环Fp+uFp+vFp+uvFp上的二次剩余码
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第３２卷第７期 ２０１５年７月 计算机应用研究 Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ Ｖｏ１．３２ Ｎｏ．７ Ｊｕ１．２０１５
环Ｆｐ＋ｕＦｐ＋ ＋ｕ 上的二次剩余码
李倩倩，施敏加，葛茂荣
（安徽大学数学科学学院，合肥２３００００）
摘要：针对环Ｆ ＋ｕＦ ＋ Ｆ ＋ｔｔｖＦｐ上的二次剩余码进行了研究，其中ｕ ＝“， ＝口，鲫＝ ｕ，Ｐ是一个奇素数。
首先引入了环Ｆ ＋“ ＋ｖＧ＋ｔｔｖＦｐ上长为１７．的循环码的相关知识，用幂等元的形式定义了环 ＋ ＋ Ｆ ＋
ｕｖＦｐ上的二次剩余码，给出了其定义和性质，并讨论了它们与其扩展码之间的关系和对偶性质。最后，给出了环
＋“ ＋口 ＋ｕｖＦ３上长为ｌ１的二次剩余码的幂等生成元的具体形式。
关键词：循环码；二次剩余码；幂等生成元；对偶码；扩展码
中图分类号：０１５７．４ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００１—３６９５（２０１５）０７－２１３６－０４
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—３６９５．２０１５．０７．０５２
Ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｒｅｓｉｄｕｅ ｃｏｄｅｓ ｏｖｅｒ Ｆ ｐ＋ｕＦ ｐ＋∞Ｆ ｐ七删Ｆ ｐ
Ｌｉ Ｑｉａｎｑｉａｎ，Ｓｈｉ Ｍｉｎｊｉａ，Ｇｅ Ｍａｏｒｏｎｇ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ａｎｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｆｅｉ ２３００００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｒｅｓｉｄｕｅ ｃｏｄｅｓ ｏｖｅｒ ＋ｕＧ＋口 ＋ｕｖＧ，ｗｈｅｒｅ ＝ ， ＝ ， ： ａｎｄ Ｐ ｉｓ ｏｄｄ ｐｒｉｍｅ．Ａｔ ｆｉｒｓｔ，ｉｔ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｏｆ ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅｓ ｏｆ ｌｅｎｇｔｈ ｎ ｏｖｅｒ Ｆ ｐ＋ｕＦ ｐ＋１）Ｆ ｐ＋ｕｖＦｐ。ｔｈｅｎ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｏｆ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｒｅｓｉｄｕｅ ｃｏｄｅｓ ｏｖｅｒ Ｆ ｐ＋ｕＦ ｐ＋ Ｆ ｐ＋ｕ Ｆ ｐ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅｉｒ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｓ，ａｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｄｕａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｓｅ ｃｏｄｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｃｏｄｅｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｉｔ ｇａｖｅ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｆｏｒｍｓ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｓ ｏｆ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｒｅｓｉｄｕｅ ｃｏｄｅｓ ｏｆ ｌｅｎｇｔｈ １ １ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｒｉｎｇ Ｆ ＋ｕＦ３＋口Ｆ３＋ｕｖＦ３． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｄｅｓ；ｑｕａｄｒａｔｉｃ・ｒｅｓｉｄｕｅ ｃｏｄｅｓ；ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ；ｄｕａｌ ｃｏｄｅｓ；ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｃｏｄｅｓ
０引言
循环码是线性分组码的一个重要子集，是目前研究的最成
熟的一类码。二次剩余码是一类很有趣的循环码，也是一类特
殊的循环码，具有良好的纠错性能，在实践中有着广泛的应用。
Ｇｌｅａｓｏｎ最先给出了二次剩余码的定义，从此人们在该领域开
始了坚持不懈的研究。文献［１］系统地介绍并研究了域Ｆ （Ｐ
是素数）上的二次剩余码及其一些性质；文献［２］研究了一个
非链环 ＋ （ｖ ＝ ）上的二次剩余码，并通过二次剩余码的
Ｇｒａｙ像得到了许多好码；文献［３］给出了ＦＩ＋ｖＦｌ（ ＝ ）上的
二次剩余码，用另一种方法证明了环 ＋口Ｆ 上的二次剩余码
的一些性质；文献［４］研究了环Ｚｄ上的循环码和二次剩余码；
文献［５］将其扩展到环 上；文献［６］系统地介绍了环 上
的二次剩余码；文献［７］研究了环 ＋Ｍ ＋ｕ （ｕ。＝“）上的
二次剩余码；文献［８］给出了环 ＋ ＋ Ｆ ＋删 上的一类
常循环码的性质。
本文研究了环Ｆ。＋ＭＦ。＋ｖＦ，＋ｕｖＦｐ上的二次剩余码，其
中ｕ ： ， ＝口，ｕｖ＝ ｕ，Ｐ是一个奇素数。首先介绍了 ＋ｕ
＋ ＋ｕｖＦｐ上的循环码，通过生成幂等元定义了该环上的二
次剩余码，最后得出了本文的主要结论。 １ 预备知识
如果对环Ｒ上码ｃ的任意两个码字ｃ 和ｃ：，都有ｋｌｃ ＋
ｋ２ｃ。∈Ｃ，则称码ｃ是线性码， ，，ｋ ∈Ｒ。对长为 的线性码Ｇ，
如果（ｃ０，ｃ －－，ｃ ）∈Ｃ，有（ｃ １，ｃ０，…，ｃ 一２）∈Ｃ，那么称码
