阿基米德三角形精编版
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阿基米德三角形及其性质一、阿基米德三角形的概念过圆锥曲线上任意两点作两条切线交于点Q ,则称△QAB 为阿基米德三角形.二、抛物线的阿基米德三角形的性质:(以抛物线22y px =为例) 性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.证明:设112200(,),(,)(,)A x y B x y Q x y ,,弦AB 的中点为(,)M M M x y , 则过A 的切线方程为11()y y p x x =+,过B 的切线方程为22()y y p x x =+, 联立两切线方程,解得1212,22y y y y x y p +==,所以1202y y y +=, 又122M y y y +=,所以0M y y =,即QM 平行于x 轴. 性质2 底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p. 证明:Q 到AB 的距离为2121212()224x x y y y y d QM p p+-≤=-=,设AB 方程为x my n =+, 则23222221211(1)()()428a a AB a m y y y y a d S ad p p ==+-⇒-≤⇒≤⇒=≤. 性质3 若阿基米德三角形底边AB 过抛物线内定点00(,)C x y ,则顶点Q 的轨迹方程为00()y y p x x =+.证明:设(,)Q x y ,则由性质1有1212,22y y y y x y p +==, 由AB AC k k =10122221210222y y y y y y y x p p p--⇒=--,化简得1201202()y y px y y y +=+, 即0000222()px px yy yy p x x +=⇒=+为Q 点的轨迹方程.推论 若阿基米德三角形底边AB 过焦点,则Q 点的轨迹为准线,且QA QB ⊥.性质4 阿基米德三角形底边的中线QM 的中点P 在抛物线上,且O 处的切线与AB 平行.证明:由性质1得12121212,,,2222y y y y x x y y Q M p p ⎛⎫+++⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,QM 中点21212(),82y y y y P p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 显然P 在抛物线上,过P 的斜率为122AB p k y y =+,故P 处的切线与AB 平行.性质5 在阿基米德三角形中,QFA QFB ∠=∠.证明:作','AA BB 垂直于准线,垂足分别为','A B ,如图,对22y px =两边求导得12'2'QA p p yy p y k y y =⇒=⇒=, 又1'FA y k p-=,所以'1'QA FA k k QA FA ⋅=-⇒⊥,又'AA AF =,设'A F 与QA 交于C , 则'''','ACA ACF QAA QAF QAA QAF QA QF QA A QFA ∆≅∆⇒∠=∠⇒∆≅∆⇒=∠=∠, 同理可证'''90''90'QA A QA B QB A QB B QFA QFB ∠=∠+=∠+=∠⇒∠=∠ 性质6 在阿基米德三角形中有2AF BF QF ⋅=.证明:222221212121212()()()()2224244y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p +⋅=++=+++=++, 2221212()()222y y y y p QF p p +=-+=22221212()244y y y y p p +++,所以2AF BF QF ⋅=. 三.阿基米德焦点三角形的性质把底边过焦点的阿基米德三角形称之为阿基米德焦点三角形.性质1 AB 过焦点F ,则PA ⊥PB ,PF ⊥AB ,△PAB 面积的最小值为2p .性质2 P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过右焦点F 的弦在两端点处切线的交点,则P 在椭圆右准线上,且PF ⊥AB ,△PAB 面积的最小值为4b ac. 性质3 P 是双曲线22221x y a b-=过右焦点F 的弦在两端点处切线的交点,则P 在双曲线右准线上,且PF⊥AB,△PAB面积的最小值为4bac.【拓展】当阿基米德三角形的顶角为直角时,有如下性质:对于圆222x y r+=,其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y r+=对于椭圆22221(0)x ya ba b+=>>,其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y a b+=+;对于双曲线22221(0)x ya ba b-=>>,其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y a b+=-.。
第80讲阿基米德三角形知识梳理如图所示,AB 为抛物线22(0)x py p =>的弦,11(,)A x y ,22(,)B x y ,分别过,A B 作的抛物线的切线交于点P ,称PAB △为阿基米德三角形,弦AB为阿基米德三角形的底边.1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.2、若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点()00 C x y ,,则另一顶点P 的轨迹为一条直线.3、若直线l 与抛物线没有公共点,以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.4、底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p.5、若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点Q 的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积的最小值为2p .6、点P 的坐标为1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭;7、底边AB 所在的直线方程为()121220; x x x py x x +--=8、PAB △的面积为3128PAB x x S p-=.9、若点P 的坐标为()00,x y ,则底边AB 的直线方程为()000x x p y y -+=.10、如图1,若E 为抛物线弧AB 上的动点,点E 处的切线与PA ,PB 分别交于点C ,D ,则||||||||||||AC CE PD CP ED DB ==.11、若E 为抛物线弧AB 上的动点,抛物线在点E 处的切线与阿基米德三角形PAB △的边PA ,PB 分别交于点C ,D ,则2EABPCDS S = .12、抛物线和它的一条弦所围成的面积,等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的23.图1必考题型全归纳题型一:定点问题例1.(2024·山西太原·高二山西大附中校考期末)已知点()0,1A -,()0,1B ,动点P 满足PB AB PA BA =⋅.记点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)设D 为直线=2y -上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别是E ,F .证明:直线EF 过定点.例2.(2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)已知动圆M 恒过定点10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭,圆心M 到直线14y =-的距离为1,8d d MF =+.(1)求M 点的轨迹C 的方程;(2)过直线1y x =-上的动点Q 作C 的两条切线12,l l ,切点分别为,A B ,证明:直线AB 恒过定点.例3.(2024·全国·高二专题练习)已知平面曲线C 满足:它上面任意一定到10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到直线32y =-的距离小1.(1)求曲线C 的方程;(2)D 为直线12y =-上的动点,过点D 作曲线C 的两条切线,切点分别为A B 、,证明:直线AB 过定点;(3)在(2)的条件下,以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.变式1.(2024·陕西·校联考三模)已知直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>交于A ,B 两点,且OA OB ⊥,OD AB ⊥,D 为垂足,点D 的坐标为(1,1).(1)求C 的方程;(2)若点E 是直线4y x =-上的动点,过点E 作抛物线C 的两条切线EP ,EQ ,其中P ,Q 为切点,试证明直线PQ 恒过一定点,并求出该定点的坐标.变式2.(2024·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试)抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”.对于抛物线C :2y ax =给出如下三个条件:①焦点为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭;②准线为12y =-;③与直线210y -=相交所得弦长为2.(1)从以上三个条件中选择一个,求抛物线C 的方程;(2)已知ABQ 是(1)中抛物线的“阿基米德三角形”,点Q 是抛物线C 在弦AB 两端点处的两条切线的交点,若点Q 恰在此抛物线的准线上,试判断直线AB 是否过定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,请说明理由.变式3.(2024·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习)已知抛物线2:C y ax =(a 是常数)过点(2,2)P -,动点1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程;(2)当1t =时,求直线AB 的方程;(3)证明:直线AB 过定点.变式4.(2024·全国·高三专题练习)已知动点P 在x 轴及其上方,且点P 到点(0,1)F 的距离比到x 轴的距离大1.(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)若点Q 是直线4y x =-上任意一点,过点Q 作点P 的轨迹C 的两切线QA 、QB ,其中A 、B 为切点,试证明直线AB 恒过一定点,并求出该点的坐标.题型二:交点的轨迹问题例4.(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --=.(1)求抛物线C 的方程;(2)设点0(P x ,0)y 为直线l 上一动点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA ,PB ,其中A ,B 为切点,求直线AB 的方程,并证明直线AB 过定点Q ;(3)过(2)中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ,B 两点,过点A ,B 分别作抛物线C 的切线1l ,2l ,求1l ,2l 交点M 满足的轨迹方程.例5.(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ,过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点;椭圆E 的中心在原点,焦点在x 轴上,点F 是它的一个顶点,且其离心率2e =.(1)求椭圆E 的方程;(2)经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ,切线1l 与2l 相交于点M .证明:点M 定在直线1y =-上;(3)椭圆E 上是否存在一点M ',经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点),使得直线A B ''过点F ?若存在,求出切线M A ''、M B ''的方程;若不存在,试说明理由.例6.(2024·全国·高三专题练习)已知动点Q 在x 轴上方,且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1.(1)求动点Q 的轨迹C 的方程;(2)过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,点A ,B 分别异于原点O ,在曲线C 的A ,B 两点处的切线分别为1l ,2l ,且1l 与2l 交于点M ,求证:M 在定直线上.变式5.(2024·全国·高三专题练习)已知动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x =的距离之比为12,记P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)过点(4,0)M 的直线与曲线C 交于,A B 两点,,R Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点,直线,AR BQ 交于点N ,求证:点N 在定直线上.变式6.(2024·全国·高三专题练习)已知点F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点,点M 、N 在抛物线上,且M 、N 、F 三点共线.若圆22:(2)(3)16P x y -+-=的直径为MN .(1)求抛物线C 的标准方程;(2)过点F 的直线l 与抛物线交于点A ,B ,分别过A 、B 两点作抛物线C 的切线1l ,2l ,证明直线1l ,2l 的交点在定直线上,并求出该直线.变式7.(2024·全国·高三专题练习)下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索,现邀请你一起合作学习,请你思考后,将答案补充完整.(1)圆222:O x y r +=上点()00,M x y 处的切线方程为.理由如下:.(2)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为;(3)(,)P m n 是椭圆22:13x L y +=外一点,过点P 作椭圆的两条切线,切点分别为A ,B ,如图,则直线AB 的方程是.这是因为在()11,A x y ,()22,B x y 两点处,椭圆L 的切线方程为1113x x y y +=和2213x x y y +=.两切线都过P 点,所以得到了1113x m y n +=和2213x my n +=,由这两个“同构方程”得到了直线AB 的方程;(4)问题(3)中两切线PA ,PB 斜率都存在时,设它们方程的统一表达式为()y n k x m -=-,由22()33y n k x m x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(13)6()3()30k x k n km x n km ++-+--=,化简得Δ0=,得222(3)210m x mnk n -++-=.若PA PB ⊥,则由这个方程可知P 点一定在一个圆上,这个圆的方程为.(5)抛物线22(0)y px p =>上一点()00,x y 处的切线方程为00()y y p x x =+;(6)抛物线2:4C x y =,过焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ,B 两点,分别过点A ,B 作抛物线的两条切线1l 和2l ,设()11,A x y ,()22,B x y ,则直线1l 的方程为112()x x y y =+.直线2l 的方程为222()x x y y =+,设1l 和2l 相交于点M .则①点M 在以线段AB 为直径的圆上;②点M 在抛物线C 的准线上.题型三:切线垂直问题例7.(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C 的方程为24x y =,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为,A B .(1)若点P 坐标为()0,1-,求切线,PA PB 的方程;(2)若点P 是抛物线C 的准线上的任意一点,求证:切线PA 和PB 互相垂直.例8.(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C 的方程为24x y =,点P 是抛物线C 的准线上的任意一点,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为,A B ,点M 是AB 的中点.(1)求证:切线PA 和PB 互相垂直;(2)求证:直线PM 与y 轴平行;(3)求PAB 面积的最小值.例9.(2024·全国·高三专题练习)已知中心在原点的椭圆1Γ和抛物线2Γ有相同的焦点(1,0),椭圆1Γ的离心率为12,抛物线2Γ的顶点为原点.(1)求椭圆1Γ和抛物线2Γ的方程;(2)设点P 为抛物线2Γ准线上的任意一点,过点P 作抛物线2Γ的两条切线PA ,PB ,其中,A B 为切点.设直线PA ,PB 的斜率分别为1k ,2k ,求证:12k k 为定值.变式8.(2024·全国·高三专题练习)已知中心在原点的椭圆1C 和抛物线2C 有相同的焦点()1,0,椭圆1C 过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭,抛物线2C 的顶点为原点.()1求椭圆1C 和抛物线2C 的方程;()2设点P 为抛物线2C 准线上的任意一点,过点P 作抛物线2C 的两条切线PA ,PB ,其中A ,B 为切点.①设直线PA ,PB 的斜率分别为1k ,2k ,求证:12k k 为定值;②若直线AB 交椭圆1C 于C ,D 两点,PAB S ,PCD S 分别是PAB ,PCD 的面积,试问:PABPCDS S 是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由.变式9.(2024·全国·高三专题练习)抛物级22(0)x py p =>的焦点F 到直线2py =-的距离为2.(1)求抛物线的方程;(2)设直线1y kx =+交抛物线于()11,A x y ,()22,B x y 两点,分别过A ,B 两点作抛物线的两条切线,两切线的交点为P ,求证:PF AB ⊥.变式10.(2024·河南驻马店·校考模拟预测)已知抛物线E :()220x py p =>的焦点为F ,点P 在E 上,直线l :20x y --=与E 相离.若P 到直线l 的距离为d ,且PF d +的最小值为2.过E 上两点,A B 分别作E 的两条切线,若这两条切线的交点M 恰好在直线l 上.(1)求E 的方程;(2)设线段AB 中点的纵坐标为n ,求证:当n 取得最小值时,MA MB ⊥.题型四:面积问题例10.(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C 的方程为()220x py p =>,点3,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上的一点,且到抛物线焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程;(2)点Q 为直线12y =-上的动点,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为D ,E ,求QDE △面积的最小值.例11.(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线22x py =上一点()0,1M x 到其焦点F 的距离为2.(1)求抛物线的方程;(2)如图,过直线:2l y =-上一点A 作抛物线的两条切线AP ,AQ ,切点分别为P ,Q ,且直线PQ 与y 轴交于点N .设直线AP ,AQ 与x 轴的交点分别为B ,C ,求四边形ABNC 面积的最小值.例12.(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到原点的距离等于直线:440l x y --=的斜率.(1)求抛物线C 的方程及准线方程;(2)点P 是直线l 上的动点,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,求PAB 面积的最小值.变式11.(2024·全国·高三专题练习)如图,已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点R 的横坐标为1,焦点为F ,且||2RF =,过点(4,0)P -作抛物线C 的两条切线,切点分别为A 、B ,D 为线段PA 上的动点,过D 作抛物线的切线,切点为E (异于点A ,B ),且直线DE 交线段PB 于点H .(1)求抛物线C 的方程;(2)(i )求证:||||AD BH +为定值;(ii )设EAD ,EBH △的面积分别为12S S ,,求12133S S S =+的最小值.变式12.(2024·全国·高三专题练习)已知点A (﹣4,4)、B (4,4),直线AM 与BM 相交于点M ,且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2,点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)Q 为直线y=﹣1上的动点,过Q 作曲线C 的切线,切点分别为D 、E ,求△QDE 的面积S 的最小值.变式13.(2024·河南开封·河南省兰考县第一高级中学校考模拟预测)已知点()F ,平面上的动点S 到F 的距离是S 40+=的距离的2倍,记点S 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)过直线:2l y =上的动点()(),22P s s >向曲线C 作两条切线1l ,2l ,1l 交x 轴于M ,交y 轴于N ,2l 交x 轴于T ,交y 轴于Q ,记PNQ V 的面积为1S ,PMT △的面积为2S ,求12S S ⋅的最小值.题型五:外接圆问题例13.(2024·全国·高三专题练习)已知P 是抛物线C :2134y x =-的顶点,A ,B 是C 上的两个动点,且4PA PB ⋅=- .(1)试判断直线AB 是否经过某一个定点?若是,求这个定点的坐标;若不是,说明理由;(2)设点M 是PAB 的外接圆圆心,求点M 的轨迹方程.例14.(2024·高二单元测试)已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点,A ,B 是C 上的两个动点,且4PA PB ⋅=- .(1)判断点()0,1D 是否在直线AB 上?说明理由;(2)设点M 是△PAB 的外接圆的圆心,点M 到x 轴的距离为d ,点()1,0N ,求MN d -的最大值.例15.(2024·全国·高三专题练习)已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点,A ,B 是C 上的两个动点,且4PA PB ⋅=- .(1)判断点()0,1D -是否在直线AB 上?说明理由;(2)设点M 是△PAB 的外接圆的圆心,求点M 的轨迹方程.题型六:最值问题例16.