圆锥曲线离心率问题教学文稿

圆锥曲线离心率的求法教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线的概念及性质2. 掌握圆锥曲线离心率的定义和求法3. 能够运用离心率公式解决实际问题二、教学内容1. 圆锥曲线的概念及性质2. 圆锥曲线离心率的定义3. 离心率的求法4. 离心率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 圆锥曲线离心率的定义和求法2. 运用离心率公式解决实际问题四、教学方法1. 讲授法：讲解圆锥曲线的概念及性质，离心率的定义和求法2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生思考，提高学生参与度五、教学过程1. 导入：回顾椭圆、双曲线、抛物线的概念及性质2. 新课导入：介绍圆锥曲线的概念及性质3. 讲解离心率的定义：引导学生理解离心率的概念，公式4. 讲解离心率的求法：通过实例演示离心率的求法5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识教案首页：圆锥曲线离心率的求法教案课时安排：2课时教学目标：1. 理解圆锥曲线的概念及性质2. 掌握圆锥曲线离心率的定义和求法3. 能够运用离心率公式解决实际问题教学内容：1. 圆锥曲线的概念及性质2. 圆锥曲线离心率的定义3. 离心率的求法4. 离心率在实际问题中的应用教学重点与难点：1. 圆锥曲线离心率的定义和求法2. 运用离心率公式解决实际问题教学方法：1. 讲授法：讲解圆锥曲线的概念及性质，离心率的定义和求法2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生思考，提高学生参与度教学过程：1. 导入：回顾椭圆、双曲线、抛物线的概念及性质2. 新课导入：介绍圆锥曲线的概念及性质3. 讲解离心率的定义：引导学生理解离心率的概念，公式4. 讲解离心率的求法：通过实例演示离心率的求法5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对圆锥曲线概念及性质的理解程度，以及对离心率定义和求法的掌握情况。

【考点概述】离心率是圆锥曲线的一个重要高考，求离心率的值或范围问题的值的一些常用方法与思路【复习目标】1.掌握圆锥曲线的定义，并利2. 利用几何图形的特征(平几【教学重难点】重点：求圆锥曲线离心率的值难点：如何找到构建a 、b 【温故·习新】(2021·全国甲卷)已知F 1，F ＝3PF 2，则C 的离心率为(A. 72 【研讨·拓展】例1. 已知F 1，F 2分别是双曲线1260F PF ∠=︒，12F PF ∠的角平分线A ．2 B 活动1在平面直角坐标系焦点，过1F 的直线l 与双曲线的且2BF 经过△1BFT 的内切圆圆AB专题 圆锥曲线中的离心率问题个重要知识点，同时也是圆锥曲线的重要几何性质之一围问题屡见不鲜，这节课我们以求离心率的值为例思路. 并利用定义解决求解离心率;平几知识)简化运算.率的值；、c 的方程的几种方法与技巧.2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F )B. 132C. 7D. 13双曲线22221,(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，P 为双曲线平分线PA 交x轴于点A ，123F A AF =，则双曲线的离心 C D ．3xOy 中，1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,x y C a b a b-=>曲线的左，右两支分别交于点A ，B ，点T 在x 轴上，满足切圆圆心，则双曲线C 的离心率为( ) ．2 C D 质之一，纵观近几年为例，介绍求离心率1PF 2＝60°，PF 1 双曲线右支上一点，的离心率为 （ ） 0)>的左，右23BT AF = ，例2. 已知A 、B 为双曲线为120°，则E 的离心率为___活动2已知F 1，F 2是椭圆点．若2POF △为等边三角形活动3已知O 为坐标原点，点.延长PO 、PF 交椭圆E AB【反馈·提炼】1. (2022·全国甲卷)已知椭圆于y 轴对称.若直线AP 、2.如图所示，1F ，2F 是双曲线右支上存在一点B 满足BF B ⊥则双曲线C 的离心率为（ A ．3B ． E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角_________2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点角形，则C 的离心率为___________，P 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上位于x 轴上方的点于Q 、R 两点，QF FR ⊥，4QF FR =，则椭圆E 的离 C D 椭圆 ()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，点P 、Q AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为___________双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线12F BF ，1BF 与双曲线C 的左支的交点A 平分线段 ）C D 腰三角形，且顶角上一点，O 为坐标原方的点，F 为右焦的离心率为（ ） 均在C 上，且关____ 曲线C 的线段1BF ，。