ｃ是循环码。记Ｒ＝ ＋ｕＧ＋口 ＋ｕｖＦｐ＝｛ｒ０＋ｒｌｕ十ｒ２ 十
ｒ３删ｌｒｌ∈ ，“ ＝ｕ， ＝口，ｕｖ＝ｖｕ，ｉ＝０，１，２，３｝，其中Ｐ是一个
奇素数。在环Ｒ中，若令 ｔ＝１一ｕ一口＋聊， ２＝ｕｖ， ＝ｕ—
ｕｖ， ４＝ 一删，贝４有∑ ：ｌ ‘＝１， ＝０， ＝ ｆ，其中ｉ， ＝１，２，
３，４且ｉ≠ 。从而由环的分解定理，Ｒ＝Ｒａ ｏ Ｒａ：①Ｒａ，①
Ｒａ 。为了方便，记Ｒ ＝Ｒ［ ］／（ 一１） ）为，ｃ若ｅ∈Ｒ。，满
足ｅ 一ｅ（ｍｏｄ 一１），那么称ｅ为 。中的幂等元。
为了研究环Ｒ上二次剩余码，首先给出如下引理。
引理１ ＋ ＋０ｃ ＋ 是Ｒ 中的幂等元当且仅
当 是Ｆ。［ ］／（ 一１）中的幂等元。
证明设ｇ＝ ＋ ＋ ＋０ｃ 是 中的幂等元，
则有ｇ＝ｇ２＝ ＋０ｃ ＋ ＋ ，所以 ＝ （ｉ＝１，２，３，
４），即 是 ［ ］／（ 一１）中的幂等元。另一方面，设 是
［ ］／（ 一１）中的幂等Ｉ元，则 ＝ｇ，所以ｇ＝ ＋ ＋ ＋
是 中的幂等元。
收稿日期：２０１４—０６．０４；修回日期：２０１４．１１—１７ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（６１２０２０６８）；安徽省高校优秀青年人才基金重点
项目（２０１２ＳＱＲＬ０２０ＺＤ）；留学回国人员科技活动择优资助项目（０５０１５１３３） 作者简介：李倩倩（１９８８．），女，山东济宁人，硕士研究生，主要研究方向为环论与代数表示论、代数编码；施敏加（１９８０一），男（通信作者），安徽 安庆人，副教授，博导，博士，主要研究方向为代数编码与密码（ｓｍｊｗｃ１．ｇｏｏｄ＠１６３．ｃｏｍ）；葛茂荣（１９６８一），女，安徽合肥人，副教授，硕导，主要研究方
向为环论与代数表示论．
第７期 李倩倩，等：环 ＋ｕ ＋ ＋ 上的二次剩余码 ・２ｌ３７・
若环Ｒ是一个具有单位元的有限交换环，则有以下定理。
定理１ 设ｇ 、ｇ２是 。中的幂等元，且Ｃ ＝（蕺）（ｉ＝１，
２）是环 上的循环码，则
ａ）ｃｌｎ ｃ２和 ＋ｃ２的幂等生成元分别为ｇ。 和ｇ ＋ 一
ｇＩｇ２； ｂ）Ｃ 的对偶码ｃｆｌ的幂等生成元为１一ｇ （ ），ｉ＝１，２。
２环 ＋￡』Ｆｐ＋ ＋￡』 上的循环码
为了研究环Ｒ＝ ＋ｕｐ，＋ ＋删 上的二次剩余码，首
先引入环Ｒ上的循环码的结构，这部分内容主要来自文献
［９］，在此仅给出其结论。
设Ｃ是环Ｒ上长为ｎ的线性码，定义：
Ｃ１＝｛Ⅱ∈ Ｉ ｊ ｂ，ｃ，ｄ∈ Ｉａ１ｏ＋口２ｂ＋ ３ｃ＋Ｏ／４ｄ∈Ｃ｝
Ｃ２＝｛ｂ∈ Ｉ ｊ口，ｃ，ｄ∈ Ｉ ｌ口＋ ２ｂ＋ａ３ｃ＋ａ４ｄ∈Ｃ｝
Ｃ３＝｛ｃＥ，：Ｉ ，ｂ，ｄＥ Ｉ １口＋口２ｂ＋ ３ｃ＋ ｄ∈Ｃ｝
Ｃ４＝｛ｄＥ ｌ ３０，ｂ，ｃＥ ｌｎｌａ＋ａ２ｂ＋０／３￣ｃ＋ ４ｄ ＥＣ｝
易知Ｃ 、Ｃ２、Ｃ３、ｃ４均是 上长为ｎ的线性码，并且Ｃ＝
ｌＣｌ①０ｆ２Ｃ２①０／３Ｃ３①０／４ ｃ４ ｏ
定理２ 若Ｃ＝ ｌＣＩ① ２ ｏ ３Ｃ３ ０ 是 上长
为ｎ的线性码，则
（ａ）Ｃ是 上的循环码当且仅当 、Ｇ２、 、 均是 上
长为ｎ的循环码；
（ｂ）Ｇ ：０／。ｃ ｏ ２ ０ ０ｃ３ ０ ；
（ｃ）ｌ ＣＩ＝Ｉ Ｃ１ ｌｌ ｃ２ ｌｌ ｌＩ Ｉ。
