2)x −2a²+4a ]⋅eˣ,f ′(x )=(0得x=-2a 或x=a-2↵(1)当 a >23时,则-2a<a-2,在(-∞,-2a)和(a-2,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(-2a,a-2)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;(2)当 a <23时,则a-2<-2a,在(-∞,a -2)和(-2a,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(a-2,-2a)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间.练习2↵三、根据定义域的隐含条件讨论。
例3:已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=1x −a (x ⟩0), (1)当a≤0时, f ′(x )=1x −a >0,在(0,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;(2)当a>0时,令 f ′(x )=1x −a =0,得 x =1a ,题型归纳总结：定义域有限制时，定义域与不等式解集的交集为分类标准讨论。
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题. 一．含参数函数求单调性（求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间, 令导数小于0,解得减区间.）例1（2012西2）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．（Ⅰ）解：当1a =时，22()1xf x x =+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分由(0)2f '=， 得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………3分（Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………4分① 当0a =时，22()1xf x x '=+．所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………5分 当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x=，()f x 与()f x '的情况如下：故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a+∞；单调增区间是1(,)a a -． ………7分③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a -∞；单调减区间是1(,)a a--，(,)a -+∞． ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， 0a =时不合题意． ………………10分当0a >时，由（Ⅱ）得，)(x f 在1(0,)a 单调递增，在1(,)a +∞单调递减，所以)(x f 在(0,)+∞上存在最大值21()0f a a=>．设0x 为)(x f 的零点，易知2012a x a-=，且01x a<．从而0x x >时，()0f x >；0x x <时，()0f x <．若)(x f 在[0,)+∞上存在最小值，必有(0)0f ≤，解得11a -≤≤．所以0a >时，若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，a 的取值范围是(0,1]．…………12分当0a <时，由（Ⅱ）得，)(x f 在(0,)a -单调递减，在(,)a -+∞单调递增，所以)(x f 在(0,)+∞上存在最小值()1f a -=-．若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值，必有(0)0f ≥，解得1a ≥，或1a ≤-．所以0a <时，若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，a 的取值范围是(,1]-∞-．综上，a 的取值范围是(,1](0,1]-∞-U ． ………………14分例2 设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x )的单调区间. 【解析】由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且'1()(1),1ax f x a x -=≥-+（1）当10a -≤≤时，'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减，（2）当0a >时，由'()0,f x =解得1.x a='()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表从上表可知 当1(1,)x a∈-时，'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a -上单调递减.当1(,)x a ∈+∞时，'()0,f x >函数()f x 在1(,)a+∞上单调递增.综上所述：当10a -≤≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.当0a >时，函数()f x 在1(1,)a -上单调递减，函数()f x 在1(,)a+∞上单调递增.已知函数322()1,a f x x x=++其中0a >.（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值.