数论02二次同余式与平方剩余4.3勒让德符号

数论中的勒让德符号是一种重要的数论工具，用来研究与素数相关的性质。

勒让德符号是法国数学家阿道夫·埃雷尔·勒让德于18世纪中期引入的，它是对任意整数a和素数p之间关系的一种表示。

勒让德符号定义如下：对于任意的整数a，定义勒让德符号（a/p）为1当且仅当a是p的二次剩余（即存在一个整数x，使得x^2≡a (mod p)），否则为-1。

当a既不是p的二次剩余，也不是p的二次非剩余时，勒让德符号定义为0。

勒让德符号的定义基于二次剩余的概念，即对于一个素数p，如果存在一个整数x，使得x^2≡a (mod p)，那么a就是p的一个二次剩余。

反之，如果对于任意的整数x，x^2≡a (mod p)都不成立，那么a就是p的一个二次非剩余。

勒让德符号在数论中的应用非常广泛。

首先，它在解决二次剩余问题中起到重要作用。

对于给定的素数p和整数a，可以通过计算勒让德符号（a/p）来确定a是否是p的二次剩余。

特别地，当a和p互素时，可以使用欧拉准则简化计算过程。

根据欧拉准则，勒让德符号（a/p）等于a^((p-1)/2) (mod p)。

如果这个值等于1，那么a就是p的二次剩余；如果等于-1，那么a就是p的二次非剩余。

这个方法在密码学等领域中有着重要的应用。

其次，勒让德符号在费马小定理的推广以及埃拉托斯特尼筛法的改进中也有所应用。

费马小定理指出，对于素数p和整数a，如果a不是p的倍数，那么a^(p-1)≡1 (mod p)。

而通过勒让德符号的推广，可以得到a^((p-1)/2)≡（a/p）(mod p)的等式。

这个等式在研究模n二次剩余以及求解二次同余方程等问题时非常有用。

最后，勒让德符号还与高斯二次和有关。

高斯二次和是一个特殊的复数，它可以用来表示某些域中的二次剩余和二次非剩余。

勒让德符号与高斯二次和的关系是，当勒让德符号为1时，对应的高斯二次和是实数；当勒让德符号为-1时，对应的高斯二次和是虚数。

总结起来，数论中的勒让德符号是一种重要的工具，它通过对整数和素数之间关系的表示，帮助我们研究与素数相关的性质。

九年级培优专题：勒让德符号及勒让德方程1. 勒让德符号勒让德符号（Legendre symbol）是数论中的一个重要概念，用于描述某个整数对另一个给定奇素数的二次剩余性质。

勒让德符号常用的记号为$(\frac{a}{p})$，其中$a$是整数，$p$是奇素数。

勒让德符号有以下几条性质：- 如果$a$是一个二次剩余模$p$，即存在整数$x$使得$x^2\equiv a \pmod{p}$，则$(\frac{a}{p}) = 1$；- 如果$a$是一个二次非剩余模$p$，即对于任意的整数$x$，都无法满足$x^2 \equiv a \pmod{p}$，则$(\frac{a}{p}) = -1$；- 如果$a \equiv b \pmod{p}$，则$(\frac{a}{p}) = (\frac{b}{p})$；- 对于任意的整数$a$和奇素数$p$，有$(\frac{a}{p}) \equiva^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p}$。

2. 勒让德方程勒让德方程（Legendre equation）是微分方程中的一个特殊类型，形式为：$$(1-x^2)y'' - 2xy' + \alpha(\alpha+1)y = 0$$其中$\alpha$是常数。

勒让德方程常出现在物理学和工程学的问题中，例如描述在球坐标系中的电势分布和量子力学中的径向波函数形态。

勒让德方程有着丰富的解析解和特殊函数，其解的形式通常可以表示为勒让德多项式（Legendre polynomials）的线性组合。

勒让德多项式是一类特殊的正交多项式，其中的解是勒让德方程的特殊解。

利用勒让德多项式的性质，我们可以解决许多涉及到勒让德方程的实际问题，例如计算球面上的电势分布和量子力学中的氢原子束缚能级等。

参考资料。

勒让德符号（Legendre Symbol）是一个用于描述模素数的二次剩余性的符号。

它通常表示为`(a|p)`，其中`a` 是一个整数，`p` 是一个素数，它的值为：1. 如果`a` 对于模`p` 存在一个模`p` 非零整数的平方根（即存在整数`x`，使得`x^2 ≡ a (mod p)`），则`(a|p)` 等于1。