圆锥曲线离心率的求法教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线的概念，掌握圆锥曲线的标准方程。

2. 掌握离心率的定义，了解离心率与圆锥曲线的关系。

3. 学会运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线的离心率。

4. 能够运用离心率解决实际问题，提高解决问题的能力。

二、教学内容1. 圆锥曲线的概念及标准方程2. 离心率的定义及性质3. 公式法求解圆锥曲线的离心率4. 待定系数法求解圆锥曲线的离心率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：圆锥曲线的标准方程，离心率的求解方法。

2. 难点：待定系数法求解圆锥曲线的离心率，应用实例的解决。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解圆锥曲线的概念、标准方程及离心率的定义。

2. 利用案例分析法，分析求解圆锥曲线离心率的公式法和待定系数法。

3. 运用练习法，巩固所学知识，提高解决问题的能力。

4. 开展小组讨论法，培养学生的合作意识，提高学生的创新能力。

五、教学过程1. 引入新课：通过复习椭圆、双曲线、抛物线的概念及标准方程，引出圆锥曲线的概念及标准方程。

2. 讲解圆锥曲线的标准方程，阐述离心率的定义及性质。

3. 讲解求解圆锥曲线离心率的公式法，并通过实例演示求解过程。

4. 讲解求解圆锥曲线离心率的待定系数法，并通过实例演示求解过程。

5. 开展练习环节，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。

6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业，要求学生掌握圆锥曲线的标准方程，熟练运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线的离心率。

六、教学评价1. 评价学生对圆锥曲线概念和标准方程的理解程度。

2. 评价学生对离心率定义和性质的掌握情况。

3. 评价学生运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线离心率的能力。

4. 评价学生在实际问题中运用离心率解决问题的能力。

七、课后作业1. 请学生完成教材后的相关练习题，巩固圆锥曲线标准方程和离心率的求解方法。

2. 请学生选取一个实际问题，运用离心率解决，并将解题过程和答案写成报告。

圆锥曲线中离心率的相关问题——求值、取值范围(或最值)授课时间：2018年5月4日一.近五年高考考查概况年份，类型，题号考查曲线考查题型分值2013全国1卷，理科，4 双曲线 求离心率 5分 2014全国1卷，理科，202014全国2卷，理科，20，(1) 椭圆 椭圆 根据离心率求方程求离心率 12分 5分 2015全国2卷，理科，11 双曲线 求离心率5分 2016全国2卷，理科，11 2016全国3卷，理科，11 双曲线 椭圆 求离心率 求离心率 5分 5分 2017全国1卷，理科，15 2017全国2卷，理科，9 2017全国3卷，理科，10双曲线与圆 双曲线 椭圆求离心率 求离心率 求离心率5分 5分 5分二.问题分析与策略求圆锥曲线的离心率的值、取值范围(或最值)，是解析几何中的重点、难点，它也是历年高考中考查的热点之一. 在圆锥曲线的诸多性质中，离心率也同时会渗透于各类题型中。