定理３ 设Ｃ是Ｒ上长为ｎ的循环码 是Ｃ 的生成多
项式，１≤ ≤４，则 （ａ）Ｃ＝（ ， ，ａ ， ），Ｉ ｃｌ＝ｐ 一 ｝＝１ｄｅｇ（ｆ／ ；
（ｂ）存在唯一一个多项式ｇ＝ａ ＋ ＋ ＋ 使得
Ｃ＝（ｇ），并且ｇｌ（ 一１）。
定理４ 设Ｃ是Ｒ上长为ｎ的循环码 是Ｃ 的生成多
项式，且１≤ ≤４，若（ｎ，ｐ）＝１，则存在唯一的幂等生成多项式
ｅ＝ ＋ａ ＋ ＋ 使得
（ａ）Ｃ＝（ｅ）；
（６）Ｃ ＝（１一ｅ（ ））。
３环Ｆｐ＋ ＋ ＋￡， 上的二次剩余码
３．１ 环 ＋“ ＋ ＋￡， 上的二次剩余码的定义和性质
令。是一个整数，如果存在某一整数ｂ，０＜６＜ｑ，使得
口６Ｅｌ（ｍ。ｄ ｇ），则记６ 口～ 寺。设 ＝∑ Ｑ ＝∑ ，
其中Ｑ是模ｑ的二次剩余的集合，Ⅳ是模ｑ的非二次剩余的集
合，ｈ＝１＋ ＋ 是分量全为１的向量。定义Ｌｅｇｅｎｄｒｅ符号
（ｉ）为
＝ ｌｉ
定义Ｇａｕｓｓｉ￣ｎ和０＝∑ （ｉ） ， 是 的某一扩域上的ｑ次
本原单位根。
引理２ 。 如果ｐ＞２，ｑ＝４ｋ±１，则 上二次剩余码Ｃｌ、
Ｃ 。、 、Ｃ 的幂等生成元分别为
ｅ－＝÷（１＋÷）＋ １（ １一寺 ＋ １（ １＋寺 ｅｔｌ＝÷ 一寺 一÷ｃ÷＋寺 一÷ｃ寺一÷
ｅ ＝÷（ｔ＋÷）＋÷（寺＋寺 ＋ １（ １一寺
ｅ ＝÷ｃ 一寺 一÷ｃ寺一寺 一÷ｃ寺＋寺
下面研究环Ｒ＝ ＋ｕ ＋ ＋删 上的二次剩余码。
由引理１可得如下定理成立。
蜀芭理５ ｌｅｉ＋ ２ｅ，＋ ３ｅ ＋ｏｃ４ｅ 和 １ｅ ｆ＋ ２ｅ ＋ ３ｅ ＋
ｅ ｚ是环Ｒ 中的幂等元，其中ｅ 、 、ｅ 不全相等，ｅ 、ｅ ，、
ｅ ¨ｅ ｆ不全相等，ｉｊ， ，ｚ＝１，２。
下面给出环冗上二次剩余码的定义。
定义１如果环 上的循环码由定理５中的任何一个幂
等元生成，那么称环Ｒ上的循环码为二次剩余码。
令ｔ是一个整数，０＜ｔ＜ｇ，ｑ是素数，那么（￡，ｑ）：１。定义
角标映射
： ￡ｆ（ｍｏｄ ｇ），ｉ＝０，１，…，ｇ一１
下面给出环Ｒ＝ ＋ ＋ ＋删 上的二次剩余码的
性质。
定理６如果ｑ是素数，ｇ＝４ｋ一１，那么令 Ｑｌ＝（叼ｌ＝ １ｅｌ＋ ２ｅｌ＋ ３ｅＩ＋ ４ｅ２）
Ｑ２＝（ ２＝ １。１＋ａ２。１＋ ３ｅ２ ＋０ｔ４ｅｌ＞ 口３＝（ ３＝ ｌｅｌ＋ａ２ ２＋ａ３ｅ１＋ｏ／４ｅ１） Ｑ４＝（ ４＝ １ｅ２＋ ２ｅＩ＋ ３ｅｌ＋ａ４ｅ１）
Ｑ５＝（叩５＝ａ１。１＋ａ２ １＋ ３。２＋０ ｅ２） Ｑ６＝（卵６＝ １ｅ１＋ ２ｅ２＋ａ３ｅ１＋０ ｅ２） Ｑ７＝＜ ７＝ ｌｅｔ＋ ２ｅ２＋ ３ｅ２＋ａ４ｅ１）
Ｑ８＝（，７８＝０／１ｅ２＋ ２ｅ２＋ ３ｅ２＋ ４ｅ１）
Ｑ９＝（ ９＝ａｌｅ２＋ａ２ｅ２＋ ３ｅｌ＋０ 。２） Ｑｌ０＝（ ｌｏ＝ａ１。２＋ ２ｅｌ＋ ３ｅ２＋０ ｅ２） Ｑｌ１＝＜田ｌ１＝ １ｅｌ＋ ２ ２＋ ３ｅ２＋０｜４ｅ２） Ｑ１２＝（ １２＝ １。２＋ ２ ２＋ａ３ｅ１＋ａ４ｅ１） Ｑ１３：（叩ｌ３＝ ｌ ｅ２＋ａ２ｅｌ＋ａ３ｅ２＋ ４ｅ１）
Ｑｌ４：（ ｌ４＝ １ｅ２＋０／２８ｌ＋ ３ｅｌ＋０ ｅ２）
ｓ；为将Ｑｌ中ｅ１、ｅ２分别改为ｅ １、ｅ ２，如Ｓ１＝（ ｌ＝ ｌｅ ｔ＋
ａ２ｅ １＋ ｅ １＋ ４ｅ ２＞，ｉ＝１，２，…，１４，则有以下结论：
