苏教版数学高一数学苏教版必修一学案 第二章 函数 章末总结
- 格式：doc
- 大小：225.00 KB
- 文档页数：6
高中数学-打印版
精心校对 第11课时 本章复习
教学过程
一、 知识梳理
1. 本章主要知识点
(1) 函数的概念,函数的定义域和值域的求法.
(2) 函数的三种表示方法:①解析法;②列表法;③图象法.
(3) 判断函数的单调性:定义法.
(4) 判断函数奇偶性的方法:①定义法;②图象法.
(5) 映射的概念.(由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求A,
B非空且皆为数集)
2. 知识框图
提醒:要充分注意利用数形结合思想方法解题.
二、 数学运用
(一) 根据函数的图象求解析式
(例1)
【例1】 如图,根据函数y=f(x)(x∈R)的图象,写出函数y=f(x)的解析式.(见学生用书课堂本[处理建议]
引导学生把图象分成三段,并分别写出每一段的函数解析式.
[规范板书] 解 函数的解析式为y= 高中数学-打印版
精心校对 [题后反思] 在函数的定义域内,对于自变量的不同取值范围,有着不同的对应法则,分别求出每一段上的函数解析式,最后要注意分段函数是一个函数,不能分成三段写解析式.
变式 二次函数f(x)的图象顶点为A(1, 16),且图象在x轴上截得的线段长为8,求函数f(x)的解析式.
[规范板书] 解 由题意可设该二次函数的解析式为f(x)=a(x-1)2+16,又因为其图象在x轴上截得的线段长为8,所以其图象与x轴的两个交点分别为(-3, 0)和(5, 0),所以a(-3-1)2+16=0,所以a=-1,所以f(x)=-x2+2x+15.
(二) 函数奇偶性的判断
【例2】 判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=(1+x);
(2) f(x)=.(见学生用书课堂本P32)
[处理建议] 引导学生先求函数的定义域.对于第(2)题,则需在定义域的范围内化简函数表达式.
[规范板书]
解 (1) ∵ 函数f(x)的定义域为(-1, 1],它不关于原点对称,∴ 函数f(x)是非奇非偶函数.
(2) ∵ 函数f(x)的定义域为[-1, 0)∪(0, 1], ∴ f(x)==,
f(-x)===-f(x),∴ 函数f(x)是奇函数.
[题后反思] 判断函数的奇偶性时,首先要求函数的定义域,看定义域是否关于原点对称(若定义域不关于原点对称,则函数不具备奇偶性;若定义域关于原点对称,则可在定义域内化简f(x)),再看f(-x)与f(x)的关系.
变式 判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=+;
(2) f(x)=
[处理建议] 引导学生对分段函数的奇偶性进行分段讨论. 高中数学-打印版
精心校对 [规范板书] 解 (1) ∵ f(x)=+的定义域为{-1, 1},此时f(x)=0,
∴ 函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2) 当x>0时,-x<0, f(-x)=-(-x)2=-x2=-f(x);当x<0时,-x>0,
f(-x)=(-x)2=x2=-(-x2)=-f(x);当x=0时,f(0)=0,满足f(-x)=-f(x).
∴ 对于任意x∈R,都有f(-x)=-f(x),
∴ 函数f(x)是奇函数.
[题后反思] 对于(2), f(x)==x|x|,易证f(x)=x|x|为奇函数;或者先作图象,可以观察得出它关于原点对称,再进行规范板书.对于分段函数表示的奇(偶)函数的证明要完整.
(三) 函数奇偶性的应用
【例3】 已知函数f(x)是奇函数,定义域为R.当x>0时,f(x)=x(5-x)+1,求函数f(x)在R上的解析式. (见学生用书课堂本P32)
[处理建议] 求x<0时的函数解析式,关键是转化成-x>0.
[规范板书] 解 ∵ 函数f(x)是R上的奇函数,∴ f(0)=0.
当x<0时,则-x>0, f(-x)=-x(5+x)+1,∵ f(x)为奇函数,∴
f(x)=-f(-x)=-[-x(5+x)+1]=x(5+x)-1.
综上所述,f(x)=
[题后反思] 函数f(x)的定义域为D, 0∈D,则f(0)=0是f(x)为奇函数的必要不充分条件.
变式 定义在R上的函数f(x),对任意的x, y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0.
(1) 求证:f(0)=1;
(2) 求证:函数y=f(x)是偶函数.
[规范板书] 证明 (1) 令x=y=0,则2f(0)=2f2(0), ∵ f(0)≠0, ∴ f(0)=1.