这类问题通常有以下两类：一是根据条件利用定义直接求椭圆、双曲线的离心率；二是根据一定条件求椭圆、双曲线离心率的取值范围(或最值). 无论是哪类问题，一般都要采用以下方法与策略：一个关键：寻求建立,,a b c 之间(或其中两者)的一个等式或不等式；二个切入：从“形”入手、从“数”下手；三个方向：从圆锥曲线的定义思考、从几何图形的性质出发、从方程(或不等式)的角度落笔；四种工具：平面几何基础知识、平面向量知识、三角函数、基本(重要)不等式； 五种思想：数形结合思想、方程思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想.三.题型分类与讲解1.利用定义求离心率例1.(宁夏银川一模)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是21F F 、，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若2121F F OP =，且221a PF PF =∙，则该椭圆的离心率为（ ）43.A 23.B 22.C 21.D【变式练习1-1】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右焦点分别是21F F 、，点P 在双曲线上，且b PF PF 321=+，ab PF PF4921=∙，则该双曲线的离心率为（ ）34.A 35.B 49.C 3.D例2.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是21F F 、，过点2F 的直线与椭圆交于B A 、两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） 22.A 32.-B 25.-C 36.-D【变式练习2-1】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别是21F F 、，过点2F 的直线与双曲线的右支交于B A 、两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰三角形，则2e =（ ）221.+A 224.-B 225.-C 223.+D【变式练习2-2】如右图所示，点C B A ,,是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，且BFC ∆是以F 为直角顶点的等腰三角形，则该双曲线的离心率是（ ） 10.A 210.B 23.C 3.D例 3.旧题新解(2016全国3卷，11题，5分)已知O 为坐标原点，F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，B A ,分别为C 的左，右顶点. P 为C 上的一点，且x PF ⊥轴. 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） 31.A 21.B 32.C 43.D2. 求离心率的取值范围例4.（1）【显性不等关系】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为o 45的直线与双曲线的左支没有公共点，则此双曲线离心率的取值范围为 .（2）【隐性不等关系】(2014湖北七市联考)已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线存在一点P 使caF PF F PF =∠∠1221sin sin ，则该双曲线的离心率的取值范围为 .例 5.设点P 是椭圆上)0(1:2222>>=+b a by a x C 的一点，21F F 、分别是其左、右焦点，若o 2190=∠PF F ，则该椭圆的离心率的取值范围为 .思路1：利用图形的几何特性思路2：利用基本(重要)不等式思路3：利用三角函数的有界性思路4：利用一元二次方程B 2B 1F 1y xO F 2P课后巩固练习1.21,F F 为双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左右焦点，O 为原点，点P 为双曲线上一点，且a OP 3=，2211PF F F PF 、、成等比数列，则双曲线的离心率（ ） 321.A 37.B 372.C 337.D 2.改编：(2015江西八校联考，9)已知圆,02:221=++y cx x C 圆,02:222=+-y cx x C 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，0>c ，且222b a c -=. 若圆21C C ，都在椭圆内，则椭圆离心率的最大值是（ ）21.A 22.B 31.C 33.D 3.(2016湖南十校联考，11)设双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的两条渐近线与直线ca x 2=分别交于B A ,两点，F 为该双曲线的右焦点. 若009060<∠<AFB ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）)2,1.(A )2,2.(B )2,1.（C ),2.[+∞D4.(2017全国卷1，15)已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于N M ,两点. 若o 60=∠MAN ，则C 的离心率为 .5.(1)已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点，P 为椭圆上一点，且221c PF PF =∙→→，则椭圆的离心率的取值范围为 .(2)已知)0,(),0,(21c F c F -为双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左右焦点，若P 为双曲线上一点，且22121c PF PF -=∙→→，则双曲线的离心率的取值范围为 .。

《圆锥曲线离心率（1）》教学设计一、教学目标分析1.知识与技能：①理解圆锥曲线离心率的概念；②掌握求离心率的常用方法，能够对含有,,a b c的二次方程，变形整理出关于离心率e的方程，从而解出e的值。

2.过程与方法：通过自主探究体会数形结合的数学思想方法；培养活动培养学生观察、分析、计算和归纳能力。

3.情感态度与价值观：通过对复杂计算过程的化简求值，体验科学探索与研究的不易，培养学生吃苦耐劳，细心钻研的精神。

二、教学重难点：重点：合理利用圆锥曲线的定义以及几何性质，得到关于参数a b c的关系式，从而变换出离心率e的方程。

,,难点：从含,,a b c的方程中化简变换出关于e的方程。

三、教学方法：小组合作、讲解示范法四、教学基本流程五、教学情境设计：六、板书设计：《圆锥曲线离心率（1）》学情分析学生已经对三种圆锥曲线进行了系统的学习、复习，高考经常对圆锥曲线离心率进行考察。

由于圆锥曲线对计算、数形结合、等价转化、化简变形，所以大部分高中生感觉难度较大，究其原因，学生主要有几个方面的原因:一是心理上的难关，认为圆锥曲线的题一定是难题，心生胆怯；二是知识难关，解决圆锥曲线（离心率）的常用方法不熟练；三是计算难关，解析几何最难的是复杂的计算，学生普遍的计算能力不强。

本节课主要从这三个方面帮助学生度过难关。

《圆锥曲线离心率（1）》评测练习效果分析1.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是 ．学生本题做得正确率较高，主要是区间的开闭出现问题。

2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P使1221sinsinPF F aPF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是．学生本题出错较高，主要是式子2111e ee-<<++的求解出现问题。