(2024·全国·高三专题练习)如图已知()2,P t -是直线2x =-上的动点,过点P 作抛物线24y x =的两条切线,切点分别为,A B ,与y 轴分别交于,C D.(1)求证:直线AB 过定点,并求出该定点;(2)设直线AB 与x 轴相交于点Q ,记,A B 两点到直线PQ 的距离分别为12,d d ;求当12AB d d +取最大值时PCD 的面积.例17.(2024·湖南·高三校联考阶段练习)在直角坐标系xoy 中,已知抛物线()2:20C x py p =>,P 为直线1y x =-上的动点,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为,A B ,当P 在y 轴上时,OA OB ⊥.(1)求抛物线C 的方程;(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.例18.(2024·辽宁沈阳·校联考二模)从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后,光线都平行于抛物线的轴,根据光路的可逆性,平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处,这一性质被广泛应用在生产生活中.如图,已知抛物线()2:21C x py p =>,从点()4,9发出的平行于y 轴的光线照射到抛物线上的D 点,经过抛物线两次反射后,反射光线由G 点射出,经过点()1,5-.(1)求抛物线C 的方程;(2)已知圆()22:34M x y +-=,在抛物线C 上任取一点E ,过点E 向圆M 作两条切线EA 和EB ,切点分别为A 、B ,求EA EB ⋅ 的取值范围.变式14.(2024·贵州·高三校联考阶段练习)已知抛物线()2:20C x py p =>上的点()02,y 到其焦点F 的距离为2.(1)求抛物线C 的方程;(2)已知点D 在直线l :=3y -上,过点D 作抛物线C 的两条切线,切点分别为,A B ,直线AB 与直线l 交于点M ,过抛物线C 的焦点F 作直线AB 的垂线交直线l 于点N ,当MN 最小时,求ABMN 的值.变式15.(2024·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习)已知抛物线2:4C y x =,点P 为直线2x =-上的任意一点,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,则点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值为()A .1B .4C .5D题型七:角度相等问题例19.设抛物线2:C y x =的焦点为F ,动点P 在直线:20l x y --=上运动,过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ,且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.(1)求△APB 的重心G 的轨迹方程.(2)证明∠PFA=∠PFB .例20.(2024·全国·高三专题练习)已知F ,F '分别是椭圆221:171617C x y +=的上、下焦点,直线1l 过点F '且垂直于椭圆长轴,动直线2l 垂直1l 于点G ,线段GF 的垂直平分线交2l 于点H ,点H 的轨迹为2C .(1)求轨迹2C 的方程;(2)若动点P 在直线:20l x y --=上运动,且过点P 作轨迹2C 的两条切线PA 、PB ,切点为A 、B ,试猜想PFA ∠与PFB ∠的大小关系,并证明你的结论的正确性.例21.(2024·江苏南通·高三统考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中,已知圆22=>交于点M,N(异于原点O),MN恰为该圆的+-=与抛物线2:2(0)C x py pG x y:(1)1直径,过点E(0,2)作直线交抛物线于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C的切线交于点P.(1)求证:点P的纵坐标为定值;∠=∠.(2)若F是抛物线C的焦点,证明:PFA PFBy x=的焦点为F,动点P 变式16.(2024·全国·高三专题练习)如图所示,设抛物线C:2x y--=上运动,过P作抛物线C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,在直线l:20求证:AFB BFP∠=∠.变式17.(2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中,已知点E(0,2),以OE为直径的圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M,N(异于原点O),MN恰为该圆的直径,过点E作直线交抛物线与A,B两点,过A,B两点分别作拋物线C的切线交于点P.(1)求证∶点P的纵坐标为定值;(2)若F是抛物线C的焦点,证明∶∠PFA=∠PFB。
阿基米德三角形的性质【概念】一、阿基米德三角形:抛物线(圆锥曲线)的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形(如图一SAB ∆即为阿基米德三角形).重要结论:抛物线与弦之间所围成区域的面积(图二中的阴影部分)为阿基米德三角形面积的三分之二.图(一) 图(二)阿基米德运用逼近的方法证明了这个结论. 【证明】:如图(三)SM 是SAB ∆中AB 边上的中线,则SM 平行于x 轴(下面的性质1证明会证到),过M '作抛物线的切线,分别交SA 、SB 于,A B '',则A AM ''∆、B BM ''∆也是阿基米德三角形,可知A C '是A AM ''∆中AM '边上的中线,且A C '平行于x 轴,可得点A '是SA 的中点,同理B '是SB 的中点,故M '是SM 的中点,则SA B S ''∆是M AB S '∆的12,由此可知:A A C S '''''∆是C M A S ''∆的12,B B D S '''''∆是D M B S ''∆的12,以此类推,图(二)中蓝色部分的面积是红色部分而知的12,累加至无穷尽处,便证得重要结论.【性质1】:阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴. 【证明】:设),(11y x A ,),(22y x B ,M 为弦AB 的中点,则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=,过B 的切线方程为)(22x x p y y +=,联立方程,1212px y =,2222px y =,解得两切线交点)2,2(2121y y p y y Q +【性质2】:若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ,则另一顶点Q 的轨迹为一条直线;【证明】:设),(11y x A ,),(22y x B ,00(,)C x y 为抛物线内的定点,弦AB 的过定点C ,则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=,过B 的切线方程为)(22x x p y y +=,则设另一顶点(),Q x y '',满足11()y y p x x ''=+且22()y y p x x ''=+,故弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+,又由于弦AB 过抛物线内的定点00(,)C x y ,故00()y y p x x ''=+,即点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .【性质3】:抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹;【证明】:由【性质2】的证明可知:点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .因为点C 为弦AB 的中点,故Q 的轨迹方程为121222y y x x y p x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,斜率122p k y y =+;而弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+,由【性质1】的证明可知:122y y y +'=,122y yx p'=,故弦AB 所在的直线方程为121222y y y y y p x p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,斜率122pk y y =+,又因为直线AB 与Q 的轨迹方程不重合,故可知两者平行. 【性质4】:若直线l 与抛物线没有公共点,以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线l 方程为:0ax by c ++=,则定点的坐标为,c bp C aa ⎛⎫− ⎪⎝⎭;【证明】:任取直线l :0ax by c ++=上的一点()0,o Q x y ,则有000ax by c ++=,即00a cy x b b=−−┅①,过点Q 作抛物线22y px =的两条切线,切点分别为,A B ,则又由【性质2】的证明可知:弦AB 所在的直线方程为00()y y p x x =+,把①式代入可得:()00a c x y p x x b b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭,即0a c y p x px yb b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭,令0a y p b −−=且 0c px y b +=,可得:弦AB 所在的直线过定点,c bp C a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭.【性质5】:底边为a 的阿基米德三角形的面积最大值为pa 83;【证明】:AB a =,设Q 到AB 的距离为d ,由性质1知:22212121212122()22444x x y y y y y y y y d QM p p p p++−≤=−=−=(直角边与斜边),设直线AB 的方程为 x my n =+,则2221(1)()a m y y =+−,所以2322121()428a a y y a d s ad p p−≤⇒≤⇒=≤. 【性质6】:若阿基米德三角形的底边过焦点,顶点Q 的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为2p ;【证明】:由性质2,若底边过焦点,则00,02p x y ==,Q 点的轨迹方程是2px =−,即为准线;易验证1QA QB k k ⋅=−,即QA QB ⊥,故阿基米德三角形为直角三角形,且Q 为直角顶点。
专题4 阿基米德三角形专题3 阿基米德三角形 微点1 阿基米德三角形 【微点综述】在近几年全国各地高考的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到与一个特殊的三角形——由抛物线的弦及过弦的端点的两条切线所围成的三角形有关的问题,这个三角形常被称为阿基米德三角形. 阿基米德三角形包含了直线与圆锥曲线相交、相切两种位置关系,聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题,“坐标法”的解题思想和数形结合方法的优势体现得淋漓尽致,能很好的提升学生解决圆锥曲线问题的能力,落实逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养.鉴于此,微点研究阿基米德三角形。
一、预备知识——抛物线上一点的切线方程(1)过抛物线()220y px p =>上一点()00,M x y 的切线方程为:()00y y p x x =+;(2)过抛物线()220y px p =−>上一点()00,M x y 的切线方程为:()00y y p x x =−+;(3)过抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为:()00x x p y y =+; (4)过抛物线()220x py p =−>上一点()00,M x y 的切线方程为:()00x x p y y =−+.下面仅以情形(3)为例给出证明,同理可证其余三种情形。
证法1:设抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为:()00y y k x x −=−,代入22x py =,整理得2002220x pkx py pkx −−+=,由0x ∆=,得()222000044220,220,p k py pkx pk x k y +−=∴−+=抛物线上一点处的切线唯一,∴ 关于k 的一元二次方程200220pk x k y −+=有两个相等的实数根,0,x k p∴=∴所求的切线方程为()000x y y x x p−=−,即2000x x x py py =+−,又2002x py =,∴过抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为:()00x x p y y =+。
抛物线、阿基米德三角形常用结论一、抛物线1. 抛物线的定义抛物线是一种特殊的曲线,其定义可以由平面上的点P到给定直线上一点F的距离等于P到另一固定点D的距离的平方的约束条件定义。
2. 抛物线的常用方程抛物线的常用方程形式为y = ax^2 + bx + c 或者 x = ay^2 + by + c。
其中a、b、c为常数,a≠0。
3. 抛物线的性质(1)抛物线的对称轴与顶点抛物线的对称轴是其顶点处的垂直平分线。
(2)抛物线的焦点和直线抛物线的焦点是与其对称轴上的一个定点F,直线是与抛物线平行于其对称轴的直线。
二、阿基米德三角形1. 阿基米德三角形的定义阿基米德三角形是一种特殊的三角形,其三边分别由三个与三个同一直线上的点相连而得到。
这三个点一般是由同一圆的直径上得到。
2. 阿基米德三角形的常用结论(1)阿基米德三角形的边长关系公式设阿基米德三角形的边长分别为a、b、c,其边长关系可由公式a^2 = b^2 + c^2得到。
(2)阿基米德三角形的面积公式设阿基米德三角形的三角形边分别为a、b、c,其面积S可由公式S = 1/2 * b * c * sinA得到。
其中A为a对应的角度。
三、高中数学中抛物线和阿基米德三角形的应用1. 抛物线在物理学中的应用在物理学中,抛物线常常用来描述抛体运动的轨迹。
抛出的物体在水平方向上的运动可以用抛物线方程描述。
2. 阿基米德三角形在几何学中的应用在几何学中,阿基米德三角形经常用于解决三角函数相关问题。
在求解三角函数值时,可以利用阿基米德三角形的边长关系进行变换,从而简化计算。
四、结语抛物线和阿基米德三角形作为数学中的重要内容,在高中数学教学中被广泛应用。
通过对其定义、性质以及应用的深入了解,不仅可以增加数学知识的广度和深度,还能够帮助学生更好地理解数学的应用价值。
希望学生们能够加强对抛物线和阿基米德三角形的学习,不断提升数学思维能力和解决问题的能力。
抛物线和阿基米德三角形作为数学中重要的内容,不仅在高中数学教学中被广泛应用,而且在科学研究和工程技术中也发挥着重要作用。
专题12阿基米德三角形第一饼阿基米德三角形与切点弦问题一、主要概念及性质1、定义:圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.(如果弦过定点,那么弦与两条切线交点的轨迹构成一对极点极线.)一般情况下阿基米德三角形指的抛物线阿基米德三角形,它的一些基本性质有:2、主要性质:性质1阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴.性质2:若阿基米德三角形的底边即弦48过抛物线内定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线.性质3:在性质2中,抛物线以C点为中点的弦平行于。
点的轨迹.性质4:若直线/与抛物线没有公共点,以/上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.性质5:底边长为〃的阿基米德三角形的面积的最大值为即性质6:若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点。
的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积的最小值为P2.性质7:在阿基米德三角形中,/QFA=NQFB.性质8:∖AF∖∙∖BF∖=∖QF^性质9QM的中点?在抛物线上,且P点处的切线与AB平行.【例21](云南二模)已知抛物线炉=4),的焦点为产,准线为/,经过/上任意一点P作抛物线炉=4y的两条切线,切点分别为A、B.(1)求证:以AB为直径的圆经过点尸;(2)比较AF•用与PF2的大小.【例22】(2005•江西)如图,设抛物线C:),=/的焦点为尸,动点P在直线2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线24、PB,且与抛物线C分别相切于A、8两点.(1)求ZXAPB的重心G的轨迹方程.(2)证明NPEA=NP∕B∙第二讲阿基米德三角形与面积问题【例23】(2019•新课标HD已知曲线Uy=工,。
为直线y=-』上的动点,过。
作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E(0,3为圆心的圆与直线反相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.2【例24】(2008•山东)如图,设抛物线方程为f=20,(〃>0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.(1)求证:A,M,A三点的横坐标成等差数列;(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,∣AB∣=4√10.求此时抛物线的方程;(3)是否存在点使得点C关于直线AB的对称点。
阿基米德三角形常用结论及证明嘿,伙计们!今天我们要聊聊一个超级有趣的数学问题——阿基米德三角形!这个名字听起来就很酷炫,是不是?那你知道阿基米德三角形有哪些常用结论和证明吗?别着急,让我们一起来揭开它的神秘面纱吧!我们来了解一下什么是阿基米德三角形。
阿基米德三角形是一个古老的几何图形,它的每个顶点都是一个等边三角形的内切圆与外接圆的交点。
这个图形看起来有点像一个金字塔,但是它有很多神奇的性质和结论哦!1. 阿基米德三角形的内角之和是180度。
这个结论很简单,因为每个小三角形的内角都是60度,而一个大三角形的内角之和就是3个小三角形的内角之和,也就是180度。
2. 阿基米德三角形的边长比是一个恒定的值。
具体来说,如果一个大三角形的边长分别是a、b、c,那么它的内切圆半径r、外接圆半径R和边长比之间的关系就是:(a+b+c)/2 = R + r = (a+b+c)/2R。
这个关系式告诉我们,无论阿基米德三角形的大小如何变化,它的边长比总是保持不变。
3. 阿基米德三角形的面积可以通过海伦公式计算。
海伦公式是一个关于三角形面积和三边长之间关系的公式,它的形式是:S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)),其中S是三角形的面积,a、b、c分别是三角形的三边长。
阿基米德三角形的面积可以通过将大三角形的面积除以9得到,即:S = (a+b+c)/2 * R^2 / 9。
4. 阿基米德三角形可以用来计算任意多边形的面积。
这个结论可能有点难以理解,但是它可以帮助我们解决很多实际问题。
比如说,我们知道一个正方形的面积是边长的平方,那么我们可以通过阿基米德三角形的方法计算出任意多边形的面积。
具体做法是先将多边形划分成若干个小三角形,然后根据阿基米德三角形的性质计算出每个小三角形的面积,最后将这些小三角形的面积相加就可以得到整个多边形的面积了。
5. 阿基米德三角形可以用来求解复杂的数学问题。
比如说,我们知道一个圆的周长是πd,其中d是直径。
阿基米德折弦定理详解及详解
阿基米德折弦定理(Thales Theorem)又称塔尔特定理,它的定义如下:
如果有三角形ABC,在它的外接圆上有三个点A′,B′,C′,则这三个点满足AA′:BB′:CC′=1:1:1。
阿基米德折弦定理使申明了一个三角形最外面包含了一个外接圆,而这个外接圆分别在三角形每一条边对应的延长线上,但是满足一定的比例关系,也就是说,无论多大的三角形,其外接圆上所确定的三点连接后都存在一个等腰三角形。
在数学上,阿基米德折弦定理的意义在于,它的一个充分必要条件是圆的半径r (OA•OB)与三角形的边长之比等于常数C,即:
OA•OB=C*AB
从而可以推得:
AB²= 2*r*C* AB
此式两边同时乘以AB,可以得出:
AB³= 2*r*C*AB³
即:
AB³:AC³:BC³= 2*r*C:AC³:BC³
将以上式子改形,可以得出:
AB: AC: BC= √(2*r*C):AC:BC
即:
AB:AC:BC = √(2*r*C):√(2*r*C):√(2*r*C)
也就是说,只要知道外接圆的半径,就可以知道三角形ABC折弦定理的等比例。