解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分 （I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行 故所求a 值为1. ........................................4分（II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ， 所以()y f x =在[1,2]上递增， .......6分所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分②当12a <<时，由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+； 当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+；当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+.练习 1 已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R . (2012海淀一模） （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在 ，求a 的....................................10分取值范围；若不存在，请说明理由. 2（2012顺义2文）（.本小题共14分）已知函数2()(1)2ln ,f x a x x =-+()2g x ax =,其中1a > （Ⅰ）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求()h x 的单调区间. 3（2012朝1）18. （本题满分14分） 已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值； （Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间.二参数范围有单调性时分离常数法例（东2）已知函数21()2e 2x f x x x a =-+-. （Ⅰ）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围.解：1)由1a =，21()2e 2x f x x x =-+-，3(1)e 2f =-， ………1分 所以()2e x f x x '=-+-. …………3分又(1)1e f '=-，所以所求切线方程为3(e)(1e)(1)2y x --=--即2(1e)210x y --+=. …………5分（Ⅱ）由已知21()2e 2x f x x x a =-+-，得()2e x f x x a '=-+-.因为函数)(x f 在R 上是增函数，所以()0f x '≥恒成立，即不等式 2e 0x x a -+-≥恒成立.………………9分整理得2e x x a -+≤. 令2(),e x x g x -+=3().e xx g x -'=………………11分,(),()x g x g x '的变化情况如下表：由此得3(3)e a g a -≤-=，即的取值范围是(3,e-⎤-∞-⎦. ………………13分练习1（2012怀柔2）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()()xg x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，所以1a =．经检验，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．即1a =．----------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由题设，'322()(336)x g x e ax x ax x =-+-，又x e >，所以，(0,2]x ∀∈，3223360ax x ax x -+-≤，这等价于，不等式2322363633x x x a x x x x ++≤=++对(0,2]x ∈恒成立．令236()3x h x x x+=+（(0,2]x ∈），则22'22223(46)3[(2)2]()0(3)(3)x x x h x x x x x ++++=-=-<++，---------------------------10分所以()h x 在区间0,2]（上是减函数，所以()h x 的最小值为6(2)5h =．----------------------------------------------------12分所以65a ≤．即实数a的取值范围为6(,]5-∞．-----------------------------------13分2（2012石景山1）已知函数2()2ln f x x a x =+．（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围． 分类讨论求参数例2（2012昌平1）已知函数.ax xx x f ++=1ln )(（a 为实数） （I ）当0=a 时， 求)(x f 的最小值；（II ）若)(x f 在),2[+∞上是单调函数，求a 的取值范围解：(Ⅰ) 由题意可知：0>x ……1分当0=a 时21)(xx x f -=' …….2分当10<<x 时，0)(<'x f 当1>x 时，0)(>'x f ……..4分故1)1()(min ==f x f . …….5分(Ⅱ) 由222111)(x x ax a x x x f -+=+-='① 由题意可知0=a 时，21)(x x x f -=',在),2[+∞时，0)(>'x f 符合要求 …….7分 ② 当0<a 时，令1)(2-+=x ax x g故此时)(x f 在),2[+∞上只能是单调递减0)2(≤'f 即04124≤-+a 解得41-≤a …….9分当0>a 时，)(x f 在),2[+∞上只能是单调递增 0)2(≥'f 即,04124≥-+a 得41-≥a故0>a …….11分综上),0[]41,(+∞⋃--∞∈a …….13分根据性质求范围）（零点例（2012昌平2）已知函数2()4ln 6f x x ax x b =+-+（a ，b 为常数）， 且2x =为()f x 的一个极值点． (Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 求函数()f x 的单调区间；(Ⅲ) 若函数()y f x =有3个不同的零点，求实数b 的取值范围．解： (Ⅰ) 函数f (x )的定义域为（0，+∞）……1分∵ f ′ (x ) =624-+ax x……2分 ∴06422=-+='a )(f ，则a = 1．