2. 如果`a` 对于模`p` 不存在一个模`p` 非零整数的平方根，则`(a|p)` 等于-1。

3. 如果`a` 是模`p` 的倍数，即`a ≡ 0 (mod p)`，则`(a|p)` 等于0。

要计算勒让德符号`(a|p)`，可以使用勒让德法则（Legendre's Law）和二次互反律（Quadratic Reciprocity Law）等数论性质。

但是，对于大的素数`p` 和大的整数`a`，手动计算可能会非常繁琐。

通常，计算勒让德符号的方法是使用编程语言或计算工具。

在Python 中，你可以使用SymPy 库来计算勒让德符号。

以下是一个示例：```pythonfrom sympy import legendrea = 5 # 整数ap = 11 # 素数plegendre_symbol = legendre(a, p)print(f"The Legendre symbol ({a}|{p}) is {legendre_symbol}")```这将计算并打印出`(5|11)` 的值。

请注意，勒让德符号主要用于一些数论问题，如判断二次剩余性和二次互反律等，它在密码学和数学研究中具有重要作用。

在实际应用中，通常使用编程工具来计算它，而不是手动计算。

第五章 二次同余式与平方剩余本章的目的是较深入地讨论二次同余式。

讨论方法是把问题归结到讨论形如)(mo d 2m a x ≡的同余式，进而引入平方剩余和平方非剩余的概念，再应用数论中常用的函数(勒让德符号及雅可比符号)去讨论m 是单质数的情形，进而讨论一般的情形。

最后还应用本章结果解决两个不定方程的问题，并介绍一下与它们有关的著名的华林问题。

教学内容: 1.一般二次同余式教学目的: 了解一般二次同余式及平方剩余，平方非剩余的概念： 教学重难点: 平方剩余的概念 教学过程:本节主要讨论二次同余式，讨论方法是把问题归结到讨论形如)(mod 2m a x ≡的同余式，进而引入平方剩余和平方非剩余的概念，再应用数论中常用的函数讨论m 是单质数的情形，进而讨论一般的情形： 一． 基本概念： 首先：二次同余式的一般形式：)(m od 0),(m od 02m a m c bx ax ≡/≡++（1） 用4a 乘（1）式再加上2b 得：acb b ax am ac b b abx x a 4)2()4(mod 444222222-≡+-≡++即若令ac b D b ax y 4,22-=+=则上式变为)4(mod 2am D y ≡（2）具体分析过程见书上P74:由同于是的性质可知（2）与（1）式同时有解或同时误解：故讨论（1）式有解的问题可以转为讨论（2）式有解的问题：为了讨论（2）式是否有解，我们引入平方剩余和平方非剩余的概念：定义：假设（a,m ）=1，如果同余式)(mod 2m a x ≡有解，则a 叫做模m 的平方剩余，否则叫做模m 的平方非剩余：例：)7(m od 2a x ≡根据同余式解的形式：他的接有0，1，2，3，4，5，6这7中可能，而a 有1，2，3，4，5，6这六种可能，严整可知 当a 取1，2，4是有解，当a 取3，5，6时误解，故1，2，4为模7的平方剩余，而3，5，6为模7的平方非剩余：教学内容: 2.单质数的平方剩余与平方非剩余教学目的: 了解单质数的平方剩余，平方非剩余的基本性质及判别方法： 教学重难点: 平方剩余，平方非剩余的判别 教学过程:这节我们讨论单质数p 的平方剩余，平方非剩余： 一． 判别方法： 定理1：（欧拉判别条件）：若（a,p ）=1，则a 是模p 的平方剩余的充要条件是：)(mod 121p ap ≡-：而a 是模p 的平方非剩余的充要条件是：)(mod 121p ap -≡-证明：见书上P76：由此定理我们就可以判别单质数p 的平方剩余，平方非剩余： 二．基本性质：定理2：模p 的平方剩余和平方非剩余各为21-p ，而且21-p 个平方剩余分别与序列)21(2,122-p 中之一数同余，且仅与一数同余： 证明：见书上P77：关于平方剩余和平方非剩余具有以下性质： 定理3：对于同一素数p 来说： 1． 二平方剩余之积仍是平方剩余：2． 一平方剩余与一平方非剩余之积为平方非剩余： 3． 二平方非剩余之积为平方剩余：证明：1。