第15节 阿基米德三角形的常见性质及其应用知识与方法1.如图1所示,不妨设抛物线为()220x py p =>,抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ,则: (1)设AB 中点为M ,则PM 平行于(或重合)抛物线的对称轴;(2)PM 的中点S 在抛物线上,且抛物线在点S 处的切线平行于弦AB .2.如图2所示,不妨设抛物线为()220x py p =>,抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ,则: (1)若弦AB 过抛物线内的定点Q ,则点P 的轨迹是直线;特别地,若弦AB 过定点()0,m ()0m >,则点P 的轨迹是直线y m =-;(2)若弦AB 过抛物线内的定点Q ,则以Q 为中点的弦与(1)中点P 的轨迹平行.3.如图3所示,不妨设抛物线为()220x py p =>,抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ,若AB 过焦点F ,则点P 的轨迹为抛物线准线,PA PB ⊥,PF AB ⊥,且PAB 的面积的最小值为2p . 4.如图4所示,不妨设抛物线为()220x py p =>,抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ,则:(1)PFA PFB ∠=∠;(2)2AF BF PF ⋅=提醒:阿基米德三角形在小题和大题中都可能涉及,小题可以直接用性质速解,大题则必须给出详细的求解过程.典型例题【例1】己知点()1,1P -在抛物线()220y px p =>的准线上,过点P 作抛物线的切线,切点为A 、B ,则直线AB 的斜率k =_______.【解析】点()1,1P -在抛物线()220y px p =>的准线上⇒抛物线的准线为1x =-⇒抛物线的焦点为()1,0F ,由阿基米德三角形性质,直线AB 过F 且PF AB ⊥,而101112PF k -==---,所以直线AB 的斜率为2.【答案】2变式1 已知点()2,1M -和抛物线2:4C x y =,过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点,若90AMB ∠=︒,则k =_______.【解析】由题意,M 在抛物线C 的准线上,直线AB 过点F 且90AMB ∠=︒,所以MAB 是阿基米德三角形,如图,由阿基米德三角形性质,MF AB ⊥,而11120MF k --==--,所以直线AB 的斜率为1.【答案】1变式2 已知抛物线2:4C x y =,过点()1,1P -作抛物线C 的两条切线,切点分别为A 和B ,则经过P 、A 、B 三点的圆的方程为______.【解析】由题意,点P 在抛物线C 的准线上,则PA PB ⊥,PF AB ⊥,且直线AB 过焦点()0,1F ,所以经过P 、A 、B 三点的圆就是以AB 为直径的圆,直线PF 的斜率为11210--=--, 所以直线AB 的斜率为12,其方程为112y x =+,设()11,A x y ,()22,B x y , 联立21124y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 整理得:2240x x --=, 故122x x +=,()12121232y y x x +=++=,从而AB 中点为31,2⎛⎫⎪⎝⎭,1225AB y y =++=,所以经过P 、A 、B 三点的圆的方程为()22325124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【答案】()22325124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭变式3 已知过抛物线22x y =焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点,抛物线在A 、B 处的切线交于点C ,则ABC 面积的最小值为______.【解析】由阿基米德三角形性质,当直线AB 过焦点F 时,ABC 面积的最小值为21p =. 【答案】1变式4 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点,抛物线C 在A 、B 两点处的切线相交于点P ,若3AF =,则PF =_______.【解析】设AFO α∠=,则231cos AF α==+,所以1cos 3α=-,故()2231cos 1cos 2BF παα===+--,由阿基米德三角形性质,2AF BF PF ⋅= 所以32PF AF BF ⋅=.32【例2】抛物线2:2C x py =()0p >的焦点为F ,且F 与圆()22:21I x y ++=上的点的距离的最大值为4.(1)求p 的值;(2)若点Q 在圆I 上,QA 、QB 是抛物线C 的两条切线,A 、B 是切点,当IQ AB ∥时,求直线AB 与y 轴交点的坐标.【解析】解:(1)由题意,342p+=,所以2p =.(2)显然直线AB 斜率存在,可设其方程为y kx m =+,由(1)知抛物线C 的方程为24x y =,联立24y kx mx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得:2440x kx m --=,由韦达定理,124x x k +=,124x x m =-,设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由24x y =可得24x y =,所以2xy '=,故直线QA 的方程为()211142x x y x x -=-,整理得:21124x x y x =-,同理,直线QB 的方程为22224x x y x =-,联立2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得:1222x x x k +==,124x x y m ==-,所以点Q 的坐标Wie ()2,k m -, 因为点Q 在圆I 上,所以()22421k m +-+=①,因为IQ AB ∥,所以22mk k-=,从而222k m =-, 代入式①可得()()22221m m -+-+= 解得:32m =,又2220k m =-≥,所以2m ≤,故32m =, 从而直线AB 与y 轴的交点的坐标为(0,32.【反思】对于开口向上(或向下)的抛物线的阿基米德三角形大题,通常采用设两个切点,写出切线方程并联立求出交点坐标,同时将切点弦所在直线与抛物线联立,结合韦达定理计算的方法来处理.强化训练1.(★★★)已知点()2,1P -在抛物线()2:20C y px p =>的准线上,过P 作抛物线C 的切线,切点分别为A 和B ,则直线AB 的方程为______.【解析】()2,1P -在准线上4p ⇒=⇒抛物线的焦点为()2,0F ,由阿基米德三角形性质,直线AB 过F ,且PF AB ⊥,而101224PF k -==---,所以直线AB 的斜率为4, 故直线AB 的方程为()42y x =-【答案】()42y x =-2.(★★★)已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点,抛物线在A 、B 两点处的切线相交于点P ,则PAB 面积的最小值为_______. 【解析】当AB 过焦点时,阿基米德三角形面积的最小值为24p =. 【答案】43.(★★★)已知抛物线2:2C y x =和点1,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,过C 的焦点F 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,若0PA PB ⋅=,则k =_______.【解析】由题意,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,点P 在抛物线的准线上,且PA PB ⊥,所以PAB 是阿基米德三角形,从而PF PB ⊥,直线PF 的斜率1011122PF k -==---,故直线AB 的斜率为1. 【答案】14.(★★★)已知抛物线2:4C x y =,过点()0,1P x -作抛物线C 的两条切线,切点分别为A 和B ,若经过P 、A 、B 三点的圆被x 轴截得的弦长为4,则0x =______.【解析】由题意,点P 在抛物线C 的准线上,则PA PB ⊥,PF AB ⊥,且AB 过焦点()0,1F ,直线PF 的斜率为001120x x --=--,所以直线AB 的斜率为02x , 其方程为012x y x =+,设()11,A x y ,()22,B x y 联立02124x y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 整理得:20240x x x --=,所以1202x x x +=, ()201212022x y y x x x +=+=+, 从而AB 中点为200,12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,212024AB y y x =++=+, 因为PA PB ⊥,所以经过P 、A 、B 三点的圆就是以AB 为直径的圆,该圆的半22220014222x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得:01x =±.【答案】1±5.(★★★★)已知抛物线2y x =和点()0,1P ,若过某点C 可作抛物线的两条切线,切点分别为A 和B ,且满足1233CP CA CB =+,则ABC 的面积为______.【解析】()()12123333CP CA CB CP CP PA CP PB PA PB =+⇒=+++⇒=-⇒P 、A 、B 三点共线,设直线AB的方程为1y kx =+,设()11,A x y ,()22,B x y ,不妨设0k >,联立21y kx y x =+⎧⎨=⎩消去y 整理得:210x kx --=,判别式240k =+>, 由韦达定理12x x k +=,121x x =-,又2PA PB =-,所以122x x =-,联立12121212x x kx x x x+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩可解得:2k =,所以122x x +=,设AB 中点为D ,则1222D x x x +==,代入1y kx =+得22514D y =+=, 由阿基米德三角形性质知CD x ⊥轴且点C 在直线1y =-上,所以()59144CD =--=,故1211999222418216ABC S CD x x =⋅-=⨯⨯=⨯=.【答案】272166.(★★★★★)已知动圆过点()0,1F ,且与直线:1l y =-相切.(l )求动圆圆心的轨迹E 的方程;(2)设P 为一动点,过P 作曲线E 的两条切线PA 、PB ,切点分别为A 和B ,且PA PB ⊥,直线AB 与圆224x y +=相交于C 、D 两点,设点P 到直线AB 的距离为d ,是否存在点P ,使得24AB CD d ⋅=?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由题意,动圆圆心到点F 的距离和到定直线l 的距离相等, 所以动圆圆心的轨迹是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为24x y =.(2)显然直线AB 的斜率存在,故可设其方程为y kx m =+,设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得:2440x kx m --=,由韦达定理,124x x k +=,124x x m =-,由24x y =得24x y =,所以2x y '=,故直线PA 的方程为()211142x x y x x -=-,整理得:21124x x y =-,同理,直线PB 的方程为22224x x y =-,联立2112222424x x y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得:1222x x x k +==,124x x y m ==-,所以点P 的坐标为()2,k m -,因为PA PB ⊥,所以12122x x m ⋅=-=-,故1m =,从而AB 过点F , 所以()212122444AB y y k x x k =++=++=+, 原点到直线AB 21k +,故21241CD k =-+ 点P 到直线AB 的距离22222211k d k k +==++所以24AB CD d ⋅=等价于()()222144241611k k k +⋅-++, 化简得:2101k =+,无解,故不存在点P ,使得|24AB CD d ⋅=.。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章培优点11 阿基米德三角形三角形叫做阿基米德三角形.如图.性质1 阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴.性质2 若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线,该直线与以C点为中点的弦平行.性质3 若直线l与抛物线没有公共点,以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点(若直线l方程为:ax+by+c=0,则定点的坐标为性质5 若阿基米德三角形的底边AB过焦点,则顶点Q的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小,最小值为p2.例 (多选)(2023·南平模拟)过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作抛物线的弦与抛物线交于A ,B 两点,M 为弦AB 的中点,分别过A ,B 两点作抛物线的切线l 1,l 2,l 1,l 2相交于点P .下面关于△P AB 的描述正确的是A.点P 必在抛物线的准线上B.AP ⊥PBC.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则△P AB 的面积S的最小值为D.PF ⊥AB √√√先证明出抛物线y2=2px(p>0)在其上一点(x0,y0)处的切线方程为y0y =px+px0.证明如下:切线方程为y0y=px+px0.由根与系数的关系可得y1y2=-p2,y1+y2=2mp,对于A,抛物线y2=2px在点A处的切线方程为y1y=px+px1,即点P 在抛物线的准线上,A 正确;所以AP⊥PB,B正确;对于D,当AB垂直于x轴时,由抛物线的对称性可知,点P为抛物线的准线与x轴的交点,此时PF⊥AB;综上,PF⊥AB,D正确;思维升华(1)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质.(2)当阿基米德三角形的顶角为直角时,则阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆.跟踪训练 (2021·全国乙卷)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F 与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在圆M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB 面积的最大值.由(1)知,抛物线方程为x2=4y,由题意可知直线AB的斜率存在,则Δ=16k2+16b>0(※),x1+x2=4k,x1x2=-4b,即P(2k,-b).因为点P在圆M上,所以4k2+(4-b)2=1,①且-1≤2k≤1,-5≤-b≤-3,所以当b=5时,t取得最大值,t max=5,此时k=0,能力提升1.若抛物线上任意两点A,B处的切线交于点P,则称△PAB为“阿基米德三角形”,当弦AB经过抛物线的焦点F时,△P AB具有以下特征:①点P必在抛物线的准线上;②PF⊥AB.若经过抛物线y2=4x的焦点的一条弦为AB,“阿基米德三角形”为△P AB,且点P的纵坐标为4,则直线AB的方程为√A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0C.x+2y-1=0D.2x-y-2=0123456设抛物线的焦点为F,由题意可知,抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,因为△P AB为“阿基米德三角形”,且弦AB经过抛物线y2=4x的焦点,所以点P必在抛物线的准线上,所以点P(-1,4),即x-2y-1=0.2.我们把抛物线的弦AB与过弦的端点A,B处的两条切线所围成的△P AB(P 为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”.当弦AB经过抛物线的焦点F时,△P AB具有以下性质:①P点必在抛物线的准线上;②P A⊥PB;③PF⊥A B.已知直线l:y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于A,B两点,若|AB|=8,则抛物线的“阿基米德三角形”P AB的面积为√抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,直线l:y=k(x-1)经过抛物线的焦点,依题意,k≠0,设A(x1,y1),B(x2,y2),解得k2=1,即k=±1,当k=1时,因为△P AB为“阿基米德三角形”,则直线PF的斜率k PF=-1,直线PF的方程为y=-x+1,点P必在抛物线的准线x=-1上,3.已知抛物线C:x2=4y,直线y=kx+b与抛物线交于A,B两点,|AB|=8,且抛物线在A,B处的切线相交于点P,则△P AB的面积最大值为√方法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=4k,x1x2=-4b,32232(1)k 当k =0时,(S △P AB )max =32.4.(多选)(2024·廊坊模拟)如图,△PAB 为阿基米德三角形.抛物线x 2=2py (p >0)上有两个不同的点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),以A ,B 为切点的抛物线的切线P A ,PB 相交于点P .则下列结论正确的为A.若弦AB 过焦点,则△P AB 为直角三角形且∠APB=90°B.点P 的坐标是C.弦AB 所在直线的方程为(x 1+x 2)x -2py -x 1x 2=0D.△P AB 的边AB 上的中线与y 轴平行(或重合)√√√联立x2=2py,得x2-2pkx-p2=0,所以P A⊥PB,即∠APB=90°,故A正确;化简得(x1+x2)x-2py-x1x2=0,故C正确.5.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形,阿基米德最早利用逼近的思想证明了:抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于该弦所形成的阿基米德三角形面积的 .已知A(-2,1),B(2,1)为抛物线C:x2=4y上两点,则在A点处抛物线C的切线-1的斜率为______;弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为_____.所以在A点处抛物线C的切线的斜率为-1,切线方程为y-1=-(x+2),即y=-x-1,同理在B点处抛物线C的切线方程为y=x-1,所以两切线的交点为P(0,-1),Q处的切线分别交P A,PB于点M,N.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+b,由根与系数的关系得x1x2=-2pb,设抛物线C:x2=2py在点A处切线方程为y-y1=t(x-x1),设点Q (x 0,y 0),本课结束。
第18讲阿基米德三角形知识与方法阿基米德(约公元前287年一前212年),是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家,并且享有“力学之父”的美称.他在求体积或面积时采用的“平衡法”一档杆原理,被后人命名为“阿基米德方法”.正是由于他对当时数学作出的突出贡献以及对后世数学发展的深邃影响,他又被后人誉为“数学之神”.本节主要探讨的阿基米德三角形指的是圆锥曲线(椭圆、双曲线、拋物线)的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形.阿基米德三角形得名于阿基米德在研究与拋物线有关的面积问题时得出的一个结论:抛物线的弦与拋物线所围成的封闭图形的面积,等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二.(结论的证明利用了“平衡法”)该结论的变式叙述可见于《普通高中课程标准实验教科书·数学选修3-1(A版):数学史选讲》(人民教育出版社2007年1月第2版).接下来,我们就去探讨一下阿基米德三角形中蕴藏的一些重要性质:条件:已知抛物线C:x2=2py(p>0),如图所示,D为某一直线l上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B,F为直线AB与y轴的交点,则有以下结论成立:结论1.1直线AB的方程为(x1+x2)x−2py−x1x2=0.证明:设A(x1,y1),则x12=2py1.由于y′=xp ,所以切线DA的斜率为x1p,故切线DA的方程为x1x=p(y+y1)(1)设B(x2,y2),同理可得DB的方程为x2x=p(y+y2)(2) (1)÷(2)化简后,可得y=x1x22p(3)将(3)代入(1),可得x=x1+x22,所以点D的坐标为(x1+x22,x1x22p)故直线AB的方程为(x1+x2)x−2py−x1x2=0说明:特别的,当D为直线y=−p2上的动点时,直线AB的方程为(x1+x2)x−2py+p2=0且该直线过拋物线的焦点F.第二部分中的典例第(1)问考查的就是该性质的具体运用.结论1.2k DF⋅k AB=k DA⋅k DB=x1x2p2证明:由结论1.1的证明可知点F的坐标为(0,−x1x22p)又k DF=2x1x2p(x1+x2),k AB=x1+x22p,k DA=x1p,k DB=x2p,所以结论1.2得证.说明:特别的,当D为直线y=−p2上的动点时,有DF⊥AB,DA⊥DB;且此时△DAB面积的达到最小,其最小值为p2.第三部分中的第2题、第3题考查的均是该条性质及推论的运用,如若我们对上述性质比较熟悉,则审题结束时【答案】或许已了然于心.结论1.3在阿基米德△DAB中,有∠DFA=∠DFB.证明:如图,过点A,B分别作抛物线准线的垂线AA1,BB1,垂足为A1,B1.连接A1D,B1D,DF,AF,BF,A1F,则k A1F =−px1,k AD=x1p.易知,AD⊥A1F.又AA1=AF,所以AD垂直且平分A1F,故A1D=DF,∠DA1A=∠DFA.同理可得B1D=DF,∠DB1B=∠DFB,所以A1D=B1D=DF,∠DA1B1=∠DB1A1.进而∠DA1A=∠DB1B,即∠DFA=∠DFB.说明:第三部分中的第4题的第(2)问恰恰就考查了这一结论.结论1.4DA,AB,DB的斜率成等差数列、A,D,B三点的横坐标成等差数列.证明:结合结论1.2的证明过程以及点D坐标(x1+x22,x1x22p),稍作运算,便可证得该结论.说明:第三部分中的第5题的第(1)问中就涉及到了这一结论.结论1.5线段FA,FD,FB的长度之间的关系为FD2=x12x22p2+p2|x1x2|⋅FA⋅FB−p2.证明:经过简单计算即可得到上述结果.说明:特别的,当D为直线y=−p2上的动点时,有线段FA,FD,FB的长度成等比数列.结论1.6若以E(0,−5x1x22p)为圆心的圆与直线AB相切于点T,则四边形ADBE的面积为|x1−x2|38p −x1x2⋅|x1−x2|p证明:易知DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 22,x 1(x 1−x 2)2p ),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 12,x 2(x 2−x 1)2p). 利用面积公式S ΔDAB =12√DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2,可得 S △DAB=12|x 1−x 22⋅x 2(x 2−x 1)2p −x 2−x 12⋅x 1(x 1−x 2)2p |=|x 1−x 2|38p又S △EAB =12|EF|⋅|x 1−x 2|=12(−5x 1x 22p +x 1x 22p )⋅|x 1−x 2|=−x 1x 2⋅|x 1−x 2|p所以S 四边形 ADBE =S Δ+S ΔA =|x 1−x 2|38p−x 1x 2⋅|x 1−x 2|p.说明:当D 为直线y =−p2上的动点,且E (0,5p2)时,则四边形ADBE 的面积为|x 1−x 2|38p+p |x 1−x 2|.结论1.7△DAB 的重心G 满足的方程为4x 2−6py −x 1x 2=0. 证明:过程从略,感兴趣的读者可自行尝试证明.说明:当D 为直线y =−p2上的动点时,△DAB 的重心G 的轨迹方程为4x 2−6py +p 2=0结论1.8 若P 为拋物线弧AB 上一点,拋物线在点P 处的切线与直线..分别交与M,N 两点,则S △DMN :S △PAB =1:2证明:设P (x 3,y 3),则有x M =x 1+x 32,x N =x 2+x 32,所以AM MD =MP PN =DNNB =|x 1−x 3||x 2−x 3|.设AMMD =MP PN=DNNB =a,S △PMD =b ,因为S ΔPMA S ΔPMD=AMMD =a ,所以S ΔPMA =ab同理S △PND =b a ,S ΔPNB =b a 2,所以S △DMN =b (1+1a ). 又S ΔNMD S △BAD=MD⋅DN AD⋅BD=a(a+1)2,所以S ΔBAD =b ⋅(a+1)3a 2.所以S ΔPBA =S ΔDAB −S △DMN −S ΔPAM −S ΔPBN =b ⋅2(a+1)a所以S ΔDMN :S △PAB =1:2.值得注意的是抛物线的性质远也不止这些,上述所列诸条,大多数是在区域模拟考试及高考中经常出现的.