2018届高考数学二轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系专题
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直线与圆锥曲线的位置关系专题
[基础达标] (45分钟 75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.不论k取何值，直线y=k(x-2)+b与曲线x2-y2=1总有公共点，则实数b的取值范围是 ( )
A.(- ， ) B.[- ， ]
C.(-2，2) D.[-2，2]
B 【解析】直线y=k(x-2)+b恒过点(2，b)，所以只要满足22-b2≥1，即b2≤3，解得- ≤b≤ .
2.已知F是抛物线x2=4y的焦点，直线y=kx-1与该抛物线交于第一象限内的交点为A，B，若|AF|=3|FB|，则k的值是 ( )
A. B.
C.
D.
D 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 ， - ，消去x得y2+(2-4k2)y+1=0，则y1+y2=4k2-2 ①，y1y2=1 ②，又|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，由已知y1+1=3(y2+1)
③，由②③得y1=3，y2=
，代入①得k=
(A，B在第一象限，负值舍去).
3.直线x-2y+2=0经过椭圆
=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 ( )
A.
B.
C.
D.
C 【解析】由题意可知椭圆的一个焦点为(-2，0)，一个顶点为(0，1)，即b=1，c=2，则a= ，则该椭圆的离心率为
.
4.[2016·天津六校联考]已知抛物线y2=2px的焦点F与椭圆16x2+25y2=400的左焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|= |AF|，则点A的横坐标为 ( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3 D 【解析】 16x2+25y2=400可化为
=1，则椭圆的左焦点为F(-3，0).又抛物线y2=2px的焦点为
， ，准线为x=-
，所以
=-3，即p=-6，即y2=-12x，K(3，0).设A(x，y)，则由|AK|= |AF|，得(x-3)2+y2=2[(x+3)2+y2]，即x2+18x+9+y2=0.又y2=-12x，所以x2+6x+9=0，解得x=-3.
5.已知曲线y=ax2与其关于点(1，1)对称的曲线有两个不同的交点A，B，如果过这两个交点的直线的倾斜角是45°，则实数a的值是 ( )
A.2 B.
C.1 D.-1
B 【解析】曲线y=ax2关于点(1，1)对称的曲线方程为y=-a(x-2)2+2，设两个不同的交点A，B的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程ax2=-a(x-2)2+2，即方程ax2-2ax+2a-1=0的两根，∴x1+x2=2，∵过两个交点的直线的倾斜角是45°，∴ -
- -
- =a(x1+x2)=1，∴a=
.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.[2016·贵州湄潭中学月考]斜率为1的直线l与椭圆
+y2=1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为 .
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y=x+t，代入
+y2=1，消去y得
x2+2tx+t2-1=0，由题意得Δ=(2t)2-5(t2-1)>0，即t2<5.由根与系数的关系得x1+x2=-
t，x1x2= -
，则弦长|AB|=
|x1-x2|=
-
-
.
7.[2016·郑州模拟]已知双曲线x2-
=1上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=18x上，则实数m的值为 . 0或-8 【解析】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则 -
，① -
，② ，③ ，④由②-①得，(x2-x1)(x2+x1)=
(y2-y1)(y2+y1)，显然x1≠x2，所以 -
-
=3，即kMN·
=3，因为M，N关于直线y=x+m对称，所以kMN=-1，所以y0=-3x0.又因为y0=x0+m，所以P -
，
，代入抛物线方程得
m2=18· -
，解得m=0或-8，经检验都符合.
8.已知圆M：x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2，椭圆C：
=1的左焦点为F(-c，0)，若垂直于x轴且经过F点的直线与圆M相切，则a的值为 .
2 【解析】∵圆M：x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2，∴m2+3=4，∴m2=1，∵m<0，∴m=-1，∴圆心M的坐标为(1，0)，∵垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，∴c=1，∴a2=1+3=4，∴a=2.
三、解答题(共35分)
9.(10分)求过点P( ，5)且与双曲线
=1有且只有一个公共点的直线的方程.
【解析】若直线的斜率不存在，则x= ，此时仅有一个交点( ，0)，满足条件.
