圆锥曲线的离心率专项练习(含解析)
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圆锥曲线的离心率专项练习
一、单选题
1．已知双曲线2221(0)3yxaa的离心率为2，则a（ ）
A．2 B．62 C．52 D．1
2．已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，点A是椭圆短轴的一个顶点，且123cos4FAF，则椭圆的离心率e（ ）
A．12 B．22 C．14 D．24
3．已知A､B为椭圆的左、右顶点，F为左焦点，点P为椭圆上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交于M点，与y轴交于E点，若直线BM经过OE中点，则椭圆的离心率为（ ）
A．12 B．32 C．13 D．63
4．设1F，2F是双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点，O是坐标原点，过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若1213PFPF，则C的离心率为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．233
5．已知F是椭圆C：22221xyab(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆222()39cbxy相切于点Q，（其中c为椭圆的半焦距），且2PQQF则椭圆C的离心率等于（ ）
A．53 B．23 C．22 D．12
6．已知双曲线2222:1xyCab的渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率为（ ） A．2
B．3
C．2
D．3
7．已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为F，过F点作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，若0OAOB，则椭圆的离心率等于（
）
A．152 B．132 C．12 D．32
8．已知过双曲线222210,0xyabab的右焦点F，且与双曲线的渐近线平行的直线l交双曲线于点A，交双曲线的另一条渐近线于点B（A，B在同一象限内），满足2FBFA，则该双曲线的离心率为（
）
A．43 B．2 C．3 D．2
9．已知双曲线2221,(0)xyaa的焦距为4，则该双曲线的离心率为（ ）
A．32 B．33 C．233 D．332
10．已知双曲线22212xya的一条渐近线的斜率为33，则双曲线的离心率为（ ）
A．233 B．263 C．3 D．2
11．过椭圆2222:10xyCabab的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若3BFFA，则C的离心率为（ ）
A．13 B．33 C．32 D．22
12．设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，过2F的直线与双曲线的右支交于两点,AB，若1:3:4AFAB，且2F是AB的一个四等分点，则双曲线C的离心率是（ ）
A．52 B．102 C．52 D．5
二、填空题
13．已知焦点在x轴上的椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，直线l过2F，且和椭圆C交于A，B两点，11||3||5AFBF，12AFF△与12BFF△的面积之比为3：1，则椭圆C的离心率为______________.
14．已知12FF，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且12PFPF，线段1PF的垂直平分线过2F，若椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，则2134ee的最小值为________.
15．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为1F，2F，直线l过点2F交双曲线右支于P，Q两点，若123PFPF，23PQPF，则双曲线 C的离心率为__________.
16．已知直线ya与双曲线2222:10,0xyCabab的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为1A，2A，若21252PAAA，则双曲线C的离心率为_____.
17．设1F，2F是椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点.若在C上存在一点P，使12PFPF，且1245PFF，则C的离心率为__.
18．设F为椭圆2222:1xyCab的左焦点，P为C上第一象限的一点.若6FPO，3PFOF，则椭圆C的离心率为___________
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆22221(0)xyabab的右焦点，直线2by与椭圆交于B，C两点，且90BFC，则该椭圆的离心率是_______.
20．已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右顶点分别为A、B，点2(0)Cb,，若线段AC的垂直平分线过点B，则该双曲线的离心率为______.
例21设双曲线22221xyab (0
例22．过双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.
23．双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点为12,FF，P是双曲线上一点，满足212PFFF，直线1PF与圆222xya相切，求双曲线的离心率.
一、单选题
1．已知双曲线2221(0)3yxaa的离心率为2，则a（ ）
A．2 B．62 C．52 D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
由双曲线的性质，直接表示离心率，求a.
【详解】
由双曲线方程可知223ca，
因为2cea，所以22234aea，解得：21a ，
又0a，所以1a.
故选：D
【点睛】
本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法：
1.直接法：直接求出,ac，然后利用公式cea求解；2.公式法：222111cbeaabc，3.构造法：根据条件，可构造出,ac的齐次方程，通过等式两边同时除以2a，进而得到关于e的方程.
2．已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，点A是椭圆短轴的一个顶点，且123cos4FAF，则椭圆的离心率e（ ）
A．12 B．22 C．14 D．24
【答案】D
【解析】
【分析】 依题意，不妨设点A的坐标为0b，，在12FAF中，由余弦定理得22142ac，再根据离心率公式计算即可.
【详解】
设椭圆22221(0)xyabab的焦距为2(0)cc，
则椭圆22221(0)xyabab的左焦点1F的坐标为0c，，右焦点2F的坐标为0c，，
依题意，不妨设点A的坐标为0b，，
在12FAF中，由余弦定理得：
22212121212||||2cosFFAFAFAFAFFAF，
123cos4FAF，
22223142242caaa，
22218cea，
解得24e.
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，在12FAF中，利用余弦定理求得22142ac是关键，属于中档题.
3．已知A､B为椭圆的左、右顶点，F为左焦点，点P为椭圆上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交于M点，与y轴交于E点，若直线BM经过OE中点，则椭圆的离心率为（ ）
A．12 B．32 C．13 D．63
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件求出,,BHM三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出3ac可得答案.
【详解】
由题意可设(,0),(,0),(,0)FcAaBa，设直线AE的方程（由题知斜率存在）为()ykxa，令xc，可得,()Mckac，令0x，可得(0,)Eka，设OE的中点为H，可得0,2kaH，由,,BHM三点共线，可得BHBMkk，即()2kakacaca，即为3ac，可得13cea，
故选：C.
【点睛】
本题考查求椭圆的离心率，解题关键是根据三点共线找到关于,ac的等量关系.
4．设1F，2F是双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点，O是坐标原点，过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若1213PFPF，则C的离心率为（ ）
A．5 B．2
C．3 D．233
【答案】D
【解析】
【分析】
双曲线的渐近线方程为byxa,则2PFb，1OFc，可得OPa，在2OPF和1OPF中，分别求出2cosaPOFc和1cosPOF，利用12coscos0POFPOF，
可得22213PFac结合222bca，cea即可求解.
【详解】
由题可得双曲线的渐近线方程为0bxay，2,0Fc 222bcPFbba，1OFc，OPa，
因为1213PFPF，所以222121313PFPFb，
在2OPF中，2cosaPOFc，
1OPF中，22211cosacPFPOFc，
因为12POFPOF，所以12coscos0POFPOF，
所以22210acPFacc
可得22213PFac，
所以222213133caac，
所以43ca，所以233e，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了利用双曲线的性质求双曲线的离心率，属于中档题.
5．已知F是椭圆C：22221xyab(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆222()39cbxy相切于点Q，（其中c为椭圆的半焦距），且2PQQF则椭圆C的离心率等于（ ）
A．53 B．23 C．22 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先利用几何关系找到a、b的比例关系，然后计算椭圆的离心率即可.
【详解】
如图所示，设椭圆的左焦点为F1,连接PF1，