众所周知,以阿基米德三角形为背景的直线的定点、三角形的面积、轨迹、最值等相关问题是高考和模拟考考查的热点也是难点.纸上得来终觉浅,接下来我们不妨从多个视角去赏析一道高考题,以进一步体会阿基米德三角形的相关性质.典型例题【例1】已知曲线C:y =12x 2,D 为直线y =−12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B . (1)证明:直线AB 过定点;(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见解析;(2)3或4√2.【分析】分析题目可知,直线AB 是切点所在的直线,只需找到㔹点的共同属性即可.故可采用“设而不求”的思想就将该问题解决. 【解析】解法1:设而不求设D (t,−12),A (x 1,y 1),则x 12=2y 1.由于y ′=x ,所以切线DA 的斜率为x 1,故y 1+12x1−t=x 1即DA 的方程为2tx 1−2y 1+1=0.设B (x 2,y 2),同理可得DB 的方程为2tx 2−2y 2+1=0. 故直线AB 的方程为2tx −2y +1=0,所以直线AB 过定点(0,12).(2)由(1)得直线AB 的方程为y =wx +12.由{y =tx +12y =x 22,可得x 2−2tx −1=0 于是x 1+x 2=2t,x 1x 2=−1,y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1,|AB|=√1+t 2|x 1−x 2|=√1+t 2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(t 2+1)设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离,则d 1=√t 2+1,d 2=√t 2+1.因此,四边形ADBE 的面积S =12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1. 设M 为线段AB 的中点,则M (t,t 2+12).由于EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,t 2−2),AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量(1,t)平行,所以t +(t 2−2)t =0.解得t =0或t =±1. 当t =0时,S =3;当t =±1时,S =4√2.因此,四边形ADBE 的面积为3或4√2.分析:本题还可从寻找切点A,B 定直线入手,将直线AB 用参数表示,借助海伦秦九韶公式将面积问题解决. 解法2:求切点定直线(1)设D (t,−12),过D 点与C 相切的直线方程设为y +12=k(x −t),切线AD,BD 的斜率分别为k 1,k 2.由{y +12=k(x −t)y =x 22,可得x 2−2kx +2kt +1=0(1) 由Δ=0,可得k 2−2kt −1=0(2)于是k 1+k 2=2t,k 1k 2=−1 将@代入(1),可得A (k 1,k 122),B (k 2,k 222),所以k AB =k 1+k 22=t.故直线AB 的方程为y =k 1+k 22x +12,即直线AB 过定点(0,12).(2)设线段AB 的中点坐标为T (x 0,y 0),则有 x 0=k 1+k 22=t,y 0=k 12+k 224=t 2+12,所以k ET =t 2−2t又k AB ⋅k ET =−1,解得t =0或t =±1 又DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k 1−k 22,k 12+12),DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(k 2−k 12,k 22+12) 利用面积公式S =12√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ̅̅̅̅)2=12|x 1y 2−x 2y 1|可得 S △DAB=12|k 1−k 22⋅k 22+12−k 2−k 12⋅k 12+12|=18|k 1−k 2|3 同理可得 S △EAB =|k 1−k 2|当t =0时,|k 1−k 2|=2,此时S 冏边形 ADBE =18|k 1−k 2|3+|k 1−k 2|=3 当t =±1时,|k 1−k 2|=2√2,此时S 㐰边形 ADBE =18|k 1−k 2|3+|k 1−k 2|=4√2注:此处给出的这种方法是解决此类问题的通性通法,但注意不要漏掉斜率为0的情形. 解法3:设直线定“待参”设直线AB 的方程设为y =kx +m,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)由{y =kx +my =x 22,可得x 2−2kx −2m =0.于是x 1+x 2=2k,x 1x 2=−2m由于y ′=x ,所以切线DA,BD 的斜率分别为x 1,x 2 所以切线DA,BD 的方程分别为x 1x =y +y 1,x 2x =y +y 2联立可得D 点的纵坐标y D =12x 1x 2=−m ,又D 为直线y =−12上的动点,所以m =12 故直线AB 过定点(0,12) (2)由(1)知x D =y D +y 1x 1=12x 1x 2+12x 12x 1=x 1+x 22=k设线段AB 的中点坐标为T (x 0,y 0),则有x 0=x 1+x 22=k所以TD 垂直于直线y =−12过A,B 分别作直线y =−12的垂线,垂足分别为A 1,B 1,如图所示,所以点D 为A 1B 1的中点.记AB 过的定点为F ,则有AA 1=AF,BB 1=BF 由(1)知k AD ⋅k BD =x 1x 2=−1,所以DA ⊥DB 易得S △DAB =12S 梯形AA 1B 1B =(y 1+12+y 2+12)|x 1−x 2|2=|x 1−x 2|38又S △EAB =12|EF|⋅|x 1−x 2|=12(52−12)⋅|x 1−x 2|=|x 1−x 2| 以下计算同方法二. 解法四:设切点定截距设A (x 1,x 122),B (x 2,x 222),D (m,−12),直线AB:y =kx +b . 联立{y =12x 2y =kx +b⇒x 2−2kx −2b =0,由韦达定理得{x 1+x 2=2kx 1⋅x 2=−2b又y ′=x ,从而直线DA,DB 的方程分别为y =x 1x −12x 12,y =x 2x −12x 22.因为切线过点D (m,−12),所以有{mx 1−12x 12=−12mx 2−12x 22=−12即x 1,x 2为方程x 2−2mx −1=0的两根,即x 1⋅x 2=−1=−2b ⇒b =12,所以直线AB 过定点(0,12).(2)由(1)知,x 1+x 2=2k ,则y 1+y 2=k (x 1+x 2)+1=2k 2+1,所以,AB 的中点T (k,k 2+12). 当k =0时,M (0,12),此时,四边形ADBE 的面积S =3.当k ≠0时,由k TE ⋅k AB =−1得k 2−2k=−1k ,解得k 2=1.所以,|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(k 2+1)=4. 又点E 到直线AB 的距离d 1=√1+k 2=√2,点D 到直线AB 的距离d 2=√1+k 2=√2所以四边形ADBE 的面积S =12×|AB|×(d 1+d 2)=4√2.综上,四边形ADBE 的面积为3或4√2.强化训练以阿基米德三角形为背景考查的高考题主要还有以下几种类型.(一)轨迹问题1.如图,抛物线C 1:x 2=4y,C 2:x 2=−2py(p >0).点M (x 0,y 0)在拋物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点为A,B(M为原点O 时,A,B 重合于O).当x 0=1−√2时,切线MA 的斜率为−12. (1)求p 的值;(2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O ).【答案】(1)p =2;(2)见解析 【解析】(1)p =2过程从略; (2)设N(x,y),A (x 1,x 124),B (x 2,x 224),x 1≠x 2由N 为线段AB 中点知x =x 1+x 22(1),所以y =x 12+x 228(2).所以,切线MA,MB 的方程分别为y =x 12(x −x 1)+x 124,(3)y =x 22(x −x 2)+x 224.(4)由(3)(4)得,MA,MB 的交点M (x 0,y 0)的坐标为x 0=x 1+x 22,y 0=x 1x 24.因为点M (x 0,y 0)在C 2上,即x 02=4y 0,所以x 1x 2=−x 12+x 226.(5)由(1)(2)(5)得x 2=43y,x ≠0.当x 1=x 2时,A,B 重合于O 时,中点N 为O ,坐标满足x 2=43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2=43y .2.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F,A,B 是抛物线上的两动点,且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)过A,B 两点分别作扡物线的切线,设其交点为M .(1)证明FM̅̅̅̅̅⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值; (2)设△ABM 的面积为S ,写出S =f(λ)的表达式,并求S 的最小值.【答案】(1)见解析;(2)4.【解析】(1)由已知条件,得F(0,1),λ>0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0) 即(−x 1,1−y )=λ(x 2,y 2−1),也即{−x 1=λx 2①1−y 1=λ(y 2−1)②将①式两边平方并把x 12=4y 1,x 22=4y 2代入得y 1=λ2y 2③解②、③式得y 1=λ,y 2=1λ,且有x 1x 2=−4, 拋物线方程为y =14x 2,求导得y ′=12x .所以过抛物线上A,B 两点的切线方程分别是y =12x 1(x −x 1)+y 1,y =12x 2(x −x 2)+y 2易得M 的坐标为(x 1+x 22,−1).所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 22,−2)⋅(x 2−x 1,y 2−y 1)=0 (II)由(I )知在△ABM 中,FM ⊥AB ,因而S =12|AB|⋅|FM|.又|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1+x 22)2+(−2)2=√λ+1λ+2=√λ√λ|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ+1λ+2=(√λ+√λ)2于是S =12|AB|⋅|FM|=12(√λ√λ)3,由√λ+√λ⩾2知S ⩾2,且当λ=1时,S 取得最小值4.3.如图,等边三角形OAB 的边长为8√3,且其三个顶点均在拋物线E:x 2=2py(p >0)上.(1)求抛物线E 的方程;(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ,与直线y =−1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.【答案】(1)x 2=4y ; (2)见解析.【解析】(1)抛物线E 的方程为x 2=4y ,过程略.(2)设P (x 0,y 0),x 0≠0,由y =14x 2,得y ′=12x ,直线l 的方程为y −y 0=12x 0(x −x 0),即y =12x 0x −14x 02.联立20011241y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,即200421x x x y ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩,所以2004,12x Q x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 设M (0,y 1),所以MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0−y 1),MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 02−42x 0,−1−y 1) 因为MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以x 02−42x 0−y 0−y 0y 1+y 1+y 12=0.又y 0=14x 02(x 0≠0),所以y 1=1 故以PQ 为直径的圆恒过M(0,1).4.如图,设抛物线C:y =x 2的焦点为F ,动点P 在直线l:x −y −2=0上运动,过P 作拋物线C 的两条切线PA,PB ,且与抛物线C 分别相切于A,B 两点. (1)求△APB 的重心G 的轨迹方程; (2)证明∠PFA =∠PFB .【答案】(1)y =13(4x 2−x +2); (2)见解析.【解析】(1)设切点A,B 坐标分别为(x,x 02)和(x 1,x 12)((x 1≠x 0), 所以切线AP 的方程为:2x 0x −y −x 02=0; 切线BP 的方程为:2x 1x −y −x 12=0;解得P 点的坐标为:x P =x 0+x 12,y P =x 0x 1所以△APB 的重心G 的坐标为x G =x 0+x 1+x P3=x P ,y G =y 0+y 1+y P 3=x 02+x 12+x 0x 13=(x 0+x 1)2−x 0x 13=4x P2−y p 3所以y p =−3y G +4x G 2,由点P 在直线l 上运动.从而得到重心G 的轨迹方程为: x −(−3y +4x 2)−2=0,y =13(4x 2−x +2).(2)因为FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,x 02−14),FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+x 12,x 0x 1−14),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,x 12−14). 由于P 点在拋物线外,则|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |≠0.所以cos∠AFP =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |FP⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 0+x 12⋅x +(x x −14)(x 2−14)|FP ̅̅̅̅|√x 02+(x 02−14)2=x 0x 1+14|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |同理有cos∠BFP =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |FP⃗⃗⃗⃗⃗ ||FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 0+x 12⋅x +(x x −14)(x 2−14)|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |√x 12+(x 12−14)2=x 0x 1+14|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |所以∠PFA =∠PFB .5.如图,设抛物线方程为 x 2=2py(p >0),M 为直线y =−2p 上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A,B .(1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列;(2)已知当M 点的坐标为(2,−2p)时,|AB|=4√10,求此时抛物线的方程;(3)是否存在点M ,使得点C 关于直线AB 的对称点D 在拋物线x 2=2py(p >0)上,其中点C 满足 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)证明:由题意设A (x 1,x 122p ),B (x 2,x 222p),x 1<x 2,M (x 0,−2p ). 由x 2=2py 得y =x 22p,得y ′=xp,所以k MA =x 1p,k MB =x 2p.因此直线MA 的方程为y +2p =x 1p(x −x 0),直线MB 的方程为y +2p =x 2p(x −x 0).所以x 122p+2p =x 1p(x 1−x 0),(1)x 222p+2p =x 2p(x 2−x 0).(2)由(1)、(2)得x 1+x 22=x 1+x 2−x 0,因此x 0=x 1+x 22,即2x 0=x 1+x 2.所以A,M,B 三点的横坐标成等差数列.(2) 由(1)知,当x 0=2时,将其代入(1)、(2)并整理得:x 12−4x 1−4p 2=0,x 22−4x 2−4p 2=0所以x 1,x 2是方程x 2−4x −4p 2=0的两根,因此x 1+x 2=4,x 1x 2=−4p 2, 又k AB =x 222p −x 122p x2−x 1=x 1+x 22p=x 0p,所以k AB =2p由弦长公式得|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+4p2√16+16p2.又|AB|=4√10,所以p=1或p=2,因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.(3)设D(x3,y3),由题意得C(x1+x2,y1+y2),则CD的中点坐标为Q(x1+x2+x32,y1+y2+y32).设直线AB的方程为y−y1=x0p(x−x1),由点Q在直线AB上,并注意到点(x1+x22,y1+y22)也在直线AB上,代入得y3=x0px3.若D(x3,y3)在拋物线上,则x32=2py3=2x0x3.因此x3=0或x3=2x0.即D(0,0)或D(2x0,2x02p).(1)当x0=0时,则x1+x2=2x0=0,此时,点M(0,−2p)适合题意.(2)当x0≠0,对于D(0,0), 此时C(2x0,x12+x222p ),k CD=x12+x222p2x0=x12+x224px0,又k AB=x0p,AB⊥CD所以k AB⋅k CD=x0p ⋅x12+x224px0=x12+x224p2=−1,即x12+x22=−4p2,矛盾.对于D(2x0,2x02p ),因为C(2x0,x12+x222p),此时直线CD平行于y轴,又k AB=x0p≠0,所以直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾,所以x0≠0时,不存在符合题意的M点.综上所述,仅存在一点M(0,−2p)适合题意.。
阿基米德三角形常用结论及证明导言:阿基米德三角形是指在一个等边三角形内分别连接三个顶点到相对边的中点,形成的小三角形和原大三角形的比例。
这个特殊的几何形态在数学和物理学中有许多重要的应用,因此我们有必要深入研究它的性质和结论。
本文将通过多个结论的简单证明,来展示阿基米德三角形在实践中的重要性和丰富的数学内涵。
一、阿基米德三角形的定义及性质阿基米德三角形是在一个等边三角形的内部,连接三个顶点到相对边的中点,得到的三个边长相等的小三角形。
它是以古希腊数学家阿基米德的名字命名,是一种特殊的三角形形态。
阿基米德三角形有许多重要的性质,其中最重要的包括:1)它是一个等边三角形;2)它内部的三个小三角形形成的比例是1:2。
二、阿基米德三角形的常用结论1、三个小三角形的面积比例阿基米德三角形内部的三个小三角形的面积比例是1:2。
证明:设等边三角形的边长为a,那么每个小三角形的底边长为a/2,高为a乘以sin(60°),即a*√3/2。
设三角形的底边为a,那么三个小三角形的面积可以表示为:S1 = 1/2 * (a/2) * (a*√3/2) = a^2√3/8S2 = S1 = a^2√3/8S3 = S1 = a^2√3/8所以三个小三角形的面积比例是1:1:1,即1:2:1。
2、外接圆半径与等边三角形边长的比阿基米德三角形内切于一个圆,该圆即等边三角形的外接圆。
它的半径r与等边三角形的边长a之间的比例是,r = a/√3。
证明:由于外接圆于三角形的三个顶点相切,所以三角形的高等于外接圆的半径。
因此阿基米德三角形中小三角形的高也等于外接圆的半径。
在三角形中,高等于底边长度乘以sin(60°),即a*√3/2。
所以外接圆的半径r等于a*√3/2,即r = a/√3。
三、阿基米德三角形的应用阿基米德三角形在实际中有许多重要的应用。
其中包括:1、物体的密度计算在物理学中,我们可以利用阿基米德三角形的性质来计算物体的密度。