龙文教育个性化辅导授课案教师:刘娇学生: 日期: 星期: 时段: 课题圆锥曲线的离心率及定义学情分析教学目标与考点分析1．考查圆锥曲线的定义及利用定义解决相关问题．2．考查圆锥曲线的方程及其几何性质．教学重点难点1．熟练掌握圆锥曲线的定义及其几何性质会求圆锥曲线的标准方程．2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题教学过程一、知识点椭圆双曲线抛物线标准方程定义离心率及其取值范围准线方程渐近线焦点三角形（面积与周长）二、典型例题 （一）定义及标准方程1.哈尔滨市六中2012学年度上学期期末】椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为π，,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则12y y -值为（ ）A ．53 B ．103 C ．203D ．53 答案：A2.【江西省赣州市2012届上学期高三期末】已知点P 是椭圆上一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，M 为12PF F ∆的内心，若1122MPF MF F MPF S S S λ∆∆∆=-成立，则λ的值为A .22aa b - B .222aa b- C .22a b a - D .222a b a -答案：A（二）焦点三角形1【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】P 是双曲线116922=-y x 的右支上一点，点N M ,分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的动点，则PN PM -的最小值为 ( )A ． 1B ． 2C ． 3D ．4 【答案】C2【北京市西城区2012第一学期期末】若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k =______． 【答案】183【山西省太原五中2012届高三9月月考理】实数变量22,1,(,)m n m n m n mn +=+满足则坐标表示的点的轨迹是 （ ）A ． 抛物线B ．椭圆C ． 双曲线的一支D ．抛物线的一部分 D（三）离心率1【河南省郑州市2012届高三第一次质量预测】已知点F 、A 分别为双曲线()0,012222 b a by a x =-的左焦点、右顶点，点B （0，b ）满足0=⋅AB FB ，则双曲线的离心率为A.2 B.3 C.231+ D. 251+【答案】D2【株洲市2012届高三质量统一检测】设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线C 的离心率等于（ ）A ．1322或B ．23或2C ．12或2D ．2332或【答案】A3【山东聊城市五校2012届高三上学期期末联考】已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆,0,)0(1212222=⋅>>=+PF PF b a b y a x 且上一点 ,21tan 21=∠F PF 则该椭圆的离心率为（ ）A ．21 B ．32 C ．31D ．35【答案】D4【湖北省武昌区2012届高三年级元月调研】已知双曲线22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点为F ，若过点F且倾斜角为60°的直线与 双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．（1,2）B ．（1,2]C ．[2,+∞）D ．（2,+∞） 【答案】A5【江西省赣州市2012届上学期高三期末】若圆22(2)2x y -+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则双曲线的离心率是 . 【答案】26【2012大庆铁人中学第一学期高三期末】双曲线的渐近线方程为34y x=±，则双曲线的离心率是 。

圆锥曲线的离心率求值问题教学设计1、教学分析（1）教材分析：椭圆与双曲线的离心率是2019年8月出版的新人教A版选择性必修第一册第三章的内容，是圆锥曲线的重点内容，在学习本节知识前，学生已经了解椭圆与双曲线的概念、方程、基本性质,因此本节课重点在于这些知识点的综合应用。

其中求解椭圆、双曲线的离心率是重点内容。

灵活运用求解椭圆、双曲线离心率的几种常用方法是本节的难点。

（2）学情分析：本节是圆锥曲线与方程这一章的一个小专题，在之前学生学习了椭圆与双曲线这两个内容，其中的第二节圆锥曲线的性质为学习本节课打下了一定的理论基础，因此理论上学生应该不难理解本节课。

本节课采用先从基础知识切入再根据实际问题探索解决问题的方法的教学方法，要让学生通过自己的思考总结求圆锥曲线离心率的方法，这样既能激发学生学习数学的兴趣，又能提升学生的思维能力和学习能力。

空间思维能力对本节学习至关重要，为方便对问题的分析，针对离心率的专题我专门自制了课件，通过对以往知识的复习和具体问题的应用总结常用的求离心率的方法，本节重难点还在于在分析时要能将实际的问题与以前的知识相联系。

要使学生能够掌握求离心率的方法，因此针对这一问题我做了一定的巩固训练。

2、教学目标1.能理解椭圆与双曲线离心率的概念和相关性质，借助题目条件进行求值应用；2.通过让学生小组合作讨论、问题的层层引入让学生分析、归纳、总结出求离心率的方法；3.通过分析一般情况下求离心率的方法，使学生形成认识事物规律要抓住一般性的科学方法；4.培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力，解决问题的能力。

