2018年高考数学总复习 空间几何体的直观图与三视图
- 格式：doc
- 大小：1.85 MB
- 文档页数：24
第二节 空间几何体的直观图与三视图
考纲解读
1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的机构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2.能画出简单空间图形（长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等及其及其简易组合）的三视图， 能识别三视图, 能所表示的立体模型, 并会用斜二测画法画出它们的直观图.
3.会用平行投影, 画出简单空间图形的三视图与直视图, 了解空间图形的不同表示形式.
4. 会画某些建筑物的三视图与直视图(在不影响图形特征的基础上, 尺寸、线条等不作严格要求).
命题趋势探究
高考中对本节内容的考查, 可以分为以下两类.
(1)柱、锥、台、球的定义和相关性质是基础, 以它们为载体考查线线、线面、面面间的关系是中点。
(2)三视图为新课标新增内容, 所以高考会加大对其考查的粒度.
在高考中,主要考查三视图和直观图, 特别是通过三视图确定原几何体的相关量. 多以选择填空题为主,也不排除通过三视图来还原几何体的直观图的解答题, 侧重于考查考生对基础知识的掌握以及应用所学知识解决问题的能力.
知识精讲
一、空间几何体的直观图
1.斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下:
(1)建立直角坐标系. 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的,OxOy ,建立直角坐标系.
(2)画出斜坐标系. 在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形. 在已知图形平行于x
轴的线段, 在直观图中画成平行于'','',OxOy 使'''45xOy (或135), 它们确定的平面表示水平平面.
(3)画出对应图形. 在已知图形平行于x轴的线段, 在直观图中画成平行于'x 轴的线段, 且长度保持不变; 在已知图形平行于y 轴的线段, 在直观图中画成平行于'y 轴, 且长度变为原来的一般. 可简化为 “横不变, 纵减半”.
(4)擦去辅助线. 图画好后, 要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线(虚线). 被挡住的棱画虚线.
注: 直观图和平面图形的面积比为2:4.
2.平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的, 中心投影的投影线相交于一点.
二、空间几何体的三视图
1.三视图的概念
将几何体由前至后、由左至右、由上至下分别作正投影得到的三个投影图依次叫做该几何体的正(主)视图、左(侧)视图、俯视图, 统称三视图. 它们依次反应了几何体的高度与长度、高度与宽度、长度与宽度.
2.作、看三视图的三原则
(1)位置原则:
度量原则长对正、高平齐、宽相等即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽
虚实原则轮廓线、现则实、隐则虚
俯视图
几何体上下方向投影所得到的投影图反映几何体的长度和宽度
口诀
正侧同高正府同长府侧同宽或长对正、高平齐、宽相等
三、常见几何体的直观图与三视图
常见几何体的直观图与三视图如表8-3所示.
题型归纳及思路提示
题型斜二测画法与直观图
思路提示
注意用斜二测画法画直观图时水平方向与竖直方向长度的不同它们与实物图的对应关系
例下列叙述中正确的个数是
①相等的角在直观图中仍相等
②长度相等的线段, 在直观图中长度仍相等;
③若两条线段平行, 在直观图中对应的线段仍平行;
④若两条线段垂直, 则在直观图中对应的线段也互相垂直.
A. 0 B.1 C.2 D. 3
(2)如图8-10所示,'''OAB 是OAB 水平放置的直观图, 则OAB 的面积为( )
A.6 B.32 C.62 D. 12
解析(1)①因为90xOy 的直观图为''45xOy 或135 , 故①不正确;
②因为y 方向的线段的直观图在'y 方向的长度减半, 故②不正确;
③因为所有x 方向的线段的直观图方向不变, 所以y 方向的线段的直观图均在原有基础上旋转45 , 故方向统一, 故③正确.
④由③中叙述知, ④不正确. 故选B.
(2)'''1''''sin452OABSOAOB ①
1sin902OABSOAOB ②
①÷②得'''2''''sin451122sin902114OABOABOAOBSSOAOB , 所以'''24OABOABSS .
而'''134sin45322OABS ,所以2324OABS , 即12OABS .
故选D.
评注 (1)”斜”指的是在直观图中,','xy 轴的夹角为45 , “二测”指的是 “平行关系不变”, 以及 “长度纵变横不变”.
(2)直观图中保持不变的有线段的同向性与同向线段长之比. 直观图与原图的面积关系:2'4SS .
变式1 已知正ABC 的边长为a , 以它的一边为x 轴, 对应的高为y 轴, 画出它的水平放置的直观图'''ABC , 则'''ABC 的面积为( ).