………4分(Ⅱ)由(Ⅰ) 知b x x x x f +-+=6ln 4)(2∴ f ′ (x ) =xx x x x x x x )1)(2(24626242--=+-=-+ ………6分 由f ′ (x ) > 0可得x >2或x <1，由f ′ (x ) < 0可得1< x <2． ∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ ∞ )，单调递减区间为 (1 , 2 )． ………9分(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数f (x )在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增． 且当x =1或x =2时，f ′ (x ) = 0． ………10分∴ f (x ) 的极大值为5611ln 4)1(-=+-+=b b f ………11分f (x )的极小值为b b f +-=+-+=82ln 41242ln 4)2( ……12分由题意可知⎩⎨⎧<+-=>-=082ln 4)2(05)1(b f b f 则 2ln 485-<<b ………14分最值 例（2012海2）已知函数22()3x af x x a+=+（0a ≠，a ∈R ）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，若对任意12,[3,)x x ∈-+∞，有12()()f x f x m -≤成立，求实数m 的最小值.解：222()(3)'()(3)x a x a f x x a --+=+.令'()0f x =，解得x a =或3x a =-. ……………………………………2分（Ⅰ）当0a >时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表x (,3)a -∞-3a -(3,)a a -a(,)a +∞'()f x-+ 0-()f x↘极小值↗极大值↘函数()f x 的单调递增区间是(3,)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,3)a -∞-，(,)a +∞.……………………………………4分当0a <时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表x (,)a -∞a(,3)a a -3a - (3,)a -+∞'()f x -+-()f x↘极小值↗极大值↘函数()f x 的单调递增区间是(,3)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,)a -∞，(3,)a -+∞. ……………………………………6分（Ⅱ）当1a =时，由（Ⅰ）得()f x 是(3,1)-上的增函数，是(1,)+∞上的减函数.又当1x >时，21()03x f x x +=>+. ……………………………………8分所以 ()f x 在[3,)-+∞上的最小值为1(3)6f -=-，最大值为1(1)2f = ……10分所以 对任意12,[3,)x x ∈-+∞，122()()(1)(3)3f x f x f f -≤--=.所以 对任意12,[3,)x x ∈-+∞，使12()()f x f x m -≤恒成立的实数m 的最小值为23.……13分不等式例3（2012房山1）设函数3221()23()3f x x ax a x a a R =-+-+∈. （Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的∈x (3,)a a ，都有()1f x a <+，求a 的取值范围. 极值例4（2012丰台1）已知函数321()13f x x ax =-+ ()a R ∈． （Ⅰ）若曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行，求a 的值； （Ⅱ）若a >0，函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a >2，求证：函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点．（单调性）已知函数1331(223+-+=x m mx x x f ）(0)m >. （Ⅰ）若1=m ，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数)(x f 在区间(21,1)m m -+上单调递增，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）当1=m 时，1331(23+-+=x x x x f ），35164382(=+-+=）f .32('2-+=x x x f ），53442('=-+=）f ． ………3分所以所求切线方程为)2(535-=-x y 即025315=--y x ． ……5分 （Ⅱ）2232('m mx x x f -+=）.令0('=）x f ，得m x m x =-=或3. ………7分由于0>m ，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：所以函数)(x f 的单调递增区间是(,3)m -∞-和(,)m +∞. …………9分要使)(x f 在区间(21,1)m m -+上单调递增，应有 1+m ≤m 3- 或 12-m ≥m ，解得m ≤41-或m ≥1． …………11分又 0m > 且121m m +>-， …………12分 所以 1≤2m <．即实数m 的取值范围 {}21<≤m m ． …………13分三．基本性质（2012朝2）设函数22()ln (0)a f x a x a x=+≠. （Ⅰ）已知曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线l 的斜率为23a -，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x ，都有()3f x x ≥-． 单调区间（2012门头沟2）已知函数1)(23-++=bx ax x x f 在1=x 处有极值1-． （I ）求实数b a ，的值；（II ）求函数x ax x g ln )(+=的单调区间．（2012东1）已知1=x 是函数()(2)e xf x ax =-的一个极值点． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：12()()e f x f x -≤实用(2012西城一模）如图，抛物线29y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上（点C 在第一象限），CD ∥AB ．