3、数学学科核心素养通过简单的题目条件中抽象出圆锥曲线中a,b,c的等量关系，构建方程进而通过解方程求解离心率的值，设置几道例题层层引入，由简单到复杂，由特殊到一般培养学生逻辑推理，数学运算，数学建模和数据分析的数学核心素养。

4、教学重难点重点：构建齐次方程求解椭圆、双曲线的离心率的值。

中学数学圆锥曲线离心率求解探究一、引言圆锥曲线是数学中一个重要的概念，在中学数学中也是一个重要的内容。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们都具有一定的特点和性质。

其中一个重要的性质就是离心率，它可以描述圆锥曲线的形状和几何特征。

离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它是一个无量纲的数值。

离心率的大小决定了圆锥曲线的形状，当离心率为0时，即为圆；当离心率大于0且小于1时，为椭圆；当离心率等于1时，为抛物线；当离心率大于1时，为双曲线。

了解圆锥曲线的离心率对于解决与圆锥曲线相关的问题具有重要的意义。

本文将以中学数学中常见的圆锥曲线为例，探究圆锥曲线离心率的求解方法和相关性质，帮助读者更好地理解和应用圆锥曲线的知识。

二、椭圆的离心率1. 概念介绍椭圆是圆锥曲线中的一种，它具有以下几个特点：椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。

该常数为椭圆的长轴长度，两个定点称为椭圆的焦点。

椭圆也可以通过一个长轴和一个短轴来描述，其中长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。

椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为焦点的距离，a为半长轴的长度。

2. 离心率的求解方法椭圆的离心率可以通过焦点的位置和椭圆的长轴长度来求解。

根据概念介绍中的定义，可以知道焦点的位置在长轴上，当焦点的位置在轴上时，离心率为0，即为圆；当焦点的位置在轴的一端时，离心率等于1，即为抛物线；当焦点的位置在轴的外侧时，离心率大于1，即为双曲线。

对于给定的椭圆图形，我们可以通过测量焦点的位置和长轴的长度来求解离心率。

具体的计算步骤如下：（1）测量椭圆的两个焦点的距离，记为2c；（2）测量椭圆的长轴长度，记为2a；（3）计算离心率e=c/a。

给定一个椭圆，它的两个焦点的距离为10cm，长轴的长度为8cm，那么根据离心率的定义，可以计算得到离心率e=10/8=1.25。

3. 离心率与椭圆的几何特征离心率可以描述椭圆的形状和几何特征。

当离心率接近于0时，椭圆的形状趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆的形状趋近于扁平的长条形；当离心率大于1时，椭圆的形状趋近于“8”字形的双曲线。

课题：《探求圆锥曲线的离心率求法》授课时间：2021年11月 日授课班级： 授课教师:教材分析：圆锥曲线的的离心率e 是反映圆锥曲线几何特征（扁平或开阔程度）的一个数量，是圆锥曲线的重要几何性质，也是圆锥曲线“统一定义”的纽带.在全国各地历年高考命题中，求圆锥曲线离心率问题是高考考查的热点问题，因而掌握好圆锥曲线离心率的概念、题型与求解方法，就非常的必要和重要了.数学核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算教学目标：1.知识与技能目标：理解离心率的定义；掌握离心率的求法。

2.过程与方法目标：通过习题引导学生发现求解离心率的规律； 总结求解离心率的方法。

3.情感态度与价值观目标：通过求解离心率的过程，提高学生的计算能力；进一步体会数形结合的数学思想；落实好自主学习的核心素养。

教学重点：圆锥曲线离心率的求法。

教学难点：如何构建含a 、b 、c 的方程。

教学过程 【引例】若椭圆2214x y m +=的离心率12e =，则m =． 结论：离心率的求法：其本质是寻找基本量之间的等量关系式．有时由代数关系直接得出，有时根据平面几何知识得出相关等式．．【解题必备】离心率e 与a,b 的关系：ac =e 离心率的几何意义及三角表达式：θcos =e典例剖析题型一：利用离心率的定义求值例1.若16m 2=，则圆锥曲线1x 22=+m y 的离心率是 练习1双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点()3,4-，则此双曲线的离心率为（ ） A.73 B.54C.43D.53 题型二：利用圆锥曲线的定义求离心率的值例2. 1F 和2F 分别是双曲线22221x y a b-=的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率是.练习2已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ） A.2B.32C.3D.2题型三：利用平面图形的几何性质求离心率的值例3平面直角坐标系xoy 中，双曲线22122:1x y C a b-=的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点O 、A 、B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点F ，则曲线1C 离心率e 为.练习3、直线L 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到L 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34题型四：利用代入法求离心率的值例4已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右顶点和上顶点分别为A 和B ，左焦点为F 。

