39.苏教版·高中数学必修Ⅰ教案_§2.5.1 二次函数与一元二次方程(1)

2.5.1 二次函数与一元二次方程(1)
教学目标：
1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数
2.让学生了解函数的零点与方程根的联系
3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用 4．培养学生动手操作的能力
教学重点：确定方程实数根的个数
教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象 教学过程： 引入问题 问题
1.一元二次方程
20(0)
ax bx c a ++=≠的实根与二次函数
2(0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？
通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）：
一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的实数根也称为函数2
(0)y ax bx c a =++≠的零点.
1．函数零点的定义：
对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.
这样，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标. 2．零点的一般结论
方程()0f x =有实数根
函数()y f x =的图象与x 轴有交点
函数()y f x =有零点
问题2.如何判断一元二次方程的零点的个数?
对二次函数图象中零点的观察可得如下性质.
零点个数 2个 2个相等的零点 0个
练习: (课时训练P59例2)
求实数k 的取值范围,使关于x 的方程1
x k x
+=有两个不相等的实根.
解法一: (数形结合法) 阅读课时训练P20页,
利用函数1
y x x
=+的图象求解.
解法二: (判别式法)
原方程可化为2
10x kx -+=,
由题意可得
240k ∆=->,
∴2k >或2k <-.
∴2k >或2k <-时, 方程1
x k x
+=有两个不相等的实根.
3．零点的性质
对于任意函数()y f x =，只要它的图象是连续不间断的，则有 （1）当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．
如函数2()23f x x x =--的图象在零点1-的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点1-时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变成正． （2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号．
4．注意点
（1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．
（2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点．
阅读课本P75页例2
例2的结论:
由例2的结论可推广得下面的定理
5．勘根定理 (介值定理) (根的存在性定理) 如果函数
()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有
()()0f a f b ⋅<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得
()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的实数根．
题型1.零点的判断 例1．函数2
()ln f x x x
=-
的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．1
(1,)e
和（3，4） D ．(,)e +∞
分析：从已知的区间(,)a b ，求()f a 和()f b ，判断是否有()()0f a f b ⋅<. 解析：因为(1)20,(2)ln 210f f =-<=-<， 故在（1，2）内没有零点，非A. 又
2
(3)ln 303
f =-
>，所以(2)(3)0f f ⋅<， 所以()f x 在（2，3）内有一个零点，选B.
例2．若方程2
210ax x --=在（0，1）内恰有一解，求实数a 的取值范围． 分析：令2
()21f x ax x =--在（0，1）内恰有一解，则(0)(1)0f f ⋅<，解出a ． 解析：令2()21f x ax x =--，因为方程在（0，1）内恰有一解， 所以(0)(1)0f f ⋅<，即1(22)0a -⋅-<，解得1a >.
练习: (课本P74例1)
分析: 证法一,利用
0∆>,证明得方程有两个不相等的实数根.
证法二,利用二次函数的图象特征: 其开口向上(
a >) 且
(0)0f <则函数的图象必与x 轴有两个不同的交点.
()0
af m < 还有其它证法吗?
提示:可以求最小值小于0. 还有配方法!
问题3.如果二次开口向下呢?
如何证明方程仍有两个不同的实数根? 一定要用
(0)f 才行吗?
你能分类说出二次函数有两个实数根,证法二的一般规律吗?
结论: 二次函数2
() (0)
f x ax bx c a =++≠, 若满足0,
0,()0,()0.
a a f m f m ><⎧⎧⎨⎨
<>⎩⎩或,
则方程
20 (0)ax bx c a ++=≠必有两个不相等的实数根.
即:
题型2.零点的个数计算
例3．求函数()ln 26f x x x =+-的零点个数.
分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是：
（1）利用计算器或计算机作,()x f x 的对应值表； （2）作出函数()y f x =的图象； （3）确定()y f x =的单调性；
（4）若在区间[,]a b 上连续，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有一个实数根；
（5）结合单调性确定其定义域内零点个数，即实数根个数． 结合计算机利用几何画板作出函数的图象观察．
分析: 可以判断其为(0,)+∞上的增函数
∵
(2)(ln 22)0,(3)ln30f f =-<=>, ∴(2)(3)0f f <
∴在(2,3)区间上有一个实数根,且该零点有且仅有一个.
例4．二次函数
2(0)y ax bx c a =++≠中，0a c ⋅<，则函数的零点个数
是( )
A ．1个
B ．2个
C ．0个
D ．无法确定
分析：分析条件0a c ⋅<，a 是二次项系数，确定抛物线的开口方向，(0)c f =，所以
(0)0a c a f ⋅=⋅<，由此得解．
解：因为(0)c f =，所以(0)0a c a f ⋅=⋅<，即a 与(0)f 异号，即0
(0)0
a f >⎧
⎨<⎩或
(0)0
a f <⎧⎨
>⎩ 所以函数必有两个零点，故选B.
题型3.二次函数的图象上其它特征点的信息捕捉 练习: (课时训练P59例1 练习1)
二次函数2
y ax bx c
=++则点(,)c
P a b
在 ( )
A. 第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:开口向下可得
0a <, 令0x =可得0c >,
对称轴在x 轴右方可得02b
a
->, 即得0b >.
∴0,0c a b <>,即点(,c
P a b
在第二象限, 应选B.
小结: 二次函数的系数的符号与三个条件有关:
①开口方向(a ) ; ②与y 轴的交点 (c ) ; ③对称轴在y 的哪侧 (2b
a
-) .
试一试: 应用此法可立即解得课堂练习1 2 的答案为? D D
例4. (课时训练P59练习3)
如图,抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠经过点(-1,0) .
(1)试确定a b c ++的符号;
(2)求证:方程20ax bx c ++=的另一根0x 满足0(3)求证: 0b a << .
解析:(1)如图知,(1)0f a b c =++>. (2)由图象知,(0)0f <, 又∵(1)0f >, ∴()f x 的另一个零点在区间(0,1)上.
即方程
20ax bx c ++=的另一根0x 满足001x <<; (3)∵图象开口向上, ∴0a >.
又∵(1)0f -=, ∴0a b c -+=.
而0c <, ∴0a b c -=->, 即a b >.
∵(1)0f a b c =++>, 0a b c -+= ,
∴()20a b c a b c b ++--+=>, 即得0b >. ∴0b a << .
作业布置: 课时训练.。