(2) 令x=0,则有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y), ∴ f(-y)=f(y),即f(-x)=f(x).
∴ 函数y=f(x)是偶函数. 高中数学-打印版
精心校对 [题后反思] 对于抽象函数奇(偶)性的判断,可根据题意采用赋值法解决.
(四) 利用换元法求函数的值域
【例4】 已知函数f(x)的值域是,试求函数g(x)=f(x)+的值域.
(见学生用书课堂本P32)
[处理建议] 本题是求含有根式的函数值域问题,那么就要想到采用换元法.
[规范板书] 解 令f(x)=t,则y=t+, t∈.
令u=,则≤u≤, t=(1-u2), ∴ y=u+(1-u2)=-u2+u+=-(u-1)2+1,∴
≤y≤.
[题后反思] 本题看似复杂,其实等价于求函数g(t)=t+的值域,然后采用换元法,令u=,转化为二次函数的值域问题.
(五) 函数单调性的研究
*【例5】 讨论函数f(x)=(a>0)在(-1, 1)上的单调性.
[处理建议] 指导学生规范单调性的证明过程.
[规范板书] 解 设-1
f(x1)-f(x2)=-
=
=.
∵ -10, x1x2+1>0, (-1)(-1)>0.
又∵ a>0,∴ f(x1)-f(x2)>0,∴ f(x1)>f(x2).
即函数f(x)在(-1, 1)上为单调减函数.
[题后反思] 利用函数单调性的定义讨论.
变式 讨论函数f(x)=的单调性.
[规范板书] 解 由|x-1|-1≠0,可得x≠0且x≠2, ∴ 该函数的定义域为(-∞,
0)∪(0, 2)∪(2, +∞).
∵ =-. 高中数学-打印版 精心校对 ① 当x1, x2∈(-∞, 0)或x1, x2∈(0, 1]时,====-1<0.
若x10,即f(x1)>f(x2),∴ 函数f(x)在(-∞, 0)和(0, 1]上是单调减函数.
② 当x1, x2∈[1, 2)或x1, x2∈(2, +∞)时,= -==1>0.
若x1
综上所述,∴ 函数f(x)在(-∞, 0)和(0, 1]上是单调减函数,在[1, 2)和(2,
+∞)上是单调增函数.
三、 补充练习 1. 函数y=的值域是(0, 1].
提示 ∵ 1+x2≥1, ∴ 0<≤1,即y∈(0, 1].
2. 设f: x→x2是从集合A到集合B的映射,若B={1, 2},则A∩B=⌀或{1}.
提示 集合A可以是{-1}, {1}, {}, {-}, {-1, 1}, {-, }, {-1, -}, {-1,
}, {1, -}, {1, }, {-1, 1, -}, {-1, 1,}, {-1, -, }, {1, -, },
{-1, 1, -, },所以A∩B=⌀或{1}.
3. 设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是(-∞, -2]∪[0,
10].
提示 当x<1时,结合(x+1)2≥1可得x≤-2或0≤x<1;当x≥1时,结合4-≥1可得1≤x≤10.所以x∈(-∞, -2]∪[0, 10].
4. 已知函数y=f(x)定义在R上, f(0)≠0,且对任意的a, b∈R,都有f(a+b)=f(a)·f(b);当x>0时,f(x)>1.
(1) 证明:f(0)=1;
(2) 证明:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3) 证明:函数f(x)是R上的单调增函数;
(4) 若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围.
证明 (1) 令a=b=0,则f(0)=f2(0).又∵ f(0)≠0,∴ f(0)=1.
(2) 当x<0时,-x>0, f(-x)>1.根据题意可得f(0)=f(x)·f(-x)=1,∴ f(x)=>0. 高中数学-打印版
精心校对 又∵ x≥0时,f(x)≥1>0.
∴ x∈R时,恒有f(x)>0.
(3) 设x10.根据题意可得f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1).
∵ x2-x1>0,∴ f(x2-x1)>1.
由(2)可知f(x1)>0,∴ f(x2-x1)·f(x1)>f(x1).
∴ f(x2)>f(x1).∴ 函数f(x)是R上的单调增函数.
(4) 由f(x)·f(2x-x2)>1, f(0)=1,得f(3x-x2)>f(0).
又∵函数f(x)是R上的单调增函数,∴ 3x-x2>0,解得0
四、 课堂小结
本章学习了函数的概念和性质,其中包括函数的定义域、解析式、值域,函数的单调性、奇偶性,映射与函数;复习时既要夯实基础,又要注重实践,并逐步建立一种函数的意识和培养一种自觉应用函数知识解决问题的能力.