阿基米德三角形【方法技巧与总结】如图所示,AB 为抛物线x 2=2py (p >0)的弦,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),分别过A ,B 作的抛物线的切线交于点P ,称△PAB 为阿基米德三角形,弦AB 为阿基米德三角形的底边.1.阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.2.若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C x 0,y 0 ,则另一顶点P 的轨迹为一条直线.3.若直线l 与抛物线没有公共点,以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.4.底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为a 38p.5.若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点Q 的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积的最小值为p 2.6.点P 的坐标为x 1+x 22,x 1x 22p;7.底边AB 所在的直线方程为x 1+x 2 x -2py -x 1x 2=0;8.△PAB 的面积为S △PAB =x 1-x 238p.9.若点P 的坐标为x 0,y 0 ,则底边AB 的直线方程为x 0x -p y +y 0 =0.10.如图,若E 为抛物线弧AB 上的动点,点E 处的切线与PA ,PB 分别交于点C ,D ,则|AC ||CP |=|CE ||ED |=|PD ||DB |.11.若E 为抛物线弧AB 上的动点,抛物线在点E 处的切线与阿基米德三角形△PAB 的边PA ,PB 分别交于点C ,D ,则S△EAB S △PCD =2.12.抛物线和它的一条弦所围成的面积,等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的23.【题型归纳目录】题型一:定点问题题型二:交点的轨迹问题题型三:切线垂直问题题型四:面积问题题型五:外接圆问题题型六:最值问题题型七:角度相等问题【典例例题】题型一:定点问题例1.已知点A (0,-1),B (0,1),动点P 满足|PB ||AB |=PA ⋅BA .记点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)设D 为直线y =-2上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别是E ,F .证明:直线EF 过定点.【解析】解:(1)设P (x ,y ),则PA =(-x ,-1-y ),PB=(-x ,1-y )AB =(0,2),BA =(0,-2),所以|PB ||AB|=PA ⋅BA ,所以(-x )2+(1-y )2=1+y 化简得x 2=4y ,所以C 的方程为x 2=4y .(2)由题意可设D (t ,-2),E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),由题意知切线DE ,DF 的斜率都存在,由x 2=4y ,得y =x 24,则y ′=x 2,所以k DE =x 12,直线DE 的方程为y -y 1=x 12(x -x 1),即y -y 1=x 12x -x 122,①因为E (x 1,y 1)在x 2=4y 上,所以x 12=4y 1,即x 122=2y 1,②将②代入①得x 1x -2y 1-2y =0,所以直线DE 的方程为x 1x -2y 1-2y =0,同理可得直线DF 的方程为x 2x -2y 2-2y =0,因为D (t ,-2)在直线DE 上,所以tx 1-2y 1+4=0,又D (t ,-2)在直线DF 上,所以tx 2-2y 2+4=0,所以直线EF 的方程为tx -2y +4=0,故直线EF 过定点(0,2).例2.已知曲线C :y =x 22,D 为直线y =-12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .(1)证明:直线AB 过定点.(2)若以E 0,52为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求该圆的方程.【解析】(1)证明:设D t ,-12,A (x 1,y 1),则x 12=2y 1,由于y ′=x ,∴切线DA 的斜率为x 1,故y 1+12x 1-t=x 1,整理得:2tx 1-2y 1+1=0.设B (x 2,y 2),同理可得2tx 2-2y 2+1=0.故直线AB 的方程为2tx -2y +1=0.∴直线AB 过定点0,12 ;(2)解:由(1)得直线AB 的方程y =tx +12.由y =tx +12y =x22,可得x 2-2tx -1=0.于是x 1+x 2=2t ,y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1.设M 为线段AB 的中点,则M t ,t 2+12,由于EM ⊥AB ,而EM =(t ,t 2-2),AB 与向量(1,t )平行,∴t +(t 2-2)t =0,解得t =0或t =±1.当t =0时,|EM |=2,所求圆的方程为x 2+y -522=4;当t =±1时,|EM |=2,所求圆的方程为x 2+y -522=2.例3.在平面直角坐标系xOy 中,M 为直线y =x -2上一动点,过点M 作抛物线C :x 2=y 的两条切线MA ,MB ,切点分别为A ,B ,N 为AB 的中点.(1)证明:MN ⊥x 轴;(2)直线AB 是否恒过一定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.【解析】解:(1)设切点A (x 1,x 21),B (x 2,x 2),因为y =2x ,所以切线MA 的斜率为2x 1,直线MA 的方程为:y =2x 1(x -x 1)+x 21=2x 1x -x 21,设M 的坐标为:(t ,t -2)所以x 21-2tx 1+t -2=0,直线MB 的斜率为2x 2,切线MB 的方程为y =2x 2x -x 22,所以M 点是方程x 22-2tx 2+t -2=0,所以x 1,x 2是方程x 2-2tx +t -2=0的两根,x 1+x 2=2t ,因为N 为AB 的中点.所以x N =x 1+x 22=t ,所以M ,N 的横坐标相同,即证MN ⊥x 轴.(2)由(1)得y N =12(x 21+x 22)=(x 1+x 2)2-2x 1x 22=2t 2-t +2,又因为k AB =x 12-x 22x 1-x 2=x 1+x 2=2t ,所以直线AB 的方程为:y -(2t 2-t +2)=2t (x -t ),即y -2=2t x -12,所以直线AB 恒过一定点12,2.变式1.在平面直角坐标系xOy 中,M 为直线y =x -3上的动点,过点M 作抛物线C :x 2=2y 的两条切线MA ,MB ,切点分别为A ,B ,N 为AB 的中点.(1)证明:MN ⊥x 轴;(2)直线AB 是否恒过定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.【解析】解:(1)证明:设切点为A x 1,x 122 ,B x 2,x 222,x 2=2y 即y =12x 2的导数为y ′=x ,所以切线MA 的斜率为x 1,切线的方程为y -x 122=x 1(x -x 1),设M (t ,t -3),则有t -3-x 122=x 1(t -x 1),化简可得x 21-2tx 1+2t -6=0,同理可得x 22-2tx 2+2t -6=0,所以x 1,x 2是方程x 2-2tx +2t -6=0的两根,所以x 1+x 2=2t ,x 1x 2=2t -6,x N =x 1+x 22=t =x M ,所以MN ⊥x 轴;(2)因为y N =14(x 21+x 22)=14(x 1+x 2)2-12x 1x 2=t 2-t +3,所以N (t ,t 2-t +3),因为k AB =12⋅x 12-x 22x 1-x 2=x 1+x 22=t ,所以直线AB 的方程为y -(t 2-t +3)=t (x -t ),即y -3=t (x -1),所以直线AB 恒过定点(1,3).题型二:交点的轨迹问题例4.已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点F (0,c )(c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为322.(Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ)设点P (x 0,y 0)为直线l 上一动点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA ,PB ,其中A ,B 为切点,求直线AB 的方程,并证明直线AB 过定点Q ;(Ⅲ)过(Ⅱ)中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ,B 两点,过点A ,B 分别作抛物线C 的切线l 1,l 2,求l 1,l 2交点M 满足的轨迹方程.【解析】解:(Ⅰ)∵抛物线C 的焦点F (0,c )(c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为322,∴|0-c -2|2=322,解得c =1或c =-5,(舍),∴抛物线C 的方程为x 2=4y .(Ⅱ)设P (x 0,x 0-2),设切点为x ,x 24 ,曲线C :y =x 24,y ′=x 2,则切线的斜率为x 24-(x 0-2)x -x 0=y ′=x 2,化简,得x 2-2x 0x +4x 0-8=0,设A x 1,x 124 ,B x 2,x 224,则x 1,x 2是以上方程的两根,∴x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4x 0-8,k AB =x 124-x 224x 1-x 2=x 1+x 24=x 02,直线AB 为:y -x 124=x 1+x 24(x -x 1),化简,得:x 0x -2y -2y 0=0,定点Q (2,2).(Ⅲ)设A x 1,x 124 ,B x 2,x 224,过A 的切线y =x 12(x -x 1)+x 124,过B 的切线y =x 22(x -x 2)+x 224,交点M x 1+x 22,x 1x 24设过Q 点的直线为y =k (x -2)+2联立y =k (x -2)+2x 2=4y,得x 2-4kx +8k -8=0,∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=8k -2,∴M (2k ,2k -2),∴y =x -2.∴点M 满足的轨迹方程为x -y -2=0.例5.已知动点Q 在x 轴上方,且到定点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1,(Ⅰ)求动点Q 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)过点P (1,1)的直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,点A ,B 分别异于原点O ,在曲线C 的A ,B 两点处的切线分别为l 1,l 2且l 1,l 2交于点M ,求证:M 在定直线上.【解析】解:(Ⅰ)动点P (x ,y )(其中y >0)到x 轴的距离为y ,到x 轴的距离为y +1.∴|PM |=y +1,又M (0,1),∴x 2+(y -1)2=y +1.得轨迹C 的方程:x 2=4y ,y ≠0.(Ⅱ)证明:由题意,直线l 的斜率为存在并且不为1,设直线l 的方程为:y =k (x -1)+1,k ≠1,与x 2=4y 联立,可得x 2-4kx +4k -4=0,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=4k -4,①又y =x 24,所以y ′=x2,所以切线l 1的方程为:y =x12(x -x 1)+y 1,即y =x 12x -x 124,同理,切线l 2:y =x 22x -x 224,联立可得:x =x 1+x 22=2k ,y =x 1x24=k -1,两式相消k 可得:x -2y -2=0,当k =1时,x =2,y =0,所以解得M 的轨迹方程为:x -2y -2=0,去掉(2,0).交点M 在定直线上.例6.已知抛物线C .y =ax 2(a >0)的焦点为F ,直线x =2与x 轴相交于点M ,与曲线C 相交于点N ,且|MN |=45|FN |.(1)求抛物线C 的方程;(2)过抛物线C 的焦点F 的直线l 交抛物线于P ,Q 两点,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,求证点A 的纵坐标为定值.【解析】解:(1)由已知抛物线C :x 2=1a y (a >0)的焦点F 0,14a,由|MN |=45|FN |,得|FN |=54|MN |=|MN |+14a ,即|MN |=1a,点N (2,4a ),所以1a =4a (a >0)a =12,所以抛物线方程:x 2=2y .(2)∵抛物线x 2=2y 的焦点为F 0,12,∴设过抛物线x 2=2y 的焦点的直线为y =kx +12.设直线与抛物线的交点分别为P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),由x 2=2yy =kx +12,消去y 得:x 2-2kx -1=0,根据韦达定理,得x 1x 2=-1,抛物线x 2=2y ,即二次函数y =12x 2,对函数求导数,得y =x ,所以抛物线在点P 处的切线斜率为k 1=x 1,可得切线方程为y -y 1=x 1(x -x 1),化简得y =x 1x -12x 21,同理,得到抛物线在点Q 处切线方程为y =x 2x -12x 22,两方程消去x ,得两切线交点A 纵坐标满足y A =x 1x22,∵x 1x 2=-1,∴y A=-12,即点A 的纵坐标是定值-12.变式2.已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,过F 的直线交抛物线于A ,B 两点.(Ⅰ)若以A ,B 为直径的圆的方程为(x -2)2+(y -3)2=16,求抛物线C 的标准方程;(Ⅱ)过A ,B 分别作抛物线的切线l 1,l 2,证明:l 1,l 2的交点在定直线上.【解析】解:(1)由抛物线的定义可得p2+3=4,得p =2,故抛物线C 的标准方程为x 2=4y ,(2)由抛物线x 2=2py 得其焦点坐标为F 0,p2.设A x 1,x 212p ,B x 2,x 222p,直线AB :y =kx +p2,代入抛物线方程,得:x 2-2kpx -p 2=0.∴x 1x 2=-p 2⋯①.又抛物线方程求导得y ′=xp,∴抛物线过点A 的切线的斜率为x 1p ,切线方程为y -x 212p =x1p(x -x 1)⋯②抛物线过点B 的切线的斜率为x 2p ,切线方程为y -x 222p =x2p(x -x 2)⋯③由①②③得:y =-p2.∴l1与l2的交点P的轨迹方程是y=-p 2.变式3.抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线过点P(p,1).(Ⅰ)求抛物线C的标准方程与其准线l的方程;(Ⅱ)过F点作直线与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线的切线,证明两条切线的交点在抛物线C的准线l上.【解析】解:(Ⅰ)由p2=2p×1,得p=2,所以抛物线的标准方程为x2=4y,准线l的方程为y=-1;(Ⅱ)证明:根据题意直线AB的斜率一定存在,又焦点F(0,1),设过F点的直线方程为y=kx+1,联立抛物线方程得x2-4kx-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.∴x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16k2+8.由y=14x2得,y =12x,过A,B分别的抛物线的切线方程为y-y1=12x1(x-x1)y-y2=12x2(x-x2),即y=12x1x-14x12 y=12x2x-14x22 ,两式相加,得y=14(x1+x2)x-18(x21+x22),化简,得y=kx-(2k2+1),即y=k(x-2k)-1,所以,两条切线交于点(2k,-1),该点显然在抛物线C的准线l:y=-1上.题型三:切线垂直问题例7.已知抛物线C的方程为x2=4y,点P是抛物线C的准线上的任意一点,过点P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,点M是AB的中点.(1)求证:切线PA和PB互相垂直;(2)求证:直线PM与y轴平行;(3)求ΔPAB面积的最小值.【解析】(1)证明:由题意,开口向上的抛物线的切线斜率存在.设点P坐标为(t,-1),切线斜率为k,过点P的切线方程为y=k(x-t)-1,联立方程,x2=4yy=k(x-t)-1,消去y,得x2-4kx+4(kt+1)=0,由△=16k2-16(kt+1)=0,得k2-tk-1=0,记关于k的一元二次方程k2-tk-1=0的两根为k1,k2,则k1,k2分别为切线PA,PB的斜率,由根与系数的关系知k1k2=-1,所以切线PA和PB互相垂直.(2)证明:设点A x1x21 4,B x2,x224,由x2=4y,知y=14x2,则y =12x,所以过点A的切线方程为y=x12(x-x1)=x214,将点(t,-1)代入,化简得x21-2tx1-4=0,同理可得x22-2tx2-4=0,所以x1,x2是关于x的方程x2-2tx-4=0的两个根,由根与系数的关系知x1+x2=2t,所以x1+x22=t,即AB中点M的横坐标为t,而点P的横坐标也为t,所以直线PM与y轴平行.(3)解:点M t,x21+x22 8,则|PM|=x21+x228+1,则SΔPAB=12|PM|⋅|x1-x2|=12×x21+x228+1×|x1-x2|,由(2)知,x1+x2=2t,x1x2=-4,则x21+x22=4t2+8,|x1-x2|=4t2+16,SΔPAB=12×x21+x228+1×|x1-x2|=12(t2+4)t2+4=12(t2+4)3,当t=0时,ΔPAB面积的最小值为4.例8.已知抛物线C的方程为x2=4y,过点P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B.(1)若点P坐标为(0,-1),求切线PA,PB的方程;(2)若点P是抛物线C的准线上的任意一点,求证:切线PA和PB互相垂直.【解析】(1)解:由题意,开口向上的抛物线的切线斜率存在,设切线斜率为k,点P坐标为(0,-1),过点P的切线方程为y=kx-1,联立x2=4yy=kx-1,消去y,得x2-4kx+4=0,由△=16k2-16=0,解得k=±1,所以切线PA,PB的方程分别为y=x-1和y=-x-1,即切线方程分别为x-y-1=0和x+y+1=0;(2)证明:设点P坐标为(t,-1),切线斜率为k,过点P的切线方程为y=k(x-t)-1,联立x2=4yy=k(x-t)-1,消去y,得x2-4kx+4(kt+1)=0,由△=16k2-16(kt+1)=0,得k2-tk-1=0,记关于k的一元二次方程k2-tk-1=0的两根为k1,k2,则k1,k2分别为切线PA,PB的斜率,由根与系数的关系知k1k2=-1,所以切线PA和PB互相垂直.例9.已知中心在原点的椭圆Γ1和抛物线Γ2有相同的焦点(1,0),椭圆Γ1的离心率为12,抛物线Γ2的顶点为原点.(Ⅰ)求椭圆Γ1和抛物线Γ2的方程;(Ⅱ)设点P为抛物线Γ2准线上的任意一点,过点P作抛物线Γ2的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.【解析】解:(Ⅰ)设椭圆Γ1和抛物线Γ2的方程分别为x2a2+y2b2=1(a>b>0),y2=2px,(p>0),∵椭圆Γ1和抛物线Γ2有相同的焦点(1,0),椭圆Γ1的离心率为12,∴ca=12c=1p2=1,解得a=2,c=1,p=2,∴b=4-1=3,∴椭圆Γ1的方程为x24+y23=1,抛物线Γ2的方程为y2=4x.(Ⅱ)证明:设P(-1,t),过点P与抛物线y2=4x相切的直线方程为y-t=k(x+1),由y-t=k(x+1)y2=4x,得y2-4k y+4tk+4=0,由△=-4 k2-44t k+4=0,得k2+tk-1=0,∵直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,∴k1k2=-1.∴k1k2为定值.变式4.抛物级x2=2py(p>0)的焦点F到直线y=-p2的距离为2.(1)求抛物线的方程;(2)设直线y=kx+1交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,分别过A,B两点作抛物线的两条切线,两切线的交点为P,求证:PF⊥AB.【解析】解:(1)因为抛物级x2=2py(p>0)的焦点F到直线y=-p2的距离为2.所以p=2,所以x2=4y;(2)证明:联立直线y=kx+1与x2=4y,得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=--4k1=4k,x1x2=-4,y=14x2,求导数得y′=12x,所以过点A的抛物线切线为:y-y1=12x1(x-x1),①过点B的抛物线切线为:y-y2=12x2(x-x2),②①-②得y2-y1=12x(x1-x2)-12(x21-x22),所以x=(y2-y1)+12(x12-x22)12(x1-x2)=14x22-14x12+12(x12-x22)12(x1-x2)=x1+x22=4k2=2k,①×x2-②×x1,得x2(y-y1)-x1(y-y2)=-12x12x2+12x1x22,∴(x2-x1)y=-12x12x2+12x1x22-x1y2+x2y1∴(x2-x1)y=-12x12x2+12x1x22-x1∙14x22+x2∙14x21∴(x2-x1)y=14x1x22-14x12x2∴(x2-x1)y=14x1x2(x2-x1),∴y=14x1x2=-1,所以P(2k,-1),F(0,1),所以k PF ∙k AB =1-(-1)0-2k∙k =-1,所以PF ⊥AB .题型四:面积问题例10.已知抛物线C 的方程为x 2=2py (p >0),点A x ,32是抛物线上的一点,且到抛物线焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程;(2)点Q 为直线y =-12上的动点,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为D ,E ,求ΔQDE 面积的最小值.【解析】解:(1)设抛物线焦点为F ,由题意可得|AF |=32+p 2=2,故p =1,抛物线的方程为x =2y .(2)设Q m ,-12.由题可知切线的斜率存在且不为0,故可设切线方程为y +12=k (x -m ),k ≠0.联立y +12=k (x -m )x 2=2y,消去y 得.x 2-2kx +2km +1=0.由直线与抛物线相切可得△=0,∴k 2-2km -1=0,即k 2=2km +1.∴x 2-2kx +k 2=0,解得x =k ,可得切点坐标为k ,k 22,故可设D k 1,k 122 ,E k 2,k 222,由k 2-2km -1=0,可得k 1+k 2=2m ,k 1⋅k 2=-1,∴QD ⊥QE ,∴ΔQDE 为直角三角形,∴QDE 的面积S =12|QD |⋅|QE |.令切点k ,k22到点Q 的距离为d ,则d 2=(k -m )2+k 2+12 2=4k 2-8km +4m 2+(2km +2)24=k 2+m 2+k 2m 2+1=(k 2+1)(m 2+1),∴|QD |=(k 12+1)(m 2+1),|QE |=(k 22+1)(m 2+1),∴S =12(m 2+1)k 12+k 22+k 12k 22+1=12(m 2+1)(k 1+k 2)2-2k 1k 2+2=12(m 2+1)4m 2+4=(m 2+1)32,当m =0时,即点Q 的坐标为0,-12时,ΔQDE 的面积S 取得最小值1.例11.已知点A (0,2),动点M 到点A 的距离比动点M 到直线y =-1的距离大1,动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)Q 为直线y =-1上的动点,过Q 做曲线C 的切线,切点分别为D 、E ,求ΔQDE 的面积S 的最小值【解析】解:(1)设动点M (x ,y ),由题意得,动点M 到点A 的距离与动点M 到直线y =-2的距离相等,∴动点M 的轨迹为抛物线,且焦点为A ,准线为y =-2,∴曲线C 的方程为:x 2=8y ;(2)设Q (m ,-1),设切线的斜率为k ,则切线方程为:y +1=k (x -m ),代入抛物线整理:x 2-8kx +8km +8=0,由△=0得:64k 2=32(km +1),∴km =2k 2-1,∴x 2-8kx +16k 2=0,解得:x =4k ,∴切点坐标为(4k ,2k 2),由2k 2-km -1=0,得k 1+k 2=m 2,k 1k 2=-12,设直线QD 与QE 的夹角为θ,则tan θ=k 2-k 11+k 1k 2,则sin 2∠QDE =1-cos 2∠QDE =1-11+tan 2∠QDE=1-11+(k 2-k 1)2(1+k 1k 2)2=1-11+(k 1+k 2)2-4k 1k 214=1-11+4m 24+2 =1-1m 2+9=m 2-8m 2-9.令切点(4k ,2k 2)到Q 的距离为d ,则d 2=(4k -m )2+(2k 2+1)2=16k 2-8km +m 2+(km +2)2=16k 2-8km +m 2+k 2m 2+4km +4=(8+m 2)(k 2+1),∴|QD |=(m 2+8)(k 12+1),|QE |=(m 2+8)(k 22+1),∴S =12(8+m 2)⋅(k 1+k 2)2-2k 1k 2+54⋅m 2-8m 2-9=12(8+m 2)⋅m 24+94⋅m 2-8m 2-9=14(8+m 2)⋅9+m 2⋅1-19-m 2≥42,∴当m =0,即Q (0,-1)时,ΔQDE 的面积S 取得最小值42.