A.234a B. 238a C. 268a D. 2616a
变式2 利用斜二测画法, 一个平面图形的直观图时边长为1的正方形, 如图8-11所示,则该平面图形的面积为( )
A.3 B.2 C. 22 D. 4
题型直视图三视图
思路提示
已知直观图描绘三视图的原则是:
先看俯视图, 观察几何体的摆放姿态, 再看正视图与侧视图同高, 正视图与俯视图同长, 侧视图与俯视图同宽.
例8.8 正三棱柱111ABCABC 如图8-12所示, 以面11BCCB 为正前方画出的三视图正确的是( ).
分析 先看俯视图, 垂点法, 把1,CC 投影到底面.
解析 由垂点法, 把1,CC分别投影到底面, 如图8-13所示, 所以俯视图中间必有线段MN .故选A.
变式1 如图8-14所示, ABC 为正三角形, '''AABBCC∥∥ 平面ABC
且33'''2AABBCCAB , 则多面体'''ABCABC 的正视图(也称主视图)是( ).
变式2 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥, 得到图2所示的几何体, 则该几何体的左视图为( ).
变式3 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形, 则该正方体的正视图的面积面积不可能等于( )
A. 1 B. 2 C. 212 D. 212
题型直视图直观图简单几何体的基本量的计算
思路提示
由三视图想象出直观图必须与实物图对应, 先看俯视图, 根据三视图的形状并结合表8-1,定几何体的形状, 由口诀 “正侧同高, 正俯同长, 俯侧同宽”定几何体的相关数据.
例8.9 若某空间几何体的三视图如图8-16所示, 则该几何体的体积是( )
A. 13 B. 23 C. 1 D. 2
分析 三视图为2个矩形和1个三角形, 知该几何体是三棱柱.
解析 先看俯视图, 定底面, 再由正视图为矩形, 侧视图为三角形知该几何体为直三棱柱,
然后由口诀知数据, 如图8-17所示, 所以以侧面为底得体积112212V .
故选C.
变式1 如图8-18所示, 是一个几何体的三视图, 若其体积为33 , 则a .
变式2 如图8-19所示, 是长和宽分别相等的两个矩形, 给定下列三个命题:
①存在三棱柱, 其正视图、俯视图如图8-19所示；
②存在四棱柱， 其正视图、俯视图如图8-19所示;
③存在圆柱, 其正视图、俯视图如图8-19所示.
其中真命题的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
例8.10 如图8-20所示, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是低为1, 高为2的矩形, 俯视图是一个圆, 那么该几何体的表面积为( ).
A.2 B. 52 C. 4 D. 5
分析 由三视图是2个矩形和1个圆, 可知该几何体为圆柱.
解析 由三视图是2个矩形和1个圆, 可知该几何体是圆柱, 如图8-21所示, 再由口诀知数据, 所以几何体的表面积2115222222S表 . 故选B.
变式1 某个几何体的三视图如图8-22所示, 则该几何体的体积是( ).
A.323cm B.33cm C. 333cm4 D. 333cm2
变式2 若一个正三棱柱的正视图如图8-23所示, 则其侧面积等于 .
变式3 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等, 体积为23 , 它的三视图中的俯视图如图8-24所示, 左视图是一个矩形, 则这个矩形的面积是 .
变式4 一个几何体的三视图如图8-25所示, 则该几何体的体积为 .
例8.11 一个空间几何体的三视图如图8-26所示, 则该几何体的表面积为( ).
A. 48 B. 32817 C. 48817 D. 80
解析 由三视图知该几何体的直观图如图8-27所示, 该几何体的下底面是边长为4的正方形,
上底面是长为4, 宽为2的矩形; 两个梯形侧面垂直于底面, 上低长为2, 下底长为4, 高为4; 另外两个侧面是矩形, 宽为4, 长为224117 , 所以24217248817S表 . 故选C.
变式1 如图8-28所示, 某几何体的正视图是平行四边形, 侧视图和俯视图都是矩形, 则该几何体的体积为( ).
A. 63 B. 93 C. 123 D. 183 1 2 1 4
4
正视图 侧视图
俯视图
图 8-26 1 2 1 4 2 4
图 8-27 4
变式2 一个几何体的三视图如图8-29所示, 则该几何体的体积是 .
变式3 (2012辽宁理13)一个几何体的三视图如图8-30所示,
则该几何体的表面积为 .
例8.12 如图8-31所示, 3个直角三角形是一个体积为320cm 的几何体的三视图,
则h cm.
解析 先看俯视图知底面为直角三角形, 再结合正视图和侧视图均为直角三角形,知其中一条侧棱垂直于底面, 如图8-32所示, 再根据口诀知数据, 所以体积11205632h , 即4(cm)h .