若直线的斜率存在，设直线的方程为y-5=k(x- )，则y=kx+5- k，代入双曲线方程，得
-
=1，即(25-7k2)x2-7×2kx(5- k)-7(5- k)2-7×25=0，
当k=
时，方程无解，不满足条件；
当k=-
时，2×5 x×10=875，则方程有一解，满足条件，直线方程为y=-
x+10；
当k2≠
时，令Δ=[14k(5- k)]2+4(25-7k2)[7(5- k)2+175]=0，化简后k无解，所以不满足条件；
所以满足条件的直线有两条，分别是x= 和y=-
x+10. 10.(12分)[2017·重庆诊断]如图，椭圆C：
=1(a>b>0)的离心率为
，F1，F2为其左、右焦点，且|F1F2|=2，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F1，F2分别作直线l的垂线，垂足分别为P，Q，求四边形PF1F2Q面积的最大值.
【解析】(1)由题知c=1，e=
，故a= ，b=1，故椭圆C的方程为
+y2=1.
(2)当k=0时， 四边形
=2；
当k≠0时，令|PF1|=d1，|QF2|=d2，
则d1=-
，d2=
，|PQ|= -
.
由 ，
得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，
由题知Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0，即m2=1+2k2，
所以 四边形
(d1+d2)·|PQ|= -
=
，
又m2=1+2k2，故|m|>1，
所以 四边形
<2.
综上，当k=0时， 四边形 取得最大值2.
11.(13分)[2016·长春三校调研]在直角坐标系xOy中，点M ，-
，点F为抛物线C：y=mx2(m>0)的焦点，线段MF恰被抛物线C平分.
(1)求m的值. (2)过点M作直线l交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FM，FB的斜率分别为k1，k2，k3，问k1，k2，k3能否成公差不为零的等差数列?若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由.
【解析】(1)由题得抛物线C的焦点F的坐标为 ，
，线段MF的中点N ，
-
在抛物线C上，
∴
=m，8m2+2m-1=0，∴m=
-
舍去 .
(2)由(1)知抛物线C：x2=4y，F(0，1).
设直线l的方程为y+
=k(x-2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
- ， 得x2-4kx+8k+2=0，
Δ=16k2-4(8k+2)>0，
∴k< -
或k>
.
由根与系数的关系得 ， ，
假设k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，则k1+k3=2k2，
而k1+k3= -
-
- -
=
- -
-
=
-
-
，
k2=-
-
- =-
，∴ -
=-
，即8k2+10k+3=0，解得k=-
或k=-
(不合题意，舍去).
∴直线l的方程为y+
=-
(x-2)，即x+2y-1=0.
∴k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，此时直线l的方程为x+2y-1=0.
[高考冲关] (30分钟 55分)
1.(5分)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=3|FB|，则k= ( ) A.
B.
C.
D.
A 【解析】由抛物线定义可得|FA|=xA+2，|FB|=xB+2，则xA+2=3(xB+2)，xA=3xB+4
①.将直线y=k(x+2)，k>0代入抛物线C：y2=8x整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0，则xA+xB=-4+
，xAxB=4，与①联立解得xA=6，xB=
(舍负)，k2=
，又k>0，所以k=
.
2.(5分)[2016·南阳模拟]已知直线l：y=
x+m与曲线C：y=
-
仅有三个交点，则实数m的取值范围是(
)
A.(-2， )
B.(- ， ) C.(1， ) D.(1， )
C 【解析】化简曲线C：y=
- ，①当4-x2≥0，即-2≤x≤2时，
+y2=1(y≥0 ；②当4-x2<0，即x>2或x<-2时，
-y2=1(y>0)，故曲线C表示椭圆
+y2=1的上半部分和双曲线
-y2=1的上半部分.双曲线一条渐近线斜率为
，如图所示，l与这条渐近线平行，当l恰好经过椭圆长、短轴端点时，斜率也为
，此时，曲线C与l只有两个公共点；当m≤1时，l与曲线C至多有两个公共点，所以m>1；当l与椭圆相切时，由y=
- ，得y'=-
- ，令y'=
，解得x=- ，即切点为 - ，
，代入直线方程得m= ，所以当m< 时，直线与曲线有三个交点，综上1
.
3.(5分)已知正方形的一条边AB在直线y=x+4上，顶点C，D在抛物线y2=x上，则该正方形的边长为 .
3 或5 【解析】设CD所在直线的方程为y=x+b(b<0)，由 ， 消去x得y2-y+b=0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1+y2=1，y1y2=b，∴|CD|=