记||2CD x =，梯形ABCD 面积为S ． （Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式； （Ⅱ）若||||CD k AB ≤，其中k 为常数，且01k <<，求S 的最大值． （Ⅰ）解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为29C y x =-+． ………………1分点B的横坐标Bx 满足方程290B x -+=，解得3B x =，舍去3B x =-． ……………2分所以2211(||||)(223)(9)(3)(9)22C S CD AB y x x x x =+⋅=+⨯-+=+-+． ………4分由点C 在第一象限，得03x <<．所以S 关于x 的函数式为 2(3)(9)S x x =+-+，03x <<． ………………5分（Ⅱ）解：由 03,,3x x k <<⎧⎪⎨≤⎪⎩ 及01k <<，得03x k <≤． ………………6分记2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤，则2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+． ………………8分令()0f x '=，得1x =． ………………9分① 若13k <，即113k <<时，()f x '与()f x 的变化情况如下：x(0,1)1 (1,3)k()f x '+-所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． ………………11分② 若13k ≥，即103k <≤时，()0f x '>恒成立， 所以，()f x 的最大值为2(3)27(1)(1)f k k k =+-． ………………13分 综上，113k ≤<时，S 的最大值为32；103k <<时，S 的最大值为227(1)(1)k k +-．。
导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1 •求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论 1 1 ★已知函数f(x)x 3 (a 2)x 2 2ax (a>0),求函数的单调区间 3 2f (x) =x _(a 亠2)x 亠2a =(x _a)(x -2)2a★★例1已知函数f(x)二x (a U 2)lnx (a>0)求函数的单调区间x2x -(a 2)x 2a f (x)2 x(I)当a =1时，求曲线y = f x 在点2, f 2 处的切线方程； (n)当a=0时，求函数f x 的单调区间与极值。
解: (I)当a =1时，曲线y = f x 在点2,f 2处的切线方程为6x 25y-32 = 0。
2(n)由于a 式0，所以f ⑺/嗔切了 ,由f'(x)=O ，得x 1 =(x +1 )I 1 '■-2a x - a x2―—义域R 内，但不知它们之间(x 2+1)a 的取值分a 0和a ：：： 0两种情况进行讨论。
函数f x 在x 2 =a 处取得极大值f a =1 o1 —(-一「：)内为增函数，在区间a1 」 1(a,)为减函数。
故函数 f x 在％处取得极小值aaX 2二a 处取得极大值f a = 1。
(x-2)(x-a)2x22ax -a 1 x 21x R ，其中a R 。
1, X 2 = a 。
这两个实根都在定 a2 22a x 1；-2x 2ax - a 1f x二2 2 (x 2+1)的大小。
因此，需对参数 (1)当 a 0 时，则 x 'x 2。
易得f x 在区间，a, •：：内为减函数,在区间i l,aI a为增函数。
故函数1i 1 f x 在为处取得极小值f a [1 I a 」2--a ; (1) 当a ”：0时，则x 1 x 2。
易得f x 在区间(-：：，a)， ★★★例3已知函数x 二以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。
因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。
当然，在具体解 题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。
★★★(区间确定零点不确定的典例)例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3元，并且每件产品需向总公司交a 元(3W a w 5)的管理费，预计当每件产品的售价为 x 元(9w x w 11)时，一年的销售量为(12-x ) 2万件.(1) 求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式；(2) 当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q( a ).已知 f x = xlnx,gx = x 3 ax 2-x 2 (I ).求函数f x 的单调区间； (n ).求函数f x 在t,t 2\0上的最小值；(川)对一切的0, = ：,2fx 乞g 'x 2恒成立，求实数a 的取值范围.解: ( I ) f (x) =1 nx+1,令f (x )v 0,解得 O v x v — ,二 f (x 的单调递减区间是0,- |； el e 丿1令f ' x 0,解得，f(x)的单调递增是(e ,r),e1 11 1 1解 (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为:2(2)L ，(x)=(12-x)-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).2L=(x-3-a)(12-x) ,x €[ 9,11 :.L(x)(万元)； 若§ w a w 5,则当每件售价为(6+ 2 a)元时，分公司一年的利润23★ ★★★(导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例)L 最大，最大值 Q(a)=4 (3- J a ) 3(万元).3L 最大，最大值 Q (a ) =9(6-a) 答若3w a <9，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润(n )( i )0<t<t+2< , t 无解；(ii )0<t< <t+2，即0<t< 时，f(x)min二f()=e e e e e1 令 h x i ；=0,得 x =1,x = -—(舍)3当 0c x <1 时，h (x )>0;当 x>1 时，h (x )v 0•当x =1时，hx 取得最大值，h x max =-2……13分…a — -2.二•求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实 根是否落在定义域内，从而引起讨论。