例12.已知点A (-4,4)、B (4,4),直线AM 与BM 相交于点M ,且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为-2,点M 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求曲线C 的轨迹方程;(Ⅱ)Q 为直线y =-1上的动点,过Q 做曲线C 的切线,切点分别为D 、E ,求ΔQDE 的面积S 的最小值.【解析】解:(I )设M (x ,y ),由题意可得:y -4x +4-y -4x -4=-2,化为x 2=4y .∴曲线C 的轨迹方程为x 2=4y 且(x ≠±4).(II )设Q (m ,-1),切线方程为y +1=k (x -m ),联立y +1=k (x -m )x 2=4y,化为x 2-4kx +4(km +1)=0,由于直线与抛物线相切可得△=0,即k 2-km -1=0.∴x 2-4kx +4k 2=0,解得x =2k .可得切点(2k ,k 2),由k 2-km -1=0.∴k 1+k 2=m ,k 1⋅k 2=-1.∴切线QD ⊥QE .∴ΔQDE 为直角三角形,S =12|QD |⋅|QE |.令切点(2k ,k 2)到Q 的距离为d ,则d 2=(2k -m )2+(k 2+1)2=4(k 2-km )+m 2+(km +2)2=4(k 2-km )+m 2+k 2m 2+4km +4=(4+m 2)(k 2+1),∴|QD |=(4+m 2)(k 21+1),|QE |=(4+m 2)(k 22+1),∴S =12(4+m 2)(k 1+k 2)2-2k 1k 2+2=12(4+m 2)4+m 2≥4,当m =0时,即Q (0,-1)时,ΔQDE 的面积S 取得最小值4.变式5.如图,已知抛物线C :y 2=2px (p >0)上的点R 的横坐标为1,焦点为F ,且|RF |=2,过点P (-4,0)作抛物线C 的两条切线,切点分别为A 、B ,D 为线段PA 上的动点,过D 作抛物线的切线,切点为E (异于点A ,B ),且直线DE 交线段PB 于点H .(Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ)(ⅰ)求证:|AD |+|BH |为定值;(ⅱ)设ΔEAD ,ΔEBH 的面积分别为S 1,S 2,求S =3S 1+13S 2的最小值.【解析】解:(Ⅰ)∵抛物线C :y 2=2px (p >0)上的点R 的横坐标为1,焦点为F ,且|RF |=2,∴由抛物线定义得1+p 2=2,解得p =2,∴抛物线C 的方程为C :y 2=4x .(Ⅱ)(i )证明:设直线AP :y =k (x +4),由y =k (x +4)y 2=4x,得k 2x 2+(8k 2-4)x +16k 2=0,△=(8k 2-4)2-64k 4=0,解得k =±12,代入方程k 2x 2+(8k 2-4)x +16k 2=0,得x =4,设AP :y =12(x +4),BP :y =-12(x +4),则A (4,4),B (4,-4),设D (2t ,t +2),t ∈(-2,2),设直线DH :x =m (y -t -2)+2t ,则由x =m (y -t -2)+2t y 2=4x,得y 2-4my +4mt +8m -8t =0,由△=16m 2-16mt -32m +32t =0,可得m 2-(t +2)m +2t =0,解得m =t ,或m =2(舍),∴E (t 2,2t ),DH :x =ty -t 2,由x =ty -t 2y =-12(x +4),得H (-2t ,t -2),∴|AD |+|BH |=1+14(|x A -x D |+|x B -x H |)=52(4-2t +4+2t )=45为定值.(ii )由(i )得d E -AD =|t 2-4t +4|5=15(t -2)2,|AD |=5|4-2t |2,d E -BH =|t 2+4t +4|5=15(t +2)2,|BH |=5|4+2t |2,∴S 1=12×|AD |×d E -AD =12(2-t )3,S 2=12×|BH |×d E -BH =12(2+t )3,∴S =3S 1+13S 2=32(2-t )3+16(2+t )3=f (t ),f (t )=12(t +2)2-92(2-t )2=12(t +2+6-3t )(t +2-6+3t )=-4(t -1)(t -4),当t ∈(-2,1)时,f ′(t )<0,当t ∈(1,2)时,f ′(t )>0,∴f (t )在(-2,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,∴S min =f (1)=6,∴S =3S 1+13S 2的最小值为6.变式6.已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l :mx +y -32=0经过抛物线C 的焦点.(1)求抛物线C 的方程;(2)若直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点,过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求ΔABP 面积的最小值.【解析】解:(1)设抛物线C 的方程为x 2=2py ,∵直线l :mx +y -32=0经过抛物线C 的焦点0,p 2 ,∴p 2-32=0,得p =3,∴抛物线C 的方程为x 2=6y ,(2)设A (x 1,y 1)B (x 2,y 2),由x 2=6ymx +y -32=0 得x 2+6mx -9=0,则△=36m 2+36>0,x 1+x 2=-6m ,x 1x 2=-9,∴|AB |=1+m 2⋅36m 2+36=6(1+m 2),由x 2=6y ,得y =16x 2,则y ′-13x ,∴抛物线经过A 点的切线方程是y -y 1=13x 1(x -x 1)=13xx 1-x 216,同理抛物线经过B 点的切线方程是y -y 2=13x 2(x -x 2)=13xx 2-x 226,解方程组y =13x 1x -x 216y =13x 2x -x 226,得x =x 1+x 22y =x 1x 26 ,∴x =-3m y =-32.∴P -3m ,-32 到直线mx +y -32=0的距离d =m (-3m )-32-32 1+m2=31+m 2,∴ΔABP 面积S =12×6×(1+m 2)×31+m 2=9(1+m 2)32,∵1+m 2≥1,∴S ≥9,即当m =0时,S =9,∴ΔABP 面积的最小值是9.题型五:外接圆问题例13.已知P 是抛物线C :y =14x 2-3的顶点,A 、B 是C 上的两个动点,且PA ⋅PB =-4.(1)试判断直线AB 是否经过某一个定点?若是,求这个定点的坐标;若不是,说明理由;(2)设点M 是ΔPAB 的外接圆圆心,求点M 的轨迹方程.【解析】解:(1)因为点P 是抛物线C :y =14x 2-3的顶点,故点P 的坐标为(0,-3),根据题意可知直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为:y =kx +b ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),故PA =(x 1,y 1+3),PB =(x 2,y 2+3),因为PA ⋅PB =-4,则x 1x 2+(y 1+3)(y 2+3)=-4,因为A 、B 是C 上的两个动点,则有y 1=14x 12-3,y 2=14x 22-3,故x 1x 2+116x 1x 22=-4,整理可得x 12x 22+16x 1x 2+64=0,解得x 1x 2=-8,由y =kx +b y =14x 2-3,消去y 可得x 2-4kx -12-4b =0,则有x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-12-4b ,所以-12-4b =-8,解得b =-1,故直线AB 的方程为y =kx -1,所以直线经过一个定点(0,-1).(2)线段PA 的中点坐标为x 12,x 128-3 ,又直线PA 的斜率为k PA =14x 12x 1=x 14,所以线段PA 的垂直平分线的方程为y -x 128+3=-4x 1x -x 12,①同理,线段PB 的垂直平分线的方程为y -x 228+3=-4x 2x -x 22,②由①②解得x =x 1+x 22,y =(x 1+x 2)28,设点M (x ,y ),则有x =x 1+x 22y =(x 1+x 2)28,消去x 1+x 2,得到x 2=12y ,所以点M 的轨迹方程为x 2=12y .例14.已知点P 是抛物线C :y =14x 2-3的顶点,A ,B 是C 上的两个动点,且PA ⋅PB =-4.(1)判断点D (0,-1)是否在直线AB 上?说明理由;(2)设点M 是ΔPAB 的外接圆的圆心,求点M 的轨迹方程.【解析】解:(1)由抛物线的方程可得顶点P (0,-3),由题意可得直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为:y =kx +4,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)联立直线与抛物线的方程:y =kx +b y =14x 2-3,整理可得:x 2-4kx -4(b +3)=0,△=16k 2+16(3+b )>0,即k 2+3+b >0,x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4(b +3),y 1y 2=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=-4k 2(b +3)+4k 2b +b 2=b 2-12k 2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2b =4k 2+2b ,因为PA ⋅PB =(x 1,y 1+3)(x 2,y 2+3)=x 1x 2+y 1y 2+3(y 1+y 2)+9=-4(b +3)+b 2-12k 2+3(4k 2+2b )+9=b 2+2b -3,而PA ⋅PB =-4,所以b 2+2b -3=-4,解得b =-1,m 满足判别式大于0,即直线方程为y =kx -1,所以恒过(0,-1)可得点D (0,-1)在直线AB 上.(2)因为点M是ΔPAB的外接圆的圆心,所以点M是三角形PAB三条边的中垂线的交点,设线段PA的中点为F,线段PB的中点为E,因为P(0,-3),设A(x1,y1),B(x2,y2)所以Fx12,y1-32,E x22,y2-32,k PA=y1+3x1,k PB=y2+3x2,所以线段PA的中垂线的方程为:y-y1-32=-x1y1+3x-x12,因为A在抛物线上,所以y1+3=14x12,PA的中垂线的方程为:y-x128+3=-4x1x-x12,即y=-4x1x+x128-1,同理可得线段PB的中垂线的方程为:y=-4x2x+x228-1,联立两个方程y=-4x1x+x128-1y=-4x2x+x228-1,解得x=-x1x2(x1+x2)32y M=x12+x22+x1x2-88,由(1)可得x1+x2=4k,x1x2=-4(b+3)=-8,所以x M=--8×4k32=k,y M=x12+x22+2x1x28=(x1+x2)28=2k2,即点M(k,2k2),所以x2M=12y M,即点M的轨迹方程为:x2=12y.题型六:最值问题例15.如图,已知P(-2,t)是直线x=-2上的动点,过点P作抛物线y2=4x的两条切线,切点分别为A,B,与y轴分别交于C,D.(1)求证:直线AB过定点,并求出该定点;(2)设直线AB与x轴相交于点Q,记A,B两点到直线PQ的距离分别为d1,d2;求当|AB|d1+d2取最大值时ΔPCD的面积.【解析】解:(1)证明:设过点P与抛物线相切的直线方程为:x+2=m(y-t),由x+2=m(y-t)y2=4x⇒y2-4my+4(mt+2)=0 ,因为相切,所以△=0⇒y1=y2=2m16m2=16(mt+2)⇒m2-tm-2=0 ,设m1,m2是该方程的两根,由韦达定理得:m1+m2=t m1m2=-2,m1,m2分别表示切线PA,PB斜率的倒数,且每条切线对应一个切点,所以切点A(m21,2m1),B(m22,2m2)⇒k AB=2(m1-m2)m21-m22=2m1+m2所以直线AB为:y=2m1+m2(x-m21)+2m1⇒y=2m1+m2x+2m1m2m1+m2,直线AB方程为:y=2t(x-2),所以AB过定点(2,0).(2)方法一由(1)知|AB|=(m21-m22)2+4(m1-m2)2=|m1-m2|(m1+m2)2+4,由(1)知点Q坐标为(2,0),P(-2,t),所以直线PQ方程为:y=-t4(x-2),即:tx+4y-2t=0⇒d1+d2=|tm21+8m1-2t|t2+16+|tm22+8m2-2t|t2+16,A,B分居直线两侧⇒d1+d2=|t(m21-m22)+8(m1-m2)|t2+16=|m1-m2||t(m1+m2)+8|t2+16,⇒|AB|d1+d2=(m1+m2)2+4t2+16|t(m1+m2)+8|=t2+4t2+16 t2+8=(t2+16)(t2+4)(t2+8)2=1+4t2t4+16t2+64,∴|AB|d1+d2=1+4t2+64t2+16≤1+432=342,∴当且仅当t2=8,又由x+2=m(y-t),令x=0得:C0,2m1+t,D0,2m2+t⇒SΔPCD=12×2×2m1-2m2,⇒SΔPCD=2m1-m2m1m2=|m1-m2|=(m1+m2)2-4m1m2=t2+8=4;方法二:因为|AB|d1+d2=|AB|⋅|PQ|(d1+d2)|PQ|=|AB|⋅d P-AB⋅|PQ|2SΔPAB⋅d P-AB=2SΔPAB⋅|PQ|2SΔPAB⋅d P-AB=|PQ|d P-AB,由(1)知点Q坐标为(2,0),P(-2,t)⇒|PQ|=t2+16,又由(1)知直线AB方程为:2x-ty-4=0⇒d P-AB=|-4-t2-4|t2+4=t2+8t2+4,|AB|d1+d2=|PQ|d P-AB=t2+16⋅t2+4t2+8=(t2+16)(t2+4)(t2+8)2=1+4t2t2+16t2+64,∴|AB|d1+d2=1+4t2+64t2+16≤1+432=342当且仅当t2=8取到等号,又由x+2=m(y-t),令x=0得:C0,2m1+t,D0,2m2+t⇒SΔPCD=12×2×2m1-2m2,⇒SΔPCD=2m1-m2m1m2=|m1-m2|=(m1+m2)2-4m1m2=t2+8=4.题型七:角度相等问题例16.如图,设抛物线C:y=x2的焦点为F,动点P在直线l:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求ΔAPB的重心G的轨迹方程;(2)证明∠PFA=∠PFB.【解析】解:(1)设切点A、B坐标分别为(x0,x20)和(x1,x21)、(x1≠x0),∴切线AP的斜率为2x0,用点斜式求得它的方程为:2x0x-y-x20=0;同理求得切线BP的方程为:2x1x-y-x21=0.解得P点的坐标为:x P=x0+x12,y P=x0x1.所以ΔAPB的重心G的坐标为,y G=y0+y1+y P3=x20+x21+x0x13=(x0+x1)2-x0x13=4x P2-y p3,所以y p=-3y G+4x2G.由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹方程为:x-(-3y+4x2)-2=0,即y=13(4x2-x+2).(2)方法1:因为FA =x 0,x 20-14 ,FP =x 0+x 12,x 0x 1-14 ,FB =x 1,x 21-14 .由于P 点在抛物线外,则|FP |≠0.∴cos ∠AFP =FP ⋅FA |FP ||FA |=x 0+x 12⋅x 0+x 0x 1-14 x 02-14 |FP |x 02+x 02-14 2=x 0x 1+14|FP |,同理有cos ∠BFP =FP ⋅FB |FP ||FB |=x 0+x 12⋅x 1+x 0x 1-14 x 12-14 |FP |x 12+x 12-142=x 0x 1+14|FP |,∴∠AFP =∠PFB .方法2:①当x 1x 0=0时,由于x 1≠x 0,不妨设x 0=0,则y 0=0,所以P 点坐标为x 12,0 ,则P 点到直线AF 的距离为:d 1=|x 1|2.而直线BF 的方程:y -14=x 21-14x 1x ,即x 21-14 x -x 1y +14x 1=0-0.所以P 点到直线BF 的距离为:d 2=x 21-14 x 12+x 14 x 21-142+(x 1)2=x 21+14 |x 1|2x 21+14=|x 1|2所以d 1=d 2,即得∠AFP =∠PFB .②当x 1x 0≠0时,直线AF 的方程:y -14=x 20-14x 0-0(x -0),即x 20-14 x -x 0y +14x 0=0,直线BF 的方程:y -14=x 21-14x 1-0(x -0),即x 21-14 x -x 1y +14x 1=0,所以P 点到直线AF 的距离为:d 1=x 20-14 x 0+x 12 -x 02x 1+14x 0 x 20-142+x 02=x 0-x 12 x 02+14 x 02+14=|x 1-x 0|2,同理可得到P 点到直线BF 的距离d 2=|x 1-x 0|2,因此由d 1=d 2,可得到∠AFP =∠PFB .例17.已知F ,F 分别是椭圆C 1:17x 2+16y 2=17的上、下焦点,直线l 1过点F 且垂直于椭圆长轴,动直线l 2垂直l 1于点G ,线段GF 的垂直平分线交l 2于点H ,点H 的轨迹为C 2.(Ⅰ)求轨迹C 2的方程;(Ⅱ)若动点P 在直线l :x -y -2=0上运动,且过点P 作轨迹C 2的两条切线PA 、PB ,切点为A 、B ,试猜想∠PFA 与∠PFB 的大小关系,并证明你的结论的正确性.【解析】解:(Ⅰ)∵17x 2+16y 2=17,∴y 21716+x 2=1∴椭圆半焦距长为14,F ′0,-14 ,F 0,14,∵|HG |=|HF |∴动点H 到定直线l :y =-14与定点F 0,14 的距离相等∴动点H 的轨迹是以定直线l ;y =-14为准线,定点F 0,14为焦点的抛物线∴轨迹C 2的方程是x 2=y ;(Ⅱ)猜想∠PFA =∠PFB证明如下:由(Ⅰ)可设A (x 1,x 12),B (x 2,x 22)(x 1≠x 2)∴切线AP 的方程为:2x 1x -y -x 12=0,切线BP 的方程为:2x 2x -y -x 22=0联立方程组可解得P 的坐标为x P =x 1+x 22,y P =x 1x 2∵P 在抛物线外,∴|FP |≠0∵FA =x 1,x 12-14 ,FP =x 1+x 22,x 1x 2-14 ,FB =x 2,x 22-14∴cos ∠AFP =FP ⋅FA |FP ||FA |=x 1x 2+14|FP |同理cos ∠BFP =FP ⋅FB |FP ||FB |=x 1x 2+14|FP |∴cos ∠AFP =cos ∠BFP∴∠PFA =∠PFB .。
第11讲 阿基米德三角形问题一、解答题1.设定点F (0,1),动点E 满足:以EF 为直径的圆与x 轴相切. (1)求动点E 的轨迹C 的方程;(2)设A ,B 是曲线C 上的两点,若曲线C 在A ,B 处的切线互相垂直,求证:A ,F ,B 三点共线. 【答案】(1)x 2=4y ;(2)证明见解析. 【分析】(1)设E 点坐标为(x ,y ),由E 到x 轴的距离等于2EF即可求解. (2)设A ,B 两点的坐标分别为2111(,)4x x ,2221(,)4x x ,利用导数求出曲线在A ,B 处切线的斜率,从而可得x 2=-14x ,再求出AB 的斜率,证出 k AF =k AB ,即证.【详解】(1)设E 点坐标为(x ,y ),则EF 中点为圆心,设为E ,则E 点坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭.∴E 到x 轴的距离等于||2EF , 即12y +x 2=4y .∴点E 的轨迹C 的方程为x 2=4y .(2)证明:由(1)知,曲线C 是以F 为焦点的抛物线,其方程可化为y =14x 2, 设A ,B 两点的坐标分别为2111(,)4x x ,2221(,)4x x , ∵曲线方程为y =14x 2,∴y ′=12x ,∴曲线在A ,B 处切线的斜率分别为k 1=12x 1,k 2=12x 2, ∵k 1k 2=-1,∴12x 1·12x 2=-1,∴x 2=-14x ,∴A ,B 两点连线的斜率为k AB =()()22212112111114444x x x x x x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪-⎝⎭=-11x +14x 1, A ,F 两点连线的斜率为k AF =2111140x x --=-11x +14x 1=k AB ,∴A ,B ,F 三点共线. 【点睛】关键点点睛:本题考查了三点共线,可以证明直线的斜率相等,解题的关键是根据A ,B 两点的坐标求出x 2=-14x ,考查了计算求解能力.2.如图,已知抛物线的焦点为F 过点的直线交抛物线于A,B两点,直线AF ,BF 分别与抛物线交于点M ,N .(Ⅰ)求的值;(Ⅰ)记直线MN 的斜率为,直线AB 的斜率为证明:为定值【答案】(1),;(2)【解析】试题分析:(Ⅰ)依题意,设直线AB 的方程为x =my +2(m ≠0),与抛物线方程联立消x 得关于y 的一元二次方程,根据韦达定理即可求得y 1y 2;(Ⅰ)设M(x M ,y M ),N(x N ,y N ),设直线AF :y =y 1x1−1(x −1)与y 2=4x 联立,得y14y 2+(1−x 1)y −y 1=0,由韦达定理得,y 1y M =−4⇒y M =−4y 1,同理,y N =−4y 2,进而可得的比值,化简即可求出结果为定制.试题解析:证明:(Ⅰ)依题意,设直线AB 的方程为x =my +2(m ≠0).将其代入,消去x ,整理得y 2−4my −8=0.从而y 1y 2=−8. (Ⅰ)AF :y =y 1x1−1(x −1)与y 2=4x 联立,得y14y 2+(1−x 1)y −y 1=0 由韦达定理得,y 1y M =−4⇒y M =−4y 1,同理,y N =−4y 2k 1k 2=4y M +y N4y 1+y 2=y 1+y 2y M +y N=−y 1y 24=2(定值).考点:1.抛物线的简单性质;2.直线与抛物线的性质.3.已知抛物线C :x 2=2py (p >0),直线l 交C 于A ,B 两点,且A ,B 两点与原点不重合,点M (1,2)为线段AB 的中点.(1)若直线l 的斜率为1,求抛物线C 的方程;(2)分别过A ,B 两点作抛物线C 的切线,若两条切线交于点S ,证明点S 在一条定直线上. 【答案】(1)x 2=2y (2)证明见解析 【分析】(1)设直线l 的方程为y x t =+,代入抛物线方程,消去y ,设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,运用韦达定理,以及中点坐标公式,可得p ,即可得到所求抛物线方程;(2)求得22x y p=的导数,可得抛物线在A ,B 处的切线的斜率,由点斜式方程和点A ,B 满足抛物线方程,可得在A ,B 处的切线方程,联立两切线方程,相加,结合中点坐标公式,即可得到所求点S 所在的定直线方程. 