第 4 章 二次同余方程与平方剩余 内容 1. 二次同余方程，平方剩余2. 模为奇素数的平方剩余3. 勒让德符号、雅可比符号4. 二次同余方程的求解要点 二次同余方程有解的判断与求解4.1 一般二次同余方程(一) 二次同余方程2ax ＋bx ＋c ≡0（mod m ），（a 0（mod m ））（1） (二) 化简设m ＝k k p p p ααα 2121，则方程（1）等价于同余方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡++≡++≡++）（）（）（k k p c bx ax p c bx ax p c bx ax αααmod 0mod 0mod 02221221问题归结为讨论同余方程2ax ＋bx ＋c ≡0（mod αp ）， （p a ）（2） (三) 化为标准形式p ≠2，方程（2）两边同乘以4a ，422x a ＋4abx ＋4ac ≡0（mod αp ）()22b ax +≡2b －4ac （mod αp ）变量代换，y ＝2ax ＋b（3）有2y ≡2b －4ac （mod αp ） （4）当p 为奇素数时，方程（4）与（2）等价。

即● 两者同时有解或无解；有解时，对（4）的每个解()p y y mod 0≡，通过式（3）（x 的一次同余方程，且（p , 2a ）＝1，所以解数为1）给出（2）的一个解()p x x mod 0≡，由（4）的不同的解给出（2）的不同的解；反之亦然。

● 两者解数相同。

结论：只须讨论以下同余方程2x ≡a （mod αp ）（5）【例】化简方程7x 2＋5x －2≡0（mod 9）为标准形式。

（解）方程两边同乘以4a ＝4×7＝28，得196x 2＋140x －56≡0（mod 9）配方 (14x ＋5) 2－25－56≡0（mod 9）移项 (14x ＋5) 2≡81（mod 9）变量代换 y ＝14x ＋5得 y 2≡0（mod 9）（解之得y ＝0, ±3，从而原方程的解为x ≡114-(y －5)≡15- (y －5)≡2(y －5)≡2y －10≡2y －1≡－7, －1, 5≡－4, －1, 2（mod 9））(四) 二次剩余【定义4.1.1】设m 是正整数，a 是整数，m a 。

二次同余式的解法1. 引言在数论和抽象代数中，同余是一个重要的概念。

同余关系是指两个整数之间具有相同的余数，即它们除以某个整数所得的余数相等。

在解决一些问题时，我们经常会遇到二次同余式，即形如x^2 ≡ a (mod m)的方程。

本文将介绍二次同余式的解法，并详细讨论三种常用的解法：勒让德符号、平方剩余和中国剩余定理。

2. 勒让德符号勒让德符号是二次剩余理论中一个重要的工具。

对于给定的整数a和素数p，勒让德符号(a/p)定义为：(a/p) = { 1, 若存在整数x满足x^2 ≡ a (mod p) -1, 若不存在整数x满足x^2 ≡ a (mod p) }根据勒让德符号，可以判断一个整数是否为平方剩余。

如果(a/p) = 1，则a是p模意义下的平方剩余；如果(a/p) = -1，则a是p模意义下的非平方剩余。

使用勒让德符号可以解决一些特殊情况下的二次同余式。

例如，当p是奇素数且a是整数时，如果(a/p) = 1，则二次同余式x^2 ≡ a (mod p)有两个解；如果(a/p) = -1，则无解。

3. 平方剩余平方剩余是指对于给定的整数a和模m，存在一个整数x使得x^2 ≡ a (mod m)成立。

平方剩余是二次同余式的一种特殊情况。

为了判断一个整数是否为平方剩余，可以使用勒让德符号。

对于给定的素数p和整数a，如果(a/p) = 1，则a是p模意义下的平方剩余；如果(a/p) = -1，则a是p 模意义下的非平方剩余。

当我们确定一个整数a是模m意义下的平方剩余后，可以进一步求解二次同余式x^2 ≡ a (mod m)。

其中m可以是任意正整数。

求解二次同余式有多种方法，如试位法、勒让德符号法和Tonelli-Shanks算法等。

这些方法都可以根据给定的模m和平方剩余a来找到所有满足条件的x。

4. 中国剩余定理中国剩余定理是一种用于求解一组同余方程组的方法。

对于给定的一组同余方程：x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) … x ≡ an (mod mn)其中m1, m2, …, mn两两互质，中国剩余定理可以找到一个解x，且满足0 ≤ x < M = m1 * m2 * … * mn。