(用导数解决函数问题若求导后研究函数的导数问题时能 转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类；再按在二次 项的系数不等于零时对判别式按△> 0、A =0、Av 0;在厶> 0时，求导函数的零点再根据零点是否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。
)a1★ 1已知函数 f (x) x 3 X 2・(1_a)x ，求函数的单调区间3 2f (x) =ax 2 -x (1 -a) =(1 _x)(ax_1 a)a o★★例2已知函数f(x)二(1亠a)inxx 2 2★★★例3 已知a 是实数，函数f x =、. x x-a(i)求函数f x 的单调区间；(n)设g a 为f x 在区间l.0,2 1上的最小值。
(i )写出g a 的表达式; (ii )求a 的取值范围，使得-6空g a 乞-2。
3.'x_旦 f''3丿(x >0)，由 f (x) =01 1 (iii) t a 2，即 t 时，f(x)在［t,t2］单调递增,f(x)min 二 f (t) =tlnte ef(X )min S e , tint 10 :：:t :：:-e1t e、，2 2(川)由题意：2x ln x _ 3x - 2ax -1 2 在 x 三［0, •::上恒成立，即 2x in x 空 3x - 2ax - 131 3x可得a - i n x x(分离参数)，设h x = i n x -22x2 12x131 则hxT 3云x -1 3x 12x 2 12分(a>0)，求函数的单调区间f (x)=2ax -x (1-a)x(x -1)(ax -1 a)x解：(i)函数的定义域为aa 得x。
考虑一是否落在导函数 f (x)的定义域 0,亠「j 内，需对参数a 的取值分a 三0及a 0两33种情况进行讨论。
(1)当a 乞0时，则f '(x) .0在0上恒成立，所以f x 的单调递增区间为〔0。
a ' a(2) 当 a . 0 时，由 f (x) • 0，得 x ；由 f (x) ：：： 0，得 0 ：：： x ：：：3 3因此，当a>0时，f (x )的单调递减区间为|0,a I ， f(x )的单调递增区间为.『，址°(n) (i )由第(I)问的结论可知：(1)当a 乞0时，f x 在10^：上单调递增，从而 f x 在10,2 ］上单调递增，所以g a = f 0 = 0。
(2)当a 0时，f x 在0,|上单调递减，在 £上单调递增，所以：②当a 0,2，即 —时，fx在X 上单调递减，在寺2上单调递增,0,2a a - -',0 :: a 63 . 3x2 2 -a(ii )令—6 ^g a 空 一2。
① 若a 岂0，无解；2a I a② 右 0 - a - 6，由 _62 解得3 - a ：：： 6 ；3^3④ 若a 一6，由一6乞-.2 2 —a 乞-2解得6乞a 乞2 3辽。
综上所述，a 的取值范围为3乞a 乞2 • 3 2。
三.求导后，因导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)不确定，而引起的讨论所以ga=f 3= 2a2a 3a 9③当3, 2【即a _6时,f x 在1.0,2 1上单调递减，所以ga 二f2“22-a 。
综上所述, ,a 一〜61★例1已知函数f(x) ax 2 x 求函数的单调区间 2f (x) =ax T★★例2已知函数f(x) Jnx_ax 求函数的单调区间 f (x) ~ -a f (x)=^^!xx—；X 「1, X _1试讨论函数F(x)的单调性。
1,x ： 1解：T f(x) =』1—x, F (x) = f (x)—kx, R-J X -1, X 31丄1kx, x ：： 1,F(x) = f(x) _kx = <1 -x ,F'(x) =—J x _1 _kx, x Z 1考虑导函数F'(x) =0是否有实根，从而需要对参数k 的取值进行讨论。
2(一)若x d ，则F'(X)。
由于当k 岂0时，F'(x) =0无实根，而当k 0时，F'(x) = 0 (1—x ) 当k 乞0时，F'(x) _0在(-：：，1)上恒成立，所以函数 F(x)在(-：：，1)上为增函数;★★★例3设k • R ，函数,x ::: 1,F(x)二 f(x)「kx, x R ,21-k 1 -x,x < 1 1-x 1 2k , --------------- ,x 12 x -1有实根,因此， 对参数k 分k_0和k 0两种情况讨论。
(1) (2)2当 k>0时，F'(x)_k ( —x)21-X2(1—X )由 F'(x) =0,得 x 1丄I, X = 11 +丄I ，因为k a 0，所以为v 1 v x 2。
k .、k由 F '(x) 0，得 1:::x ：：1 ；由 F '(x) ：：0，得 x ：： 1 — 1-。
因此，当k 0时,函数 F(x)在(-：：,1 -上为减函数，在(1 -1,1)上为增函数。
V k若 x 1,则 F'(x)1 2k 、x T。
由于当k_0时，F'(x)=0无实根，而当k ：：：0时,2 x -1共享知识 分享快乐xF '(x)二0有实根，因此，对参数 k 分k _ 0和k :：: 0两种情况讨论。
(1)当k_0时，F'(x)：：：0在［1「：上恒成立，所以函数 F(x)在［1「：上为减函数;且当0 x 为或x - X 2时,f (x) 0, f (x)在(0,xj 与(X 2,::)内为增函数; 当 X 1 x X 2时，f (x) < 0, f (x)在(X 1,X 2)内为减函数；1② 当a ：：：1时，厶乞0, f (x) 一0,所以f (x)在(0,：：)内为增函数;1③ 当a =1时,f (x)0(x 0), f (x)在(0,=)内为增函数；1 2k.x -1(2)当 k ：：:0 时，F'(x)=___1 1由 F '(x) 0，得—示；由 F '(x)O 得「乂“ 下。