《圆锥曲线离心率（1）》教课方案一、教课目的剖析1.知识与技术：①理解圆锥曲线离心率的观点；②掌握求离心率的常用方法，可以对含有a, b,c 的二次方程，变形整理出对于离心率 e 的方程，进而解出 e 的值。

2.过程与方法：经过自主研究领会数形联合的数学思想方法；培育活动培育学生察看、剖析、计算和归纳能力。

3.感情态度与价值观：经过对复杂计算过程的化简求值，体验科学探索与研究的不易，培育学生吃苦耐劳，仔细研究的精神。

二、教课重难点：要点：合理利用圆锥曲线的定义以及几何性质，获得对于参数a, b, c 的关系式，进而变换出离心率 e的方程。

难点：从含a,b, c的方程中化简变换出对于e 的方程。

三、教课方法：小组合作、解说示范法四、教课基本流程展现课标要求，高考观察要求圆锥曲线基础知识复习、回首办理题组训练的题目，进行简单的小结例 1 教课，利用定义解离心率例 2 教课，列方程解离心率例 3 的教课，利用点在曲线上求离心率小结：总结归纳，以求达到贯通融会的成效五、教课情境设计：问题设计企图师生活动（1）我们已经系统的复勾起学生对高考的兴教师经过课件展现习了圆锥曲线的有关知趣，进而提高讲堂的注历年的高考统计数识，高考取怎样观察这意力。

据，并做简单适合的些知识，采纳什么题型归纳。

观察？（2）展现三个题组的题目，由学生解说，交流做题领会，教师评论并和学生一同做小结。

（3）例 1 解说指引学生重视圆锥曲线学生独立达成后，请的定义是解决圆锥曲线学生给出答案，教师问题的常用工具评论，并重申定义的重要性（4）例题 2 解说教给学生成立方程的思教师提出问题后，可想，成立对于参数 a, b,c以同学间互相合作的方程，研究，找到解决问题的要点。

