阿基米德三角形的性质
切线方程：
1.过抛物线pxy22上一点),(00yxM的切线方程为：)(00xxpyy
2.过抛物线pxy22上一点),(00yxM的切线方程为：)(00xxpyy
3.过抛物线pyx22上一点),(00yxM的切线方程为：)(00yypxx
4.过抛物线pyx22上一点),(00yxM的切线方程为：)(00yypxx
【概念】
一、阿基米德三角形：抛物线（圆锥曲线）的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形（如图一SAB即为阿基米德三角形）.
重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的三分之二.
图（一） 图（二）
阿基米德运用逼近的方法证明了这个结论.
【证明】：如图（三）SM是SAB中AB边上的中线，则SM平行于x轴（下面的性质1证明会证到），过M作抛物线的切线，分别交SA、SB于,AB，则AAM、BBM也是阿基米德三角形，可知AC是AAM中AM边上的中线，且AC平行于x轴，可得点A是SA的中点，同理B是SB的中点，故M是SM的中点，则SABS是
MABS的12，由此可知：AACS是CMAS的12，BBDS是DMBS的12，以此类推，图（二）中蓝色部分的面积是红色部分而知的12，累加至无穷尽处，便证得重要结论.
【性质1】 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.
【证明】：设),(11yxA，),(22yxB，M为弦AB的中点，则过A的切线方程为)(11xxpyy，过B的切线方程为)(22xxpyy，联立方程，1212pxy，2222pxy，解得两切线交点)2,2(2121yypyyQ
1 数学高考中的阿基米德三角形
一、主要概念及性质
1、定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。它的一些基本性质有：
2、主要性质：
性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴。
证明：设1122(,),(,)AxyBxy，M为弦AB中点，则过A的切线方程为11()yypxx，过B的切线方程为：22()yypxx，联立方程组得：
1122211222()()22yypxxyypxxypxypx
解得两切线交点1212,22yyyyQp，进而可知QMx轴。
性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线。
证明：设(,)Qxy，由性质1，1212,22yyyyxyp，所以有 122yypx。由
,,ABC三点共线知 10122221210222yyyyyyyxppp
即 221121020102yyyyxyxypy
将 1212,22yyyyypx 代入得 00()yypxx，即为Q点的轨迹方程。
性质3：抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹。
性质4：若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
证明：设l方程为0axbyc，且1122(,),(,)AxyBxy，弦AB过点00(,)Cxy，由性质2可知Q点的轨迹方程为00()yypxx，该方程与0axbyc表示同一条直线，对照可得00,cbpxyaa，即弦AB过定点,cbpCaa。 2 性质5：底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为38ap。
证明：ABa，设Q到AB的距离为d，由性质1知
22212121212122()22444xxyyyyyyyydQMpppp
设直线AB的方程为 xmyn，则2221(1)()amyy，
重难点05“阿基米德折弦定理”模型
1.识别几何模型。2.利用“阿基米德折弦定理”模型解决问题
一．解答题（共5小题）1．（2023•东港区校级一模）如图：已知点A、B、C、D顺次在圆O上，AB＝BD，BM⊥AC，垂足为M．证
明：AM＝DC+CM．（阿基米德折弦定理）
【分析】如图，将△ABM绕点B旋转到△DBN，使∠BAM与∠BDC重合，再证△BMC≌△BNC，可得MC
＝CN，即可得出．
【解答】证明：∵，
∴∠BAM＝∠BDC，又AB＝BD，
将△ABM绕点B旋转到△DBN，使∠BAM与∠BDC重合，如图，
∴△ABM≌△DBN，
∴AM＝DN，BM＝BN，∠AMB＝∠N，
∵BM⊥AC，即∠AMB＝90°，
∴∠N＝90°，
在直角△BMC和直角△BNC中，
，
∴△BMC≌△BNC，
∴CM＝CN，
∴DN＝CD+CN，
∴AM＝DC+CM．
【点评】本题主要考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，通过旋转构建全等三角形，是解答的本
题的关键．2．（2021•方城县模拟）阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条
折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于
点E，则△BDC的周长是2+2．【分析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB＝MG，再利用等腰三角形的性质得出BD
＝GD，即可得出答案；
（2）方法一、首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF＝AD，以及CD+DE＝BE，进而求出DE的长
即可得出答案．
方法二、先求出BE，再用（1）的结论得出BE＝CD+DE，即可得出结论．
专题研究
ＺＨＵＡＮＴＩＹＡＮＪＩＵ１４０
数学学习与研究 ２０２３０１再探抛物线背景下阿基米德三角形再探抛物线背景下阿基米德三角形
◎陆清煌 （福建省惠安第一中学，福建 泉州 ３６２１００）
【摘要】抛物线背景下阿基米德三角形在历年高考中重
复出现，若学生对此背景不熟悉，那么在做题时很难快速找
到解题思路，解法也会较为繁杂．在教学过程中发现，若学生
对该类三角形的常见推论有了解那么确实有利于学生在遇
到相关题目时快速入手，甚至“秒杀”．因此，文章将介绍几
个在教学过程中常见的阿基米德三角形推论．
【关键词】高中数学；阿基米德三角形；抛物线性质
阿基米德对圆锥曲线产生兴趣源于学习欧几里得的
《二次曲线》，后人对他最为赞赏的是他对抛物线的研究．
阿基米德三角形的概念：过圆锥曲线弦ＡＢ作两条切线
交于点Ｑ，则称△ＱＡＢ为阿基米德三角形．
抛物线背景下的阿基米德三角形是高考重难点，阿基
米德三角形自１９６５年出现在我国高等学校入学统一考试
后就经常出现在高考题中，如２００５年江西卷理２２题，
２００６全国Ⅱ卷理２１题，２００７江苏卷理１９题，２０１２年福建
卷文２１题，２０１２年福建卷理１９题，２０１４年辽宁卷理１０题，
２０１８年全国Ⅲ卷理１６题．可以预见，今后围绕该三角形性
质的高考试题还会出现，因此在教学中教师引导学生对该
三角形在抛物线背景下的推论了解是必要的．
下面介绍抛物线背景下阿基米德三角形常见的一些推
论．在证明时均以抛物线ｙ２＝２ｐｘ为例，弦ＡＢ为阿基米德三
角形的底边，ＡＢ的中点为Ｍ．
图１性质１ 阿基米德三角形
底边上的中线平行于抛物线的
对称轴．
证明：设Ａ（ｘ１，ｙ
１），Ｂ（ｘ
２，
ｙ
２），Ｍ为弦ＡＢ中点，则过Ａ的
切线方程为ｙ１ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ
１），过Ｂ
的切线方程为ｙ２ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ
２），联
立方程组得
ｙ
１ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ
１）
ｙ
２ｙ＝ｐ（ｘ＋ｘ
２）
ｙ２
１＝２ｐｘ
１
ｙ２
２＝２ｐｘ
２ì
îíï
ï
ï
ï．
解得两切线交点Ｑｙ
１ｙ
２
２ｐ，ｙ
１＋ｙ