【详解】解:(1)设直线l 的方程为y x t =+,代入抛物线2:2(0)C x py p =>,可得2220x px pt --=,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则122x x p +=,点(1,2)M 为线段AB 的中点,可得22p =,即1p =, 则抛物线的方程为22x y =;(2)证明:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,点(1,2)M 为线段AB 的中点, 可得122x x +=,124y y +=,由22x y p=的导数为x y p '=,可得抛物线在A 处的切线斜率为1x p ,切线方程为111()x y y x x p -=-,由2112x py =,可得11()x x p y y =+,①同理可得22()x x p y y =+,②①+②可得1212()(2)x x x p y y y +=++, 即为2(24)x p y =+,即20x py p --=. 可得交点S 在一条定直线20x py p --=上. 【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质,考查直线和抛物线的位置关系,考查计算能力,属于中档题. 4.已知抛物线C :x 2=2py (p >0),F 为抛物线C 的焦点.以F 为圆心,p 为半径作圆,与抛物线C 在第一象限交点的横坐标为2. (1)求抛物线C 的方程;(2)直线y =kx +1与抛物线C 交于A ,B 两点,过A ,B 分别作抛物线C 的切线l 1,l 2,设切线l 1,l 2的交点为P ,求证:△P AB 为直角三角形.【答案】(1)24x y =;(2)证明见解析.【分析】(1)由题意可得M 点的坐标为(2,)2p,代入抛物线方程,即可求出p 的值; (2)设221212(,),(,)44x x A x B x ,利用导数的几何意义得到A ,B 两点处的切线斜率分别为1112k x =,2212k x =,联立直线与抛物线方程,利用韦达定理得到k 1k 2=﹣1,从而得到△P AB 为直角三角形. 【详解】(1)记抛物线C 与圆F 在第一象限的交点为M ,由圆F 与抛物线C 的准线相切,且M 到抛物线C 准线的距离等于圆F 的半径p , 所以M 点的坐标为(2,)2p,代入抛物线方程得:24(0)p p =>,所以2p =,所以抛物线的方程为24x y =.(2)设221212(,),(,)44x x A x B x ,由24x y =,可得y 214x =,则12y x '=, 所以A ,B 两点处的切线斜率分别为1112k x =,2212k x =,由214y kx x y=+⎧⎨=⎩,得2440x kx --=,所以12124,4x x k x x +==-, 所以1212114k k x x ==-, 所以PA PB ⊥,即PAB ∆为直角三角形. 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目,通常联立直线方程与抛物线方程,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 5.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ,过点F 的直线分别交抛物线于,A B 两点. (1)若以AB 为直径的圆的方程为()()222316x y -+-=,求抛物线C 的标准方程;(2)过点,A B 分别作抛物线的切线12,l l ,证明:12,l l 的交点在定直线上. 【答案】(1)24x y =;(2)证明见解析. 【分析】(1)根据抛物线的定义可求圆心到准线的距离为4,从而可求抛物线的方程.(2)设()()1122,,,A x y B x y ,利用导数求出,A B 两点处的切线方程,从而可求12,l l 的交点的坐标,再联立直线和抛物线的方程可得212x x p =-,从而可得12,l l 的交点的纵坐标为定值,故12,l l 的交点在定直线上. 【详解】(1)设AB 中点为M ,A 到准线的距离为1d ,B 到准线的距离为2d ,M 到准线的距离为d ,则()2,3M 且322=M p p d y =++.由抛物线的定义可知,12,d AF d BF ==,所以128d d AB +==, 由梯形中位线可得1242d d d +==,所以342p+=,可得2p =, 所以抛物线C 的标准方程为24x y =.(2)证明:设()()1122,,,A x y B x y ,由22x py =,得22x y p=,则x y p '=,所以直线1l 的方程为()111x y y x x p-=-, 直线2l 的方程为()222x y y x x p-=-, 联立得()()111222x y y x x p x y y x x p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,解得121222x x x x x y p +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即直线12,l l 的交点坐标为1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.因为AB 过焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭, 由题可知直线AB 的斜率存在,故可设直线AB 方程为2py kx -=, 代入抛物线22x py =中,得2220x pkx p --=,所以212x x p =-,故1222x x pp =-,所以12,l l 的交点在定直线2p y =-上.【点睛】关键点点睛:抛物线中过焦点的弦长问题要注意利用定义转化为到准线的距离问题,对于焦点在y 轴上的抛物线的切线问题,可以利用导数来求切线方程,从而简化运算. 6.已知动点Q 在x 轴上方,且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1. (1)求动点Q 的轨迹C 的方程;(2)过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,点A ,B 分别异于原点O ,在曲线C 的A ,B 两点处的切线分别为1l ,2l ,且1l 与2l 交于点M ,求证:M 在定直线上.【答案】(1)24x y =()0y ≠;(2)证明见解析【分析】(1)设(,)Q x y (0)y >,由到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大11y =,化简可得点Q 的轨迹C 的方程;(2)由题意可知,直线l 的斜率存在且不为1,设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立,设()11,A x y ,()22,B x y ,可得12x x +,12x x 的值,又24x y =,所以2x y '=,可得切线1l 的方程,同理可得切线2l 的方程,求出交点坐标,可得其在定直线上. 【详解】解:(1)设(,)Q x y (0)y >,1y =,化简得24x y =()0y ≠, 故轨迹C 的方程为24x y =()0y ≠.(2)由题意可知,直线l 的斜率存在且不为1,设直线l 的方程为(1)1y k x =-+(1)k ≠与24x y =联立得24440x kx k -+-=, 设()11,A x y ,()22,B x y , 则124x x k +=,1244x x k =-,又24x y =,所以2x y '=,所以切线1l 的方程为()1112x y x x y =-+, 即21124x x y x =-,同理切线2l 的方程为22224x x y x =-联立得1222x x x k +==,1214x xy k ==-.两式消去k 得220x y --=, 当1k =时,2x =,0y =,所以交点M 的轨迹为直线220x y --=,去掉()2,0点. 因而交点M 在定直线上. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法,直线与抛物线的位置关系等知识,考查学生的综合计算能力,属于难题.7.已知圆C :x 2+y 2+2x -2y +1=0和抛物线E :y 2=2px (p >0),圆心C 到抛物线焦点F . (1)求抛物线E 的方程;(2)不过原点的动直线l 交抛物线E 于A ,B 两点,且满足OA ⊥OB . ①求证直线l 过定点;②设点M 为圆C 上任意一动点,求当动点M 到直线l 的距离最大时直线l 的方程. 【答案】(1)y 2=12x ;(2)①证明见解析;②13x -y -156=0. 【分析】(1) 根据题意圆心到抛物线焦点距离,利用两点之间距离公式计算可得结果(2)设直线方程()0x my t t =+≠,联立抛物线,结合条件求得两根之和与两根之积,解得12,x my =+得到定点,再得出点到线距离最大时的直线方程 【详解】(1)圆C :x 2+y 2+2x -2y +1=0,可得圆心C (-1,1),半径r =1, 抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点(,0)2p F ,准线方程为2px =,圆心C 到抛物线焦点F =解得p =6,即抛物线方程为y 2=12x .(2)①证明:设直线l 的方程为x =my +t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则212+y xx my t ⎧=⎨=⎩整理得:y 2-12my -12t =0, 所以y 1+y 2=12m ,y 1y 2=-12t . 由于OA ⊥OB .则x 1x 2+y 1y 2=0. 即(m 2+1)y 1y 2+mt (y 1+y 2)+t 2=0. 整理得t 2-12t =0, 由于t ≠0,解得t =12. 故直线的方程为x =my +12, 直线经过定点P (12,0).②当CP ⊥l 且动点M 经过PC 的延长线时,动点M 到动直线l 的距离取得最大值.113MP CP k k ==-, 则113m =-. 此时直线l 的方程为:11213x y =+, 即13x -y -156=0. 【点睛】本题在解答直线与抛物线位置关系时需设出直线方程,这里给出x my t =+形式的直线方程,方便计算,根据题目意思解得直线恒过定点,再结合题意,求得当与直线垂直时的直线方程即可.8.已知抛物线24x y =的焦点为F ,A ,B 是抛物线上的两个动点,且(0)AF FB λλ=>,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为P .(1)若直线PA 与x ,y 轴分别交于点M ,N ,且MON △的面积为12,求||AF 的值; (2)记ABP △的面积为S ,求S 的最小值,并指出S 最小时对应的点P 的坐标. 【答案】(1)2;(2)APBS 有最小值4,此时(0,1)P -.【分析】(1)先求出以点A 为切点的抛物线的切线PA 方程,得出11,02M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()12410,N x -利用面积求出A 点的纵坐标,然后求出AF .(2)先分别写出直线PA ,PB 方程,利用都过点P 写出直线AB ,代入抛物线方程利用弦长公式求出AB ,及点()0,1P x -到直线AB 的距离,写出APB S表达式及最值.【详解】(1)设()00,P x y ,()11,A x y ,()22,B x y ,则120x x ≠,抛物线方程写成214y x =,12y x '=,则以点A 为切点的抛物线的切线PA 的方程为:()1111:2PA l y y x x x -=-,又21114y x =,即21111:24PA l y x x x =-,11,02M x ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,()12410,N x -,12MONS OM ON ∴=⋅ 23111111122416x x x =⨯⨯-=,故31116x 12=,∴12x =,211114y x ==,从而11122pAF y =+=+=. (2)由(1)知21111:24PA l y x x x =-,即:1112y x x y =-,同理221:2PB l y x x y =-,由直线PA ,PB都过点()00,P x y ,即001100221212y x x y y x x y⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则点()11,A x y ,()22,B x y 的坐标都满足方程0012x x y y -=,即直线AB 的方程为:0012x x y y -=,又由直线AB 过点()0,1F ,∴01y =-, 联立021124x x y x y⎧-=-⎪⎨⎪=⎩得20240x x x --=,12AB x ∴=-124x x ==,点()0,1P x -到直线AB的距离d =,12APBSAB d ∴=⋅==13244APBS∴=,当且仅当时00x =,APB S 有最小值4,此时()0,1P -.【点睛】本题考查抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 9.已知以动点P 为圆心的P 与直线l :12x =-相切,与定圆F :221(1)4x y -+=相外切. (Ⅰ)求动圆圆心P 的轨迹方程C ;(Ⅰ)过曲线C 上位于x 轴两侧的点M 、N (MN 不与x 轴垂直)分别作直线l 的垂线,垂足记为1M 、1N ,直线l 交x 轴于点A ,记1AMM ∆、AMN ∆、1ANN ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ,且22134S S S =,证明:直线MN 过定点.【答案】(Ⅰ)24y x =;(Ⅰ)详见解析. 【分析】(Ⅰ)根据题意,点P 到直线1x =-的距离与到(1,0)F 的距离相等,由抛物线的定义可得解;(Ⅰ)设111,2M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、21,2N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,用坐标表示1S 、2S 、3S ,利用韦达定理,代入即得解. 【详解】(Ⅰ)设(,)P x y ,P 半径为R ,则12R x =+,1||2PF R =+,所以点P 到直线1x =-的距离与到(1,0)F 的距离相等,故点P 的轨迹方程C 为24y x =.(Ⅰ)设()11,M x y ,()22,N x y ,则111,2M y ⎛⎫-⎪⎝⎭、21,2N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭设直线MN :x ty n =+(0t ≠)代入24y x =中得2440y ty n --=124y y t +=,1240y y n =-<∵1111122S x y =+⋅、3221122S x y =+⋅ ∴131********S S x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12121122ty n ty n y y ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22121211422t y y n t y y n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2221144422nt t n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦221242t n n ⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦又21211112222S n y y n =+⋅-=+∴()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222131114842222S S S nt n t n n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴直线MN 恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了直线和抛物线综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题. 10.已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点,A ,B 是C 上的两个动点,且4PA PB ⋅=-. (1)判断点()0,1D 是否在直线AB 上?说明理由;(2)设点M 是△PAB 的外接圆的圆心,点M 到x 轴的距离为d ,点()1,0N ,求MN d -的最大值.【答案】(1)不在,证明见详解;(2 【分析】(1)假设直线方程y kx b =+,并于抛物线方程联立,结合韦达定理,计算4PA PB ⋅=-,可得1b =-,然后验证可得结果.(2)分别计算线段,PA PB 中垂线的方程,然后联立,根据(1)的条件可得点M 的轨迹方程22y x =,然后可得焦点F ,结合抛物线定义可得18MN d NF -≤+,计算可得结果. 【详解】(1)设直线方程y kx b =+,()()1122,,,A x y B x y 根据题意可知直线斜率一定存在,()0,3P-则()224430134y kx b x kx b y x =+⎧⎪⇒--+=⎨=-⎪⎩()121243,4x x b x x k =-++=()241648k b ∆=-++()()1122,3,,3PA x y PB x y =+=+则()()121233PA PB x x y y ⋅=+++()12121239PA PB x x y y y y ⋅=++++()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++ ()1212122y y kx b kx b k x x b +=+++=++()()()2212121369PA PB k x x k kb x x b b ⋅=+++++++由4PA PB ⋅=-所以()()()22121213694k x x k kb x x b b +++++++=-将()121243,4x x b x x k =-++=代入上式 化简可得2210b b ++=,所以1b =- 则直线方程为1y kx =-,所以直线过定点()0,1-,()2416480k b ∆=-++>所以可知点()0,1D 不在直线上. (2)设(),M M M x y线段PA 的中点为113,22x y E -⎛⎫⎪⎝⎭ 线段PB 的中点为223,22x y G -⎛⎫⎪⎝⎭则直线PA 的斜率为113PA y k x +=, 直线PB 的斜率为223PB y k x +=可知线段PA 的中垂线的方程为11113232y x x y x y -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭由211134y x =-,所以上式化简为2121418x y x x =-+- 即线段PA 的中垂线的方程为2121418x y x x =-+- 同理可得:线段PB 的中垂线的方程为2222418x y x x =-+- 则()22121222222112122141832481832M M x x x x x y x x x x x x x x y x y x ⎧⎧+=-+-⎪=-⎪⎪⎪⇒⎨⎨++-⎪⎪=-+-=⎪⎪⎩⎩由(1)可知:()12124,438x x k x x b +==-+=-所以()12122221212322832M M M M x x x x x x k y k x x x x y ⎧+=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=++-⎩⎪=⎪⎩即()2,2M k k,所以点M 轨迹方程为22y x=焦点为10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭,所以1188MN d MN MF MN MF ⎛⎫-=--=-+⎪⎝⎭当,,M N F 三点共线时,MN d -有最大所以1188MN d MN MF NF -=-+≤+=【点睛】本题考查直线于抛物线的综合应用,第(1)问中难点在于计算处b ,第(2)问中关键在于得到点M 的轨迹方程,直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程,结合韦达定理,属难题. 11.已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点,A ,B 是C 上的两个动点,且4PA PB ⋅=-. (1)判断点()0,1D -是否在直线AB 上?说明理由; (2)设点M 是△PAB 的外接圆的圆心,求点M 的轨迹方程. 【答案】(1)点()0,1D -在直线AB 上,理由见解析(2)212x y =【分析】(1)由抛物线的方程可得顶点P 的坐标,设直线AB 的方程,与抛物线联立求出两根之和及两根之积,求出数量积PA PB ,再由题意4PA PB =-可得直线AB 恒过(0,1)-,即得D 在直线AB 上;(2)设A ,B 的坐标,可得直线PA ,PB 的斜率及线段PA ,PB 的中点坐标,进而求出线段PA ,PB 的中垂线的方程,两个方程联立求出外接圆的圆心M 的坐标,由(1)可得M 的横纵坐标关于参数k 的表达式,消参数可得M 的轨迹方程. 【详解】(1) 点()0,1D -在直线AB 上.理由如下, 由题意, 抛物线21:34C y x =-的顶点为(0,3)P - 因为直线与抛物线有2个交点, 所以设直线AB 的方程为()()1122,,,y kx b A x y B x y =+,联立2134y x y kx b⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得到244(3)0x kx b --+=,其中21616(3)0k b ∆=++>,12121244(3)4(3)x x k x x b x x b +==-+=-+,所以()21212242y y k x x b k b +=++=+,()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2224(3)4k b k b b =-+++2212k b =-+因为()()1122,3,,3PA x y PB x y =+=+所以()()121233PA PB x x y y ⋅=+++()12111239x x y y y y =++++()()2224(3)123429b k b k b =-++-++++223b b =+-4=,所以2221(1)0b b b ++=+=, 解得1b =-, 经检验,满足>0∆,所以直线AB 的方程为1y kx =-,恒过定点()0,1D -.(2)因为点M 是PAB ∆的外接圆的圆心,所以点M 是三角形PAB 三条边的中垂线的交点, 设线段PA 的中点为F ,线段PB 的中点为为E , 因为(0,3)P -,设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y所以1(2x F ,13)2y -,2(2x E ,23)2y -,113PA y k x +=,223PB y k x +=,所以线段PA 的中垂线的方程为:11113()232y x xy x y --=--+, 因为A 在抛物线上,所以211134y x +=,PA 的中垂线的方程为:211143()82x x y x x -+=--,即211418x y x x =-+-,同理可得线段PB 的中垂线的方程为:222418x y x x =-+-, 联立两个方程211222418418x y x x x y x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩,解得1212221212()3288Mx x x x x x x x x y +⎧=-⎪⎪⎨++-⎪=⎪⎩, 由(1)可得124x x k +=,124(3)8x x b =-+=-,所以8432M k x k -⨯=-=,22221212122()288M x x x x x x y k +++===, 即点2(,2)M k k ,所以212M M x y =, 即点M 的轨迹方程为:212x y =. 