（5）例题 3 解说让学生领会圆锥曲线计教师和学生一同得算的复杂性。

到关系式后，让学生自主进行式子构造的变换，领会计算过程的复杂性（6）针对三个例题进行小结，提高方法，以求贯通融会。

微专题 圆锥曲线的离心率圆锥曲线的离心率是圆锥曲线重要的几何性质之一,也是考试命题的热点.圆锥曲线的离心率与其他基本量联系密切,容易产生知识交汇,也可以与非解析几何知识结合检测综合分析能力,椭圆与双曲线也可以与平面几何中的三角形、四边形、圆等结合.圆锥曲线的离心率问题主要包括:①已知圆锥曲线满足某一条件,求圆锥曲线离心率的值;②已知圆锥曲线满足某一条件,求圆锥曲线离心率的取值范围. 类型一 求离心率的值求解离心率的值的方法主要有:①通过已知条件列出方程组,解出a ,c 的值;②由a ,b 的关系求离心率e=√1-b 2a 2(椭圆)或e=√1+b 2a 2(双曲线); ③由已知条件得关于a ,c 的齐次式,再转化为关于e 的一元二次方程;④通过特殊值或特殊位置求离心率;⑤在焦点三角形内求离心率.角度1 利用圆锥曲线基本量求离心率例1 已知双曲线x 29-y 2m =1(m>0)的右焦点到其一条渐近线的距离为√3,则双曲线的离心率为( ) A .√62 B .2√33 C .2√63 D .2变式 已知椭圆C :x 2a 2+y 24=1的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为 . 角度2 结合焦点三角形利用定义求离心率例2 (1)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为C 上一点,且∠F 1PF 2=120°,|PF 1|=3|PF 2|,则双曲线C 的离心率为 ( )A .√72B .√132C .√7D .√13(2)[2024·长沙长郡中学高二期中] 如图,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,以F 1F 2为边作正三角形AF 1F 2,且△AF 1F 2的边与椭圆交于B ,C 两点,若B ,C 分别为所在边的中点,则椭圆的离心率是( )A .12B .√3-12C .√32D .√3-1变式 (1)已知F 1(-c ,0),F 2(c ,0)分别是椭圆E 的左、右焦点,P 是E 上的一点,若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且S △F 1PF 2=c 2,则E 的离心率为 ( )A .2√55B .√63C .√22D .√32(2)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 为以F 1F 2为直径的圆与双曲线的右支的一个交点,若∠PF 1F 2=30°,则双曲线C 的离心率为 .角度3 利用相似、垂直、平行等几何关系求离心率例3 [2024·广东肇庆一中高二月考] 已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x 2+y 2-6x+8=0相切,则双曲线的离心率为 .变式 [2024·福建龙岩高二期中] 已知双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),斜率为-23的直线与E 的左、右两支分别交于点A ,B ,点P 的坐标为(-2,3),直线AP 交E 于另一点C ,直线BP 交E 于另一点D.若直线CD 的斜率为-23,则E 的离心率为 . 类型二 求离心率的取值范围求解离心率的取值范围的常见思路:①通过几何方法如点的坐标、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围.②通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围.例4 (1)已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 是椭圆上一点,且∠F 1PF 2=90°,则该椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A .(0,√22) B .(0,√22] C .(√22,1)D .[√22,1) (2)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是右支上一点,且|PF 1|=6|PF 2|,则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A .[43,+∞)B .(1,43]C .(1,75]D .[75,+∞)(3)[2024·淄博高二期中] 已知点F 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( )A .(1,√2)B .(1,2)C .(2,1+√2)D .(1,1+√2)变式 (1)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,在双曲线上存在点P 满足2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则此双曲线的离心率e 的取值范围是 .(2)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),点P (x 0,y 0)是直线bx-ay+4a=0上任意一点,若圆(x-x 0)2+(y-y 0)2=1与双曲线C 的右支没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是 ( )A .(1,2]B .(1,4]C .[2,+∞)D .[4,+∞)。

圆锥曲线的离心率 教学设计一、考点考向探究：离心率是圆锥曲线的重要性质，是高考重点考查的一个知识点，也是近年高考中出现频率非常高的一个小题，是高考的热点，题目难度大致为中档题，该问题涉及多个知识点，综合性强，解法灵活且多样，多数学生感觉到不知如何入手。

这类问题一般有两类，(1)根据一定的条件求椭圆或双曲线的离心率(2)根据一定条件求离心率的取值范围；无论哪类问题，其难点都是建立关于a,b,c 的关系式(等式或不等式)，并且最后其中b 用a,c 表达，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解椭圆和双曲线的离心率问题难点的根本方法。

二、教学目标：通过对历年模拟题及真题的归纳分析，引导学生发现对于不同的求离心率和范围问题，关键在于找出a,b,c 之间的等价关系，从而求离心率e 的值或者范围，培养学生分析问题、解决问题的能力。

三、教学重点难点：本节内容的教学重点：如何求离心率的值或者取值范围，教学难点：列出a,b,c 的等式或者不等式，并且转化为离心率e 的关系式。

四、教学过程：（一）离心率的取值解．设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。

若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90º，且|AF 1|=3|AF 2|，设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中122||||2a AF AF =-=，2c ==，∴离心率2e =，选B 。

22122212121.,190,3,222o x y F F a b AF AF -=∠==例设分别为双曲线的左右焦点,若双曲线上存在点A,使F AF 且则该双曲线离心率为()A. B. C.221222122.1(a 0,b 0),A B O ,2x y F F a bOF F AB -=>>∆例、是双曲线的两个焦点和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形则双曲线的离心率为( )解析：如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，连接AF 1，∠AF 2F 1=30°，|AF 1|=c ，|AF 2|=3c ，∴ 2(31)a c =-，双曲线的离心率为31+，选D 。

中学数学圆锥曲线离心率求解探究1. 引言1.1 圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上特殊的曲线，其形状由一个固定点（焦点）和到该点的距离与一个固定的数值的比值（离心率）确定。

根据焦点的位置和离心率的大小，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。

椭圆是一种闭合曲线，其定义为平面上所有点到两个固定点（焦点）的距离之和等于一个常数的点的轨迹。

椭圆的离心率小于1，且离心率越小，则椭圆越接近于圆形。

圆锥曲线的离心率是描述其形状和特性的重要参数，通过求解离心率，我们可以更好地理解和应用圆锥曲线的数学性质。

1.2 离心率的概念离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它反映了曲线与其焦点之间的偏离程度。

