导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题
含参数导数问题的分类讨论问题
1 •求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) 导函数为零的实
根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论 1 1 ★已知函数f(x)
x 3 (a 2)x 2 2ax (a>0),求函数的单调区间 3 2
f (x) =x _(a 亠2)x 亠2a =(x _a)(x -2)
2a
★★例1已知函数f(x)二x (a U 2)lnx (a>0)求函数的单调区间
x
2
x -(a 2)x 2a f (x)
2 x
(I)当a =1时，求曲线y = f x 在点2, f 2 处的切线方程； (n)当a=0时，求函数f x 的单调区间与极值。
解: (I)当a =1时，曲线y = f x 在点2,f 2处的切线方程为6x 25y-32 = 0。
2
(n)由于a 式0，所以f ⑺/嗔切了 ,由f'(x)=O ，得x 1 =
(x +1 )
I 1 '■
-2a x - a x
2―—义域R 内，但不知它们之间
(x 2
+1)
a 的取值分a 0和a ：：： 0两种情况进行讨论。
函数f x 在x 2 =a 处取得极大值f a =1 o
1 —
(-一「：)内为增函数，在区间
a
1 」 1
(a,)为减函数。故函数 f x 在％
处取得极小值
a
a
X 2二a 处取得极大值f a = 1。
(x-2)(x-a)
2
x
2
2ax -a 1 x 2
1
x R ，其中a R 。
1
, X 2 = a 。这两个实根都在定 a
2 2
2a x 1；-2x 2ax - a 1
f x
二
2 2 (x 2+1)
的大小。因此，需对参数 (1)当 a 0 时，则 x 'x 2。
易得f x 在区间
，a, •：：内为减函数,
在区间i l,a
I a
为增函数。故函数
1
i 1 f x 在为
处取得极小值f a [1 I a 」
2
--a ; (1) 当a ”：0时，则x 1 x 2。易得f x 在区间(-：：，a)， ★★★例3已知函数
x 二
以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点
的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解 题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。 ★★★(区间确定零点不确定的典例)
例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3元，并且每件产品需向总公司交
a 元(3W a w 5)
的管理费，预计当每件产品的售价为 x 元(9w x w 11)时，一年的销售量为(12-x ) 2万件.
(1) 求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式；
(2) 当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润
L 最大，并求出L 的最大值Q( a ).
已知 f x = xlnx,gx = x 3 ax 2-x 2 (I ).求函数f x 的单调区间； (n ).求函数f x 在t,t 2\
0上的最小值；
(川)对一切的0, = ：,2fx 乞g 'x 2恒成立，求实数a 的取值范围.
解: ( I ) f (x) =1 nx+1,令f (x )v 0,解得 O v x v — ,二 f (x 的单调递减区间是
0,- |； e
l e 丿
1
令f ' x 0,解得，f(x)的单调递增是(e ,r),
e
1 11 1 1
解 (1)分公司一年的利润
L (万元)与售价x 的函数关系式为:
2
(2)L ，(x)=(12-x)
-2(x-3-a)(12-x)
=(12-x)(18+2a-3x).
2
L=(x-3-a)(12-x) ,x €[ 9,11 :
.
L(x)
(万元)； 若§ w a w 5,则当每件售价为(6+ 2 a)元时，分公司一年的利润
2
3
★ ★★★(导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例)
L 最大，最大值 Q(a)=4 (3- J a ) 3(万元).
3
L 最大，最大值 Q (a ) =9(6-a) 答若3w a <9，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润
(n )( i )0e e e e e
1 令 h x i ；=0,得 x =1,x = -—(舍)
3
当 0c x <1 时，h (x )>0;当 x>1 时，h (x )v 0
•当x =1时，hx 取得最大值，h x max =-2……13分…a — -2.
二•求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实 根是否落在定义域内，从而引起讨论。(用导数解决函数问题若求导后研究函数的导数问题时能 转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类；再按在二次 项的系数不等于零时对判别式按△> 0、A =0、Av 0;在厶> 0时，求导函数的零点再根据零点是否
在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。
)
a
1
★ 1已知函数 f (x) x 3 X 2・(1_a)x ，求函数的单调区间
3 2
f (x) =ax 2 -x (1 -a) =(1 _x)(ax_1 a)
a o
★★例2已知函数f(x)二(1亠a)inx
x 2 2
★★★例3 已知a 是实数，函数f x =、. x x-a
(i)求函数f x 的单调区间；
(n)设g a 为f x 在区间l.0,2 1上的最小值。
(i )写出g a 的表达式; (ii )求a 的取值范围，使得
-6空g a 乞-2。
3.'x_旦 f
''
3
丿(x >0)，由 f (x) =0
1 1 (iii) t a 2，即 t 时，f(x)在［t,t
2］单调递增,f(x)min 二 f (t) =tlnt
e e
f
(X )min S e , tint 1
0 :：:
t :：:-
e
1
t e
、，
2 2
(川)由题意：2x ln x _ 3x - 2ax -1 2 在 x 三［0, •::上恒成立，即 2x in x 空 3x - 2ax - 1
3
1 3x
可得a - i n x x
(分离参数)，设h x = i n x -
2
2x
2 1
2x
13
1 则
hx
T 3云
x -1 3x 1
2x 2 12分
(a>0)，求函数的单调区间
f (x)=
2
ax -x (1-a)
x
(x -1)(ax -1 a)
x
解：(i)函数的定义域为