【点睛】本题考查求直线恒过定点的方程及直三角形外接圆的性质,和直线与椭圆的综合应用,属于难题. 12.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ,过F 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于,M N 两点,O 为原点,OMN 的面积为2. (1)求拋物线C 的方程.(2)P 为直线()00:0l y y y =<上一个动点,过点P 作拋物线的切线,切点分别为,A B ,过点P 作AB 的垂线,垂足为H ,是否存在实数0y ,使点P 在直线l 上移动时,垂足H 恒为定点?若不存在,说明理由;若存在,求出0y 的值,并求定点H 的坐标.【答案】(1)24x y =;(2)存在这样的0y ,当01y =-时,H 坐标为(0,1).【分析】(1)先根据抛物线的性质,结合题中条件,得到||2MN p =,由三角形面积列出方程求出p ,即可得出抛物线方程;(2)先设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ,直线AP 的方程为()11y y k x x -=-,根据直线与抛物线相切,得到112x xy y +=,进而推出AB 的方程为002x x y y +=,根据PH AB ⊥,得到PH 方程,由两直线方程,即可求出0y ,确定出结果. 【详解】(1)由题意得,点,M N 的纵坐标均为2p ,由222p x p =⋅,解得x p =±,则||2MN p =, 由2111||||222222CMN p S MN OF p p =⋅⋅=⋅⋅==△,解得2p =, 故抛物线C 的方程为24x y =.(2)假设存在实数0y ,使点P 在直线l 上移动时,垂足H 恒为定点, 设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ,直线AP 的方程为()11y y k x x -=-,将抛物线方程变形为24x y =,则2x y '=,所以12x k =, 所以AP 的方程为()1112x y y x x -=-. 因为2114x y =,所以直线AP 的方程为112x x y y +=. 把()00,P x y 代入AP 的方程得10012x x y y +=. 同理可得2002.2x x y y +=构造直线方程为002x xy y +=,易知,A B 两点均在该直线上,所以直线AB 的方程为002x xy y +=.故AB 恒过点()00,y -. 因为PH AB ⊥,所以可设PH 方程为()0002x x x y y -=--,化简得()0022xx y y =--- 所以PH 恒过点()00,2y +.当002y y -=+,即01y =-时,AB 与PH 均恒过(0,1), 故存在这样的0y ,当01y =-时,H 坐标为(0,1).【点睛】 关键点点睛:求解本题第二问的关键在于用0y 分别表示出直线AB 和PH 的方程;根据题中条件,先设点的坐标,以及直线AP 的方程,由直线与抛物线相切,得出直线AP 方程,推出AB 的方程,进而确定PH 的方程,即可求解.13.已知抛物线C :22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ,两点,交C 的准线于P Q ,两点.(Ⅰ)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明//AR FQ ; (Ⅰ)若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅰ)21y x =-. 【分析】设22111,0,,,,,,,,222222a b a b A B b P a Q b R ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒l 的方程为2(x a -+ )0b y ab +=.(Ⅰ)由F 在线段AB 上⇒10ab +=,又122211a b a b abk b k a a ab a a---=====-=+-⇒//AR FQ ;(Ⅰ)设l 与x 轴的交点为()1,0D x ⇒1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=⇒111222a b b a x ---=⇒10x =(舍去),11x =.设满足条件的AB 的中点为(),E x y .当AB 与x 轴不垂直时⇒()211y x a b x =≠+-⇒2a by +=⇒()211y x x =-≠.当AB 与x 轴垂直时⇒E 与D 重合⇒所求轨迹方程为21y x =-. 【详解】 由题设1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,设12:,:l y a l y b ==,则0ab ≠,且 22111,0,,,,,,,,222222a b a b A B b P a Q b R ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.记过,A B 两点的直线为l ,则l 的方程为()20x a b y ab -++=(Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故10ab +=, 记AR 的斜率为1,k FQ 的斜率为2k ,则122211a b a b abk b k a a ab a a---=====-=+-, 所以//AR FQ(Ⅰ)设l 与x 轴的交点为()1,0D x , 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=, 由题设可得111222a b b a x ---=,所以10x =(舍去),11x =. 设满足条件的AB 的中点为(),E x y . 当AB 与x 轴不垂直时,由AB DE k k =可得()211yx a b x =≠+-. 而2a by +=,所以()211y x x =-≠. 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合,所以,所求轨迹方程为21y x =- 【点睛】本题考查了1.抛物线定义与几何性质;2.直线与抛物线位置关系;3.轨迹求法.14.如图,设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|–1.(Ⅰ)求p 的值;(Ⅰ)若直线AF 交抛物线于另一点B ,过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ,AN 与x 轴交于点M.求M 的横坐标的取值范围. 【答案】(Ⅰ)p=2;(Ⅰ)(−∞,0)∪(2,+∞). 【解析】试题分析:本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.试题解析:(Ⅰ)由题意可得,抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=–1的距离,由抛物线的定义得p2=1,即p=2.(Ⅰ)由(Ⅰ)得,抛物线的方程为y 2=4x,F(1,0),可设A(t 2,2t),t ≠0,t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴,可设直线AF: x=sy+1,(s ≠0),由{y 2=4x ,x =sy +1 消去x 得y 2−4sy −4=0,故y 1y 2=−4,所以,B(1t 2,−2t ). 又直线AB 的斜率为2t t 2−1,故直线FN 的斜率为−t 2−12t .从而得直线FN:y =−t 2−12t(x −1),直线BN:y =−2t.所以N(t 2+3t 2−1,−2t).设M(m,0),由A ,M ,N 三点共线得2t t 2−m=2t+2t t 2−t 2+3t 2−1,于是m =2t 2t 2−1.所以m <0或m >2.经检验,m <0或m >2满足题意.综上,点M 的横坐标的取值范围是(−∞,0)∪(2,+∞). 【考点】抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.【思路点睛】(Ⅰ)当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时,一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离.解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离,进而可得点到y 轴的距离;(Ⅰ)通过联立方程组可得点Β的坐标,进而可得点Ν的坐标,再利用Α,Μ,Ν三点共线可得m 用含有t 的式子表示,进而可得Μ的横坐标的取值范围.15.如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线2:4C y x 上存在不同的两点A 、B ,满足PA 、PB 的中点均在抛物线C 上.(1)求抛物线C 的焦点到准线的距离;(2)设AB 中点为M ,且(,)P P P x y ,(,)M M M x y ,证明:P M y y =;(3)若P 是曲线2214y x +=(0x <)上的动点,求PAB ∆面积的最小值.【答案】(1)2;(2)证明见解析;(3) 【分析】(1)直接利用抛物线定义得到答案.(2)设00(,)P x y ,211(,)4y A y ,222(,)4y B y ,根据AP 中点在抛物线上得到2210100280y y y x y -+-=,同理得到12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根,计算得到答案.(3)设t =,代换得到30121()||2M S x x y y =--=计算得到答案.【详解】(1)焦点坐标为(1,0),准线方程为x =-1,所以,焦点到准线的距离为2.(2)设00(,)P x y ,211(,)4y A y ,222(,)4y B y ,则PA 中点为20011(,)282x y y y ++,由AP 中点在抛物线上可得220101()4()228y y x y +=+,化简得2210100280y y y x y -+-=,显然21y y ≠, 且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=,所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根,所以1202y y y +=,1202M P y y y y y +===. (3)121()(||||)2M P M M S x x y y y y =--+-0121()||2M x x y y =--, 由(1)可得1202y y y +=,212008y y x y =-,2220000012(2)4(8)8(4)0()y x y y x y y ∆=--=->≠,此时00(,)P x y 在半椭圆221(0)4y x x +=<上,∴2220000008(4)8[4(1)4]32(1)y x x x x x ∆=-=--=--,∵010x -≤<,∴>0∆,∴12||||y y a -===, 2222200012121200042(8)()2||888M P y x y y y y y y y x x x x x --++--=-=-=-2006(44)38x x -=-2003(1)x x =--,所以23012001()||2M S x x y y x x =--=--=,2t =,所以34S =∈,即PAB ∆的面积的最小值是 【点睛】本题考查了面积的最值问题,证明坐标关系,综合性强,计算量大,意在考查学生的综合应用能力和计算能力.16.设抛物线2:C y x =的焦点为F ,动点P 在直线:20l x y --=上运动,过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ,且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. (1)求△APB 的重心G 的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB . 【答案】(1)21(42)3y x x =-+(2)见解析 【解析】本试题主要考查了轨迹方程的求解和证明角的相等问题. 解:(1)设切点A ,B 坐标分别为()200,x x 和()211x x ,()10xx ≠,∴切线AP 的方程为:20020x x y x --=;切线BP 的方程为:21120x x y x --=;由于P 既在AP 又在BP 上,所以20021120{20P P P P x x y x x x y x --=--=解得0101{2p p x x x y x x +==,0101(,)2x x P x x + 所以APB 的重心G 的坐标为013pG p x x x x x ++==,()2222010101010143333pp p G y y y x y x x x x x x x x y ++-+-++====, 所以234P G G y y x =-+,由点P 在直线l 上运动,从而得到重心G 的轨迹方程为:()23420x y x --+-=,即()21423y x x =-+. (2)方法1:因为20014FA x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,,0101124x x FP x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,21114FB x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,. 由于P 点在抛物线外,则0FP ≠.,同理有,AFP PFB ∴∠=∠.方法2:①当100x x =时,由于10x x ≠,不妨设00x =,则00y =,所以P 点坐标为102x ⎛⎫⎪⎝⎭,,则P 点到直线AF 的距离为:112x d =;而直线BF 的方程:2111144x y x x --=,即211111044x x x y x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭.所以P 点到直线BF 的距离为:1211221142124x x x d x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+所以12d d =,即得AFP PFB ∠=∠.②当100x x ≠时,直线AF 的方程:()200114040x y x x --=--,即200011044x x x y x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭,直线BF 的方程:()211114040x y x x --=--,即211111044x x x y x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭,所以P 点到直线AF 的距离为:201001120124124x x x x xd x -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭===+, 同理可得到P 点到直线BF 的距离,因此由12d d =,可得到AFP PFB ∠=∠.17.如下图,设抛物线方程为()220x py p =>,M 为直线2y p =-上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A ,B .(Ⅰ)设线段AB 的中点为N ; (Ⅰ)求证:MN 平行于y 轴;(Ⅰ)已知当M 点的坐标为()22p -,时,AB =,求此时抛物线的方程; (Ⅰ)是否存在点M ,使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线()220x pyp =>上,其中,点C 满足OC OA OB =+(O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(Ⅰ)(Ⅰ)证明见解析;(Ⅰ)22x y =或24x y =;(Ⅰ)仅存在一点()0,2M p -适合题意.【分析】(Ⅰ)(Ⅰ)设出,,,A B N M 的坐标,利用导数求得切线,MA MB 的方程,结合N 是线段AB 的中点进行化简,得到,M N 两点的横坐标相等,由此证得MN 平行于y 轴.(Ⅰ)利用AB =p ,进而求得抛物线方程.(Ⅰ)设出D 点坐标,由C 点坐标求得线段CD 中点的坐标,由直线AB 的方程和抛物线的方程,求得D 点的坐标,由此进行分类讨论求得M 点的坐标. 【详解】(Ⅰ)(Ⅰ)证明:由题意设211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,2x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,12x x <,()33,N x y ,()0,2M x p -.由22x py =得22x y p=,则x y p '=,所以1MA x k p =,2MB x k p =.因此直线MA 的方程为()102x y p x x p+=-, 直线MB 的方程为()202x y p x x p+=-. 所以()2111022x x p x x p p +=-,①()2222022x x p x x p p+=-.② 由①、②得121202x x x x x +=+-,因此1202x xx +=,即012322x x x x =+=,也即03x x =.所以MN 平行于y 轴.(Ⅰ)解:由(Ⅰ)知,当02x =时,将其代入①、②并整理得:2211440x x p --=,2222440x x p --=,所以1x ,2x 是方程22440x x p --=的两根,因此124x x +=,2124x x p =-,又222101221222ABk x x x x x p p x x p p-+===-,所以2AB k p=.由弦长公式的AB ==.又AB =,所以1p =或2p =, 因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =.(Ⅰ)解:设()44,D x y ,由题意得()1212,C x x y y ++, 则CD 的中点坐标为124124,22x x x y y y Q ++++⎛⎫⎪⎝⎭, 设直线AB 的方程为()011x y y x x p-=-, 由点Q 在直线AB 上,并注意到点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭也在直线AB 上,代入得044x y x p=. 若()44,D x y 在抛物线上,则2440422x py x x ==,因此40x =或402x x =.即()0,0D 或2022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)当00x =时,则12020x x x +==,此时,点()0,2M p -适合题意.(2)当00x ≠,对于()0,0D ,此时221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,2212221200224CDx x x x pk x px ++==, 又0ABx k p =,AB CD ⊥,所以22220121220144AB CD x x x x x k k p px p ++⋅=⋅==-,即222124x x p +=-,矛盾.对于20022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,因为221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,此时直线CD 平行于y 轴,又00AB x k p=≠, 所以直线AB 与直线CD 不垂直,与题设矛盾, 所以00x ≠时,不存在符合题意得M 点.综上所述,仅存在一点()0,2M p -适合题意. 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查运算求解能力,属于难题.。
专题3 阿基米德三角形微点1 阿基米德三角形2,p ∴【性质7】在阿基米德三角形中,证明:作AA '⊥准线,BB 1FA QA K k '⋅=-,【性质10】QM 的中点P 在抛物线上,且证明:由性质1知121,y y y y Q ⎛+四、特殊的阿基米德三角形:过抛物线焦点F 作抛物线的弦,与抛物线交于,A B 两点做抛物线的切线12,l l 相交于线的垂线,分别交准线于11,A B 点,该图形满足以下特性:结论1.1D 点必在抛物线的准线上(性质证明:过点()11,A x y 的切线方程为()22y y p x x =+,设()100,D x y ,1D 既在直线1D A 上,也在直线()(10012002,y y p x x y y p x x ∴=+=+为这两条直线公共点,则,2是抛物线上的两动点,且=λ()证明·为定值;△ABM的面积为.由=λ,即得将①式两边平方并把=x12=x22=,且有x1x2==x过抛物线上=x=x,即=x-x=x-x解出两条切线的交点M的坐标为(,)(,-∴·=(,-,y2-y1=(x22-x12)-2(x22-x12)∴·为定值,其值为=|AB||FM|=====+.|AF|、|BF|分别等于A、++(+)2=|AB||FM|(+)3由+≥时,S取得最小值4.如图,在平面直角坐标系【解析】(1)设过C 点的直线为()()1122,,,x y B x y ,OA=()11,x y 12122x x y y +=,即()(121x x kx c ++∴222c k c kc k c --++= ,即2c (2)设过Q 的切线为1y y k -=22222y x x x y x x x =-+=-,它与【解析】(Ⅰ)证明:由题意设由22x py =得22x y p=,得y '因此直线MA 的方程为2y p +(1)求证:三点A M B 、、共线;(2)过点A 作直线 0x y -=的垂线,垂足为程.参考答案:x x +,同理有,的距离,因此由-直接依据题设条件将点的坐标设出来然后运用点与抛物线将问题转化为证明的问题先将向量与的数量积算出来再用的坐标表示算得,最后求得,从而推得进而推证得.从而使得问题获解。
阿基米德三角形几何证明
阿基米德三角形几何证明是指利用阿基米德三角形的性质和定理来证明一些几何命题或求解几何问题。
在几何学中,阿基米德三角形是一种特殊三角形,它的三边与原三角形三边所在直线分别相切于三个半圆。
利用阿基米德三角形的性质和定理,可以证明一些重要的几何命题,例如海伦公式。
以下是阿基米德三角形几何证明:
1.利用阿基米德三角形证明海伦公式:假设三角形ABC的三边长分别为a、
b、c,则三角形的面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c),其中p=(a+b+c)/2。
证明
过程可以通过构造三个阿基米德三角形,并利用它们的面积和性质来完成。
2.利用阿基米德三角形求三角形的面积:已知三角形ABC的三边长分别为a、
b、c,可以构造三个阿基米德三角形,并利用它们的面积和性质来求解三
角形的面积。
3.利用阿基米德三角形证明余弦定理:假设三角形ABC的三边长分别为a、
b、c,角C的余弦值为cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
证明过程可以通过
构造三个阿基米德三角形,并利用它们的性质来完成。
总的来说,阿基米德三角形几何证明是一种重要的几何证明方法,它可以用于证明一些重要的几何定理和求解几何问题。
通过利用阿基米德三角形的性质和定理,我们可以更加方便地解决一些复杂的几何问题。