初等数论第五章二次同余式与平方剩余第五章二次同余式与平方剩余第五章二次同余式与平方剩余§1二次同余式与平方剩余二次同余式的一般形式是ax2?bx?c?0(modm)，a??0(modm)(1)下面讨论它的解的情况。

?k?1?2令m?p1p2?pk，则(1)有解的充要条件为ax2?bx?c?0(modpi?i)，i?1,2,?,k有解，而解f(x)?ax2?bx?c?0(modp?)，p为质数(2)又可以归结为解f(x)?ax2?bx?c?0(modp)，p为质数(3)。

当p?2时，同余式(3)极易求解，因此，我们只需讨论二次同余式f(x)?ax2?bx?c?0(modp)，p为奇质数(4)若p?|a，用4a乘(4)再配方得(2ax?b)2?4ac?b2?0(modp)，令y?2ax?b,A?b2?4ac，得y2?A?0(modp)可以证明：同余式(4)和(5)是等价的。

证明必要性显然；反之，设(5)有一解y?y0，因为(p,2a)?1，所以2ax?b?y0(modp)有解，即(4)有解。

以上讨论可知，二次同余式可以化为x2?a(modp)，p为奇质数(6)(5)来求解，当p|a时，(6)仅有一个解x?0(modp)，所以我们下面总假定p?|a或(p,a)?1。

因此，下面主要研究形如x2?a(modp)，(p,a)?1，p为奇质数同余式。

(7)的定义若同余式x2?a(modp),(a,p)?1,p为奇质数有解，则a 叫做模p的平方剩余(二次剩余)，若无解，则a叫做模p的平方非剩余(二次非剩余)。

定理1(欧拉判别条件)若(a,p)?1，则a是模p的平方剩余的充要条件为ap?12?1(modp)；a是模p的平方非剩余的充要条件为a- 1 - p?12??1(modp)。

若a是模p的平方剩余，则(7)式恰有两解。

第五章二次同余式与平方剩余证明(1)设a是模p 的平方剩余，则同余式x2?a(modp)，(a,p)?1有解，设为?，于是??a(modp)，从而欧拉定理可知反之，若ap?122ap?12??p?1?1(modp)。

勒让德符号相关 ⼩西⽠最近学了这个东西，并不很懂，就想敲篇⽇志巩固⼀下……勒让德符号嘛，很有趣（本句扯淡），它呢，跟平⽅剩余有关：设a,b是两个⾮零整数，b为素数，我们定义符号：若存在整数x, 使得，那么就记; 否则就记。

当p|a时，=0。

（这符号敲起来有点⿇烦诶，为⽅便，下⾯⽤(a\b)表⽰，⽅向与除号相反）⼀些性质：⾸先，由欧拉判别条件，显然有(a\b)≡a^((b-1)/2)(mod b)若a1≡a2 那么(a1\p)=(a2\p)，证明显然，套下欧拉判别条件就⾏。

显然……(-1\p)=(-1)^((p-1)/2) 然后，好像想不出什么性质了……那么进⼊正题吧，接下来是……⾼斯引理：若p为素数，(a,p)=1，记μ为数列a,2a,3a……,[(p-1)/2]a的最⼩正剩余中⼤于(p-1)/2的数个数，那么(a\p)=(-1)^µ，证明(感觉跟费马⼩定理证明⽅法有点像)：⽤r1,r2,r3……rk表⽰数列中最⼩正剩余不⼤于(p-1)/2的数，s1,s2,s3……sµ就是剩下的数，下⾯证明{r}，p-{s}（对{s}中每个数，都对p取差）这两个数列中各数关于模p两两不互余：对于处于同⼀个数列中的数，结论是显然的（参见费马⼩定理证明）。

设，ri≡p-sj(mod p)，则p|(ri+sj)，记ri=ua，si=va，则p|((v+u)a)，由于(a,p)=1，所以p|(v+u)，但是v+u<p，这是不可能的，所以得证。