在数学上，离心率通常用e表示，它的定义是焦距与长轴长度的比值。

对于椭圆和双曲线而言，离心率的取值范围是0到1之间，而对于抛物线则是1。

在椭圆的情况下，离心率越接近于0，椭圆形状就越接近于圆形；而当离心率接近于1时，椭圆形状就变得更加狭长。

双曲线则有两个分支，离心率越接近于1，两个分支之间的间距就越大。

而抛物线只有一个分支，其离心率恒为1，一侧相对于焦点的距离与另一侧相等。

在数学中，离心率的求解是对圆锥曲线形状进行准确描述的重要方法之一。

通过求解离心率，我们能够更好地理解和分析圆锥曲线的性质与特点，进一步应用于实际问题的解决和拓展等方面。

对圆锥曲线离心率的求解探究具有重要的理论意义和实际应用价值。

2. 正文2.1 椭圆的离心率求解椭圆的离心率求解是圆锥曲线中的重要内容。

在研究椭圆的离心率时，我们需要首先了解椭圆的定义以及离心率的概念。

椭圆是一个平面上的闭合曲线，其定义为到两个固定点的距离之和等于常数。

两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的长轴长。

椭圆的形状是在两个焦点之间移动一个定长绳子所能形成的轨迹。

离心率是用来描述椭圆形状的一个重要参数。

它是一个小数，表示椭圆长轴和短轴之间的比值。

离心率的值介于0和1之间，当离心率为0时，椭圆退化为圆；当离心率接近1时，椭圆变得更加扁平。

龙文教育个性化辅导授课案教师:刘娇学生: 日期:星期: 时段:课题圆锥曲线的离心率及定义学情分析教学目标与考点分析1．考查圆锥曲线的定义及利用定义解决相关问题．2．考查圆锥曲线的方程及其几何性质．教学重点难点1．熟练掌握圆锥曲线的定义及其几何性质会求圆锥曲线的标准方程．2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题教学过程一、知识点椭圆双曲线抛物线标准方程定义离心率及其取值范围准线方程渐近线焦点三角形（面积与周长）二、典型例题 （一）定义及标准方程1.哈尔滨市六中2012学年度上学期期末】椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为π，,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则12y y -值为（ ）A ．53 B ．103 C ．203 D ．53答案：A2.【江西省赣州市2012届上学期高三期末】已知点P 是椭圆上一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，M 为12PF F ∆的内心，若1122MPF MF F MPF S S S λ∆∆∆=-成立，则λ的值为A .22aa b -B .222aa b-C .22a b a - D .222a b a -答案：A（二）焦点三角形1【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】P 是双曲线116922=-y x 的右支上一点，点N M ,分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的动点，则PN PM -的最小值为 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．4 【答案】C2【北京市西城区2012第一学期期末】若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k =______．【答案】183【山西省太原五中2012届高三9月月考理】实数变量22,1,(,)m n m n m n mn +=+满足则坐标表示的点的轨迹是 （ ）A ． 抛物线B ．椭圆C ． 双曲线的一支D ．抛物线的一部分 D（三）离心率1【河南省郑州市2012届高三第一次质量预测】已知点F 、A 分别为双曲线()0,012222 b a by a x =-的左焦点、右顶点，点B （0，b ）满足0=⋅AB FB ，则双曲线的离心率为A.2 B.3 C.231+ D. 251+【答案】D2【株洲市2012届高三质量统一检测】设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线C 的离心率等于（ ）A ．1322或B ．23或2C ．12或2D ．2332或【答案】A3【山东聊城市五校2012届高三上学期期末联考】已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆,0,)0(1212222=⋅>>=+PF PF b a by a x 且上一点,21tan 21=∠F PF 则该椭圆的离心率为（）A ．21 B ．32 C ．31 D ．35【答案】D4【湖北省武昌区2012届高三年级元月调研】已知双曲线22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点为F ，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A ．（1,2）B ．（1,2]C ．[2,+∞）D ．（2,+∞） 【答案】A5【江西省赣州市2012届上学期高三期末】若圆22(2)2x y -+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则双曲线的离心率是. 【答案】26【2012大庆铁人中学第一学期高三期末】双曲线的渐近线方程为34y x=±，则双曲线的离心率是。