2019研究生数学考试数一真题

0034 0034
三、解答题：15 23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
15.设函数
y
f (x) 是微分方程
y
xy
e
x2 2
满足条件
y(0)
0 的特解。
（1）求 y f (x) ；
（2）求曲线 y y(x) 的凹凸区间及拐点。
4/9
【答案】A
【解析】在区域
D
上，x2
y2
2 4
，令
x2
y2
，则 0
u
2
，所以有 sin
x2 y2
x2 y2 ；
令 f (u) 1 cos u sin u ，则 f (u) sin u cos u ，
故当 0
u
4
，
f
(u)
0 ；当
4
u
2
，
f
(u)
0；
而 f (0) f (2 ) 0 ，所以 f (u) 0 ，即1 cos u sin u ，得到1 cos x2 y2 sin x2 y2
又因为 A 4 123 ，故 A 的 3 个特征值为1, 2, 2 ，所以二次型 xT Ax 的规范形为 y12 y22 y32 .
二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
2
9. lim(x 2x ) x
.
x0
【答案】 4e2
2
【解析】 lim(x 2x ) x
0
0
n1
k 0
e (k 1) x
sin x
dx
n1
(1)k

2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析一、选择题1.（）为同阶无穷小，则与时，若当=-→k xx x x ktan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.的取值范围为（）个不同的实根，则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+，4 C.]44[,- D.），（44- 3.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,44.的是（）条件收敛，则下列正确绝对收敛，已知∑∑∞=∞=11n nn n nv nu A.条件收敛nn n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞=1n nn v uC.）收敛（nn nv u +∑∞=1D.）发散（nn nv u +∑∞=15个的基础解析有的伴随矩阵，且为阶矩阵，为已知204*=Ax A A A 线性无关的解，则) ()(=*A r A.0 B.1 C.2 D.36.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是A.).()()(B P A P B A P +=YB.).()()(B P A P AB P =C.).()(A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分.9.()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→nn n n 11321211lim Λ 10. 曲线⎪⎭⎫⎝⎛-+=232cos 2sin ππ＜＜x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f xd 114⎰+=，则()=⎰x x f x d 10212. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为222500B B A A p p p p +--,则当A p =10，B p =20时，A 商品的价格需求弹性AA η(0＞AA η)=13. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1101111012a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b 10，若b Ax =有无穷多解，则a= 14 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题15.已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x x ，求的极值并求)(f )('f x x16.设)(v u f ，具有连续的2阶偏导数，求),,(),(y x y x f xy y x g -+-=22222y gy x g x g ∂∂+∂∂∂+∂∂ 17.)(x y 显微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.（1）求)(x y（2）区域D {})(0,21,x y y x y x ≤≤≤≤）（，D 绕轴旋转的旋转体的体积 18.求曲线)0(sin >=-x x e y x与x 轴之间图形的面积。

(3) D
解 由薇分方程通解形式可知，y = CC 1 +C 2x)e一工为齐次方程的通解， y = e工 为非齐次方程的特解， -1为特征方程入z +a入+b =0的二重根，
1 — a+ b=O,
得{ a 2 — 4b=O, 且l+a +b=c,
由此解得a =Z,b=l,c = 4. 故应选D.
(4) B
令y"=O,得x 1 =O,x2 =穴，再判断X 1 ,X 2 两点的左右两侧二阶导数是否异号；
在X 1 左侧y"<o,右侧y"<o,故(0,2)不是拐点；
Xz左侧y"<O,x 2
右侧区间丘竺）内y">o,所以拐点为（六' — 2
2).
故应填（六'-2).
1
(11)—(1-2,/2)
18 解
Ia 由分部积分法：『
(19) (本题满分10分）
L1
设 an = Xn'\厅二了dx(n = 0, 1, 2,···).
(I)证明数列冈n l
单调递减，且an
n =n
-l + 2 an-2 (n
= 2'3'. . .) ;
(II)
求、 h.m n->a:>
a
—兰
an-1
(20) (本题满分11分）
[J 已知向扯绢I: «1 =
x
2
f(x)dx=- 31 fJ I Cx)dx3=了1 x汀ex)
11 Io—了
I
x3 J'(x)dx,
CD
又八1) =『五了尸dt=O,J'(x)=./i丁了，代入CD 式：

第 32 卷 第 4 期2019 年 4 月江西电力职业技术学院学报Journal of Jiangxi Vocational and Technical College of ElectricityVol.32 No.4Apr.2019巧用等价无穷小与泰勒公式求极限黄 辉（长春理工大学光电信息学院，吉林 长春 130000）摘 要：泰勒公式是高等数学考试和研究生入学考试中必考考点，利用泰勒公式可以解决很多数学问题。

就近几年考研真题中出现的极限问题，总结出将泰勒公式与洛必达法则和等价无穷小替换相结合使用求极限方可更简单省时。

关键词：极限；泰勒公式；洛必达法则；等价无穷小中图分类号：O171 文献标识码：B 文章编号：1673-0097(2019)04-0050-02极限理论是高等数学这门课程的基础，也是其开篇第一个非常重要的概念，后续章节的导数、微分、积分、级数等概念都是通过极限定义来刻画的［1］。

求解极限是日常教学中重点，也是高等数学考试及考研数学中必考的知识点。

常用的计算方法有：重要极限公式、等价无穷小替换、极限存在准则、洛必达法则、泰勒公式等。

洛必达法则是解决未定式极限的有效工具，但也有很强的局限性，有些情况下使用洛必达法则会增大极限的计算量，甚至无法求解出答案。

而等价无穷小替换和利用泰勒公式求极限可以很大程度地简化极限的计算过程，起到化繁为简的效果，若将这几种方法结合使用则会起到事半功倍的作用。

例1：________.（2019年考研数二）故原式解析二：分析：但是有时用洛必达法则计算极限并不是最快捷的方法，甚至无法计算出结果。

例2：当时，若与是同阶无穷小，则（ ）.（2019年考研数一）解析一：应用洛必达法则有，即k =3。

解析二：由等价无穷小知，当时，故k =3快捷。

例3极限为型，母的求导会非常麻烦，当极限为型，杂时，多可以考虑适当变形应用等价无穷小替换从而使计算达到简化。

例4：2016年考研数一）解析：极限为型，如果直接用洛必达法则分母求导后反而更复杂，故可以先考虑用等价无穷小替换将分母此时极限仍为型，收稿日期：2019-02-14作者简介：黄辉（1982- ），女，吉林长春人，讲师，研究方向：高等数学教学.第 4 期巧用等价无穷小与泰勒公式求极限51分析：本题考查了积分上限函数的性质，在解题时将洛必达法则与等价无穷小替换相互结合使用从而使计算达到简化。