那么显然，数列{r}， p-{s}就变成1,2,3,……,(p-1)/2的⼀个排列，那么我们把{r}，{s}给连乘起来，得到r1*r2*r3……rk*s1*s2*s3……sµ≡(-1)^μ((p-1)/2)!(mod p)，即a*2a*3a*……((p-1)/2)a≡(-1)^μ*((p-1)/2)!(mod p)，于是a^((p-1)/2)≡(-1)^μ(mod p)，于是(a\p)=(-1)^µ。

整数的勒让德符号和二次剩余在数学中，整数的勒让德符号和二次剩余是两个重要的概念，它们在数论、代数和计算机科学等领域都有着广泛的应用。

勒让德符号勒让德符号是由勒让德引入的一种符号，用来描述一个整数是否是一个模p的二次剩余。

具体来说，对于一个奇素数p和任意一个整数a，勒让德符号（a/p）定义为：（a/p） = { 1 ，如果a是模p的二次剩余{ -1 ，如果a不是模p的二次剩余{ 0 ，如果a ≡ 0 (mod p)其中“≡”表示模p同余。

勒让德符号的一个重要性质是其在模p意义下是完全二次剩余类（即在同一个二次剩余类中的数具有相同的勒让德符号），且它的取值只有1、-1、0三种可能。

因此，勒让德符号为我们提供了一种判断一个整数是否是二次剩余的方法。

勒让德符号的计算公式如下：（a/p） = (-1) ^ [(p-1)/2] * a ^ [(p-1)/2] (mod p)其中^表示幂运算，/表示整除。

二次剩余二次剩余是指一个整数在模p意义下能否表示为一个平方数。

具体来说，对于一个奇素数p和任意一个整数a，如果存在整数x 使得x^2 ≡ a (mod p)，则称a是模p的一个二次剩余。

相反地，如果不存在整数x使得x^2 ≡ a (mod p)，则称a是模p 的一个二次非剩余。

二次剩余在密码学领域有着广泛的应用，例如RSA算法中就使用了大素数的二次剩余问题。

二次剩余的求解对于一个给定的奇素数p，判断一个整数a是否是p的二次剩余是一个困难的问题。

然而，如果我们知道了p-1的质因子分解，并且对于每个质因子q，我们都能快速计算出一个模q意义下的二次剩余，那么我们就可以通过中国剩余定理来计算模p意义下的二次剩余。

具体来说，假设p-1 = q1 ^ e1 * q2 ^ e2 * ... * qk ^ ek，其中qi为奇素数，ei为正整数。

我们可以先计算出（a/qi）对于每个qi的值，再使用扩展欧几里得算法计算出对于所有qi的值的解。

质数的勒让德符号和二次剩余在数学中，关于质数的勒让德符号和二次剩余是两个重要的概念。

质数的勒让德符号起源于法国数学家勒让德，描述了两个数的关系，而二次剩余则是指在模下平方的剩余。

质数的勒让德符号对于两个整数$a$和$p$，其中$p$为质数且$p$不整除$a$，则定义$a$关于$p$的勒让德符号为$$\big(\frac{a}{p}\big)=\begin{cases}1,&(a\text{是模$p$意义下的二次剩余})\\-1,&(a\text{是模$p$意义下的二次非剩余})\\0,&(a\text{是模$p$的倍数})\end{cases}$$其中$(\frac{a}{p})$读作“$a$关于$p$的勒让德符号”。

该符号有如下性质：1. $(\frac{a}{p})$只取$1$、$-1$、$0$三个值。

2. 如果$(\frac{a}{p})=1$，则$a$是模$p$的一个二次剩余。

3. 如果$(\frac{a}{p})=-1$，则$a$是模$p$的一个二次非剩余。

4. $(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})$当且仅当$a\equivb(\text{mod }p)$或$p|a=b$。

5. 如果$p$和$q$都是奇质数，则$(\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}$。

二次剩余对于任何一个自然数$n$和一个质数$p$，如果存在整数$x$满足$x^2\equiv n(\text{mod }p)$，则称$n$是模$p$下的二次剩余，否则称$n$是模$p$下的二次非剩余。

若$n$是不是模$p$下的二次剩余，则有$(\frac{n}{p})=-1$。

一个重要的结论是：如果$p$是一个素数，那么模$p$下的二次剩余一定有$\frac{p-1}{2}$个，二次非剩余也有$\frac{p-1}{2}$个。